on mu-loga 1vip.thanhduylongthuong

121 VAN ẹE 6 BAT PHệễNG TRèNH LOGARIT- MUế VAỉ HE BAT PHệễNG TRèNH LOGARIT-MUế 122 Vấn đề 6 Bất phương trình Logarit-Mũ và hệ bất phương trình Logarit-Mũ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm số xác đònh trên một tập con D của R, khi đó : a) Nếu a > 1 thì bất phương trình log a f(x) > log a g(x) (1) tương đương với hệ bất phương trình ( ) () () () 0gx f xgx xD >⎧ ⎪ > ⎨ ⎪ ∈ ⎩ b) Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình (1) tương đương với hệ bất phương trình : () () () () 0fx f xgx xD >⎧ ⎪ < ⎨ ⎪ ∈ ⎩ II. Giả sữ f(x) , g(x) và α(x) là hững hàm số trên một tập hợp con D của R .Khi đó bất phương trình log α(x) f(x) > log α(x) g(x) tương đương với 2 hệ bất phương trình : () () () () () 1 0 x gx f xgx xD α >⎧ ⎪ > ⎪ ⎨ > ⎪ ⎪ ∈ ⎩ hay ( ) () () () () 01 0 x fx f xgx xD α < <⎧ ⎪ > ⎪ ⎨ < ⎪ ⎪ ∈ ⎩ 123 B. BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI . Bài 1 Giải bất phương trình sau : () ( ) 3 3log3log xx x ≤ Giải Điều kiện x > 0 và x ≠ 1 Bpt ⇔ () () [] ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≥ ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < (2) )3(log3log 03log (1) 03xlog 0log3x 2 2 3 xx x xx x Giải (1) ⇔ () ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < 1log3log 1log3log 3 x xx x x ⇔ ( ) ( ) () () ⎩ ⎨ ⎧ <−− <−− 0131 0131 3 xx xx ⇔ x > 3 3 1 (a) Giải (2) ⇔ ()( ) () ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +≤+ >−− > (*) 33log13log 0231 0 2 xx xx x (*) ⇔ 023log3log 2 ≤−+ xx ⇔ -2 ≤ log x ≤ 1 (2) ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤≤− >∨<< 13log2 1 3 1 0 x xx ⇔ () () ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ≥ ≤< ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤≤ > ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥≥ << ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤− > ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤≤− << c 3 b 3 1 0 3 1 1 3 1 3 1 x0 13log2 1 13log2 3 1 0 2 2 x x x x x x x x x x x Hợp (a) và (b) và (c) ta có x > 0 Bài 2 124 Giải bất phương trình sau : log 2 (1 + 9 1 log x – log 9 x) < 1 Giải Điều kiện : x > 0 ⇔ 1 – log 9 x – log 9 x < 1 (với x > 0) ⇔ 1 – 2log 9 x < 1 ⇔ log 9 x > 2 1 − ⇔ log 9 x > 2 1 − log 3 3 ⇔ x > 3 1 Bài 3 Giải bất phương trình sau : 233 5lg2lg 2 −< ++ xx (1) Giải Điều kiện : x > 0 (1) ⇔ 3 lgx .9 < 3 2lgx .3 5 – 2 (với x > 0) đặt t = 3 lgx bpt ⇔ 9t < 243t 2 – 2 ⇔ 243t 2 – 9t – 2 > 0 ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −< > 27 2 9 1 t t • Với t > 9 1 : 3 lgx > 9 1 ⇔ ⇔ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ > ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2lg 3 1 3 1 x -lgx < 2 ⇔ lgx > -2 = -2lg10 ⇔ x > 10 -2 ⇔ x > 100 1 • Với t < 27 2 − : 3 lgx < 27 2 − : bất phương trình vô nghiệm KL : nghiệm cuả bất phương trình là : x > 100 1 125 Bài 5 Giải bất phương trình : log 7 x > log 3 (2 + x ) (**) Giải Điều kiện x > 0 , đặt log 7 x = t ⇔ x = 7 t Bất phương trình (**) ⇔ t > log 3 (2 + t 7 ) ⇔ 3 t > 2 + t 7 ⇔ 1 > 2. t 3 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + t 3 7 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = f(t) Do f(t) là hàm nghòch biến trên R , f(2) = 1 nên bất phương trình (**) ⇔ f(t) < f(2) ⇔ t > 2 ⇔log 7 x > 2 ⇔ x > 7 2 = 49 . Bài 6 Giải bất phương trình : 24 x233 x x2 − −+ − ≥ 0 (*) (Đại học luật 1996) Giải Xét f(x) = 3 2-x - 2x + 3 nghòch biến trên R , f(2) = 0 , g(x) = 4 x – 2 đồng biến trên R , g ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 1 = 0 Bất phương trình (*) ⇔ )x(g )x(f ≥ 0 ⇔ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =< =≤ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ => =≥ 2 1 g0)x(g )2(f0)x(f 2 1 g0)x(g )2(f0)x(f ⇔ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < ≥ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤ 2 1 x 2x 2 1 x 2x ⇔ 2 1 < x ≤ 2 Vậy bất phương trình có nghệm là 2 1 < x ≤ 2 126 Bài 7 Với giá trò nào của m thì : y = () [ ] mmx2x1mlog 2 2 2 −−+ có tập nghiệm xác đònh là R. Giải Yêu cầu đầu bài cho ta (m + 1)x 2 – 2mx – m > 0 (*) , ∀x ∈ R • m = -1 : 0.x 2 + 2x + 1 > 0 ⇔ x > - 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +∞− , 2 1 ⊂ R nên không thỏa yêu cầu (*) đúng ∀x ∈ R. • m ≠ -1 (*) ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ >+ <∆ 01m 0' ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −> <++ 1m 01mm 2 ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ −> ∅∈ 1m m ⇔ m ∈ ∅ Kết luận : m ∈ ∅ Bài 8 Giải bất phương trình : ( ) 8exxe8x 1x21x4 −>− −− (Đại Học Xây Dựng 2001) Giải ( ) 8exxe8x 1x21x4 −>− −− ⇔ x(x 3 + 8) – e x-1 (x 3 + 8) > 0 ⇔ (x 3 + 8) (x – e x-1 ) > 0 (*) Xét hàm số : f(x) = x – e x-1 f’(x) = 1 – e x-1 = 0 ⇔ x = 1 Bảng biến thiên : x -∞ 1 +∞ f’(x) + 0 - f(x) 0 - ∞ +∞ Bảng biến thiên cho : f(x) ≤ 0 ; ∀x ∈ R (f(x)=0⇔x=1) Dể thấy x = 1 không thỏa (*) Vậy : f(x) < 0 ∀x ≠ 1 . Khi đó : (*) ⇔ x 3 + 8 < 0 ⇔ x < -2 127 Bài 9 Tìm m sao cho bất phương trình sau đây được nghiệm đúng với mọi x log m (x 2 – 2x + m + 1) > 0 (Đại học Đà Nẳng ) Giải Ta có : Log m (x 2 – 2x + m + 1) > 0 ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ <++− > ⎩ ⎨ ⎧ <++− << 11mx2x 1m 11mx2x 1m0 2 2 ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ >+− > ⎩ ⎨ ⎧ <+− << )2( 0mx2x 1m )1( 0mx2x 1m0 2 2 Xét (1) : ta thấy x 2 –2x +m < 0 không thể xảy ra vơi mọi x Xét (2) :x 2 – 2x + m > 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc R ⇔ '∆ < 0 ⇔ 1 – m < 0 ⇔ m >1 Vậy: m > 1 thì bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x. Bài 10 Tìm tất cả các giá trò của x thoả x > 1 nghiệm đúng bất phương trình sau : 2 2( ) log ( 1) 1 xx m xm + +−<với mọi giá trò của m : 0 < m ≤ 4 (Đại học Giao thông vận tải ) Giải Vì x > 1 ⇒ 2(x 2 + x) > 4 ; cùng với 0 < m ≤ 4 ⇒ m )xx(2 2 + > 1 và x + m – 1 > 0. Bất phương trình đã cho được viết thành : 128 x+ m –1 < m )xx(2 2 ++ ⇔ 2x 2 + (2 – m) x – m 2 + m > 0 ⇔ (x – m + 1) (2x + m) > 0 ⇔ x > m – 1 ( vì 2x + m > 0) Vì x > 1 và 0 < m ≤ 4 ⇒ x > 3 Bài 10 Giải bất phương trình : 2 x + 2 3-x ≤ 9 (Đại học Kỹ thuật công nghệ thành phố Hồ Chí Minh , khối A năm1998 – 1999) Giải Đặt t = 2 x với t > 0 ta được : t 2 – 9t + 8 = 0 Tam thức bậc hai theo t ấy có 2 nghiệm là 1 và 8 .Tam thức ấy âm khi và chỉ khi 1 ≤ t ≤ 8 Từ đó suy ra nghiệm của bất phương trình là 0 ≤ x ≤ 3 Bài 11 a) Giải bất phương trình 2 2x+1 – 9.2 x + 4 ≤ 0 (1) b) Đònh m để mọi nghiệm của bất phương trình (1) cũng là nghiệm của bất phương trình : (m 2 + 1)x + m(x + 3) + 1 > 0 (Đại học An ninh – Đại học cảnh sát , khối G năm 1998 – 1999) Giải a) Ta có : 2 2x+1 – 9.2 x + 4 ≤ 0 (1) ⇔ 2.2 2x = 9.2 x + 4 ≤ 0 Đặt t = 2 x > 0 , ta sẽ có : (1) ⇔ 2t 2 – 9t + 4 ≤ 0 Nghiệm của tam thức theo t là 2 1 và 4. Tam thức âm hoặc bằng 0 khi : 2 1 ≤ t ≤ 4 Do đó ta có : 2 1 ≤ 2 x ≤ 4 hay 2 -1 ≤ 2 x ≤ 2 2 Đáp số : –1 ≤ x ≤ 2 b) (m 2 + 1)x + m(x + 3) + 1 > 0 (2) 129 ⇔ (m 2 + m + 1)x + 3m + 1 > 0 Đặt f(x) = (m 2 + m + 1)x + 3m + 1 Mọi nghiệm của (1) là nghiệm của (2) khi và chỉ khi f(x) > 0, ∀x ∈ [-1 , 2] ⇔ ( ) () ⎩ ⎨ ⎧ > >− 02 01 f f ⇔ 0 < m < 2 Đáp số : 0 < m < 2 Bài 12 Giải bất phương trình : 3 1 6 5 log 3 −≥ − x x x (Đại học An ninh – Đại học cảnh sát , khối A năm 1998 – 1999) Giải Ta phải có điều kiện x > 0 và x ≠ 1 3 1 6 5 log 3 −≥ − x x x = x x 1 log 3 (1) Trường hợp 0 < x < 1 (1) ⇔ xx x 1 6 5 ≤ − ⇔ ⏐5 - x⏐ ≤ 6 ⇔ x ≥ -1 ⇔ 0 < x < 1 (vì 0 < x ≠ 1) Trường hợp x > 1 (1) ⇔ ⏐x - 5⏐ ≥ 6 ⇔ ⎢ ⎣ ⎡ ≥ −≤ 11 1 x x Do đó ta có 0 < x < 1 hay x ≥ 11 Bài 13 Tìm tham số a sao cho 2 bất phương trình sau đây tương đương : ( ) () ⎩ ⎨ ⎧ >+−+ >+−− 021 031 axa axa (Cao đẳng Hải quan năm 1998) Giải Xét a = -1. Hai bất phương trình đã cho sẽ có dạng –2x > -4 ; Ox > -3 . Hai bất phương trình ấy không tương đương 130 Xét a > 1 : Nghiệm của bất phương trình thứ nhất là x > 1 3 − − a a và nghiệm của bất phương tình thứ hai là x > 1 2 + − a a Muốn cho 2 bất phương trình đó tương đương thì phải có : 1 2 1 3 + − = − − a a a a ⇒ a = 5 Bằng cách tương tự khi a < -1 hay –1 < a < 1 ta có hai phương trình không tương đương . Kết luận : Hai bất phương trình tương đương khi a = 5 Bài 14 Giải bất phương trình : log 2 x + log 3 x < 1 + log 2 x.log 3 x (Đại học ngoại thương , khối A năm 1998 – CSII) Giải Bất phương trình tương đương với : log 2 x(1 – log 3 x) – (1 - log 3 x) < 0 ; (x > 0) ⇔ (1 - log 3 x)(log 2 x – 1) < 0 Có thể xảy ra 2 trường hợp : • ⎩ ⎨ ⎧ <− >− 01log 0log1 2 3 x x ⇔ 0 < x < 2 • ⎩ ⎨ ⎧ >− <− 01log 0log1 2 3 x x ⇔ x > 3 Vậy nghiệm của bất phương trình là : ⎢ ⎣ ⎡ > << 3 20 x x [...]... 138 ( vì x > 3 ) Bài 25 Tìm m để bất phưong trình log 1 ( x 2 − 2 x + m) > −3 có nghiệm 2 Giải log 1 ( x 2 − 2x + m) > −3 2 ⎧ 2 ⇔ log 2 ( x 2 − 2x + m) > 3 ⇔ ⎨x 2 − 2x + m > 0 ⎩x − 2 x + m < 8 ⎧m > 2 x − x 2 = f 1 ( x ) ⇔ ⎨ 2 ⎩m < x + 2 x + 8 = f 2 ( x ) Xét các điểm M(x,m) thuộc miền trong của (f2) và miền ngoài của (f1) Do f2(x) > f1(x) ∀ x nên (f1) ở bên trong (f2) , vì vậy để bất phương trình trên... ⇔ 5 ≤ x – 5 ≤ 25 ⇔ 10 ≤ x ≤ 30 2/ (x – m)(x – 35) ≥ 0 (1) • Trường hợp 1 : khi m ≥ 35 ⎡x ≥ m ⎣ x ≤ 35 (không thoả) (1) ⇔ ⎢ • Trường hợp 2 : khi m < 35 ⎡x ≤ m ⎣ x ≥ 35 (1) ⇔ ⎢ (1) có nghiệm duy nhất trong [10;30] ⇔ m = 10 132 Bài 17 Giải bất phương trình : log2 log2 (x 2 (x 2 ) + 3 − x 2 − 1 + 2 log 2 x ≤ 0 Giải ) + 3 − x 2 − 1 + 2 log 2 x ≤ 0 ⎧ x2 + 3 − x2 −1 > 0 ⎪ ⎪x > 0 ⎩ Điều kiện của nghiệm: ⎨... để bất phương trình (1) thoả mãn với mọi x (Đề Đại Học Giao Thông Vận Tải ) Giải x 1-\ Khi m = − 1 : (1) ⇔ − 2.4 + 2 x +1 > 0 ⇔ 2 x (1 − 2 x ) > 0 ⇔ x 0 ( ∀t > 0 ) (2) Nếu m < 1 : m – 1 < 0 , Nếu m = 1 : (2) ⇔ 2t + 1 > 0 , ( ∀t > 0 ) (đúng ) Nếu m > 1 : (2) rõ ràng thoả Vậy (1) thoả mãn với mọi x ⇔... log 2 ( x − 2) − α = 0 5 ≤ x ≤ 4 ⇔ − 1 ≤ log 2 ( x − 2) ≤ 1 2 2 Như vậy (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 mà 5 ≤ x1 ≤ 4 và 2 5 ≤ x2 ≤ 4 ⇔ phương trình f(t) = t2 – t − α = 0 (2) có 2 nghiệm 2 phân biệt trong [ − 1 , 1 ] 144 ⎧f (−1) ≥ 0 ⎪f (1) ≥ 0 ⎧α ≤ 0 ⎧2 − α ≥ 0 1 ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⇔− 0 α>− 4 ⎪ ⎪− 1 ≤ − − 1 ≤ 1 ⎪1 + 4α > 0 ⎩ 4 ⎩ ⎪ 2 ⎩ Bài 35 Cho bất phương trình : x 2 − (3 + m) x + 3m... x +3 x−3 x +1 (vì 10 + 3 > 1) 0 ⇔ . ⎩ ⎨ ⎧ =++< =−> )x(f8x2xm )x(fxx2m 2 2 1 2 Xét các điểm M(x,m) thuộc miền trong của (f 2 ) và miền ngoài của (f 1 ). Do f 2 (x) > f 1 (x) ∀ x nên (f 1 ) ở bên trong (f 2 ) , vì vậy để bất phương trình trên có nghiệm. () () 0fx f xgx xD >⎧ ⎪ < ⎨ ⎪ ∈ ⎩ II. Giả sữ f(x) , g(x) và α(x) là hững hàm số trên một tập hợp con D của R .Khi đó bất phương trình log α(x) f(x) > log α(x) g(x) tương đương với 2 hệ bất. (không thoả) • Trường hợp 2 : khi m < 35 (1) ⇔ ⎢ ⎣ ⎡ ≥ ≤ 35x mx (1) có nghiệm duy nhất trong [ ] 30;10 ⇔ m = 10 133 Bài 17 Giải bất phương trình : log 2 ( ) 0xlog21x3x 2 22 ≤+−−+