PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG 1 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Dạng 1: Phương trình: 2
1a x 2a x 3 0
Đặt t a x, điều kiện t >0
Dạng 2: Phương trình: 1 x 2 x 3 0
, với a b 1 Đặt t a x, điều kiện t >0, suy ra b x 1
t
Dạng 3: Phương trình: 2 2
1a x 2 ab x 3b x 0
Chia hai vế của phương trình cho b 2x 0 (hoặc a2x,abx)
Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 2 1 2 1
7.2 x 20.2x 12 0
Đặt 2 1
2x
Khi đó pt (1) có dạng:
2
2
7
x
t
Vậy, pt có nghiệm
Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 12
cot sin
Điều kiện: sinx 0 x k k Z ,
2
1
1 cot
sin x x, nên pt (1) được viết lại dưới dạng:
2cot cot
Đặt t 2 cot 2x, vì cot 2 x 0 2 cot2x 2 0 t 1
Khi đó pt (2) có dạng:
2
x t
Nghiệm đó thỏa mãn (*)
Vậy, pt có nghiệm
Ví dụ 3: Giải phương trình: 2 3 2 3 4 1
Nhận xét rằng: 2 3 2 3 2 3 2 3 1
Đặt 2 3
x
t , điều kiện t > 0 2 3 1
x t
Khi đó pt (1) có dạng:
Trang 2
2
2
1 2
1
1
2
2 1
x
x
x
x
t
x
x
Vậy, pt có nghiệm
Ví dụ 4: Giải phương trình: 7 4 3 x 3 2 3x 2 0 1
Nhận xét rằng:
2
Đặt t 2 3x, điều kiện t > 0 2 3x 1
t
và 7 4 3 2 32 t2
Khi đó pt (1) có dạng:
3
1 3
3
t
t
x
Vậy, pt có nghiệm
Ví dụ 5: Giải phương trình: 3 5x 16 3 5x 2x3 1
Chia 2 vế của phương trình cho 2x 0
, ta được:
Nhận xét rằng: 3 5 3 5 1
Đặt 3 5
2
x
t
, điều kiện t > 0 3 5 1
2
x t
Khi đó pt (2) có dạng:
2
3 5 2
2
x
t t t x
Vậy, pt có nghiệm
Ví dụ 6: Giải phương trình: 2.4x2 1 6x2 1 9x2 1 1
Biến đổi phương trình về dạng:
2 2 2
2.2 x 2.3 x 3 x 2
Chia hai vế của phương trình cho 2 2 1
2 x 0, ta được:
Trang 3Đặt
1
3
2
x
t
, vì
1 1
x
Khi đó pt (3) có dạng:
2 1
x t
Vậy, pt có nghiệm
Ví dụ 7: Giải phương trình: 2 2x2 1 9.2x2x 2 2x 2 0 1
Chia hai vế của phương trình cho 2 2x2 0
, ta được:
2 2
2 2
Đặt 2
2x x
, điều kiện t > 0
Khi đó pt (2) có dạng:
2
2
2
2 1
4
2 1
2
x x
x x
t
x
Vậy, pt có nghiệm
Ví dụ 8: Giải phương trình: 3
3 1
2 2
x x
Viết lại phương trình dưới dạng:
3
3
3
Đặt 2 2
2
x
x
3 3
3
Khi đó pt (1) có dạng:
2
x x
t t t t
Lại đặt u 2x, điều kiện u > 0
Khi đó pt (2) có dạng:
2
x
u
Vậy, pt có nghiệm
Ví dụ 9: Giải phương trình: 1 1 2 2x 1 2 1 2 2x.2x
Điều kiện: 1 2 2x 0 0 2 2x 1 x 0
Đặt 2x sint, với 0,
2
t
Khi đó phương trình có dạng:
1 1 sin t 1 2 1 sin t .sint
Trang 4
2
3
3
2
0
s
2
x x
t
cos
t
x x
in
Vậy, pt có nghiệm
Ví dụ 10: Giải phương trình:
2
7
6 0,7 7 100
x
x
Biến đổi phương trình về dạng:
2
Đặt 7
10
x
t
, điều kiện t >0
Khi đó pt (1) có dạng:
2
7 10
x t
Vậy, pt có nghiệm
Ví dụ 11: Giải phương trình:
1
Biến đổi phương trình về dạng:
12 0
3
x
t
Khi đó pt (1) có dạng:
x t
Vậy, pt có nghiệm
Biến đổi phương trình về dạng:
2 x 2x 2x 16
2
2.2 x 6.2x 8 0 1
Khi đó pt (1) có dạng:
Trang 5
1
x t
Vậy, pt có nghiệm
3 x 3 x 4 0
Biến đổi phương trình về dạng:
3
3
x
x
Khi đó pt (1) có dạng:
3
Vậy, pt có vô nghiệm
Ví dụ 14: Giải phương trình: 125x 50x 2 3x1
Biến đổi phương trình về dạng:
125x 50x 2.8x 1
Chia hai vế của phương trình (1) cho 8x 0
, ta được:
2
Đặt 5
2
x
t
, điều kiện t > 0
Khi đó pt (2) có dạng:
2
x t
Vậy, pt có nghiệm
Ví dụ 15: Giải phương trình:
Nhận xét rằng: 7 4 3 7 4 3 7 4 3 7 4 3 1
Đặt 7 4 3sin
x
t , điều kiện t > 0 7 4 3sin 1
x t
Khi đó pt (1) có dạng:
sin
sin 2
2
2 3 1
x x
t
sinx
x
Vậy, pt có nghiệm
Trang 6Ví dụ 16: Giải phương trình: 5 24 x 5 24x 10 1
Nhận xét rằng: 5 24 5 24 1
Đặt t 5 24x, điều kiện t > 0 5 24x 1
t
Khi đó pt (1) có dạng:
1
1
t
1
1
x
x
Vậy, pt có nghiệm
Ví dụ 17: Giải phương trình: 25x 10x 2 2x1
Viết lại phương trình dưới dạng:
5 x 2.5 x 2.2 x
Chia hai vế của phương trình cho 2 2x 0
, ta được:
2
Đặt 5
2
x
t
, điều kiện t > 0
Khi đó pt (2) có dạng:
x t
Vậy, pt có nghiệm
Ví dụ 18: Giải phương trình: 4.3 3x 3x 1 1 9x
Điều kiện: 1 9 x 0 0 9 x 1 x 0
Biến đổi phương trình về dạng:
4.3x 3.3x 1 3 x
Với điều kiện (*) thì 0 3x 1
Đặt cost 3x, với 0,
2
t
Khi đó pt (2) có dạng:
0 2
3 sin
2
2
8
t
k t
t k
Ta có:
Trang 72
cos
cos
Do đó:
3
x
Vậy, pt có nghiệm