chuyen de PTDT thanh nhan tu

Đồng Đức Lợi THCS Cảnh Dơng c.đ phân tích thành nhân tử Chơng I: Các nội dung lý thuyết cơ sở: a/ Định lý về phép chia đa thức (phép chia hết và chia có d): - Khi đó với hai đa thức bất kỳ f(x), g(x) và g(x) 0 tồn tại duy nhất hai đa thức q(x) và r(x)sao cho: f(x) = g(x).q(x) + r(x), r(x) = 0, hoặc bậc r(x) < bậc g(x). q(x) đợc gọi là thơng, r(x) đợc gọi là d. Nếu r(x) = 0 thì ta nói f(x) chia hết cho g(x) và ký hiệu f(x) M g(x) Nếu r(x) 0 thì ta nói f(x) chia cho g(x) có d. b/ Hệ quả: Ta có f(a) là d trong phép chia f(x) cho x- a. c/ Định nghĩa nghiệm của một đa thức một ẩn: Phần tử A đợc gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f() = 0. d/ Định lý Bơdu về nghiệm của một đa thức: Phần tử là nghiệm của đa thức f(x) khi và chỉ khi f(x) M x- . e/ Các phơng pháp cơ bản để phân tích đa thức thành nhân tử: - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp đặt nhân tử chung. - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp dùng hằng đẳng thức. - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp nhóm nhiều hạng tử. - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phơng pháp. - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách tách một hạng tử thành nhiều hạng tử. - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách thêm bớt cùng một hạng tử. Ví dụ1: A(x) =10x 2 -7x+a (aQ) xác định a sao cho A(x) chia hết cho 2x-3. Đặt phép chia đa thức: 10x 2 -7x+a 2x-3 10x 2 -15x 5x+4 8x+a -8x-12 a+12 Để A(x) M 2x-3 ta phải có: a+12=0 a= -12. Vậy a=-12 thì A(x) chia hết cho 2x-3 Ví dụ 2: Cho đa thức: A(x) = a 2 x 3 +3ax 2 -6x-2a (a Q) Xác định a sao cho A(x) chia hết cho (x+1) +Đặt phép chia đa thức: a 2 x 3 +3ax 2 -6x-2a x+1 -a 2 x 3 +a 2 x 2 ax 2 +(3a-a 2 )x+(a 2 -3a-6) (3a-a 2 )x 2 -6x-2a -(3a-a 2 )x 2 +(3a-a 2 )x -a 2 +a+6 Để A(x) chia hết cho x+1 ta phải có: -a 2 +a+6=0 (a+2)(3-a)=0 a+2=0 a=-2 3-a=0 a=3 Vậy a=-2 hoặc a=3 thì A(x) chia hết cho x+1 Ví dụ 3: Phân tích đa thức 5x 3 -2x-3 thành nhân tử, Dễ thấy x=1 là một nghiệm , theo định lý Bơdu thì đa thức 5x 3 -2x-3 chia hết cho x-1. Thực hiện phép chia ta đợc: 5x 3 -2x-3 =(x-1)(5x 2 +5x+3) Ví dụ 4: Phân tích đa thức f(x)=3x 5 - 6x 4 -2x 3 +4x 2 -x+2 thành nhân tử. Dễ thấy x=1 là một nghiệm. Vì vậy đa thức đã cho chia hết cho x-1 Thức hiện phép chia ta đợc: f(x)=(x-1)(3x 4 - 3x 3 -5x 2 -x-2) 1 Đồng Đức Lợi THCS Cảnh Dơng c.đ phân tích thành nhân tử Dễ thấy 3x 4 - 3x 3 -5x 2 -x-2 có nghiệm là x= -1 Thực hiện phép chia ta đợc: 3x 4 - 3x 3 -5x 2 -x-2=(x+1)(3x 3 -6x 2 +x-2) Dễ thấy rằng 3x 3 -6x 2 +x-2 có nghiệm x= 2 Vì thế 3x 3 -6x 2 +x-2=(x-2)(3x 2 +1) Vậy 3x 5 - 6x 4 -2x 3 +4x 2 -x+2 =(x-1)(x+1)(x-2)(3x 2 +1). Chơng II. .Một số bài tập vận dụng và cách giải: I- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp tách hạng tử. Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 3x 2 -8x+4 Nhận xét: Đa thức trên không chứa thừa số chung. Không có dạng một hằng đẳng thức đáng nhớ, cũng không thể nhóm các số hạng. Ta biến đổi đa thức này thành đa thức có nhiều số hạng hơn: Cách 1: (tách số hạng thứ 2) 3x 2 -8x+4 =3x 2 -6x-2x+4= (3x 2 -6x)-(2x-4) =3x(x-2)-2(x-2) =(x-2)(3x-2) Cách 2:(tách số hạng thứ nhất) 3x 2 -8x+4 =4x 2 -8x+4-x 2 = (2x-2) 2 -x 2 = (2x-2+x)(2x-2-x) = (3x-2)(x-2) Tổng quát: Để phân tích tam thức bậc hai ax 2 +x+c thành thừa số ta tách số hạng bx=b 1 x+b 2 x sao cho: b 1 b 2 = ac Trong thực hành ta làm nh sau: Bớc 1: Tìm tích ac Bớc 2: Phân tích a.c ra thành tích của 2 thừa số nguyên bằng mọi cách. Bớc 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b. Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4x 2 -4x-3 (a=4,b=-4,c=-3). Ta có: ac= 4.(-3)=-12 -12=-6.2=-4.3=2.(-6)=4.(-3)=1.(-12)=-12.1 Vì -6+2= -4 =b nên ta có thể làm nh sau: Cách 1: 4x 2 -4x-3 = 4x 2 -6x+2x-3 = (4x 2 -6x)+(2x-3) = 2x(2x-3)+(2x-3) = (2x-3)(2x+1) Cách 2: Tách số hạng thứ 3: 4x 2 -4x-3 =4x 2 -4x+1-4 = (4x 2 -4x+1)-4 = (2x-1) 2 -2 2 = (2x-1-2)(2x-1+2) =(2x-3)(2x+1) Qua hai ví dụ trên ta thấy việc tách một số hạng thành nhiếu số hạng khác thờng nhằm mục đích: + Làm xuất hiện các hệ số tỷ lệ nhờ đó mà xuất hiện thừa số chung (cách 1). + Làm xuất hiện hiệu của hai bình phơng (cách 2) Với các đa thức có bậc từ 3 trở lên, để dễ dàng làm xuất hiện các hệ số tỷ lệ ngời ta th- ờng dùng cách làm xuất hiện nghiệm của đa thức. Ta nhắc lại khái niệm nghiệm của đa thức: Số a đợc gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a)=0. Nh vậy nếu đa thức f(x) có nghiệm x-a thì nó chứa thừa số x-a. Giả sử đa thức: a 0 x n +a 1 x n-1 + +a n với a 0 ,a 1 , ,a n-1 ,a n Z có nghiệm x= a (a Z) => a 0 x n +a 1 x n-1 + +a n =(x-a)(b 0 x n +b 1 x n-1 + +b n 1 ) trong đó b 0 ,b 1 , ,b n-1 ,b n Z. Số hạng có bậc thấp nhất của tích ở vế phải bằng-ab n-1 . Số hạng có bậc thấp nhất ở vế phải bằng a n -ab n-1 = a n tức là a là ớc của a n . Vậy đa thức có nghiệm nguyên thì nghiệm đó là ớc của hạng tử tự do a n . Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử. x 3 -x 2 -4. Lần lợt kiểm tra với x=1,x=2,x=4 ta thấy f(2)=2 3 -2 2 -4=0 đa thức có nghiệm x= 2 do đó chứa thừa số (x-2) 2 Đồng Đức Lợi THCS Cảnh Dơng c.đ phân tích thành nhân tử Cách 1: x 3 -x 2 -4 =x 3 -2x 2 +x 2 -2x+2x-4 = (x 3 -2x 2 )+(x 2 -2x)+(2x-4) =x 2 (x-2)+x(x-2)+2(x-2) = (x-2)(x 2 +x+2) Cách 2: x 3 -x 2 -4 =x 3 -8-x 2 +4 = (x 3 -8)-(x 2 -4) =(x-2)(x 2 +2x+4)-(x-2)(x+2) = (x-2)(x 2 +2x+4-x-2) =(x-2)(x 2 +x+2) Chú ý: Khi xét nghiệm nguyên của đa thức nên nhớ 2 định lý sau: *ĐL1: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm của đa thức, do đó đa thức chứa thừa số x-1. Ví dụ; x 3 -5x 2 +8x-4 -x 3 -x 2 x 2 -4x+4 - 4x 2 +8x-4 - 4x 2 +4x 4x-4 4x-4 0 Vậy x 3 -5x 2 +8x-4 = (x-1)(x 2 -4x+4) = (x-1)(x-2) 2 */ĐL2: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các số hạng bậc lẻ thì -1 là nghiệm của đa thức. đa thức chứa thừa số x+1 Ví dụ: x 3 -5x 2 +3x+9 Ta có 9-5=1+3 -1 là nghiệm của đa thức, đa thức chứa thừa số x+1 x 3 -5x 2 +3x+9 x+1 -x 3 + x 2 x 2 -6x+9 -6x 2 +3x+9 6 x 2 -6x 9x+9 -9x+9 0 Vậy x 3 -5x 2 +3x+9 =(x+1)(x 2 -6x+9) =(x+1)(x-3) 2 Để nhanh chóng loại trừ các ớc của hệ số tự do không là nghiệm của đa thức, có thể dùng nhận xét sau: Nếu a là nghiệm nguyên của đa thức f(x) và f(-1) 0 thì: f(1):(a-1) và f(-1): (a+1) đều là số nguyên. Ví dụ: f(x)=4x 3 -13x 2 +9x-18 Ư(18)=1,2,3,6,9,18 f(1)=4-13+9-18=-18 0 f(-1)=-4-13-9-18=-44 0 1 không phải là nghiệm của f(x) Dễ thấy: a 2 -2 3 -3 6 -6 9 -9 18 -18 f(1) 18 a 1 a 1 = -18 6 -9 18 4 18 5 18 7 18 8 18 10 18 17 18 19 f( 1) 44 a 1 a 1 = + + 44 3 -44 11 Ta có: 3 Đồng Đức Lợi THCS Cảnh Dơng c.đ phân tích thành nhân tử : 18 18 18 18 18 18 18 ; ; ; ; ; ; Z 3 1 6 1 6 1 9 1 9 1 18 1 18 1 Nên: -3;6;9;18 không là nghiệm của f(x) 44 Z 2 1 + 2 không phải là nghiệm của f(x) Nếu phơng trình có nghiệm nguyên chỉ có thể là 3 hoặc -2. NHẩm ta thấy x= 3 là nghiệm của f(x). 4x 3 -13x 2 +9x-18 = 4x 3 -12x 2 -x 2 +3x+6x-18 = (4x 3 -12x 2 )-(x 2 -3x)+(6x-18) = 4x 2 (x-3)-x(x-3)+6(x-3) = (x-3)(4x 2 -x+6) Các bài toán luyện Tập. Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , 5 6 d, 13 36 , 3 8 4 e, 3 18 , 8 7 f, 5 24 ,3 16 5 h, 8 30 7 , 2 5 12 k, 6 7 20 + + + + + + + + + a x x x x b x x x x c x x x x g x x x x i x x x x Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 3 2 3 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 1/ 5 8 4 2/ 2 3 3/ 5 8 4 4/ 7 6 5/ 9 6 16 6/ 4 13 9 18 7 / 4 8 8 8/ 6 6 1 9/ + + + + + + + + + + + + x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 3 2 3 3 3 2 3 2 3 2 3 3 6 486 81 10/ 7 6 11/ 3 2 12/ 5 3 9 13/ 8 17 10 14/ 3 6 4 15/ 2 4 16/ 2 + + + + + + + + + + x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 4 3 2 12 17 2 17 / 4 18/ 3 3 2 19 / 9 26 24 20/ 2 3 3 1 21/ 3 14 4 3 22/ 2 1 + + + + + + + + + + + + + + + + x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x II/ phơng pháp thêm và bớt cùng một số hạng làm xuất hiện hai bình phơng hoặc xuất hiện nhân tử chung. Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4x 4 +81 4x 4 +81 =4x 4 +36x 2 +81-36x 2 = (4x 4 +36x 2 +81)-(6x) 2 =(2x 2 +9) 2 -(6x) 2 = (2x 2 +9-6x)(2x 2 +9+6x) Ví dụ2: Phân tích đa thức thành nhân tử: x 7 +x 2 +1 x 7 +x 2 +1 =x 7 -x+x 2 +x+1 =(x 7 -x)+(x 2 +x+1) =x(x 6 -1)+(x 2 +x+1) =x(x 3 -1)(x 3 +1)+(x 2 +x+1) =x(x-1)(x 3 +1)(x 2 +x+1)+(x 2 +x+1) 4 Đồng Đức Lợi THCS Cảnh Dơng c.đ phân tích thành nhân tử =(x 2 +x+1)[x(x-1)(x 3 +1)+1] =(x 2 +x+1)(x 5 -x 4 +x 2 -x+1) Chú ý: Các đa thức dạng: x 3m+1 +x m +1 đều chứa thừa số (x 2 +x+1) Các bài toán Bài 1: Phân tích các đâ thức sau thành nhân tử: ( ) 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 1/ (1 ) 4 (1 ) 2/ 8 36 3/ 4 4/ 64 5 / 64 1 6/ 81 4 7/ 4 81 + + + + + + + x x x x x x x x x 4 4 4 4 4 2 8/ 64 9 / 4 10/ 1 + + + + x y x y x x Bài 2: Phân tích các đâ thức sau thành nhân tử: 7 2 7 5 5 4 5 8 7 5 4 5 1/ 1 2/ 1 3/ 1 4/ 1 5 / 1 6/ 1 7/ 1 + + + + + + + + + + + x x x x x x x x x x x x x x 10 5 8/ 1 + + x x III/ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp đổi biến( đặt nhân tử phụ). Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:x(x+4)(x+6)(x+10)+128 x(x+4)(x+6)(x+10)+128 = (x 2 +10x)(x 2 +10x+24)+128 Đặt x 2 +10x+12= y Đa thức có dạng (y-12)(y+12)+128= y 2 -16 = (y+4)(y-4) x(x+4)(x+6)(x+10)+128 = (x 2 +10x+16)(x 2 +10x+8) =(x+2)(x+8)(x 2 +10x+8) Nhận xét: Nhờ phơng pháp đổi biến ta đã đa đa thức bậc 4 đối với x thành đa thức bậc 2 đối với y. Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: A= x 4 +6x 3 +7x 2 -6x+1 A= x 4 -6x 3 -2x 2 +9x 2 -6x+1 = x 4 +(6x 3 -2x 2 )+(9x 2 -6x+1) A= x 4 +2x 2 (3x-1)+(3x-1)2 = (x 2 +3x-1) 2 . Các bài toán Bài 1:Phân tích các đâ thức sau thành nhân tử 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1/ ( 4)( 6)( 10) 128 2/ ( 1)( 2)( 3)( 4) 24 3/ ( 4 8) 3 ( 4 8) 2 4/ ( ) 4 4 12 5 / 2 2 2 15 6/ ( )( 2 )( 3 )( + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xy y x y x a x a x a x 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 ) 7 / 6 11 3 8/ ( ) 3( ) 2 9 / 2 3 3 10 10/ ( 2 ) 9 18 20 11/ 4 4 2 4 35 12/ + + + + + + + + + + + + + + a a x x x x x x x xy y x y x x x x x xy y x y ( 2)( 4)( 6)( 8) 16 + + + + + x x x x Bài 2: Phân tích các đâ thức sau thành nhân tử 5 Đồng Đức Lợi THCS Cảnh Dơng c.đ phân tích thành nhân tử 4 3 2 2 2 2 2 2 1/ 6 7 6 1 2 /( )( ) ( ) + + + + + + + + + + x x x x x y z x y z xy yz zx IV/ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp hệ số bất định: Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: x 4 -6x 3 +12x 2 -14x+3 Thử: x= 1; 3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỷ. Đa thức trên phân tích đợc thành thừa số thì phải có dạng: (x 2 +ax+b)(x 2 +cx+d)=x 4 +(a+c)x 3 +(ac+b+d)x 2 +(ad+bc)x+bd =x 4 -6x 3 +12x 2 -14x+3 a c 6 ac b d 12 ad bc 14 bd 3 + = + + = + = = * bd=3 mà b,d Z => b { } 1; 3 - Với b=3 => d=1 a c 6 a 2 ac 8 c 4 a 3c 14 + = = = = + = Vậy: a 2 b 3 c 4 d 1 = = = = => x 4 -6x 3 +12x 2 -14x+3 = (x 2 -2x+3)(x 2 -4x+1) Các bài toán B i 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. 4 3 2 4 3 2 ) 6 12 14 3 ) 4 4 5 2 1= + + = + + + +a A x x x x b B x x x x 2 2 4 3 2 4 ) 3 22 11 37 7 10 ) 7 14 7 1 ) 8 63 = + + + + + = + + = + c C x xy x y y d D x x x x e E x x V/ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp xét giá trị riêng: Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử: P= x 2 (y-z)+y 2 (z-x)+z 2 (x-y) Thay x= y => P = 0 nên x= y là nghiệm của đa thức P đối với biện x nên P chia hết cho x - y hay P chứa thừa số x- y. Tơng tự: P chứa thừa số y-z, z-x. P có dạng K(x-y)(y-z)(z-x) Nhận thấy K phải là hằng số (không chứa biến) vì P có bậc ba đối với tập hợp các biến x,y,z còn (x-y)(y-z)(z-x) cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến x,y,z. Ví đẳng thức x 2 (y-x)+y 2 (z-x)+z 2 (x-y)=K(x-y)(y-z)(z-x) nên ta gán cho các biến x,y,z các giá trị riêng chẳng hạn x=2,y=1,z=0 ta đợc: 4.1+1.(-2)+0=K.1.1.(-2) -2K= 2 K= -1. Vậy P=-(x-y)(y-z)(z-x) hay P=(x-y)(y-z)(x-z). Các bài toán Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 6 Đồng Đức Lợi THCS Cảnh Dơng c.đ phân tích thành nhân tử a/ 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )( )( )= + + + + + + + + + M a b c a b c a b c a b c a b c b c a c a b b/ 2 2 2 ( ) ( ) ( )= + + N a m a b m b c m c abc , với 2m = a+ b + c. 3 3 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 2 2 ) ( )( ) . ) ( 2 ) (2 ) . ) ( ) ( ) ( ). ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ) ( ) ( ) ( ) ( 1). ) ( ) ( ) ( ) . ) ( = + + + + = + + = + + + = + + + + + = + + + = + + = c A a b c ab bc ca abc d B a a b b a b e C ab a b bc b c ac a c f D a b a b b c b c c a c a g E a c b b a c c b a abc abc h f a b c b c a c a b k G a b a b 2 2 2 2 4 4 4 ) ( ) ( ). ) ( ) ( ) ( ). + + = + + b c b c a c c a m H a b c b c a c a b VI/ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp giảm dần số mũ của luỹ thừa: Phơng pháp này chỉ sử dụng đợc cho một số đa thức đặc biêt. Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 5 4 A a a 1.= + + Ta có: 5 4 3 3 2 2 A a a a a a a a a 1= + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 4 3 3 2 2 3 2 a a a a a a a a 1 a a 1 a a 1 = + + + + + + + = + + + Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: 10 8 A a a 1.= + + Ta có: 10 8 4 4 2 2 A a a a a a a a a 1= + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 10 4 8 2 4 2 a a a a a a a a 1= + + + + Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 4 4 6 4 3 3 3 7 4 2 7 4 2 8 7 5 4 a a a a 1 a a 1 a 1 a 1 a a a 1 a a 1 a a a a 1 a a a a = = + = + = + + + = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 2 2 6 2 3 3 3 5 2 2 5 2 2 6 5 3 2 a a a a 1 a a 1 a 1 a 1 a a a 1 a a 1 a a a a 1 a a a a = = + = + = + + + = + + + ( ) ( ) ( ) 4 3 2 2 a a a a 1 a a a a 1 = = + + Nên suy ra: ( ) ( ) 2 8 7 6 4 3 A a a 1 a a a a a a 1= + + + + + Chơng III. Các bài tập về tìm nghiệm của đa thức: 7 Đồng Đức Lợi THCS Cảnh Dơng c.đ phân tích thành nhân tử Ví dụ 1: Tìm các nghiệm nguyên của đa thức: f(x)=2x 4 +7x 3 -2x 2 -13x+ 6 rồi phân tích đa thức thành nhân tử. Hạng tử tự do bằng 6; Ư(6)=+ 1; 2; 3; 6. Có:f(-1)=2-7-2+13+6=12 0 nên -1 không phải là nghiệm của đa thức này. f(-2)=32-56-8+26+6=0 => -2 là nghiệm của đa thức này. f(-3)=162-189-18+39+6=0 nên -3 là nghiệm của đa thức này. f(1)=2+7-2-13+6=0 nên 1 là nghiệm của đa thức này. f(2)=32+56-8-26+6=60 0 nên 2 không phải là nghiệm của đa thức này. f(3)=162+189-18-39+6=300 0 nên 3 không phải là nghiệm của đa thức này. Đa thức có một nghiệm hữu tỷ nữa thì mẫu số của nó phải là ớc của 2, Do đó có thể 1,2,-1,-2 sẽ là mẫu số của nghiệm này. Nên 1 3 1 3 ; ; ; 2 2 2 2 có thể là nghiệm của đa thức này. 1 1 1 1 1 f( ) 2. 7. 2 13 6 0 2 16 8 2 2 = + + = Suy ra 1 2 là nghiệm của đa thức này. Vì đa thức f(x) có bậc 4 nên nó có tối đa 4 nghiệm, suy ra các nghiệm của nó lần lợt là: 1;-2;-3; 1 2 . *Theo định lý Bơdu ta có: f(x) chia hết cho x-2;x+2;x+3;x- 1 2 . => f(x)= 2(x-1)(x+2)(x+3)(x- 1 2 ) Ví dụ 2: Tìm nghiệm của đa thức rồi phân tích đa thức thành nhân tử: f(x)=x 3 -6x 2 +11x-6 Hạng tử tự do:6 Ư(6)= 1; 2 ;+-3 ; 6. f(1)=1-6+11-6=0 => 1 là nghiệm của f(x) f(2)=8-24+22-6=0 => 2 là nghiệm của f(x) f(3)=27-54+33-6=0 => 3 là nghiệm của f(x) Vì đa thức f(x) có bậc là 3 nên nó có tối đa 3 nghiệm, suy ra các nghiệm của nó là 1,2,3. Theo định lý Bơdu ta có: f(x) chia hết cho x-1;x-2;x-3. f(x)=x 3 -6x 2 +11x-6=(x-1)(x-2)(x-3). Chơng IV: Các bài tập về phép chia hết và phép chia có d của đa thức: Ví dụ 1: Xác định số a sao cho x 3 -3x+a chia hết cho (x-1) 2 Cách 1: Đặt phép chia, cho số d bằng 0. x 3 -3x+a x 2 -2x+1 x 3 -2x 2 +x x+2 2x 2 - 4x+a 2x 2 -4x+ 2 a-2 Vì phép chia là phép chia hết nên a-2=0 a=2. Cách 2: Dùng phơng pháp hệ số bất định: Nếu đa thức x 3 -3x+a chia hết cho đa thức x 2 -2x+1 thì thơng là nhị thức bậc nhất có hạng tử bậc cao nhất là x 3 :x 2 = x Hạng tử bậc thấp nhất là a:1= a 8 Đồng Đức Lợi THCS Cảnh Dơng c.đ phân tích thành nhân tử Nh vậy x 3 -3x+a đồng nhất với ( x 2 -2x+1)(x+a) tức là đồng nhất với x 3 +(a- 2)x 2 +(1-2a)x+a. Do đó các hệ số tơng ứng phải bằng nhau tức là: a 2 0 a 2 1 2a 3 = = = Cách 3: Phơng pháp giá trị riêng: Gọi thơng của phép chia là Q(x) ta có: x 3 -3x+a=(x-1) 2 .Q(x) với R. Với x=1 thì 1-3.1+a=0.Q(1) hay 2+ a= 0 tức là a= 2. Thử lại (x 3 -3x+2): (x 2 -2x+1)=x+2 Ví dụ 2: Tìm các giá trị nguyên của n để giá trị của biểu thức 2n 2 +3n+3 chia hết cho giá trị của biểu thức (2n-1). Đặt phép chia: 2n 2 +3n+3 2n+1 2n 2 -n n+2 4n+3 4n-2 5 Đa thức 2n 2 +3n+3 không chia hết cho đa thức(2n-1) nhng có những giá trị nguyên của n để giá trị của 2n 2 +3n+3 chia hết cho giá trị của 2n-1. Vậy (2n-1) phải là Ư(5)= 1; 5. 2n-1=1 2n-1=-1 2n-1=5 2n-1=-5 n=1 n=0 n=3 n= -2 Vậy với n=-2;0;1;3 thì giá trị của biểu thức 2n 2 +3n+3 chia hết cho giá trị của biểu thức (2n-1). Chơng V: bài tập tự luyện. 1/ Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. a/ 5 4 x x 1+ + b/ 2 x 10x 16 + c/ 4 4 a 64b+ d/ ( ) ( ) 2 2 x x x x 1 2+ + + e/ ( ) ( ) ( ) 3 3 3 a b b c c a + + f f/ 10 8 x x 1+ + g/ 3 2 x 9x 26x 24+ + + h/ 3 3 3 a b c 3abc+ + k/ 2 5x 8x 13+ m/ 2 2 4x 17xy 13y + n/ 3 2 x 4x 31x 70+ p/ ( ) ( ) 2 2 2 x x 4 x x 12+ + + q/ ( ) ( ) 2 2 x x 1 x x 2 12+ + + + r/ ( ) ( ) ( ) ( ) x 1 x 2 x 3 x 4 24+ + + + u/ ( ) ( ) 2 2 2 2 x 4x 8 3x x 4x 8 2x+ + + + + + v/ ( ) ( ) 2 2 2 4 x 15x 50 x 18x 72 3x+ + + + s/ 10 5 x x 1+ + z/ 5 4 3 2 x x x x x 1+ + + + + l/ ( ) 2 2 2 2 2 2 4b c b c a + j/ 1/2(x 2 +y 2 )-2x 2 y 2 i/ (2x-3) 2 -(x+5) 2 o/ x 2 +5x+6 2/ Tìm điều kiện của hệ số để đa thức A chia hết cho đa thức B. a/ ( ) ( ) 3 2 A ax bx 3x 2;B x 1 x 2= + = + b/ ( ) 2 3 A x 5bx 2a;B x 2= + = + c/ 4 2 2 A x 2x 7x 3a 5;B x 3x 2= + + + = + + 9 . x 2 -6x+9 -6x 2 +3x+9 6 x 2 -6x 9x+9 -9x+9 0 Vậy x 3 -5x 2 +3x+9 =(x+1)(x 2 -6x+9) =(x+1)(x-3) 2 Để nhanh chóng loại trừ các ớc của hệ số tự do không là nghiệm của đa thức, có thể dùng nhận xét sau: Nếu