CHUYÊN Đ : Ề PH NG PHÁP GI I PH NG TRÌNHVÔ TƯƠ Ả ƯƠ Ỉ
I. PH NG PHÁP BI N Đ I T NG Đ NG ƯƠ Ế Ổ ƯƠ ƯƠ
1. Bình ph ng 2 v c a ph ng trình ươ ế ủ ươ
a) Ph ng pháp ươ
Thông th ng n u ta g p ph ng trình d ng : ườ ế ặ ươ ạ
A B C D+ = +
, ta th ngườ
bình ph ng 2 v , đi u đó đôi khi l i g p khó khăn hãy gi i ví d sauươ ế ề ạ ặ ả ụ
( )
3 3 3 3
3 3
3 .A B C A B A B A B C+ = ⇒ + + + =
và ta s d ng phép th :ử ụ ế
3 3
A B C+ =
ta đ c ph ng trình: ượ ươ
3
3 . .A B A B C C+ + =
b) Ví d ụ
Bài 1. Gi i ph ng trình sau : ả ươ
3 3 1 2 2 2x x x x+ + + = + +
Gi i: Đk ả
0x
≥
Bình ph ng 2 v không âm c a ph ng trình ta đ c:ươ ế ủ ươ ượ
( ) ( ) ( )
1 3 3 1 2 2 1x x x x x+ + + = + +
, đ gi i ph ng trình này dĩ nhiên là không khóể ả ươ
nh ng h i ph c t p m t chút .ư ơ ứ ạ ộ
Ph ng trình gi i s r t đ n gi n n u ta chuy n v ph ng trình :ươ ả ẽ ấ ơ ả ế ể ế ươ
3 1 2 2 4 3x x x x+ − + = − +
Bình ph ng hai v ta có : ươ ế
2 2
6 8 2 4 12 1x x x x x+ + = + ⇔ =
Th l i x=1 th aử ạ ỏ
Nh n xét : ậ N u ph ng trình :ế ươ
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x h x k x+ = +
Mà có :
( ) ( ) ( ) ( )
f x h x g x k x+ = +
, thì ta bi n đ i ph ng trình v d ng :ế ổ ươ ề ạ
( ) ( ) ( ) ( )
f x h x k x g x− = −
sau đó bình ph ng ,gi i ph ng trình h qu ươ ả ươ ệ ả
Bài 2. Gi i ph ng trình sau : ả ươ
3
2
1
1 1 3
3
x
x x x x
x
+
+ + = − + + +
+
Gi i:ả
Đi u ki n : ề ệ
1x ≥ −
Bình ph ng 2 v ph ng trình ?ươ ế ươ
N u chuy n v thì chuy n nh th nào? ế ể ế ể ư ế
Ta có nh n xét : ậ
3
2
1
. 3 1. 1
3
x
x x x x
x
+
+ = − + +
+
, t nh n xét này ta có l i gi i nhừ ậ ờ ả ư
sau :
3
2
1
(2) 3 1 1
3
x
x x x x
x
+
⇔ − + = − + − +
+
Bình ph ng 2 v ta đ c: ươ ế ượ
3
2 2
1 3
1
1 2 2 0
3
1 3
x
x
x x x x
x
x
= −
+
= − − ⇔ − − = ⇔
+
= +
Th l i :ử ạ
1 3, 1 3x x= − = +
l nghi m ệ
Qua l i gi i trên ta có nh n xét : N u ph ng trình :ờ ả ậ ế ươ
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x h x k x+ = +
Mà có :
( ) ( ) ( ) ( )
. .f x h x k x g x=
thì ta bi n đ i ế ổ
( ) ( ) ( ) ( )
f x h x k x g x− = −
2. Tr c căn th c ụ ứ
2.1. Tr c căn th c đ xu t hi n nhân t chung ụ ứ ể ấ ệ ử
a) Ph ng pháp ươ
1
M t s ph ng trìnhvô t ta có th nh m đ c nghi m ộ ố ươ ỉ ể ẩ ượ ệ
0
x
nh v y ph ngư ậ ươ
trình luôn đ a v đ c d ng tích ư ề ượ ạ
( )
( )
0
0x x A x− =
ta có th gi i ph ng trìnhể ả ươ
( )
0A x =
ho c ch ng minh ặ ứ
( )
0A x =
vô nghi m , ệ chú ý đi u ki n c a nghi m c aề ệ ủ ệ ủ
ph ng trình đ ta có th đánh gía ươ ể ể
( )
0A x =
vô nghi mệ
b) Ví d ụ
Bài 1 . Gi i ph ng trình sau : ả ươ
( )
2 2 2 2
3 5 1 2 3 1 3 4x x x x x x x− + − − = − − − − +
Gi i: ả
Ta nh n th y : ậ ấ
( ) ( )
( )
2 2
3 5 1 3 3 3 2 2x x x x x− + − − − = − −
v
( ) ( )
( )
2 2
2 3 4 3 2x x x x− − − + = −
Ta có th tr c căn th c 2 v : ể ụ ứ ế
( )
2 2
2 2
2 4 3 6
2 3 4
3 5 1 3 1
x x
x x x
x x x x
− + −
=
− + − +
− + + − +
D dàng nh n th y x=2 là nghi m duy nh t c a ph ng trình .ể ậ ấ ệ ấ ủ ươ
Bài 2. Gi i ph ng trình sau ả ươ (OLYMPIC 30/4 đ ngh )ề ị :
2 2
12 5 3 5x x x+ + = + +
Gi i: ả Đ ph ng trình có nghi m thì : ể ươ ệ
2 2
5
12 5 3 5 0
3
x x x x+ − + = − ≥ ⇔ ≥
Ta nh n th y : x=2 là nghi m c a ph ng trình , nh v y ph ng trình có th phânậ ấ ệ ủ ươ ư ậ ươ ể
tích v d ng ề ạ
( ) ( )
2 0x A x− =
, đ th c hi n đ c đi u đó ta ph i nhóm , tách nh sau :ể ự ệ ượ ề ả ư
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
4 4
12 4 3 6 5 3 3 2
12 4 5 3
2 1
2 3 0 2
12 4 5 3
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
− −
+ − = − + + − ⇔ = − +
+ + + +
+ +
⇔ − − − = ⇔ =
÷
+ + + +
D dàng ch ng minh đ c : ễ ứ ượ
2 2
2 2 5
3 0,
3
12 4 5 3
x x
x
x x
+ +
− − < ∀ >
+ + + +
Bài 3. Gi i ph ng trình :ả ươ
2 33
1 1x x x− + = −
Gi i :Đk ả
3
2x ≥
Nh n th y x=3 là nghi m c a ph ng trình , nên ta bi n đ i ph ng trình ậ ấ ệ ủ ươ ế ổ ươ
( )
( )
( )
( )
2
2 3
3
2 3
2 2
3
3
3 3 9
3
1 2 3 2 5 3 1
2 5
1 2 1 4
x x x
x
x x x x
x
x x
− + +
+
− − + − = − − ⇔ − + =
− +
− + − +
Ta ch ng minh : ứ
( )
(
)
2
2
2 2 23 3
3
3 3
1 1 2
1 2 1 4 1 1 3
x x
x x x
+ +
+ = + <
− + − + − + +
2
3
3 9
2 5
x x
x
+ +
<
− +
V y pt có nghi m duy nh t x=3ậ ệ ấ
2.2. Đ a v “h t m “ư ề ệ ạ
a) Ph ng pháp ươ
N u ph ng trìnhvô t có d ng ế ươ ỉ ạ
A B C+ =
, mà :
A B C
α
− =
dây C có th là hàng s ,có th là bi u th c c a ở ể ố ể ể ứ ủ
x
. Ta có th gi i nh sau :ể ả ư
A B
C A B
A B
α
−
= ⇒ − =
−
, khi đĩ ta có h : ệ
2
A B C
A C
A B
α
α
+ =
⇒ = +
− =
b) Ví d ụ
2
Bài 4. Gi i ph ng trình sau :ả ươ
2 2
2 9 2 1 4x x x x x+ + + − + = +
Gi i:ả
Ta th y : ấ
( ) ( )
( )
2 2
2 9 2 1 2 4x x x x x+ + − − + = +
4x = −
không ph i là nghi m ả ệ
Xét
4x
≠ −
Tr c căn th c ta có :ụ ứ
2 2
2 2
2 8
4 2 9 2 1 2
2 9 2 1
x
x x x x x
x x x x
+
= + ⇒ + + − − + =
+ + − − +
V y ta có h : ậ ệ
2 2
2
2 2
0
2 9 2 1 2
2 2 9 6
8
2 9 2 1 4
7
x
x x x x
x x x
x
x x x x x
=
+ + − − + =
⇒ + + = + ⇔
=
+ + + − + = +
Th l i th a; v y ph ng trình có 2 nghi m : x=0 v x=ử ạ ỏ ậ ươ ệ
8
7
Bài 5. Gi i ph ng trình: ả ươ
2 2
2 1 1 3x x x x x+ + + − + =
Ta th y : ấ
( ) ( )
2 2 2
2 1 1 2x x x x x x+ + − − + = +
, nh v y không th a mãn đi u ki n trên.ư ậ ỏ ề ệ
Ta có th chia c hai v cho x và đ t ể ả ế ặ
1
t
x
=
thì bài toán tr nên đ n gi n h nở ơ ả ơ
Bài t p đ nghậ ề ị
Gi i các ph ng trình sau :ả ươ
1)
( )
2 2
3 1 3 1x x x x+ + = + +
2)
4 3 10 3 2x x− − = −
(HSG Toàn Qu c 2002)ố
3)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 5 2 10x x x x x− − = + − −
4)
23
4 1 2 3x x x+ = − + −
5)
2 33
1 3 2 3 2x x x− + − = −
6)
2
3
2 11 21 3 4 4 0x x x− + − − =
(OLYMPIC 30/4-2007)
7)
2 2 2 2
2 1 3 2 2 2 3 2x x x x x x x− + − − = + + + − +
8)
2 2
2 16 18 1 2 4x x x x+ + + − = +
9)
2 2
15 3 2 8x x x+ = − + +
3. Ph ng trình bi n đ i v tích ươ ế ổ ề
S d ng đ ng th c ử ụ ẳ ứ
( ) ( )
1 1 1 0u v uv u v+ = + ⇔ − − =
( ) ( )
0au bv ab vu u b v a+ = + ⇔ − − =
2 2
A B=
Bài 1. Gi i ph ng trình: ả ươ
23
3 3
1 2 1 3 2x x x x+ + + = + + +
Gi i:ả
( ) ( )
3 3
0
1 1 2 1 0
1
x
pt x x
x
=
⇔ + − + − = ⇔
= −
Bi 2. Gi i ph ng trình: ả ươ
2 23 3
3 3
1x x x x x+ + = + +
Gi i:ả
+
0x =
, không ph i là nghi m ả ệ
3
+
0x
≠
, ta chia hai v cho x:ế
( )
3 3 3
3 3
1 1
1 1 1 1 0 1
x x
x x x x
x x
+ +
+ = + + ⇔ − − = ⇔ =
÷
Bài 3. Gi i ph ng trình: ả ươ
2
3 2 1 2 4 3x x x x x x+ + + = + + +
Gi i: ả
: 1dk x ≥ −
pt
( ) ( )
1
3 2 1 1 0
0
x
x x x
x
=
⇔ + − + − = ⇔
=
Bài 4. Gi i ph ng trình: ả ươ
4
3 4
3
x
x x
x
+ + =
+
Gi i: ả
Đk:
0x
≥
Chia c hai v cho ả ế
3x +
:
2
4 4 4
1 2 1 0 1
3 3 3
x x x
x
x x x
+ = ⇔ − = ⇔ =
÷
+ + +
Dùng h ng đ ng th c ằ ẳ ứ
Bi n đ i ph ng trình v d ng :ế ổ ươ ề ạ
k k
A B=
Bài 1. Gi i ph ng trình: ả ươ
3 3x x x− = +
Gi i:ả
Đk:
0 3x≤ ≤
khi đó pt đ cho t ng đ ng :ươ ươ
3 2
3 3 0x x x+ + − =
3
3
1 10 10 1
3 3 3 3
x x
−
⇔ + = ⇔ =
÷
Bài 2. Gi i ph ng trình sau :ả ươ
2
2 3 9 4x x x+ = − −
Gi i:ả
Đk:
3x
≥ −
ph ng trình t ng đ ng :ươ ươ ươ
( )
2
2
1
3 1 3
1 3 9
5 97
3 1 3
18
x
x x
x x
x
x x
=
+ + =
+ + = ⇔ ⇔
− −
=
+ + = −
Bài 3. Gi i ph ng trình sau : ả ươ
( ) ( )
2
2
3
3
2 3 9 2 2 3 3 2x x x x x+ + = + +
Gi i : pttt ả
( )
3
3 3
2 3 0 1x x x⇔ + − = ⇔ =
II. PH NG PHÁP Đ T N PHƯƠ Ặ Ầ Ụ
1. Phư ng pháp đ t n ph thông th ng ơ ặ ẩ ụ ườ
Đ i v i nhi u ph ng trìnhvôvô t , đ gi i chúng ta có th đ t ố ớ ề ươ ỉ ể ả ể ặ
( )
t f x=
và chú
ý đi u ki n c a ề ệ ủ
t
n u ph ng trình ban đ u tr thành ph ng trình ch a m t bi n ế ươ ầ ở ươ ứ ộ ế
t
quan tr ng h n ta có th gi i đ c ph ng trình đó theo ọ ơ ể ả ượ ươ
t
thì vi c đ t ph xem nhệ ặ ụ ư
“hoàn toàn ” .Nói chung nh ng ph ng trình mà có th đ t hoàn toàn ữ ươ ể ặ
( )
t f x=
th ngườ
là nh ng ph ng trình d .ữ ươ ễ
Bài 1. Gi i ph ng trình: ả ươ
2 2
1 1 2x x x x− − + + − =
Đi u ki nề ệ :
1x ≥
Nh n xét. ậ
2 2
1. 1 1x x x x− − + − =
Đ t ặ
2
1t x x= − −
thì ph ng trình có d ng: ươ ạ
1
2 1t t
t
+ = ⇔ =
Thay vào tìm đ c ượ
1x
=
4
Bài 2. Gi i ph ng trình: ả ươ
2
2 6 1 4 5x x x− − = +
Gi iả
Đi u ki n: ề ệ
4
5
x ≥ −
Đ t ặ
4 5( 0)t x t= + ≥
thì
2
5
4
t
x
−
=
. Thay vào ta có ph ng trình sau:ươ
4 2
2 4 2
10 25 6
2. ( 5) 1 22 8 27 0
16 4
t t
t t t t t
− +
− − − = ⇔ − − + =
2 2
( 2 7)( 2 11) 0t t t t⇔ + − − − =
Ta tìm đ c b n nghi m là: ượ ố ệ
1,2 3,4
1 2 2; 1 2 3t t= − ± = ±
Do
0t
≥
nên ch nh n các gái tr ỉ ậ ị
1 3
1 2 2, 1 2 3t t= − + = +
T đó tìm đ c các nghi m c a ph ng trình l: ừ ượ ệ ủ ươ
1 2 2 3 vaø x x= − = +
Cách khác: Ta có th bình ph ng hai v c a ph ng trình v i đi u ki nể ươ ế ủ ươ ớ ề ệ
2
2 6 1 0x x− − ≥
Ta đ c: ượ
2 2 2
( 3) ( 1) 0x x x− − − =
, t đó ta tìm đ c nghi m t ng ng.ừ ượ ệ ươ ứ
Đ n gi n nh t là ta đ t : ơ ả ấ ặ
2 3 4 5y x− = +
và đ a v h đ i x ng (ư ề ệ ố ứ Xem ph n d t nầ ặ ẩ
ph đ a v h )ụ ư ề ệ
Bài 3. Gi i ph ng trình sau: ả ươ
5 1 6x x+ + − =
Đi u ki n: ề ệ
1 6x≤ ≤
Đ t ặ
1( 0)y x y= − ≥
thì ph ng trình tr thnh:ươ ở
2 4 2
5 5 10 20 0y y y y y+ + = ⇔ − − + =
( v i ớ
5)y ≤
2 2
( 4)( 5) 0y y y y⇔ + − − − =
1 21 1 17
,
2 2
(loaïi)y y
+ − +
⇔ = =
T đó ta tìm đ c các giá tr c a ừ ượ ị ủ
11 17
2
x
−
=
Bài 4. (THTT 3-2005) Gi i ph ng trình sau :ả ươ
( )
(
)
2
2004 1 1x x x= + − −
Gi i:ả đk
0 1x
≤ ≤
Đ t ặ
1y x= −
pttt
( )
( )
2
2
2 1 1002 0 1 0y y y y x⇔ − + − = ⇔ = ⇔ =
Bài 5. Gi i ph ng trình sau : ả ươ
2
1
2 3 1x x x x
x
+ − = +
Gi i:ả
Đi u ki n: ề ệ
1 0x− ≤ <
Chia c hai v cho x ta nh n đ c:ả ế ậ ượ
1 1
2 3x x
x x
+ − = +
Đ t ặ
1
t x
x
= −
, ta gi i đ c.ả ượ
Bài 6. Gi i ph ng trình: ả ươ
2 4 23
2 1x x x x+ − = +
Gi i: ả
0x =
không ph i là nghi m , Chia c hai v cho x ta đ c: ả ệ ả ế ượ
3
1 1
2x x
x x
− + − =
÷
Đ t t=ặ
3
1
x
x
−
, Ta có :
3
2 0t t+ − = ⇔
1 5
1
2
t x
±
= ⇔ =
5
( ) ( )
m m
a f x b f x c− + + =
ta có th đ t: ể ặ
( )
( )
m
m
u a f x
v b f x
= −
= +
t đó suy ra ừ
m m
u v a b+ = +
.
Khi đó ta có h ệ
m m
u v a b
u v c
+ = +
+ =
Bài t pậ : Gi i các ph ng trình sau: ả ươ
a)
3
2 1 1x x− = − −
b)
3
9 2 1x x− = − −
c)
2
1 ( 1) 0x x x x x x− − − − + − =
b) D ng ph ng trình ch a căn b c hai và lũy th a b c hai:ạ ươ ứ ậ ừ ậ
2
( )ax b c dx e x
α β
+ = + + +
v i ớ
d ac
e bc
α
β
= +
= +
Cách gi iả : Đ t: ặ
dy e ax b+ = +
khi đó ph ng trình đ c chuy n thành h :ươ ượ ể ệ
( )
( )
2
2
2
( )
dy e ax b
dy e ax b
dy e c dx e x
c dy e x dy e
α β
α β
+ = +
+ = +
⇔
+ = + + +
+ = − + + −
->gi iả
Nh n xétậ : D s d ng đ c ph ng pháp trên c n ph i khéo léo bi n đ i ph ng trìnhể ử ụ ượ ươ ầ ả ế ổ ươ
ban đ u v d ng th a mãn đi u ki n trên đ đ t n ph .ầ ề ạ ỏ ề ệ ể ặ ẩ ụ Vi c ch n ệ ọ
;
α β
thông th ngườ
chúng ta ch c n vi t d i d ng :ỉ ầ ế ướ ạ
( )
' '
n
n
x p a x b
α β γ
+ = + +
là ch n đ c.ọ ượ
c) D ng ph ng trình ch a căn b c ba và lũy th a b c ba.ạ ươ ứ ậ ừ ậ
( )
3
3
ax b c dx e x
α β
+ = + + +
v i ớ
d ac
e bc
α
β
= +
= +
Cách gi iả : Đ t ặ
3
dy e ax b+ = +
khi đó ph ng trình đ c chuy n thành h :ươ ượ ể ệ
( )
( )
( )
( )
3
3
3
3
3
3
( ) ( )
dy e ax b
dy e ax b
dy e c dx e x
c dx e x dy e
c dy e acx bc
c dx e ac d x dy bc
α β
α β
+ = +
+ = +
⇔
+ = + + +
+ = − + + −
+ = +
⇔
+ = − + +
Bài t pậ : Gi i các ph ng trình sau:ả ươ
1)
2
1 4 5x x x+ = + +
2)
2
3 1 4 13 5x x x+ = − + −
3)
3
3
2 3 3 2x x+ = −
4)
2
4 9
7 7 0
28
x
x x x
+
= + >
5)
3
3
1 2 2 1x x+ = −
6)
(
)
3 33 3
35 35 30x x x x− + − =
7)
2
4 13 5 3 1 0x x x− + + + =
8)
2
4 13 5 3 1 0x x x− + + + =
9)
3 2
3
4
81 8 2 2
3
x x x x− = − + −
10)
3
3
6 1 8 4 1x x x+ = − −
11)
( )
( )
2
15
30 4 2004 30060 1 1
2
x x x− = + +
12)
3 2
3
3 5 8 36 53 25x x x− = − + −
III. PH NG PHÁP HÀM SƯƠ Ố
S d ng các tính ch t c a hàm s đ gi i ph ng trình là d ng toán khá quen thu c. Taử ụ ấ ủ ố ể ả ươ ạ ộ
có 3 h ng áp d ng sau đây:ướ ụ
23
H ng 1ướ : Th c hi n theo các b c:ự ệ ướ
B c 1ướ : Chuy n ph ng trình v d ng: ể ươ ề ạ
( )f x k=
B c 2ướ : Xét hàm s ố
( )y f x=
B c 3ướ : Nh n xét:ậ
• V i ớ
0 0
( ) ( )x x f x f x k= ⇔ = =
do đó
0
x
là nghi mệ
• V i ớ
0 0
( ) ( )x x f x f x k> ⇔ > =
do đó ph ng trìnhvô nghi mươ ệ
• V i ớ
0 0
( ) ( )x x f x f x k< ⇔ < =
do đó ph ng trìnhvô nghi mươ ệ
• V y ậ
0
x
là nghi m duy nh t c a ph ng trìnhệ ấ ủ ươ
H ng 2ướ : th c hi n theo các b cự ệ ướ
B c 1ướ : Chuy n ph ng trình v d ng: ể ươ ề ạ
( ) ( )f x g x=
B c 2ướ : Dùng l p lu n kh ng đ nh r ng ậ ậ ẳ ị ằ
( )f x
và g(x) có nh ng tính ch t trái ng cữ ấ ượ
nhau và xác đ nh ị
0
x
sao cho
0 0
( ) ( )f x g x=
B c 3ướ : V y ậ
0
x
là nghi m duy nh t c a ph ng trình.ệ ấ ủ ươ
H ng 3ướ : Th c hi n theo các b c:ự ệ ướ
B c 1ướ : Chuy n ph ng trình v d ng ể ươ ề ạ
( ) ( )f u f v=
B c 2ướ : Xét hàm s ố
( )y f x=
, dùng l p lu n kh ng đ nh hàm s đ n đi uậ ậ ẳ ị ố ơ ệ
B c 3ướ : Khi đó
( ) ( )f u f v u v= ⇔ =
Ví d : ụ Gi i ph ng trình: ả ươ
( )
(
)
(
)
2 2
2 1 2 4 4 4 3 2 9 3 0x x x x x+ + + + + + + =
Gi i:ả
pt
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2
2 1 2 2 1 3 3 2 3 3 2 1 3x x x x f x f x⇔ + + + + = − + − + ⇔ + = −
Xét hàm s ố
( )
(
)
2
2 3f t t t= + +
, là hàm đ ng bi n trên R, ta có ồ ế
1
5
x = −
Bài t pậ : Gi i ph ng trình: ả ươ
a)
2
4 1 4 1 1x x− + − =
b)
3
1 4 5x x x− = − − +
c)
2
1 3x x x− = + −
d)
2 3
1 2 2x x x x= − + −
e)
1 2 3x x− + + =
f)
2
2 1 3 4x x x− + + = −
24
. ng 1ướ : Th c hi n theo các b c:ự ệ ướ
B c 1ướ : Chuy n ph ng trình v d ng: ể ươ ề ạ
( )f x k=
B c 2ướ : Xét hàm s ố
( )y f x=
B c 3ướ : Nh n xét:ậ
• V. n đ i ph ng trình v d ng : ổ ươ ề ạ
k k
A B=
Bài 1. Gi i ph ng trình : ả ươ
3 3x x x− = +
Gi i:ả
Đk:
0 3x≤ ≤
khi đó pt đ cho t ng đ ng : ơ ươ
3 2
3