Chuyên đề Hàm số lũy thừa, Mũ và Logarit Trần Đình Cư

HÀM SỐ LŨY THỪA-HÀM SỐ MŨ VÀHÀM SỐ LOGARIT Chương II-GT 12 Hueá, 2012 * Phân loại và phương pháp giải bài tập * Các bài tập được sắp xếp từ cơ bản đến nâng cao * Hệ thống bài tập phong p

HÀM SỐ LŨY THỪA-HÀM SỐ MŨ VÀ

HÀM SỐ LOGARIT Chương II-GT 12

Hueá, 2012

* Phân loại và phương pháp giải bài tập

* Các bài tập được sắp xếp từ cơ bản đến

nâng cao

* Hệ thống bài tập phong phú và đa dạng

* Các bài toán luyện thi đại học

MỤC LỤC

Trang

CHƯƠNG II: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT 2

BÀI 1 LŨY THỪA 2

DẠNG 1: Tính lũy thừa với số mũ nguyên 3

DẠNG 2: Lũy thừa với số mũ hữu tỉ 4

DẠNG 3: Lũy thừa với số mũ thực 4

DẠNG 4: So sánh 5

DẠNG 5: Chứng minh biểu thức, đẳng thức và bất đẳng thức 6

BÀI 2 HÀM SỐ LŨY THỪA 7

DẠNG 1: Tìm tập xác định và tính đạo hàm của hàm số 9

DẠNG 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 10

DẠNG 3: So sánh các số 10

DẠNG 4: Làm quen với giải phương trình, bất phương trình lũy thừa 11

BÀI 3 LÔGARIT 12

DẠNG 1: Tính toán về logarit 15

DẠNG 2: So sánh hai số logarit 17

DẠNG 3: Tìm( Giải phương trình) 18

DẠNG 4: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức 19

BÀI 4: HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT 20

DẠNG 1: Tìm tập xác định của hàm số 23

DẠNG 2: Tính đạo hàm và giới hạn 24

DẠNG 3: Chứng minh đẳng thức, giải phương trình và bất phương trình 26

DẠNG 6: Tìm GTLN và GTNN 27

DẠNG 7: Vẽ đồ thị 28

BÀI 5 PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 31

PHƯƠNG TRÌNH MŨ 31

PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 38

BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MŨ: 43

BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 46

BÀI 6 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT 52

BÀI TẬP BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ: 54

BÀI TẬP BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 56

HỆ PHƯƠNG TRINHG MŨ VÀ LÔGARIT 60

ĐỀ THI ĐẠI HỌC CÁC NĂM GẦN ĐÂY 2009-2011 69

CHƯƠNG II: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

BÀI 1 LŨY THỪA

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

I KHÁI NIỆN LŨY THỪA:

1 Lũy thừa với số mũ nguyên:

Cho n là một số nguyên dương, a là một số thực tùy ý Lũy thừa bậc n của a là

 Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.

 Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.

3 Định nghĩa và tính chất của căn thức

 Căn bậc n của a là số b sao cho b n a

 Với a, b  0, m, n  N*, p, q  Z ta có:

 Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì n a n b.

Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì n a  n b

Chú ý:

+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ cĩ một căn bậc n Kí hiệu n a

+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a cĩ đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau.

4 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ:

Cho số thực a dương và số hữu tỉ  0, trong đĩ x Lũy thừa a với số mũ r là số r

a xác định bởi a r a m n  n a m

5 Cơng thức lãi kép

Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì.

Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là: C A (1 )r N

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP:

DẠNG 1: Tính lũy thừa với số mũ nguyên

Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:

a b c bc

1,5 1,5

0,5 0,5

0,5 0,5 0,5

0,5 0,52

a) Chứng minh B không phụ thuộc vào b

b) Tính giá trị của B khi a=2 Hướng dẫn: B a 10

Bài 3 Chứng minh biểu thức

1

1,0

BÀI 2 HÀM SỐ LŨY THỪA I.Khái niệm:

Hàm số y x ;   , đươc gọi là hàm lũy thừa

Chú ý:

Tập xác định của hàm số lũy thừa phụ thuộc vào giá trị của 

- Với  nguyên dương thì tập xác định là R

- Với nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là \ 0 

- Với  không nguyên thì tập xác định là0;

II Đạo hàm của hàm số lũy thừa:

 x ' .x1;  u ' .u1 'u

III Khảo sát hàm số lũy thừa:

Tập xác định của hàm số lũy thừa y x  luôn chứa khoảng 0; với mọi

  Trong trường hợp tổng quát ta khảo sát hàm số y x  trên khoảng này (gọi

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP:

DẠNG 1: Tìm tập xác định và tính đạo hàm của hàm số

Phương pháp: Ta cần nắm các tính chất sau:

Cho hàm số y u , u u x  

Tập xác định của hàm số lũy thừa phụ t huộc vào giá trị của 

- Với  nguyên dương thì tập xác định là R

- Với nguyên âm hoặc bằng 0 thì hàm xác định u x 0

- Với  không nguyên thì hàm xác định u x( ) 0

a) y 3 x2  x 1 b) 4 1

1

x y x

Bài 2 Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị trên cùng một hệ trục tọa độ: y x 4 vày x 14

Bài 3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:

DẠNG 4: Làm quen với giải phương trình, bất phương trình lũy thừa

Bài 1 Giải các phương trình sau:

BÀI 3 LÔGARIT I.Khái niệm logarit

a b được gọi là logarit cơ số a của b và ký hiệu logab

 1   loga ba b

Ví dụ 1: Tìm x

2 x b)log2 x 3c) log81 1

Chú ý: không có logarit của số 0 và số âm

5 log

a a b a

a a

 6 logab b1 2.  loga b1 loga b2

Logarit của một tích bằng tổng các logarit

b) log 20 log 6 log 152  2  2

c) log 5 log 10 log 252  2  2

d) log 6 log 7 log3  3  314

e) log 10 log 7 log 14

b) Cho log 32 a;log 53 b;log 27 c Tính log6350

II Logarit thập phân, logarit tư nhiên

1 Logarit thập phân: là logarit cơ số 10

log10 bthường viết là logb hay lgb

2 Logarit tự nhiên: là logarit cơ số e

log b e thường viết là lnb

log

b b

ln

b b

Bài 1: Tính giá trị các biểu thức.

1) log915 + log918 – log910

a h) log 6.log 9.log 23 8 6 i) 92 log 2 4 log 5 3  81

k) 81log 5 3 27log 36 9 34 log 7 9 l) 25log 6 5 49log 8 7 m) 53 2 log 4  5

n) 6 8

log 3 log 2

9 4 o) 31 log 4  9 42 log 3  2 5log 125 27 p) log 3.log 366 3

q) lg(tan1 ) lg(tan2 ) lg(tan89 )0  0   0

r) log log (log 16) log log (log 64)8 4 2  2 3 4 

Bài 4: Lôgarit theo cơ số 3 của mỗi biểu thức sau , rồi viết dưới dạng tổng hoặc hiệu

6 5

a b

Bài 5: Tính giá trị các biểu thức.

1) 1 1log 44 2 9 log1258 log 27

Bài 6 Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:

a) Cho log 14 a2  Tính log 32 theo a.49

b) Cho log 3 a15  Tính log 15 theo a.25

c) Cho lg3 0,477 Tính lg9000 ; lg0,000027 ;

81

1log 100

1) Biết log126 = a , log127 = b Tính log27 theo a và b.

2) Biết log214 = a Tính log4932 theo a

Bài 9 Cho log210a;log 72 b Tính log235 theo a và b

a) Cholog 43 a;log 53 b Tính log 103 theo a và b

b) Cho log 25 a;log 95 b Tính log 65 theo a và b

DẠNG 2: So sánh hai số logarit

PHƯƠNG PHÁP:

 Khi a1 thì loga bloga c b c

 Khi 0 a 1thì loga bloga c b c

1) log6x = 3log62 + 0,5 log625 – 2 log63.

2) log4x = 1 log 216 2log 10 4log 34 4 4

31

21

s inx cos 2 s in x cos

Bài 4.

a) Biết log 4812 a,log 5424 b Chứng minh ab5a b 11

b) Cho , ,a b c dương và khác 1 Chứng minh:

log log loga b b c c a1 và loga blogc b2log loga b c b khi ac b 2

BÀI 4: HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT

I Hàm số mũ:

1 Định nghĩa:

Cho a0,a1

Hàm số y = ax được gọi là hàm số mũ cơ số a.

 

 

' ' '

.ln.ln

2 4 6 8

x y

II Hàm số logarit:

1 Định nghĩa:

Cho a0,a1

Hàm số y =logax được gọi là hàm số logarit cơ số a

2 Đạo hàm của số logarit:

1 log '

.ln log '

x

x e

log , 1

y a x a y loga x,0  a 1

Tập xác định D = 0;1

-2 -4

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP:

e

e  2) y = e2 1x 13) y = ln 2 1

1

x x

  

  

  4) y = log(-x2– 2x )5) y = ln(x2-5x + 6)6) y = log2 2 2 3 1

PHƯƠNG PHÁP : Khi tính đạo hàm ta cần nắm một số chú ý sau :

x



1(log x a )'

xlna



'(ln u)' u

ln 1

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau.

1) y = (x2-2x + 2).ex 2) y = (sinx – cosx).e2x

Bài 3 Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) yln(2x2 x 3) b) ylog (cos )2 x c) y e x.ln(cos )x

1 2

x x

x x

e) lim 1

x x

x x

x x

e x

DẠNG 3: Chứng minh đẳng thức, giải phương trình và bất phương trình

Bài 1: Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức tương ứng đã cho.

2) y = ln(cosx) ; y’tanx – y’’ – 1 = 0

3) y = ln(sinx) ; y’ + y’’sinx + tan

2

x

= 04) y = ex.cosx ; 2y’ – 2y – y’’ = 0

5) y = ln2x ; x2.y’’ + x y’ = 2

Bài 2: Cho hàm số y e  x2 x Giải phương trình y  y 2y  0

Bài 3 Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức được chỉ ra:

a)

2

2 2

 trên đoạn [8; 32]

Bài 2 Các hình 1 và 2 là đồ thị của bốn hàm số :

 2 , 1 , 5 , 1

42

BÀI 5 PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Nếu b > 0 thì phương trình có duy nhất một nghiệm x loga b

Nếu b = 0 hoặc b < 0 thì phương trình vô nghiệm

Ví dụ1: giải các phương trình sau:

e) 2x x2 8 41 3 x f)

1

125 25

.4 8 2

Cách giải: Đặt t a x, điều kiện: t > 0

Giải phương trình theo t: At2 + Bt + C =0, chọn t thỏa đkSuy ra a x   t x loga t

Ví dụ 5: Giải các phương trình sau:

3 Phương pháp logarit hóa

Thường sử dụng phương pháp này khi gặp phương trình có dạng:

f x g x

a b

Lấy logarit cùng một cơ số để đưa ẩn thoát ra khỏi số mũ

Hướng 1: Lấy loogarit cơ số a hai vế ta được:

4 Phương pháp đơn điệu:

Phương pháp:

Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phương trình là dạng toán khá quen thuộc Ta

có 3 hướng áp dụng:

Hướng1: Thực hiện các bước sau:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f(x)=k

Bước 2: Xét hàm số y=f(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu( giả

sử đồng biến)

Bước 3: Nhận xét:

+ Với x x 0  f x    f x0 k do đó x x 0là nghiệm

+ Với x x 0  f x    f x k do đó phương trình vô nghiệm

+ Với x x 0  f x    f x0 kdo đó phương trình vô nghiệm.Vậy x x 0 là nghiệm duy nhất của phương trình

Hướng 2: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f(x)=g(x)

Bước 2: Xét hàm số y=f(x) và y=g(x) Dùng lập luận khẳng định hàm sốy=f(x) là

Là đồng biến còn hàm số y=g(x) là hàm hằng hoặc nghịch biến Xác định x sao cho0 f x   0 g x0

Bước 3: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x x 0

Hướng 3: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f(u)=f(v) (3)

Bước 2: Xét hàm số y=f(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu (giả sử

đồng biến)

Bước 3: Khi đó: (3) u v vớiu v D, 

Ví dụ 9: Giải các phương trình sau:

a) 4 3x x 1

3

x x

Cách giải: Ta chỉ ra một vài nghiệm của phương trình ( thường dạng này có duy nhất

một nghiệm) Dùng tính đơn điệu để chứng mi nh phương trình không còn nghiệm khác nữa.

Do đó phương trình không có nghiệm trên ;2

Vậy, phương trình có duy nhất nghiệm x=2

Ví dụ: Giải phương trình sau:

d) log2 x  5  2 e) log 3x x 2  1 f) log2 x 2x 1

II Cách giải một số phương trình logarit

Khi giải phương trình logarit nói chung, ta cần đặt điều kiện để logarit xác định

Chú ý: Việc lựa chọn điều kiện ( ) 0f x  hoặc ( ) 0g x  tùy thuộc vào độ phức tạp

log 3x2 log x 4x 2x6

Phương trình đã cho tương đương với 33 2 02 1

a) log4x log 42 x  5 ( tốt nghiệp năm 2006 – 2007)

Hướng1: Thực hiện các bước sau:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f(x)=k

Bước 2: Xét hàm số y=f(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu( giả

sử đồng biến)

Bước 3: Nhận xét:

+ Với x x 0  f x    f x0 k do đó x x 0là nghiệm

+ Với x x 0  f x    f x k do đó phương trình vô nghiệm

+ Với x x 0  f x    f x0 kdo đó phương trình vô nghiệm.Vậy x x 0 là nghiệm duy nhất của phương trình

Hướng 2: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f(x)=g(x)

Bước 2: Xét hàm số y=f(x) và y=g(x) Dùng lập luận khẳng định hàm sốy=f(x) là

Là đồng biến còn hàm số y=g(x) là hàm hằng hoặc nghịch biến

Xác định x sao cho0 f x   0 g x0

Bước 3: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x x 0

Hướng 3: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f(u)=f(v) (3)

Bước 2: Xét hàm số y=f(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu (giả sử

đồng biến)

Bước 3: Khi đó: (3) u v vớiu v D,  f

Ví dụ: Giải phương trình sau

2 3

    h)4cos2x 4cos2x 3 i) 32 5x 36.3x 1 9 0k) 32x2  2 1x 28.3x x2   9 0 l) 4x2  2 9.2x2  2 8 0 m) 3.52 1x 2.5x 1 0,2

Bài 4 Giải các phương trình sau ( đặt ẩn phụ dạng 1):

a) 25 2(3x  x).5x 2x 7 0 b)

3.25x (3x10).5x   3 x 0

c) 3.4x (3x10).2x   3 x 0 d) 9x 2(x2).3x2x 5 0e) 4x2 x.3 x 31  x 2.3 x x22x6 f) 3.25x 2 (3x10).5x 2  3 x 0g) 4 +( –8)2 +12 –2x x x x0 h) (x4).9x  (x 5).3 1 0x  

Bài 8 Giải các phương trình sau ( đưa về phương trình tích ):

h) 4sinx21 sin  xcos( ) 2xy  y 0 i) 22(x x2  )21 x2 22(x x2  ) 1.2x2  1 0

Bài 9 Giải các phương trình sau ( phương pháp đối lập):

a) 2x cos ,x4 với x 0 b) 3x2  6 10x  x2 6x6 c) 3sin x  cosx

Bài 13 Tìm m để các phương trình sau:

a) 16m x 2.81x 5.36x cĩ 2 nghiệm dương phân biệt

b) 16xm.8x(2m1).4x m.2x cĩ 3 nghiệm phân biệt

c) 4x2 2x22 6 m cĩ 3 nghiệm phân biệt

d) 9x2 4.3x2  8 m cĩ 3 nghiệm phân biệt

BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Bài 1. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hố ):

a) log2x x( 1)1 b) log2xlog (2 x 1) 1

c) log (2 x 2) 6.log1/8 3x 5 2 d) log (2 x 3) log (2 x 1) 3

e) log (4 x 3) log (4 x  1) 2 log 84 f) lg(x 2) lg(x  3) 1 lg5

n) log (2 x 1) log (2 x 3) log 10 12  o) log (9 x 8) log (3 x26) 2 0 

Bài 2. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hố ):

a) log3xlog 3 xlog1/3x6 b) 1 lg( x2 2x 1) lg(x2 1) 2lg(1x)c) log4xlog1/16xlog8x5

d) 2 lg(4 x24x 1) lg(x2 19) 2lg(1 2 )  x

e) log2xlog4 xlog8x11

f) log (1/2 x 1) log (1/2 x  1) 1 log1/ 2(7x)

g) log log2 2xlog log3 3x

h) log log2 3x log log3 2x

i) log log2 3xlog log3 2xlog log3 3x

k) log log log2 3 4x log log log4 3 2x

Bài 3. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hố ):

a) log (9 2 ) 32  x  x b) log (33 x   8) 2 x

3log (4.3x  1) 2x1

Bài 4. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hố ):

5

1logx (x 4x5) 1

1log (2x x 2x 3x 1) 3e) logx 3 (x 1) 2 f) log (x x2) 2

2

3log (x x x) 1

log x x 14log x x 40log x x 0

Bài 6. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):

3 3

log x(x12)log x11 x 0 b) 6.9log 2x 6.x2 13.xlog 6 2

log (x 3x 2) log (x 7x12) 3 log 3 

Bài 7. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):

a) log7xlog (3 x2) b) log (2 x 3) log (3 x2) 2

log x3 x log x

g) xlog 9 2 x2.3log 2xxlog 3 2

log x x 1 log x x  1 log x x 1

Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):

a)x x log 3 2 xlog 5 2 (x0) b) x23log 2x 5log 2x

Bài 9. Giải các phương trình sau (đưa về phương trình tích):

a) log2x2.log7x 2 log log2x 7x b) log log2x 3x 3 3.log3xlog2x

2 log x log logx 2x 1 1 

Bài 10.Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập):

2log x  x  1 1x

2 3

Bài 12.Tìm m để các phương trình sau:

a) log 42 xm x 1 cĩ 2 nghiệm phân biệt

BÀI 6 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT

Nếu b0 thì bất phương trình có tập nghiệm là R

Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với a x a log b a

Với a > 1 thì bất phương trình có nghiệm x loga b

Với 0 <a<1 thì bất phương trình có nghiệm x loga b

2 Một số bất phương trình đơn giản: có cách giải tương tự như giải phương

trình Chú ý đến tính đơn điệu của hàm số mũ

g)    0,4 x 2,5 x1 1,5

h) 5.4x 2.25x  7.10x

II Bất phương trình logarit

1 Bất phương trình logarit cơ bản: là bất phương trình có một trong các dạng

sau:

loga x b loga x b ;loga x b ;loga x b

Để giải bất phương trình logarit ta sử dụng tính đơn điệu của hàm sốlogarit

Ta xét bất phương trình log x b a  , 0  a 1

Với a > 1 thì bất phương trình có nghiệm x a b

Với 0 <a<1 thì bất phương trình có nghiệm 0  x a b

2 Một số bất phương trình đơn giản : có cách giải tương tự như giải phương

trình Chú ý đến tính đơn điệu của hàm số logarit

g) 4x2x m 0,x (0; 1) h) 3x  3 5 3 x m,x.i) 2.25 (2x m1).10x(m2).4x 0,x 0 k) 4x 1m.(2 1) 0x  ,x.

Bài 6 Tìm m để mọi nghiệm của (1) đều là nghiệm của bất phương trình (2):

BÀI TẬP BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT

Bài 1. Giải các bất phương trình sau (đưa về cùng cơ số) :

a) log (1 2 ) 1 log (5  x   5 x1) b) log 1 2log2  9x1

3log log log x 0

1 2

log log x 5 0 h) 6log2xxlog 6x 12

i) log2x3 1 log  2x1 k) 2log 2x2 xlog 2x