Sổ tích luỹ kinh nghiệm THCS

1. Một số bài toán hay của lớp 6 Bài 1 Tìm hai chữ số tận cùng của tổng sau : S= Bài 2 Tổng sau có thể là số chính phương ko? Giải thích. Bài3 Vào lúc 12h hai kim phút va kim giờ trùng nhau. Hỏi sau it nhất thời gian bao lâu kim phút va kim giờ lại trùng nhau? Bài4 Cho A=30! B=31.32.33.34 59.60 chứng minh B- Achia hết cho 61 Bài5 Có hay ko tồn tại các số nguyên sao cho Bài6 Tồn tại hay ko 1 số lớn hơn 10 la số chinh phương mà tất cả các chữ số của chúng đều giống nhau? 2. Một bài toán giải bằng lời Bài 1: Có 3 bình, nếu đổ đầy nước vào bình thứ nhất rồi rót hết lượng nước đó vào hai bình còn lại, ta thấy: Nếu bình thứ hai đầy thì bình thứ ba chỉ được 1/3 dung tích. Nếu bình thứ ba 1 đầy thì bình thứ hai chỉ được 1/2 dung tích. Tính dung tích mỗi bình, biết rằng tổng dung tích ba bình là 180 lít. Bài 2: Một lớp học có chưa đến 50 học sinh. Cuối năm xếp loại học lực gồm 3 loại: Giỏi, Khá, Trung bình, trong đó 1/16 số học sinh của lớp xếp loại trung bình, 5/6 số học sinh của lớp xếp loại giỏi, còn lại xếp loại khá. Tính số học sinh khá của lớp. Bài 3: Xếp loại văn hoá của lớp 6A có 2 loại giỏi và khá cuối học kì I tỉ số giữa học sinh giỏi và khá là cuối học kì II có thêm 1 học sinh khá trở thành loại giỏi. Nên tỉ số giữa học sinh giỏi và khá là . Tính số học sinh của lớp ? Bài 4: Ba bạn Hồng, Lan, Huệ chia nhau một số kẹo đựng trong 6 gói. Gói thứ nhất có 31 chiếc, gói thứ hai có 20 chiếc, gói thứ ba có 19 chiếc, gói thứ tư có 18 chiếc, gói thứ năm có 16 chiếc, gói thứ 6 có 15 chiếc. Hồng và Lan đã nhận được 5 gói và số kẹo của Hồng gấp đôi số kẹo của Lan. Tính số kẹo nhận được của mỗi bạn. Bài 5: Ba xe ô tô bắt đầu cùng khởi hành lúc 6 giờ sáng, từ cùng một bến. Thời gian cả đi và về của xe thứ nhất là 42 phút, của xe thứ hai là 48 phút, của xe thứ ba là 36 phút. Mỗi chuyến khi trở về bến, xe thứ nhất nghỉ 8 phút rồi đi tiếp, xe thứ hai nghỉ 12 phút rồi đi tiếp, xe thứ ba nghỉ 4 phút rồi đi tiếp. Hỏi 3 xe lại cùng khởi hành từ bến lần thứ hai lúc mấy giờ ? Bài 6: Một người nói với bạn: “Nếu tôi sống đến 100 tuổi thì của số tuổi của tôi sẽ lớn hơn của thời gian tôi còn phải sống là 3”. Hỏi người ấy bây giờ bao nhiêu tuổi ? b) Một số tự nhiên chia cho 4 thì dư 3, chia cho 17 thì dư 9 còn chia cho 19 dư 13. Hỏi số đó chia cho 1292 thì dư bao nhiêu ? 3. Một số đề thi Toán 6 Đề thi năm 2002-2003 2 Bài 1. Rút gọn các biểu thức a) P = b) Q = 1.3.5 + 3.5.7+ 5.7.9+ 7.9.11+ …+ 101.103.105 Bài 2. a) Chứng minh rằng với N , số A = cũng là số tự nhiên. b) Chứng minh rằng có duy nhất 1 số tự nhiên n sao cho số A nói trên có thể viết dưới dạng 2. 3 m – 1 + ( -1 ) m với m là số tự nhiên. Bài 3. Trên cạnh O x của góc xOy lấy 12 điểm, trên cạnh Oy lấy 2003 điểm, các điểm đều khác O và đôi 1 khác nhau. Vẽ tất cả các đoạn thẳng nối các điểm đã lấy trên O x với các điểm đã lấy trên Oy. Biết rằng không có 3 đoạn nào cùng đi qua 1 điểm khác với đầu của các đoạn thẳng. Hãy tính số giao điểm của các đoạn thẳng ( Không kể các giao điểm tại đầu của các đoạn thẳng ). Bài 4. Một hội nghị quốc tế có 2003 người tham dự. Mỗi người nói được nhiều nhất 5 ngôn ngữ. Trong 3 người bất kì có ít nhất 2 người nói cùng 1 ngôn ngữ. Chứng minh rằng có 1 ngôn ngữ được ít nhất 202 người biết. Năm học 2001-2002 Bài 1. Có 20 viên bi trong đó có 10 bi đỏ, 5 bi xanh còn lại là bi vàng và bi trắng, được phân cho 20 bạn mỗi bạn 1 bi đem giấu kín vào trong tíu áo và không để cho bạn Toán biết. Hỏi bạn Toán phải chọn ra ít nhất bao nhiêu bạn cùng 1 lúc để chắc chắn có 5 bi cùng màu? Bài 2. Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau là những phân số tối giản: Bài 3. Tìm giá trị tự nhiên của n để phân số sau B = a) Có giá trị lớn nhất b) Có giá trị là số tự nhiên Bài 4. Cho 51 số tự nhiên khác 0, đôi 1 khác nhau và đều nhỏ hơn 100 0 < a 1 < a 2 < a 3 < … < a 51 < 100. Chứng tỏ rằng ỷtong 51 số đã cho bao giờ cũng tìm được 3 số sao cho có 1 số bằng tổng của 2 số còn lại. 3 Bài 5. Tìm 8 chữ số tận cùng của tích gồm 30 số tự nhiên liên tiếp đầu tiên: N = 1.2.3.4. … . 30 Cách giải bài 1 p= p = P= P= 4. Một số bài toán chia hết Bài 1: Chứng minh rằng (3n) 100 chia hết cho 81 với mọi số tự nhiên n. Bài 2: Chứng minh rằng : 16 5 + 2 15 chia hết cho 33. Bài 3: Chứng minh (495a + 1035b) chia hết cho 45 với mọi a , b là số tự nhiên Bài 4: Tìm tất cả các số x, y để có số chia hết cho 36 Bài 5: Tìm số tự nhiên n để (3n + 14) chia hết cho (n + 2). Bài 6: Tìm số tự nhiên n để là số tự nhiên . Giải: Bài 1: Ta có (3n) 100 = 3 1000 . n 1000 = 3 4 .3 996 .n 1000 = 81.3 996 .n 1000 . Vì 81 chia hết cho 81 nên 81.3 996 .n 1000 chia hết cho 81. (3n) 1000 chia hết cho 81 Bài 2: 4 Ta có : 16 5 + 2 15 = (2 4 ) 5 + 2 15 = 2 20 + 2 15 = 2 15 (2 5 +1) = 2 15 . 33 Vì 33 chia hết cho 33 2 15 . 33 chia hết cho 33 Vậy 16 5 + 2 15 chia hết cho 33. Bài 3: Vì 495 chia hết cho 9 nên 1980.a chia hết cho 9 với mọi a. Vì 1035 chia hết cho 9 nên 1035.b chia hết cho 9 với mọi b. Nên: (495a + 1035b) chia hết cho 9. Chứng minh tương tự ta có: (1980a + 1995b) chia hết cho 5 với mọi a, b. Mà (9, 5) = 1. (495a + 1035b) chia hết cho 45 Bài 4: Vì (4, 9) = 1 nên chia hết cho 36 chia hết cho 9 và chia hết cho 4. Ta có: chia hết cho 4 5y chia hết cho 4 y chia hết cho 9 (3 + 4 + x + 5 + y) chia hết cho 9. (9 + 13 + x + y) chia hết cho 9. (3 + x + y) chia hết cho 9 Vì x, y N và 0 x; y 9 Nên x + y Nếu y = 2 thì x = 4 hoặc x = 13 ( > 9 - Loại ). Nếu y = 6 thì x = 0 hoặc x = 9. Vậy các số phải tìm là: 34452; 34056; 34956. Bài 5: Ta có 5n + 14 = 5.(n + 2) + 4. Mà 5(n +2) chia hết cho (n +2). 5 Do đó (5n + 14) chia hết cho (n +2) 4 chia hết cho (n + 2) Vậy thì (5n + 14) chia hết cho (n +2). Bài 6: => [(n + 15) - (n + 3)] chia hết cho (n + 3). => 12 chia hết cho (n +3) => Bài Toán của Napoleon Vẽ ra ngoài tam giác ABC 3 tam giác đều có cạnh là 3 cạnh của tam giác ABC.Khi đó trọng tâm của 3 tam giác đều là một tam giác đều. 6 Bài toán với những dãy số có quy luật. Xuất phát từ một bài Toán trong sách giáo khoa như sau: Tính: A = 1 + 2 + 3 + + 98 + 99 + 100 Ta thấy tổng A có100 số hạng, ta chia thành 50 nhóm, mỗi nhóm có tổng là 101 như sau: A = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + + (50 + 51) = 101 + 101 + + 101 = 50.101 = 5050. Đây là bài Toán mà lúc lên 7 tuổi nhà Toán học Gauxơ đã tính rất nhanh tổng các số Tự nhiên từ 1 đến 100 trước sự ngạc nhiên của thầy giáo và các bạn bè cùng lớp. Như vậy bài toán trên là cơ sở đầu tiên để chúng ta tìm hiểu và khai thác thêm rất nhiều các bài tập tương tự, được đưa ra ở nhiều dạng khác nhau, được áp dụng ở nhiều thể loại toán khác nhau nhưng chủ yếu là: tính toán, tìm số, so sánh, chứng minh. Để giải quyết được các dạng toán đó chúng ta cần phải nắm được quy luật của dãy số, tìm được số hạng tổng quát, ngoài ra cần phải kết hợp những công cụ giải toán khác nhau nữa. Các bài toán được trình bày ở chuyên đề này được phân ra hai dạng chính, đó là: - Dạng thứ nhất: Dãy số với các số hạng là số nguyên, phân số (hoặc số thập phân) cách đều - Dạng thứ hai: Dãy số với các số hạng không cách đều. Sau đây là một số bài tập được phân thành các thể loại, trong đó đã phân thành Dạng 1: Dãy số mà các số hạng cách đều. Bài 1: Tính B = 1 + 2 + 3 + + 98 + 99 Nhận xét: Nếu học sinh nào có sự sáng tạo sẽ thấy ngay tổng: 2 + 3 + 4 + + 98 + 99 có thể tính hoàn toàn tương tự như bài 1, cặp số ở giữa vẫn là 51 và 50, (vì tổng trên chỉ thiếu số 100) vậy ta viết tổng B như sau: B = 1 + (2 + 3 + 4 + + 98 + 99). Ta thấy tổng trong ngoặc gồm 98 số hạng, nếu chia thành các cặp ta có 49 cặp nên tổng đó là: (2 + 99) + (3 + 98) + + (51 + 50) = 49.101 = 4949, khi đó B = 1 + 4949 = 4950 Lời bình: Tổng B gồm 99 số hạng, nếu ta chia các số hạng đó thành cặp (mỗi cặp có 2 số hạng thì được 49 cặp và dư 1 số hạng, cặp thứ 49 thì gồm 2 số hạng nào? Số hạng dư là bao nhiêu?), đến đây học sinh sẽ bị vướng mắc. 7 Ta có thể tính tổng B theo cách khác như sau: Cách 2: 2B =100.99 B = 50.99 = 4950 Bài 2: Tính C = 1 + 3 + 5 + + 997 + 999 Lời giải: Cách 1: Từ 1 đến 1000 có 500 số chẵn và 500 số lẻ nên tổng trên có 500 số lẻ. Áp dụng các bài trên ta có C = (1 + 999) + (3 + 997) + + (499 + 501) = 1000.250 = 250.000 (Tổng trên có 250 cặp số) Cách 2: Ta thấy: Quan sát vế phải, thừa số thứ 2 theo thứ tự từ trên xuống dưới ta có thể xác định được số các số hạng của dãy số C là 500 số hạng. Áp dụng cách 2 của bài trên ta có: B = 1 + 2 + 3 + + 97 + 98 + 99 + B = 99 + 98 + + 3 + 2 + 1 2B = 100 + 100 + + 100 + 100 + 100 1 = 2.1 - 1 3 = 2.2 - 1 5 = 2.3 - 1 999 = 2.500 - 1 8 2C = 1000.500 C = 1000.250 = 250.000 Bài 3. Tính D = 10 + 12 + 14 + + 994 + 996 + 998 Nhận xét: Các số hạng của tổng D đều là các số chẵn, áp dụng cách làm của bài tập 3 để tìm số các số hạng của tổng D như sau: Ta thấy: Tương tự bài trên: từ 4 đến 498 có 495 số nên ta có số các số hạng của D là 495, mặt khác ta lại thấy: hay số các số hạng = (số hạng đầu - số hạng cuối) : khoảng cách rồi cộng thêm 1 Khi đó ta có: C = 1 + 3 + + 997 + 999 + C = 999 + 997 + + 3 + 1 2C = 1000 + 1000 + + 1000 + 1000 10 = 2.4 + 2 12 = 2.5 + 2 14 = 2.6 + 2 998 = 2.498 + 2 D = 10 + 12 + + 996 + 998 + D = 998 + 996 + + 12 + 10 2D = 1008 + 1008 + + 1008 + 1008 9 2D = 1008.495 D = 504.495 = 249480 Thực chất Qua các ví dụ trên , ta rút ra một cách tổng quát như sau: Cho dãy số cách đều u 1 , u 2 , u 3 , u n (*), khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp của dãy là d, Khi đó số các số hạng của dãy (*) là: (1) Tổng các số hạng của dãy (*) là Đặc biệt từ công thức (1) ta có thể tính được số hạng thứ n của dãy (*) là: u n = u 1 + (n - 1)d Hoặc khi u 1 = d = 1 thì Bài tập: Bài 1: Bài 2: Tính 10 . đầy thì bình thứ ba chỉ được 1/3 dung tích. Nếu bình thứ ba 1 đầy thì bình thứ hai chỉ được 1/2 dung tích. Tính dung tích mỗi bình, biết rằng tổng dung tích ba bình là 180 lít. Bài 2: Một lớp. cũng tìm được 3 số sao cho có 1 số bằng tổng của 2 số còn lại. 3 Bài 5. Tìm 8 chữ số tận cùng của tích gồm 30 số tự nhiên liên tiếp đầu tiên: N = 1.2.3.4. … . 30 Cách giải bài 1 p= p = P= P= 4.