Một số khái niệm và các kết quả cơ bản về ứng dụng của tích phân 1. Diện tích hình phẳng xác định bởi đường cong y = f(x) Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường y = f(x) ; y = 0 x = a; x = b (a < b) Công thức tổng quát: ( ) b a S f x dx= ∫ (1) Từ (1) suy ra các công thức hay dùng sau đây a) Nếu ( ) 0, [a,b]f x x≥ ∀ ∈ , ta có ( ) b a S f x dx= ∫ b) Nếu ( ) 0, [a,b]f x x≤ ∀ ∈ , ta có ( ) b a S f x dx= − ∫ c) Nếu f(x) tùy ý, khi đó…trong thí dụ sau, ta có ( ) ( ) ( ) b d b a c d S f x dx f x dx f x dx= − + ∫ ∫ ∫ 2. Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi y = f(x) y = g(x) x = a; x = b (a < b) Công thức tổng quát: ( ) ( ) b a S f x g x dx= − ∫ (1) Từ (1) suy ra các công thức hay dùng sau đây a) Nếu ( ) ( ), [a,b]f x g x x≥ ∀ ∈ , ta có ( ) ( ) ( ) b a S f x g x dx= − ∫ b) Nếu ( ) ( ), [a,b]f x g x x≤ ∀ ∈ , ta có ( ) ( ) ( ) b a S g x f x dx= − ∫ c) Trong trường hợp chung, giả sử trong thí dụ sau, ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c b a c S f x g x dx g x f x dx= − + − ∫ ∫ Trang 1 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong tự khép kín Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi hai đường cong y = f(x) và y = g(x) tự khép kín. Giả sử y = f(x) và y = g(x) cắt nhau tại hai điểm A, B có hoành độ tương ứng a, b. Khi đó ( ) ( ) b a S f x g x dx= − ∫ 4. Thể tích của vật thể - Tìm thể tích vật thể V sinh bởi diện tích S quay quanh trục Ox, ở đây S được cho bởi y = f(x) S: y = 0 x = a; x = b (a < b) Công thức tính b 2 a V= f (x)dx π ∫ - Tìm thể tích vật thể V sinh bởi diện tích S quay quanh trục Ox, ở đây S được cho bởi y = f(x) S: y = g(x) x = a; x = b ( ) 0 ( ) ( )g x f x≤ ≤ Công thức tính b 2 2 a V= f (x)-g (x) dx π ∫ - Tìm thể tích vật thể V sinh bởi diện tích S quay quanh trục Ox, ở đây S được cho bởi hai đường cong y = f(x) và y = g(x) tự cắt. Giả sử y = f(x) và y = g(x) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ tương ứng là a, b ( ) a b≤ . Giả sử 0 ( ) ( )g x f x≤ ≤ [a,b]x∀ ∈ . Khi đó b 2 2 a V= f (x)-g (x) dx π ∫ - Tìm thể tích vật thể V sinh bởi diện tích S quay quanh trục Oy, ở đây S được cho bởi Trang 2 y = f(x) S: y = f(a) x = 0 y = f(b) Giả sử -1 y = f(x) x = f (y)⇒ , khi đó f(b) 2 -1 f(a) V= f (y) dy π ∫ 5. Sơ lược về bất đẳng thức tích phân - Giả sử f(x) và g(x) xác định và liên tục trên [a,b] sao cho ( ) ( ), [a,b]f x g x x≤ ∀ ∈ Khi đó ta có ( ) ( ) b b a a f x dx g x dx≤ ∫ ∫ - Nói riêng, nếu gọi ax f(x), [a,b]; m = min f(x), [a,b]M m x x= ∈ ∈ , khi đó ta có ( ) ( ) ( ) b a M b a f x dx m b a− ≤ ≤ − ∫ Trang 3 . Một số khái niệm và các kết quả cơ bản về ứng dụng của tích phân 1. Diện tích hình phẳng xác định bởi đường cong y = f(x) Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường y = f(x) ;. nhau tại hai điểm A, B có hoành độ tương ứng a, b. Khi đó ( ) ( ) b a S f x g x dx= − ∫ 4. Thể tích của vật thể - Tìm thể tích vật thể V sinh bởi diện tích S quay quanh trục Ox, ở đây S được cho. ∫ - Tìm thể tích vật thể V sinh bởi diện tích S quay quanh trục Ox, ở đây S được cho bởi hai đường cong y = f(x) và y = g(x) tự cắt. Giả sử y = f(x) và y = g(x) cắt nhau tại hai điểm phân biệt