Hai mặt phẳng SAB và SAC cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SB tạo với đáy một góc 600.. Phần Riêng 3 điểm Thí sinh chỉ đợc chọn một trong hai phần: Theo chơng trình Chuẩn hoặc N
Trang 1Sở GD & ĐT thanh hóa Đề thi kiểm tra chất lợng học kì Ii Trờng THPT Đông Sơn I Năm học 2009 – 2010 2010
-*** - Môn : Toán 12
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề
-*** -I Phần chung cho tất cả thí sinh (7 điểm)
Câu 1 (3,0 điểm) Cho hàm số y = x3 – 2010 3x2 + 3x + 1.
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2 Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0; - 3).
Câu 2 (3,0 điểm).
1 Giải phơng trình log ( 1 ) 2 log 3( 2 1 ) 2
3 x x
2 Tính tích phân
e
dx x
x x x I
1
ln ) ln (
3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 2 2 3
x
Câu 3 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, góc BAC = 1200,
BC = 2 3a Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SB
tạo với đáy một góc 600 Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
II Phần Riêng (3 điểm)
Thí sinh chỉ đợc chọn một trong hai phần: Theo chơng trình Chuẩn hoặc Nâng cao
1 Theo chơng trình Chuẩn:
Câu 4a (2,0 điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đờng thẳng d và mặt phẳng
(P) có phơng trình: d:
3
2 1
2
x
, (P) :x 2y 2z 1 0
1 Chứng minh d và (P) cắt nhau Viết phơng trình mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với mặt phẳng (P).
2 Viết phơng trình mặt cầu có tâm thuộc d, bán kính R = 4 và tiếp xúc với mặt phẳng (P).
Câu 5a (1, 0 điểm) Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phơng trình 2 1 0
z
z Tính giá trị của
2 2010
z
2 Theo chơng trình Nâng cao:
Câu 4b (2,0 điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai đờng thẳng d1 và d2 có
ph-ơng trình d1:
3
2 1
2
x
, d2:
1
3 1
2 2
1
x
1 Chứng minh d1 và d2 chéo nhau Viết phơng trình mặt phẳng ( ) chứa d1 và song song
với d2
2 Gọi A là giao điểm của d1 với mặt phẳng (Oxz) Viết phơng trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d2
Câu 5b (1, 0 điểm) Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phơng trình 2 1 0
z
2 2010
z
-Hết -Họ và tên thí sinh : SBD :
Trờng thpt đông sơn i Kì thi kiểm tra chất lơng học kì ii
Năm học 2009 - 2010 Hớng dẫn chấm toán 12
- Điểm toàn bài làm tròn đến 0,5
- Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn đợc điểm tối đa
- Thí sinh đợc chọn làm theo một trong hai chơng trình Chuẩn hoặc Nâng cao Nếu thí sinh nào làm cả hai phần riêng thì không tính điểm phần riêng.
1 1 Khảo sát hàm số y x 3 x 2 x 1
1) Tập xác định : R
Trang 2a, Giới hạn :
x
y lim , y lim
b, Bảng biến thiên: y’ = 3x2 - 6x + 3 = 3(x – 2010 1)2 > 0 với mọi x ≠ 1
x - 1 + y' + 0 +
y
+ 2
-
0,50
Hàm số đồng biến trên khoảng (- ; + )
3) Đồ thị: Đồ thị (C) của hàm số
nhận điểm uốn U(1; 2) làm tâm đối
xứng
Đi qua các điểm (2; 3), (0; 1)
Tiếp tuyến tại điểm uốn : y = 2
0,50
Gọi d là tiếp tuyến của (C) đi qua A, phơng trình của d có dạng: y = kx – 2010 3
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ phơng trình
k 3 x 6 x 3
3 kx 1 x 3 x 3 x
2 2
0 4 x x 3 x ) 3 x x ( 1 x x
nghiệm) (vô
2 x x 2
2 x 0 ) 2 x x )(
2 x
(
2
+) Với x = 2 thì k = 3 suy ra d có phơng trình y = 3x – 2010 3 0,25
Điều kiện: 1 / 2 x 1
2 ) 1 x 2 ( log 2 1 x log 2 2 ) 1 x 2 ( log ) 1 x
(
x 1 ( 2 x 1 ) 1 x 1 ( 2 x 1 ) (*)
0,5
+) Nếu 1 / 2 x 1 thì (*) ( x 1 )( 2 x 1 ) 3 x 2 x 4 0
(loại) 2 / 1 x
2 x 0 2 x 3 x 2 3 ) 1 x 2 )(
1 x
Vậy phơng trình đã cho có 1 nghiệm: x = 2
0,25
e
1
e
1
2
dx x
x ln xdx
ln
I
+) Đặt
e 1
e e 1
1 e dx x ln x xdx ln x dx dx x ln u
0,5
+)
3
1 3
x ln ) x (ln xd ln dx x
x
1
3 e
1 2 e
1
2
Do đó I = 1 +
3
4 3
1
0,5
] 3
; 2 [ 0 x 1 e 0 2 e 2 0 ) x ( ' f , 2 e 2 )
x
(
'
O
x
y
2 1 1
Trang 39 e ) 3 ( , 4 ) 0 ( , 1 e )
2
VËy max (x) ( 2) e 1, min (x) (0) 4
] 3
; 2 [
4 ]
3
; 2
Do hai mÆt ph¼ng (SAB) vµ (SAC) cïng vu«ng gãc víi (ABC) nªn SA (ABC)
120 cos AC AB 2 AC AB
AC a 2 AB AB
3 )
a
3
2
0,25
+) Do SA (ABC) nªn gãc gi÷a SB vµ (ABC) lµ SBA, suy ra SBA = 600
SAAB tan SBA2a.tan 60 2 3a
0,25
2
3 a 2 a 2 2
1 120 sin AC AB 2
1
ABC 2 3 a a 3 2 a 3
1 S
SA 3
1
§êng th¼ng d ®i qua M(1; 0; - 2) vµ cã vect¬ chØ ph¬ng u ( 2 ; 1 ; 3 ) 0,25 MÆt ph¼ng (P) cã vect¬ ph¸p tuyÕn n ( 1 ; 2 ; 2 )
0 6 6 2 2 n
.
(Q) ®i qua M vµ cã vect¬ ph¸p tuyÕn n Q [ u ; n ] ( 8 ; 1 ; 5 ) 0,25 (Q) cã ph¬ng tr×nh 8 ( x 1 ) ( y 0 ) 5 ( z 2 ) 0 x y 5 z 2 0 0,25
Gäi I lµ t©m cña mÆt cÇu (S) cÇn t×m, do I d nªn I ( 1 2 ; ; 2 3 t )
4 4 1
1 ) t 3 2 ( 2 t 2 t 2 1 R )) P ( , I
1
t 3 t 12 6 t
+) Víi t = 3 th× I = (-5; 3; 7) suy ra (S): ( x 5 ) 2 ( y 3 ) 2 ( z 7 ) 2 16
+) Víi t = -1 th× I = (3; -1; - 5) suy ra (S): ( x 3 )2 ( y 1 )2 ( z 5 )2 16 0,25
Ph¬ng tr×nh z2 z 1 0
2
3 2
1 z , i 2
3 2
1
1 2
3 2
1 z
, 1 2
3 2
1 z
2 2
2
2 2
S
A
B
C
Trang 44b 1 Viết phơng trình mặt phẳng ( ) 1,00
Đờng thẳng d1 đi qua M1(1; 0; -2) và có vectơ chỉ phơng u1 (2;1;3)
Đờng thẳng d2 đi qua M2(-1; 2; -3) và có vectơ chỉ phơng u2 ( 2 ; 1 ; 1 )
0,25
) 4
; 4
; 4 ( ] u
,
u
0 20 4 8 8 M M ].
u
,
u
Do đó d1 và d2 chéo nhau
0,25
+) Mặt phẳng () đi qua M1 và có vectơ pháp tuyến n [ u1; u2] ( 4 ; 4 ; 4 ) 0,25 () có phơng trình 4 ( x 1 ) 4 ( y 0 ) 4 ( z 2 ) 0 x y z 1 0 0,25
Do A = d1 (Oxz)nên tọa độ của A là nghiệm của hệ
0 y
3 2 z 1 y 2 1 x
) 2
; 0
; 1
(
, AM2 (2;2;1),[u2,AM2](1;4;6)
0,5
Khoảng cách từ A đến d2 là
6
53 1
1 4 36 16 1 u
] AM , u [ ) d , A ( d
2
2 2
Mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với d2 có bán kính
6
53 )
d
; A ( d
(S) có phơng trình:
6
53 ) 2 z ( y ) 1 x ( 2 2 2
0,25
Phơng trình z2 z10 có 2
i 3 3 4
1
2
3 2
1 z , 2
3 2
1
2010 2010
2010 2 2100
1
3 sin i 3
cos 3
sin i 3 cos z
0,25
2 ) 670 sin(
i ) 670 cos(
670 sin i 670
Do đó B z z 2010 2 2
2 2010
