S GIO DC V O TO H TNH TRNG THPT Lí T TRNG NH THI TH I HC CAO NG NM 2010-LN 2 Mụn thi: TON Khi A Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian giao I. PHN CHUNG DNH CHO TT C TH SINH (7,0 im) Cõu I: (2,0 im) Cho hm s y = (C) 1. Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s (C) 2. Vit phng trỡnh tip tuyn vi th (C), bit rng khong cỏch t tõm i xng ca th (C) n tip tuyn l ln nht. Cõu II: (2,0 im) 1. Gii phng trỡnh 2sin 2 4sin 1 6 x x + + = ữ . 2. Gii h phng trỡnh ( ) 3 3 2 2 3 4 9 x y xy x y = = . Cõu III: (1,0 im) Cho hỡnh chúp t giỏc u .S ABCD cú tt c cỏc cnh u bng a. Tớnh theo a th tớch khi chúp .S ABCD v tớnh bỏn kớnh mt cu tip xỳc vi tt c cỏc mt ca hỡnh chúp ú. Cõu IV: (1,0 im) Tớnh tớch phõn 3 1 4 2 0 ( ) 1 x x x e dx x + + . Cõu V: (1,0 im) Vi mi s thc x, y tha iu kin ( ) 2 2 2 1x y xy+ = + . Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca biu thc 4 4 2 1 x y P xy + = + . II. PHN RIấNG (3,0 im). Tt c thớ sinh ch c lm mt trong hai phn: A hoc B. A. Theo chng trỡnh Chun Cõu VI.a: (1,0 im) Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và khác 0 mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ. Cõu VII.a (2,0 im) 1. Trong mt phng ta Oxy, cho ng trũn ( ) 2 2 : 2 0C x y x+ + = . Vit phng trỡnh tip tuyn ca ( ) C , bit gúc gia tip tuyn ny v trc tung bng 30 o . 2. Vit phng trỡnh mt phng cỏch u hai ng thng d 1 v d 2 bit: 1 2 : 2 3 x t d y t z t = + = + = 2 1 2 1 : 2 1 5 x y z d = = B. Theo chng trỡnh Nõng cao Cõu VI.b: (2,0 im) 1.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đờng thẳng d có phơng trình 3 1 12 1 == zyx . Lập phơng trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất. 2. Cho elip (E) : 4x 2 + 16y 2 = 64.Gi F 1 , F 2 l hai tiờu im. M l im bt kỡ trờn (E). Chng t rng t s khong cỏch t M ti tiờu im F 2 v ti ng thng x = 8 3 cú giỏ tr khụng i. Cõu VII.b: (1,0 im) Gii bt phng trỡnh ( ) 2 4 8 2 1 log log log 0x x x+ + < . Ht - + f(t) f'(t) x 2 0 1 0 + ∞ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH TRƯỜNG THPT LÝ TỰ TRỌNG ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG NĂM 2010-LẦN 2 Môn thi: TOÁN – Khối A CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM Câu I (2,0đ) Ý 1 (1,0đ) TXĐ : D = R\{1} 0.25đ Chiều biến thiên : 1limlim == +∞→−∞→ xx yy nên y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số −∞=+∞= −+ →→ 11 lim;lim xx yy nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y’ = 2 1 0 ( 1)x − < − 0.25đ Bảng biến thiên 1 + ∞ - ∞ 1 - - y y' x - ∞ 1 + ∞ Hàm số nghịc biến trên ( ;1)−∞ và (1; )+∞ Hàm số không có cực trị 0.25đ Đồ thị :Giao điểm của đồ thị với trục Ox là (0 ;0) Vẽ đồ thị Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm của 2 đường tiệm cận I(1 ;1) làm tâm đối xứng 0.25 đ Ý 2 (1,0đ) Giả sử M(x 0 ; y 0 ) thuộc (C) mà tiếp tuyến với đồ thị tại đó có khoảng cách từ tâm đối xứng đến tiếp tuyến là lớn nhất. Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng : 0 0 2 0 0 1 ( ) ( 1) 1 x y x x x x = − − + − − 2 0 2 2 0 0 1 0 ( 1) ( 1) x x y x x ⇔ − − + = − − ( ∆ ) 0.25 đ Ta có d(I ; ∆ ) = ( ) 4 0 0 1 1 1 1 2 − + − x x Đặt t= 1 1 0 −x Xét hàm số f(t) = 4 2 ( 0) 1 t t t > + ta có ( ) ( ) 44 4 112 44 ' tt t tf ++ − = 0.25đ f’(t) = 0 khi t = 1 Bảng biến thiên từ bảng biến thiên ta có d(I ;( ∆ )) lớn nhất khi và chỉ khi t = 1 hay 0 0 0 2 1 1 0 x x x = − = ⇔ = 0.25 đ x y 0 1 1 + Với x 0 = 0 ta có tiếp tuyến là y = -x + Với x 0 = 2 ta có tiếp tuyến là y = -x+4 0.25 đ Câu II (2,0đ) Ý 1 (1,0đ) PT 3 sin 2 cos2 4sin 1 0x x x⇔ + + − = 2 2 3sin cos 2sin 4sin 0x x x x⇔ − + = . 0,25 đ ( ) 2 3 cos sin 2 sin 0x x x⇔ − + = . 0,25 đ Khi : 5 sin 3 cos 2 sin 1 2 3 6 x x x x k π π π − = ⇔ − = ⇔ = + ÷ . 0,25 đ Khi: sin 0x x k π = ⇔ = . KL: nghiệm PT là 5 , 2 6 x k x k π π π = = + . 0,25 đ Ý 2 (1,0đ) Ta có : 2 2 9 3x y xy= ⇔ = ± . 0,25 đ . Khi: 3xy = , ta có: 3 3 4x y− = và ( ) 3 3 . 27x y− = − Suy ra: ( ) 3 3 ;x y− là nghiệm PT 2 4 27 0 2 31X X X− − = ⇔ = ± 0,25 đ Vậy ngiệm của PT là 3 3 2 31, 2 31x y= + = − − Hay 3 3 2 31, 2 31x y= − = − + . 0,25 đ Khi: 3xy = − , ta có: 3 3 4x y− = − và ( ) 3 3 . 27x y− = Suy ra: ( ) 3 3 ;x y− là nghiệm PT 2 4 27 0( )X X PTVN+ + = 0,25 đ Câu III (1,0đ) Gọi O là giao điểm AC và BD ( ) SO ABCD⇒ ⊥ Ta có: 2 2 2 2 2 2 4 2 a a SO SA OA a= − = − = . 0,25 đ 2 3 . 1 2 6 ABCD S ABCD S a V a= ⇒ = . 0,25 đ Gọi I là tâm mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp khi đó ta có d(I; (SAB))= d(I; (SBC)) = d(I; (SCD)) = d(I; (SAD))= d(I; (ABCD)) = r 0,25 đ Khi đó V S.ABCD = V I.SAB + V I.SBC+ V I.S CD +V I.SAD +V I.ABCD = = 3 1 r.(4 ABCDSAB SS + ∆ ) = 3 1 r( 2 1 AM.AB+a 2 ) = 3 1 r(4. . 2 3 . 2 1 2 a +a 2 ) ⇒ r = ( ) 4 132 )13( 2 2 1 )13( 3 2 3 2 . − = + = + a a a a V ABCDS 0,25 đ Câu IV (1,0đ) Đặt I = 3 1 4 2 0 ( ) 1 x x x e dx x + + ∫ . Ta có I = 3 1 1 4 2 0 0 1 x x x e dx dx x + + ∫ ∫ Ta tính 3 1 2 1 0 x I x e dx= ∫ Đặt t = x 3 ta có 1 1 1 0 0 1 1 1 1 3 3 3 3 t t I e dt e e= = = − ∫ 0,25 đ S B A D C O I Ta tớnh 1 4 2 0 1 x I dx x = + t t = 4 x 4 3 4x t dx t dt = = 0,25 Khi ú 1 1 4 2 2 2 2 0 0 1 2 4 4 ( 1 ) 4( ) 1 1 3 4 t I dx t dt t t = = + = + + + Vy I = I 1 + I 2 1 3 3 e = + 0,5 Cõu V (1,0) t t xy = . Ta cú: ( ) ( ) 2 1 1 2 2 4 5 xy x y xy xy xy+ = + V ( ) ( ) 2 1 1 2 2 4 3 xy x y xy xy xy+ = + . K: 1 1 5 3 t . 0,5 Suy ra : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 7 2 1 2 1 4 2 1 x y x y t t P xy t + + + = = + + . 0,50 Do ú: ( ) ( ) 2 2 7 ' 2 2 1 t t P t = + , ' 0 0( ), 1( )P t th t kth= = = 1 1 2 5 3 15 P P = = ữ ữ v ( ) 1 0 4 P = . KL: GTLN l 1 4 v GTNN l 2 15 ( HSLT trờn on 1 1 ; 5 3 ) Cõu VIa (1,0) Từ giả thiết bài toán ta thấy có 6 2 4 =C cách chọn 2 chữ số chẵn (vì không có số 0)và 10 2 5 =C cách chọn 2 chữ số lẽ => có 2 5 C . 2 5 C = 60 bộ 4 số thỏa mãn bài toán 0,5 Mỗi bộ 4 số nh thế có 4! số đợc thành lập. Vậy có tất cả 2 4 C . 2 5 C .4! = 1440 số 0,5 Cõu VIIa (2,0) í 1 (1,0) Ta cú: ng thng tip tuyn to vi trc Oy 1 gúc 0 30 tip tuyn to vi trc Ox 1 gúc 0 60 => H s gúc ca tip tuyn ( ) cn tỡm l 3 . 0,25 0,25 M: ( ) ( ) ( ) 2 2 : 1 1 1;0 ; 1C x y I R+ + = = . Do ú: ( ) 1 : 3 0x y b + = tip xỳc (C) ( ) 1 ,d I R = 3 1 2 3 2 b b = = + . KL: ( ) 1 : 3 2 3 0x y + = . 0,25 V : ( ) 2 : 3 0x y b + + = tip xỳc (C) ( ) 2 ,d I R = 3 1 2 3 2 b b = = + . KL: ( ) 2 : 3 2 3 0x y + + = . 0,25 í 2 (1,0) ng thng d 2 cú PTTS l: += += += '51 '2 '21 tz ty tx vect CP ca d 1 v d 2 l: 1 2 (1;1; 1), (2;1;5) d d u u= = r 0,25 Gi mp( ) l mt phng song song vi d 1 v d 2 VTPT ca mp( ) l 1 2 . (6; 7; 1) d d n u u = = r r r pt mp( ) cú dng 6x 7y z + D = 0 ng thng d 1 v d 2 ln lt i qua 2 M(2; 2; 3) v N(1; 2; 1) Ta cú d(d 1 ; )( ) = d(M ; )( ) v d(d 2 ; )( ) = d(N ; )( ) 0,25 Mt phng )( cỏch u d 1 v d 2 ( ,( )) ( ,( )) |12 14 3 | | 6 14 1 | | 5 | | 9 | 7 d M d N D D D D D = + = + + = + = Vy PT mp( ) l: 3x y 4z + 7 0 = 0,5 Cõu VI b (2,0) í 1 (1,0) Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi đó khoảng cách giữa d và (P) là khoảng cách từ H đến (P). Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có HIAH => HI lớn nhất khi AI Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận AH làm véc tơ pháp tuyến. 0,5 )31;;21( tttHdH ++ vì H là hình chiếu của A trên d nên )3;1;2((0. == uuAHdAH là véc tơ chỉ phơng của d) )5;1;7()4;1;3( AHH Vậy (P): 7(x 10) + (y2) 5(z +1) = 0 7x + y -5z -77 = 0 0,5 í 2 (1,0) Ta cú 1 2 ( 12;0), ( 12;0)F F Gi s M(x 0 ; y 0 )thuc (E) H l hỡnh chiu ca M trờn ng thng 8 3 x = . Ta cú MF 2 = a - cx 0 /a = 0 8 3 2 x 0,5 MH = 0 8 3 3 x . Vy 2 MF MH khụng i 0,5 Cõu VIIb (1,0) K : 0x > . t 2 logt x= , ta cú : ( ) 1 0 3 t t t+ + < 0,25 BPT 2 4 3 4 0 0 3 t t t + < < < . 0,25 KL: 2 3 4 1 log 0 1 3 2 2 x x < < < < . 0,50 HNG DN CHM: Hc sinh cú li gii khỏc vi ỏp ỏn chm thi nu cú lp lun ỳng da vo SGK hin hnh v cú kt qu chớnh xỏc n ý no thỡ cho im ti a ý ú ; ch cho im n phn hc sinh lm ỳng t trờn xung di v phn lm bi sau khụng cho im. im ton bi thi khụng lm trũn s. im mi ý nh cn tho lun k c chm thng nht . Tuy nhiờn , im trong tng cõu v tng ý khụng c thay i. . ) 2 1 1 2 2 4 3 xy x y xy xy xy+ = + . K: 1 1 5 3 t . 0,5 Suy ra : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 7 2 1 2 1 4 2 1 x y x y t t P xy t + + + = = + + . 0,50 Do ú: ( ) ( ) 2 2 7 ' 2 2. + ∆ ) = 3 1 r( 2 1 AM.AB+a 2 ) = 3 1 r(4. . 2 3 . 2 1 2 a +a 2 ) ⇒ r = ( ) 4 1 32 )13( 2 2 1 )13( 3 2 3 2 . − = + = + a a a a V ABCDS 0 ,25 đ Câu IV (1,0đ) Đặt I = 3 1 4 2 0 ( ) 1 x x x. là nghiệm PT 2 4 27 0( )X X PTVN+ + = 0 ,25 đ Câu III (1,0đ) Gọi O là giao điểm AC và BD ( ) SO ABCD⇒ ⊥ Ta có: 2 2 2 2 2 2 4 2 a a SO SA OA a= − = − = . 0 ,25 đ 2 3 . 1 2 6 ABCD S ABCD S