Một số bài toán hay của lớp 6Bài 1 Tìm hai chữ số tận cùng của tổng sau : S= Bài 2 Tổng sau có thể là số chính phương ko?. Một bài toán giải bằng lời Bài 1: Có 3 bình, nếu đổ đầy nước và
Trang 11 Một số bài toán hay của lớp 6
Bài 1
Tìm hai chữ số tận cùng của tổng sau : S=
Bài 2
Tổng sau có thể là số chính phương ko? Giải thích
Bài3
Vào lúc 12h hai kim phút va kim giờ trùng nhau Hỏi sau it nhất thời gian bao lâu kim phút va kim giờ lại trùng nhau?
Bài4
Cho A=30!
B=31.32.33.34 59.60
chứng minh B- Achia hết cho 61
Bài5
Có hay ko tồn tại các số nguyên sao cho
Bài6
Tồn tại hay ko 1 số lớn hơn 10 la số chinh phương mà tất cả các chữ số của chúng đều giống nhau?
2 Một bài toán giải bằng lời
Bài 1:
Có 3 bình, nếu đổ đầy nước vào bình thứ nhất rồi rót hết lượng nước đó vào hai bình còn lại, ta thấy: Nếu bình thứ hai đầy thì bình thứ ba chỉ được 1/3 dung tích Nếu bình thứ ba
Trang 2đầy thì bình thứ hai chỉ được 1/2 dung tích Tính dung tích mỗi bình, biết rằng tổng dung tích ba bình là 180 lít
Bài 2:
Một lớp học có chưa đến 50 học sinh Cuối năm xếp loại học lực gồm 3 loại: Giỏi, Khá, Trung bình, trong đó 1/16 số học sinh của lớp xếp loại trung bình, 5/6 số học sinh của lớp xếp loại giỏi, còn lại xếp loại khá Tính số học sinh khá của lớp
Bài 3:
Xếp loại văn hoá của lớp 6A có 2 loại giỏi và khá cuối học kì I tỉ số giữa học sinh giỏi
và khá là cuối học kì II có thêm 1 học sinh khá trở thành loại giỏi Nên tỉ số giữa học sinh giỏi và khá là Tính số học sinh của lớp ?
Bài 4:
Ba bạn Hồng, Lan, Huệ chia nhau một số kẹo đựng trong 6 gói Gói thứ nhất có 31 chiếc, gói thứ hai có 20 chiếc, gói thứ ba có 19 chiếc, gói thứ tư có 18 chiếc, gói thứ năm có 16 chiếc, gói thứ 6 có 15 chiếc Hồng và Lan đã nhận được 5 gói và số kẹo của Hồng gấp đôi số kẹo của Lan Tính số kẹo nhận được của mỗi bạn
Bài 5:
Ba xe ô tô bắt đầu cùng khởi hành lúc 6 giờ sáng, từ cùng một bến Thời gian cả đi và về của xe thứ nhất là 42 phút, của xe thứ hai là 48 phút, của xe thứ ba là 36 phút Mỗi
chuyến khi trở về bến, xe thứ nhất nghỉ 8 phút rồi đi tiếp, xe thứ hai nghỉ 12 phút rồi đi tiếp, xe thứ ba nghỉ 4 phút rồi đi tiếp Hỏi 3 xe lại cùng khởi hành từ bến lần thứ hai lúc mấy giờ ?
Bài 6:
Một người nói với bạn: “Nếu tôi sống đến 100 tuổi thì của số tuổi của tôi sẽ lớn hơn của thời gian tôi còn phải sống là 3” Hỏi người ấy bây giờ bao nhiêu tuổi ? b) Một số tự nhiên chia cho 4 thì dư 3, chia cho 17 thì dư 9 còn chia cho 19 dư 13 Hỏi số
đó chia cho 1292 thì dư bao nhiêu ?
3 Một số đề thi Toán 6
Đề thi năm 2002-2003
Trang 3Bài 1 Rút gọn các biểu thức
a) P =
b) Q = 1.3.5 + 3.5.7+ 5.7.9+ 7.9.11+ …+ 101.103.105
Bài 2 a) Chứng minh rằng với N , số A = cũng là số tự nhiên
b) Chứng minh rằng có duy nhất 1 số tự nhiên n sao cho số A nói trên có thể viết dưới dạng 2 3 m – 1 + ( -1 )m với m là số tự nhiên
Bài 3 Trên cạnh O x của góc xOy lấy 12 điểm, trên cạnh Oy lấy 2003 điểm, các điểm
đều khác O và đôi 1 khác nhau Vẽ tất cả các đoạn thẳng nối các điểm đã lấy trên O x với các điểm đã lấy trên Oy Biết rằng không có 3 đoạn nào cùng đi qua 1 điểm khác với đầu của các đoạn thẳng Hãy tính số giao điểm của các đoạn thẳng
( Không kể các giao điểm tại đầu của các đoạn thẳng )
Bài 4 Một hội nghị quốc tế có 2003 người tham dự Mỗi người nói được nhiều nhất 5
ngôn ngữ Trong 3 người bất kì có ít nhất 2 người nói cùng 1 ngôn ngữ Chứng minh rằng
có 1 ngôn ngữ được ít nhất 202 người biết
Năm học 2001-2002
Bài 1 Có 20 viên bi trong đó có 10 bi đỏ, 5 bi xanh còn lại là bi vàng và bi trắng, được
phân cho 20 bạn mỗi bạn 1 bi đem giấu kín vào trong tíu áo và không để cho bạn Toán biết
Hỏi bạn Toán phải chọn ra ít nhất bao nhiêu bạn cùng 1 lúc để chắc chắn có 5 bi cùng màu?
Bài 2 Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau là những phân số tối giản:
Bài 3 Tìm giá trị tự nhiên của n để phân số sau B =
a) Có giá trị lớn nhất b) Có giá trị là số tự nhiên
Bài 4 Cho 51 số tự nhiên khác 0, đôi 1 khác nhau và đều nhỏ hơn 100
0 < a1 < a2 < a3 < … < a51 < 100 Chứng tỏ rằng ỷtong 51 số đã cho bao giờ cũng tìm được 3 số sao cho có 1 số bằng tổng của 2 số còn lại
Trang 4Bài 5 Tìm 8 chữ số tận cùng của tích gồm 30 số tự nhiên liên tiếp đầu tiên: N = 1.2.3.4
… 30
Cách giải bài 1
p=
p =
P=
P=
4 Một số bài toán chia hết
Bài 1: Chứng minh rằng (3n)100 chia hết cho 81 với mọi số tự nhiên n
Bài 2: Chứng minh rằng : 165 + 215 chia hết cho 33
Bài 3: Chứng minh (495a + 1035b) chia hết cho 45 với mọi a , b là số tự nhiên
Bài 4: Tìm tất cả các số x, y để có số chia hết cho 36
Bài 5: Tìm số tự nhiên n để (3n + 14) chia hết cho (n + 2).
Bài 6: Tìm số tự nhiên n để là số tự nhiên
Giải:
Bài 1:
Ta có (3n)100 = 31000 n1000 = 34.3996.n1000 = 81.3996.n1000
Vì 81 chia hết cho 81 nên 81.3996.n1000 chia hết cho 81
(3n)1000 chia hết cho 81
Bài 2:
Trang 5Ta có : 165 + 215 = (24)5 + 215 = 220 + 215 = 215(25+1) = 215 33
Vì 33 chia hết cho 33 215 33 chia hết cho 33
Vậy 165 + 215 chia hết cho 33
Bài 3:
Vì 495 chia hết cho 9 nên 1980.a chia hết cho 9 với mọi a
Vì 1035 chia hết cho 9 nên 1035.b chia hết cho 9 với mọi b
Nên: (495a + 1035b) chia hết cho 9
Chứng minh tương tự ta có: (1980a + 1995b) chia hết cho 5 với mọi a, b
Mà (9, 5) = 1
(495a + 1035b) chia hết cho 45
Bài 4:
Vì (4, 9) = 1 nên chia hết cho 36 chia hết cho 9 và chia hết cho 4
Ta có: chia hết cho 4 5y chia hết cho 4 y
chia hết cho 9 (3 + 4 + x + 5 + y) chia hết cho 9
(9 + 13 + x + y) chia hết cho 9 (3 + x + y) chia hết cho 9
Vì x, y N và 0 x; y 9 Nên x + y
Nếu y = 2 thì x = 4 hoặc x = 13 ( > 9 - Loại )
Nếu y = 6 thì x = 0 hoặc x = 9
Vậy các số phải tìm là: 34452; 34056; 34956
Bài 5:
Ta có 5n + 14 = 5.(n + 2) + 4
Mà 5(n +2) chia hết cho (n +2)
Trang 6Do đó (5n + 14) chia hết cho (n +2) 4 chia hết cho (n + 2)
Vậy thì (5n + 14) chia hết cho (n +2)
Bài 6:
=> [(n + 15) - (n + 3)] chia hết cho (n + 3)
=> 12 chia hết cho (n +3)
=>
Bài Toán của Napoleon
Vẽ ra ngoài tam giác ABC 3 tam giác đều có cạnh là 3 cạnh của tam giác ABC.Khi đó trọng tâm của 3 tam giác đều là một tam giác đều
Trang 7
Bài toán với những dãy số có quy luật.
Xuất phát từ một bài Toán trong sách giáo khoa như sau:
Tính: A = 1 + 2 + 3 + + 98 + 99 + 100
Ta thấy tổng A có100 số hạng, ta chia thành 50 nhóm, mỗi nhóm có tổng là 101 như sau:
A = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + + (50 + 51) = 101 + 101 + + 101 = 50.101 = 5050
Đây là bài Toán mà lúc lên 7 tuổi nhà Toán học Gauxơ đã tính rất nhanh tổng các số
Tự nhiên từ 1 đến 100 trước sự ngạc nhiên của thầy giáo và các bạn bè cùng lớp
Như vậy bài toán trên là cơ sở đầu tiên để chúng ta tìm hiểu và khai thác thêm rất nhiều các bài tập tương tự, được đưa ra ở nhiều dạng khác nhau, được áp dụng ở nhiều thể loại toán khác nhau nhưng chủ yếu là: tính toán, tìm số, so sánh, chứng minh Để giải quyết được các dạng toán đó chúng ta cần phải nắm được quy luật của dãy số, tìm được
số hạng tổng quát, ngoài ra cần phải kết hợp những công cụ giải toán khác nhau nữa Các bài toán được trình bày ở chuyên đề này được phân ra hai dạng chính, đó là:
- Dạng thứ nhất: Dãy số với các số hạng là số nguyên, phân số (hoặc số thập phân)
cách đều
- Dạng thứ hai: Dãy số với các số hạng không cách đều.
Sau đây là một số bài tập được phân thành các thể loại, trong đó đã phân thành
Dạng 1: Dãy số mà các số hạng cách đều.
Bài 1: Tính B = 1 + 2 + 3 + + 98 + 99
Nhận xét: Nếu học sinh nào có sự sáng tạo sẽ thấy ngay tổng: 2 + 3 + 4 + + 98
+ 99 có thể tính hoàn toàn tương tự như bài 1, cặp số ở giữa vẫn là 51 và 50, (vì tổng trên chỉ thiếu số 100) vậy ta viết tổng B như sau:
B = 1 + (2 + 3 + 4 + + 98 + 99) Ta thấy tổng trong ngoặc gồm 98 số hạng, nếu chia thành các cặp ta có 49 cặp nên tổng đó là: (2 + 99) + (3 + 98) + + (51 + 50) = 49.101 = 4949, khi đó B = 1 + 4949 = 4950
Lời bình: Tổng B gồm 99 số hạng, nếu ta chia các số hạng đó thành cặp (mỗi cặp
có 2 số hạng thì được 49 cặp và dư 1 số hạng, cặp thứ 49 thì gồm 2 số hạng nào? Số hạng
dư là bao nhiêu?), đến đây học sinh sẽ bị vướng mắc
Trang 8Ta có thể tính tổng B theo cách khác như sau:
Cách 2:
2B =100.99 B = 50.99 = 4950
Bài 2: Tính C = 1 + 3 + 5 + + 997 + 999
Lời giải:
Cách 1: Từ 1 đến 1000 có 500 số chẵn và 500 số lẻ nên tổng trên có 500 số lẻ Áp
dụng các bài trên ta có C = (1 + 999) + (3 + 997) + + (499 + 501) = 1000.250 =
250.000 (Tổng trên có 250 cặp số)
Cách 2: Ta thấy:
Quan sát vế phải, thừa số thứ 2 theo thứ tự từ trên xuống dưới ta có thể xác định được số các số hạng của dãy số C là 500 số hạng
Áp dụng cách 2 của bài trên ta có:
B = 1 + 2 + 3 + + 97 + 98 + 99
+
B = 99 + 98 + + 3 + 2 + 1
2B = 100 + 100 + + 100 + 100 + 100
999 = 2.500 - 1
Trang 92C = 1000.500 C = 1000.250 = 250.000
Bài 3 Tính D = 10 + 12 + 14 + + 994 + 996 + 998
Nhận xét: Các số hạng của tổng D đều là các số chẵn, áp dụng cách làm của bài
tập 3 để tìm số các số hạng của tổng D như sau:
Ta thấy:
Tương tự bài trên: từ 4 đến 498 có 495 số nên ta có số các số hạng của D là 495, mặt
khác ta lại thấy:
hay
số các số hạng = (số hạng đầu - số hạng cuối) : khoảng cách rồi cộng thêm 1
Khi đó ta có:
C = 1 + 3 + + 997 + 999
+
C = 999 + 997 + + 3 + 1
2C = 1000 + 1000 + + 1000 + 1000
D = 10 + 12 + + 996 + 998
+
D = 998 + 996 + + 12 + 10
2D = 1008 + 1008 + + 1008 +
1008
Trang 102D = 1008.495 D = 504.495 = 249480
Thực chất
Qua các ví dụ trên , ta rút ra một cách tổng quát như sau: Cho dãy số cách đều u1, u2, u3, un (*), khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp của dãy là d,
Khi đó số các số hạng của dãy (*) là: (1)
Tổng các số hạng của dãy (*) là
Đặc biệt từ công thức (1) ta có thể tính được số hạng thứ n của dãy (*) là:
un = u1 + (n - 1)d
Hoặc khi u1 = d = 1 thì
Bài tập:
Bài 1:
Bài 2: Tính
Trang 11Bài 5: Chứng minh rằng: thì:
MỘT SỐ THỦ THUẬT KHI DẠY TIN 6