CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ pot

CHUYÊN Đ : Ề PH NG PHÁP GI I PH NG TRÌNH VÔ TƯƠ Ả ƯƠ Ỉ I. PH NG PHÁP BI N Đ I T NG Đ NG ƯƠ Ế Ổ ƯƠ ƯƠ 1. Bình ph ng 2 v c a ph ng trình ươ ế ủ ươ a) Ph ng pháp ươ  Thông th ng n u ta g p ph ng trình d ng : ườ ế ặ ươ ạ A B C D+ = + , ta th ngườ bình ph ng 2 v , đi u đó đôi khi l i g p khó khăn hãy gi i ví d sauươ ế ề ạ ặ ả ụ  ( ) 3 3 3 3 3 3 3 .A B C A B A B A B C+ = ⇒ + + + = và ta s d ng phép th :ử ụ ế 3 3 A B C+ = ta đ c ph ng trình : ượ ươ 3 3 . .A B A B C C+ + = b) Ví d ụ Bài 1. Gi i ph ng trình sau : ả ươ 3 3 1 2 2 2x x x x+ + + = + + Gi i: Đk ả 0x ≥ Bình ph ng 2 v không âm c a ph ng trình ta đ c:ươ ế ủ ươ ượ ( ) ( ) ( ) 1 3 3 1 2 2 1x x x x x+ + + = + + , đ gi i ph ng trình này dĩ nhiên là không khóể ả ươ nh ng h i ph c t p m t chút .ư ơ ứ ạ ộ Ph ng trình gi i s r t đ n gi n n u ta chuy n v ph ng trình :ươ ả ẽ ấ ơ ả ế ể ế ươ 3 1 2 2 4 3x x x x+ − + = − + Bình ph ng hai v ta có : ươ ế 2 2 6 8 2 4 12 1x x x x x+ + = + ⇔ = Th l i x=1 th aử ạ ỏ  Nh n xét : ậ N u ph ng trình :ế ươ ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x h x k x+ = + Mà có : ( ) ( ) ( ) ( ) f x h x g x k x+ = + , thì ta bi n đ i ph ng trình v d ng :ế ổ ươ ề ạ ( ) ( ) ( ) ( ) f x h x k x g x− = − sau đó bình ph ng ,gi i ph ng trình h qu ươ ả ươ ệ ả Bài 2. Gi i ph ng trình sau : ả ươ 3 2 1 1 1 3 3 x x x x x x + + + = − + + + + Gi i:ả Đi u ki n : ề ệ 1x ≥ − Bình ph ng 2 v ph ng trình ?ươ ế ươ N u chuy n v thì chuy n nh th nào? ế ể ế ể ư ế Ta có nh n xét : ậ 3 2 1 . 3 1. 1 3 x x x x x x + + = − + + + , t nh n xét này ta có l i gi i nhừ ậ ờ ả ư sau : 3 2 1 (2) 3 1 1 3 x x x x x x + ⇔ − + = − + − + + Bình ph ng 2 v ta đ c: ươ ế ượ 3 2 2 1 3 1 1 2 2 0 3 1 3 x x x x x x x x  = − + = − − ⇔ − − = ⇔  + = +   Th l i :ử ạ 1 3, 1 3x x= − = + l nghi m ệ Qua l i gi i trên ta có nh n xét : N u ph ng trình :ờ ả ậ ế ươ ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x h x k x+ = + Mà có : ( ) ( ) ( ) ( ) . .f x h x k x g x= thì ta bi n đ i ế ổ ( ) ( ) ( ) ( ) f x h x k x g x− = − 2. Tr c căn th c ụ ứ 2.1. Tr c căn th c đ xu t hi n nhân t chung ụ ứ ể ấ ệ ử a) Ph ng pháp ươ 1 M t s ph ng trình vô t ta có th nh m đ c nghi m ộ ố ươ ỉ ể ẩ ượ ệ 0 x nh v y ph ngư ậ ươ trình luôn đ a v đ c d ng tích ư ề ượ ạ ( ) ( ) 0 0x x A x− = ta có th gi i ph ng trìnhể ả ươ ( ) 0A x = ho c ch ng minh ặ ứ ( ) 0A x = vô nghi m , ệ chú ý đi u ki n c a nghi m c aề ệ ủ ệ ủ ph ng trình đ ta có th đánh gía ươ ể ể ( ) 0A x = vô nghi mệ b) Ví d ụ Bài 1 . Gi i ph ng trình sau : ả ươ ( ) 2 2 2 2 3 5 1 2 3 1 3 4x x x x x x x− + − − = − − − − + Gi i: ả Ta nh n th y : ậ ấ ( ) ( ) ( ) 2 2 3 5 1 3 3 3 2 2x x x x x− + − − − = − − v ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 4 3 2x x x x− − − + = − Ta có th tr c căn th c 2 v : ể ụ ứ ế ( ) 2 2 2 2 2 4 3 6 2 3 4 3 5 1 3 1 x x x x x x x x x − + − = − + − + − + + − + D dàng nh n th y x=2 là nghi m duy nh t c a ph ng trình .ể ậ ấ ệ ấ ủ ươ Bài 2. Gi i ph ng trình sau ả ươ (OLYMPIC 30/4 đ ngh )ề ị : 2 2 12 5 3 5x x x+ + = + + Gi i: ả Đ ph ng trình có nghi m thì : ể ươ ệ 2 2 5 12 5 3 5 0 3 x x x x+ − + = − ≥ ⇔ ≥ Ta nh n th y : x=2 là nghi m c a ph ng trình , nh v y ph ng trình có th phânậ ấ ệ ủ ươ ư ậ ươ ể tích v d ng ề ạ ( ) ( ) 2 0x A x− = , đ th c hi n đ c đi u đó ta ph i nhóm , tách nh sau :ể ự ệ ượ ề ả ư ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 12 4 3 6 5 3 3 2 12 4 5 3 2 1 2 3 0 2 12 4 5 3 x x x x x x x x x x x x x x − − + − = − + + − ⇔ = − + + + + +   + + ⇔ − − − = ⇔ =  ÷ + + + +   D dàng ch ng minh đ c : ễ ứ ượ 2 2 2 2 5 3 0, 3 12 4 5 3 x x x x x + + − − < ∀ > + + + + Bài 3. Gi i ph ng trình :ả ươ 2 33 1 1x x x− + = − Gi i :Đk ả 3 2x ≥ Nh n th y x=3 là nghi m c a ph ng trình , nên ta bi n đ i ph ng trình ậ ấ ệ ủ ươ ế ổ ươ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 2 3 2 2 3 3 3 3 9 3 1 2 3 2 5 3 1 2 5 1 2 1 4 x x x x x x x x x x x   − + + +   − − + − = − − ⇔ − + =   − + − + − +     Ta ch ng minh : ứ ( ) ( ) 2 2 2 2 23 3 3 3 3 1 1 2 1 2 1 4 1 1 3 x x x x x + + + = + < − + − + − + + 2 3 3 9 2 5 x x x + + < − + V y pt có nghi m duy nh t x=3ậ ệ ấ 2.2. Đ a v “h t m “ư ề ệ ạ a) Ph ng pháp ươ  N u ph ng trình vô t có d ng ế ươ ỉ ạ A B C+ = , mà : A B C α − = dây C có th là hàng s ,có th là bi u th c c a ở ể ố ể ể ứ ủ x . Ta có th gi i nh sau :ể ả ư A B C A B A B α − = ⇒ − = − , khi đĩ ta có h : ệ 2 A B C A C A B α α  + =  ⇒ = +  − =   b) Ví d ụ 2 Bài 4. Gi i ph ng trình sau :ả ươ 2 2 2 9 2 1 4x x x x x+ + + − + = + Gi i:ả Ta th y : ấ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 9 2 1 2 4x x x x x+ + − − + = + 4x = − không ph i là nghi m ả ệ Xét 4x ≠ − Tr c căn th c ta có :ụ ứ 2 2 2 2 2 8 4 2 9 2 1 2 2 9 2 1 x x x x x x x x x x + = + ⇒ + + − − + = + + − − + V y ta có h : ậ ệ 2 2 2 2 2 0 2 9 2 1 2 2 2 9 6 8 2 9 2 1 4 7 x x x x x x x x x x x x x x =   + + − − + =   ⇒ + + = + ⇔   = + + + − + = +    Th l i th a; v y ph ng trình có 2 nghi m : x=0 v x=ử ạ ỏ ậ ươ ệ 8 7 Bài 5. Gi i ph ng trình : ả ươ 2 2 2 1 1 3x x x x x+ + + − + = Ta th y : ấ ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2x x x x x x+ + − − + = + , nh v y không th a mãn đi u ki n trên.ư ậ ỏ ề ệ Ta có th chia c hai v cho x và đ t ể ả ế ặ 1 t x = thì bài toán tr nên đ n gi n h nở ơ ả ơ Bài t p đ nghậ ề ị Gi i các ph ng trình sau :ả ươ 1) ( ) 2 2 3 1 3 1x x x x+ + = + + 2) 4 3 10 3 2x x− − = − (HSG Toàn Qu c 2002)ố 3) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 5 2 10x x x x x− − = + − − 4) 23 4 1 2 3x x x+ = − + − 5) 2 33 1 3 2 3 2x x x− + − = − 6) 2 3 2 11 21 3 4 4 0x x x− + − − = (OLYMPIC 30/4-2007) 7) 2 2 2 2 2 1 3 2 2 2 3 2x x x x x x x− + − − = + + + − + 8) 2 2 2 16 18 1 2 4x x x x+ + + − = + 9) 2 2 15 3 2 8x x x+ = − + + 3. Ph ng trình bi n đ i v tích ươ ế ổ ề  S d ng đ ng th c ử ụ ẳ ứ ( ) ( ) 1 1 1 0u v uv u v+ = + ⇔ − − = ( ) ( ) 0au bv ab vu u b v a+ = + ⇔ − − = 2 2 A B= Bài 1. Gi i ph ng trình : ả ươ 23 3 3 1 2 1 3 2x x x x+ + + = + + + Gi i:ả ( ) ( ) 3 3 0 1 1 2 1 0 1 x pt x x x =  ⇔ + − + − = ⇔  = −  Bi 2. Gi i ph ng trình : ả ươ 2 23 3 3 3 1x x x x x+ + = + + Gi i:ả + 0x = , không ph i là nghi m ả ệ 3 + 0x ≠ , ta chia hai v cho x:ế ( ) 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 0 1 x x x x x x x x   + + + = + + ⇔ − − = ⇔ =  ÷   Bài 3. Gi i ph ng trình: ả ươ 2 3 2 1 2 4 3x x x x x x+ + + = + + + Gi i: ả : 1dk x ≥ − pt ( ) ( ) 1 3 2 1 1 0 0 x x x x x =  ⇔ + − + − = ⇔  =  Bài 4. Gi i ph ng trình : ả ươ 4 3 4 3 x x x x + + = + Gi i: ả Đk: 0x ≥ Chia c hai v cho ả ế 3x + : 2 4 4 4 1 2 1 0 1 3 3 3 x x x x x x x   + = ⇔ − = ⇔ =  ÷ + + +    Dùng h ng đ ng th c ằ ẳ ứ Bi n đ i ph ng trình v d ng :ế ổ ươ ề ạ k k A B= Bài 1. Gi i ph ng trình : ả ươ 3 3x x x− = + Gi i:ả Đk: 0 3x≤ ≤ khi đó pt đ cho t ng đ ng :ươ ươ 3 2 3 3 0x x x+ + − = 3 3 1 10 10 1 3 3 3 3 x x −   ⇔ + = ⇔ =  ÷   Bài 2. Gi i ph ng trình sau :ả ươ 2 2 3 9 4x x x+ = − − Gi i:ả Đk: 3x ≥ − ph ng trình t ng đ ng :ươ ươ ươ ( ) 2 2 1 3 1 3 1 3 9 5 97 3 1 3 18 x x x x x x x x =   + + =  + + = ⇔ ⇔  − −  = + + = −     Bài 3. Gi i ph ng trình sau : ả ươ ( ) ( ) 2 2 3 3 2 3 9 2 2 3 3 2x x x x x+ + = + + Gi i : pttt ả ( ) 3 3 3 2 3 0 1x x x⇔ + − = ⇔ = II. PH NG PHÁP Đ T N PHƯƠ Ặ Ầ Ụ 1. Phư ng pháp đ t n ph thông th ng ơ ặ ẩ ụ ườ  Đ i v i nhi u ph ng trình vô vô t , đ gi i chúng ta có th đ t ố ớ ề ươ ỉ ể ả ể ặ ( ) t f x= và chú ý đi u ki n c a ề ệ ủ t n u ph ng trình ban đ u tr thành ph ng trình ch a m t bi n ế ươ ầ ở ươ ứ ộ ế t quan tr ng h n ta có th gi i đ c ph ng trình đó theo ọ ơ ể ả ượ ươ t thì vi c đ t ph xem nhệ ặ ụ ư “hoàn toàn ” .Nói chung nh ng ph ng trình mà có th đ t hoàn toàn ữ ươ ể ặ ( ) t f x= th ngườ là nh ng ph ng trình d .ữ ươ ễ Bài 1. Gi i ph ng trình: ả ươ 2 2 1 1 2x x x x− − + + − = Đi u ki nề ệ : 1x ≥ Nh n xét. ậ 2 2 1. 1 1x x x x− − + − = Đ t ặ 2 1t x x= − − thì ph ng trình có d ng: ươ ạ 1 2 1t t t + = ⇔ = Thay vào tìm đ c ượ 1x = 4 Bài 2. Gi i ph ng trình: ả ươ 2 2 6 1 4 5x x x− − = + Gi iả Đi u ki n: ề ệ 4 5 x ≥ − Đ t ặ 4 5( 0)t x t= + ≥ thì 2 5 4 t x − = . Thay vào ta có ph ng trình sau:ươ 4 2 2 4 2 10 25 6 2. ( 5) 1 22 8 27 0 16 4 t t t t t t t − + − − − = ⇔ − − + = 2 2 ( 2 7)( 2 11) 0t t t t⇔ + − − − = Ta tìm đ c b n nghi m là: ượ ố ệ 1,2 3,4 1 2 2; 1 2 3t t= − ± = ± Do 0t ≥ nên ch nh n các gái tr ỉ ậ ị 1 3 1 2 2, 1 2 3t t= − + = + T đó tìm đ c các nghi m c a ph ng trình l: ừ ượ ệ ủ ươ 1 2 2 3 vaø x x= − = + Cách khác: Ta có th bình ph ng hai v c a ph ng trình v i đi u ki nể ươ ế ủ ươ ớ ề ệ 2 2 6 1 0x x− − ≥ Ta đ c: ượ 2 2 2 ( 3) ( 1) 0x x x− − − = , t đó ta tìm đ c nghi m t ng ng.ừ ượ ệ ươ ứ Đ n gi n nh t là ta đ t : ơ ả ấ ặ 2 3 4 5y x− = + và đ a v h đ i x ng (ư ề ệ ố ứ Xem ph n d t nầ ặ ẩ ph đ a v h )ụ ư ề ệ Bài 3. Gi i ph ng trình sau: ả ươ 5 1 6x x+ + − = Đi u ki n: ề ệ 1 6x≤ ≤ Đ t ặ 1( 0)y x y= − ≥ thì ph ng trình tr thnh:ươ ở 2 4 2 5 5 10 20 0y y y y y+ + = ⇔ − − + = ( v i ớ 5)y ≤ 2 2 ( 4)( 5) 0y y y y⇔ + − − − = 1 21 1 17 , 2 2 (loaïi)y y + − + ⇔ = = T đó ta tìm đ c các giá tr c a ừ ượ ị ủ 11 17 2 x − = Bài 4. (THTT 3-2005) Gi i ph ng trình sau :ả ươ ( ) ( ) 2 2004 1 1x x x= + − − Gi i:ả đk 0 1x ≤ ≤ Đ t ặ 1y x= − pttt ( ) ( ) 2 2 2 1 1002 0 1 0y y y y x⇔ − + − = ⇔ = ⇔ = Bài 5. Gi i ph ng trình sau : ả ươ 2 1 2 3 1x x x x x + − = + Gi i:ả Đi u ki n: ề ệ 1 0x− ≤ < Chia c hai v cho x ta nh n đ c:ả ế ậ ượ 1 1 2 3x x x x + − = + Đ t ặ 1 t x x = − , ta gi i đ c.ả ượ Bài 6. Gi i ph ng trình : ả ươ 2 4 23 2 1x x x x+ − = + Gi i: ả 0x = không ph i là nghi m , Chia c hai v cho x ta đ c: ả ệ ả ế ượ 3 1 1 2x x x x   − + − =  ÷   Đ t t=ặ 3 1 x x − , Ta có : 3 2 0t t+ − = ⇔ 1 5 1 2 t x ± = ⇔ = 5 ( ) ( ) m m a f x b f x c− + + = ta có th đ t: ể ặ ( ) ( ) m m u a f x v b f x  = −   = +   t đó suy ra ừ m m u v a b+ = + . Khi đó ta có h ệ m m u v a b u v c  + = +  + =  Bài t pậ : Gi i các ph ng trình sau: ả ươ a) 3 2 1 1x x− = − − b) 3 9 2 1x x− = − − c) 2 1 ( 1) 0x x x x x x− − − − + − = b) D ng ph ng trình ch a căn b c hai và lũy th a b c hai:ạ ươ ứ ậ ừ ậ 2 ( )ax b c dx e x α β + = + + + v i ớ d ac e bc α β = +   = +  Cách gi iả : Đ t: ặ dy e ax b+ = + khi đó ph ng trình đ c chuy n thành h :ươ ượ ể ệ ( ) ( ) 2 2 2 ( ) dy e ax b dy e ax b dy e c dx e x c dy e x dy e α β α β  + = +  + = +   ⇔   + = + + +  + = − + + −    ->gi iả Nh n xétậ : D s d ng đ c ph ng pháp trên c n ph i khéo léo bi n đ i ph ng trìnhể ử ụ ượ ươ ầ ả ế ổ ươ ban đ u v d ng th a mãn đi u ki n trên đ đ t n ph .ầ ề ạ ỏ ề ệ ể ặ ẩ ụ Vi c ch n ệ ọ ; α β thông th ngườ chúng ta ch c n vi t d i d ng :ỉ ầ ế ướ ạ ( ) ' ' n n x p a x b α β γ + = + + là ch n đ c.ọ ượ c) D ng ph ng trình ch a căn b c ba và lũy th a b c ba.ạ ươ ứ ậ ừ ậ ( ) 3 3 ax b c dx e x α β + = + + + v i ớ d ac e bc α β = +   = +  Cách gi iả : Đ t ặ 3 dy e ax b+ = + khi đó ph ng trình đ c chuy n thành h :ươ ượ ể ệ ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 ( ) ( ) dy e ax b dy e ax b dy e c dx e x c dx e x dy e c dy e acx bc c dx e ac d x dy bc α β α β   + = + + = +   ⇔   + = + + + + = − + + −      + = +  ⇔  + = − + +   Bài t pậ : Gi i các ph ng trình sau:ả ươ 1) 2 1 4 5x x x+ = + + 2) 2 3 1 4 13 5x x x+ = − + − 3) 3 3 2 3 3 2x x+ = − 4) 2 4 9 7 7 0 28 x x x x + = + > 5) 3 3 1 2 2 1x x+ = − 6) ( ) 3 33 3 35 35 30x x x x− + − = 7) 2 4 13 5 3 1 0x x x− + + + = 8) 2 4 13 5 3 1 0x x x− + + + = 9) 3 2 3 4 81 8 2 2 3 x x x x− = − + − 10) 3 3 6 1 8 4 1x x x+ = − − 11) ( ) ( ) 2 15 30 4 2004 30060 1 1 2 x x x− = + + 12) 3 2 3 3 5 8 36 53 25x x x− = − + − III. PH NG PHÁP HÀM SƯƠ Ố S d ng các tính ch t c a hàm s đ gi i ph ng trình là d ng toán khá quen thu c. Taử ụ ấ ủ ố ể ả ươ ạ ộ có 3 h ng áp d ng sau đây:ướ ụ 23 H ng 1ướ : Th c hi n theo các b c:ự ệ ướ B c 1ướ : Chuy n ph ng trình v d ng: ể ươ ề ạ ( )f x k= B c 2ướ : Xét hàm s ố ( )y f x= B c 3ướ : Nh n xét:ậ • V i ớ 0 0 ( ) ( )x x f x f x k= ⇔ = = do đó 0 x là nghi mệ • V i ớ 0 0 ( ) ( )x x f x f x k> ⇔ > = do đó ph ng trình vô nghi mươ ệ • V i ớ 0 0 ( ) ( )x x f x f x k< ⇔ < = do đó ph ng trình vô nghi mươ ệ • V y ậ 0 x là nghi m duy nh t c a ph ng trìnhệ ấ ủ ươ H ng 2ướ : th c hi n theo các b cự ệ ướ B c 1ướ : Chuy n ph ng trình v d ng: ể ươ ề ạ ( ) ( )f x g x= B c 2ướ : Dùng l p lu n kh ng đ nh r ng ậ ậ ẳ ị ằ ( )f x và g(x) có nh ng tính ch t trái ng cữ ấ ượ nhau và xác đ nh ị 0 x sao cho 0 0 ( ) ( )f x g x= B c 3ướ : V y ậ 0 x là nghi m duy nh t c a ph ng trình.ệ ấ ủ ươ H ng 3ướ : Th c hi n theo các b c:ự ệ ướ B c 1ướ : Chuy n ph ng trình v d ng ể ươ ề ạ ( ) ( )f u f v= B c 2ướ : Xét hàm s ố ( )y f x= , dùng l p lu n kh ng đ nh hàm s đ n đi uậ ậ ẳ ị ố ơ ệ B c 3ướ : Khi đó ( ) ( )f u f v u v= ⇔ = Ví d : ụ Gi i ph ng trình : ả ươ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 4 4 4 3 2 9 3 0x x x x x+ + + + + + + = Gi i:ả pt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 1 3 3 2 3 3 2 1 3x x x x f x f x⇔ + + + + = − + − + ⇔ + = − Xét hàm s ố ( ) ( ) 2 2 3f t t t= + + , là hàm đ ng bi n trên R, ta có ồ ế 1 5 x = − Bài t pậ : Gi i ph ng trình: ả ươ a) 2 4 1 4 1 1x x− + − = b) 3 1 4 5x x x− = − − + c) 2 1 3x x x− = + − d) 2 3 1 2 2x x x x= − + − e) 1 2 3x x− + + = f) 2 2 1 3 4x x x− + + = − 24 . ng 1ướ : Th c hi n theo các b c:ự ệ ướ B c 1ướ : Chuy n ph ng trình v d ng: ể ươ ề ạ ( )f x k= B c 2ướ : Xét hàm s ố ( )y f x= B c 3ướ : Nh n xét:ậ • V. n đ i ph ng trình v d ng : ổ ươ ề ạ k k A B= Bài 1. Gi i ph ng trình : ả ươ 3 3x x x− = + Gi i:ả Đk: 0 3x≤ ≤ khi đó pt đ cho t ng đ ng : ơ ươ 3 2 3