bài toán về hàm số lũy thừa, mũ và logarit trong đề thi THPT QG 2017

Câu hỏi Hàm số Lũy thừa, Mũ Logarithm Trong kỳ thi THPT Quốc Gia 2017 Dương Trác Việt Bài viết cung cấp số cách giải tập hàm số lũy thừa, mũ logarithm đề thi Tốt Nghiệp THPT Quốc Gia năm 2017, thuộc mã đề 101 – 104 Trong nghiên cứu này, ưu tiên đề cập loạt kỹ thuật giải nhanh theo định hướng trắc nghiệm Tuy nhiên, lớp câu hỏi vận dụng cao, trình bày chi tiết theo lối tự luận truyền thống Biểu thức lý thuyết Bài (QG17,104,c08) Cho a số thực dương tùy ý khác Mệnh đề đúng? 1 A log2 a = loga B log2 a = C log2 a = D log2 a = − loga log2 a loga Hướng dẫn giải Hoán đổi vị trí số ta dùng phép nghịch đảo =⇒ Chọn đáp án C Bài (QG17,102,c06) Cho a số thực dương khác Mệnh đề với số thực dương x, y? x x A loga = loga x − loga y B loga = loga x + loga y y y loga x x x D loga = C loga = loga (x − y) y y loga y Hướng dẫn giải Gọi tắt logarithm “lô”, ta có câu “Tổng lô lô tích, hiệu lô lô thương” hay “lô tích tổng lô, lô thương hiệu lô” =⇒ Chọn đáp án A Đạo hàm Bài (QG17,102,c28) Tính đạo hàm hàm số y = log2 (2x + 1) A y = B y = (2x + 1) ln (2x + 1) ln 2 C y = D y = 2x + 2x + Hướng dẫn giải 1 Đạo hàm ln x (lộn ngược x) Tổng quát ta có đạo hàm loga x ÷ ln a (lộn x x ngược x chia ln a) Từ suy loga u = ÷ ln a · u u =⇒ Chọn đáp án B Đồ thị Bài (QG17,103,c22) Cho hai hàm số y = a x , y = b x với a, b hai số thực dương khác 1, có đồ thị (C1 ) (C2 ) hình bên Mệnh đề đúng? (C2 ) A < a < b < B < b < < a C < a < < b D < b < a < y (C1 ) O x Hướng dẫn giải Căn hình vẽ ta thấy (C1 ) lên, tức y = a x tăng (đồng biến), điều dẫn đến a > =⇒ Chọn đáp án B Tập xác định Bài (QG17,101,c24) Tìm tập xác định D hàm số y = (x − 1) A D = (−∞; 1) B D = (1; +∞) C D = D D = Hướng dẫn giải Vì không nguyên nên hàm số cho xác định ⇔ x − > ⇔ x > =⇒ Chọn đáp án B Bài (QG17,104,c11) Tìm tập xác định D hàm số y = x − x − A D = B D = (0; +∞) C D = (−∞; −1) ∪ (2; +∞) D D = \ {−1; 2} Hướng dẫn giải −3 \ {1} Vì −3 nguyên âm nên hàm số cho xác định ⇔ x −x−2 = ⇔ x = −1, x =2 (bấm w53 nhẩm thấy a + c = b) =⇒ Chọn đáp án D x −3 x +2 B D = (−∞; −2) ∪ [3; +∞) D D = (−∞; −2) ∪ (3; +∞) Bài (QG17,101,c16) Tìm tập xác định D hàm số y = log5 A D = \ {−2} C D = (−2; 3) Hướng dẫn giải x −3 > ⇔ (x − 3)(x + 2) > x = −2 (∗) x +2 Dễ thấy vế trái có nghiệm x nhỏ = −2 x lớn = Do a = > chiều “> 0” nên sử dụng - cùng, tức x < x nhỏ x > x lớn Vậy (∗) ⇔ x < −2 x > =⇒ Chọn đáp án D Hàm số xác định ⇔ Bài (QG17,104,c26) Tìm tập xác định D hàm số y = log3 (x − 4x + 3) A D = (2 − 2; 1) ∪ (3; + 2) B D = (1; 3) C D = (−∞; 1) ∪ (3; +∞) D D = (−∞; − 2) ∪ (2 + 2; +∞) Hướng dẫn giải x ⇔ (bấm wR111 nhẩm x >3 thấy a + b + c = - cùng) =⇒ Chọn đáp án C Bài (QG17,103,c32) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = log x 104,c46) Xét số nguyên dương a, b cho phương trình a ln2 x + b ln x + = có hai nghiệm phân biệt x , x phương trình log2 x + b log x + a = có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn x x > x x Tìm giá trị nhỏ Smin S = 2a + 3b A Smin = 30 B Smin = 25 C Smin = 33 D Smin = 17 Hướng dẫn giải Vì a, b nguyên dương nên S = 2a + 3b nhỏ ⇔ a nhỏ b nhỏ Theo giả thiết, • Phương trình a ln2 x +b ln x +5 = (1) có hai nghiệm phân biệt x , x tức at +bt+5 = (1 ) có hai nghiệm phân biệt t = ln x , t = ln x Suy ta có x = e t , x = e t • Tương tự, log2 x + b log x + a = (2) có hai nghiệm phân biệt x , x tức 5t + bt + a = (2 ) có hai nghiệm phân biệt t = log x , t = log x Suy x = 10 t , x = 10 t Vậy điều kiện x · x > x · x tương đương với e t · e t > 10 t · 10 t ⇔e t +t > 10 t +t 11 Theo định lý Viète, ta có t + t = − b b (xét (1 )), t + t = − (xét (2 ) tương ứng), điều a dẫn đến b b ⇔e− a > 10− b b ⇔ − > ln 10− a b b ⇔ − > − ln 10 a b>0 ln 10 ⇔− >− a ln 10 ⇔ < a a>0 ≈ 2, 17147241 ⇔a > ln 10 Do a ∈ nên a > 2, 17147241 kéo theo amin = Để kết thúc lời giải, ta cần tìm mối liên hệ lại a b Thật vậy, (1 ) (2 ) có nghiệm phân biệt nên ∆(1 ) > ∆(2 ) > b>0 ⇔ b2 − 20a > ⇔ b > 20a Suy bmin > 20amin = 20 · = 15 ≈ 7, 745966692 dẫn đến bmin = Kết luận, Smin = 2amin + 3bmin = · + · = 30 =⇒ Chọn đáp án A Bài 38 (QG17,101,c47) Xét số thực dương x, y thỏa mãn log3 Tìm giá trị nhỏ Pmin P = x + y 11 − 19 A Pmin = 18 11 − 29 C Pmin = 21 Hướng dẫn giải 1− xy = 3x y + x + y − x + 2y 11 + 19 11 − D Pmin = B Pmin = Theo đề ta có x > y > 0, x + y > Điều kéo theo log3 định cần thêm điều kiện − x y > hay x y < Ta xét điều kiện 1− xy xác x + 2y 1− xy = 3x y + x + y − x + 2y ⇔ log3 (1 − x y) − log3 (x + y) = 3x y + x + y − log3 Dễ thấy hai vế có x + y, ta thường đưa biểu thức giống vế ⇔ log3 (1 − x y) − 3x y + = log3 (x + y) + x + y ⇔ log3 (x + y) + x + y = log3 (1 − x y) − 3x y + 12 Dễ thấy VT có dạng f (t) = log3 t + t, tiếp đến ta cần biến đổi cho VP có dạng này, tức xuất ẩn phụ liên quan đến − x y Để ý thấy tách thành + ta có nhân tử chung ⇔ log3 (x + y) + x + y = log3 (1 − x y) + − 3x y ⇔ log3 (x + y) + x + y = log3 (1 − x y) + + − 3x y ⇔ log3 (x + y) + x + y = log3 (1 − x y) + + 3(1 − x y) Nếu để +1 logarithm VP chưa có dạng f (t) = log3 t + t Vậy ta cần đưa +1 vào log3 (1 − x y), lưu ý = log3 ⇔ log3 (x + y) + x + y = log3 (1 − x y) + log3 + 3(1 − x y) ⇔ log3 (x + y) + x + y = log3 3(1 − x y) + 3(1 − x y) ⇔ log3 (x + y) + x + y = log3 (3 − 3x y) + − 3x y (∗) Dễ thấy y = log3 x (a = > 1) y = x (A = > 0) đồng biến (0; +∞), đó, f (t) = log3 t + t đồng biến (0; +∞) Bên cạnh đấy, từ (∗) ta có f (x + y) = f (3 − 3x y) Từ lập luận suy x + y = − 3x y ⇔3x y + y = − x ⇔ y(3x + 2) = −(x − 3) x>0 x −3 ⇔y = − 3x + Kéo theo P = x + y = x − nên x −3 Lúc ta cần biết khảo sát P miền nào? Vì y > 3x + x −3 >0 3x + x −3 ⇔ 0 ⇔x − < ⇔x < Vậy ta khảo sát P = g(x) = x − g (x) = − x −3 với < x < Ta có 3x + 11 , (3x + 2)2 g (x) = ⇔ (3x + 2)2 = 11 ⇔ x = Dễ thấy (nhập X − 11 − ∈ (0; 3) X −3 vào hình r X = giá trị ) 3X + lim g(x) = x→0 = 1, 5; 13 lim g(x) = 3; x→3 g 11 − 2 11 − ≈ 1, 211083194 = Pmin = 3 =⇒ Chọn đáp án D Bài 39 (QG17,102,c46) Xét số thực dương a, b thỏa mãn log2 Tìm giá trị nhỏ Pmin P = a + 2b 10 − 3 10 − B Pmin = A Pmin = 2 Hướng dẫn giải C Pmin = − ab = 2ab + a + b − a+b 10 − D Pmin = Theo đề ta có a > b > 0, a + b > Điều kéo theo log2 cần thêm điều kiện − ab > hay ab < Ta xét điều kiện 10 − − ab xác định a+b − ab = 2ab + a + b − a+b ⇔ log2 (1 − ab) − log2 (a + b) = 2ab + a + b − log2 ⇔3 − 2ab + log2 (1 − ab) = a + b + log2 (a + b) ⇔2 − 2ab + + log2 (1 − ab) = a + b + log2 (a + b) ⇔2(1 − ab) + log2 + log2 (1 − ab) = a + b + log2 (a + b) ⇔2(1 − ab) + log2 2(1 − ab) = a + b + log2 (a + b) (∗) Vì f (t) = t + log2 t đồng biến (0; +∞) nên từ (∗): f (2 − 2ab) = f (a + b) suy − 2ab = a + b ⇔b + 2ab = − a ⇔b(1 + 2a) = −(a − 2) a>0 a−2 ⇔b = − 2a + Kéo theo P = a + 2b = a − Mặt khác, b > nên 2a − 2a + a−2 >0 2a + a−2 ⇔ 0 ⇔a − < ⇔a < Vậy ta khảo sát P = g(a) = a − g (a) = − 2a − với < a < Ta có 2a + 10 , (2a + 1)2 14 g (a) = ⇔ (2a + 1)2 = 10 ⇔ x = Dễ thấy (nhập A − 10 − ∈ (0; 2) 2A − vào hình r A = giá trị ) 2A + lim g(a) = 4; a→0 lim g(a) = 2; a→2 10 − 10 − ≈ 1, 66227766 = Pmin = 2 g =⇒ Chọn đáp án A 10 Khác 9t với m tham số thực Gọi S tập hợp t + m2 tất giá trị m cho f (x) + f ( y) = với số thực x, y thỏa mãn e x+ y ≤ e(x + y) Tìm số phần tử S A B C Vô số D Hướng dẫn giải Biến đổi điều kiện Bài 40 (QG17,103,c50) Xét hàm số f (t) = e x+ y ≤ e(x + y) ⇔ e x+ y ≤ x + y ⇔ e x+ y−1 ≤ x + y ⇔ e x+ y−1 − ≤ x + y − e (∗) Xét hàm y = g(t) = e t − − t = e t − (t + 1) với t ∈ Vì hàm mũ y = e t tăng nhanh hàm số bậc y = t + nhiều (có thể kiểm chứng nhanh w7) nên rõ ràng (i) Giá trị g(t) ≥ với t ∈ , nghĩa ta có e x+ y−1 − ≥ x + y − (∗∗) Từ (∗) (∗∗) suy e x+ y−1 − = x + y − ⇔ e x+ y−1 − − (x + y − 1) = ⇔ g(x + y − 1) = g(0) (ii) Hàm y = g(t) đơn điệu tăng toàn Lập luận kết hợp với (3∗) dẫn đến x + y − = hay y = − x Từ đó, f (x) + f ( y) = ⇔ f (x) + f (1 − x) = ⇔ 91−x 9x + = (4∗) x + m2 91−x + m2 15 (3∗) Ta cần tìm xem có giá trị m thỏa mãn đẳng thức (4∗) Ở đây, sử dụng phân tích bách phân để rút gọn (4∗) Gán 0.01 → X 100 → M Gán 9X + M → A 91−X + M → B 9X 91−X + = nên ta nhập vào hình Khi đó, (4∗) có dạng A B AB 9X 91−X + −1 A B bấm = máy −99999991 Vì VP = nên ta xem kết 99999991 Suy theo phân tích bách phân 99/99/99/91 → 1/0/0/0/ − tức m4 − = Đến ta dễ thấy có hai giá trị m thỏa mãn =⇒ Chọn đáp án D Ghi Bài viết có tham khảo lời giải Nhóm LATEX với mã nguồn chia sẻ thầy Châu Ngọc Hùng Loại máy tính cầm tay sử dụng viết CASIO fx-570VN PLUS, VINACAL 570ES Plus II 16 ... hàm Bài (QG1 7,102,c28) Tính đạo hàm hàm số y = log2 (2x + 1) A y = B y = (2x + 1) ln (2x + 1) ln 2 C y = D y = 2x + 2x + Hướng dẫn giải 1 Đạo hàm ln x (lộn ngược x) Tổng quát ta có đạo hàm. .. Bài (QG1 7,101,c24) Tìm tập xác định D hàm số y = (x − 1) A D = (−∞; 1) B D = (1; +∞) C D = D D = Hướng dẫn giải Vì không nguyên nên hàm số cho xác định ⇔ x − > ⇔ x > =⇒ Chọn đáp án B Bài (QG1 7,104,c11)... Hướng dẫn giải x ⇔ (bấm wR111 nhẩm x >3 thấy a + b + c = - cùng) =⇒ Chọn đáp án C Bài (QG1 7,103,c32) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = log x 104,c46)