Đầy đủ lý thuyết, bài tập phân dạng chi tiết, phương pháp giải cụ thể, ví dụ sinh động, bao quát phủ hết kiến thức trọng tâm, bài tập có giải chi tiết. ===========================================================
TRUNG TÂM LUYỆN THI VÀ GIA SƯ CHẤT LƯỢNG CAO SĐT: 01234332133 ĐC: Phòng 5, dãy 22 Tập thể xã tắc.TP HUẾ Biên soạn: Ths Trần Đình Cư KĨ THUẬT GIẢI NHANH Dành cho học sinh luyện thi THPT Quốc Gia Bồi dưỡng học sinh giỏi 10, 11, 12 Giáo viên giảng dạy, dạy thêm luyện thi Quốc gia TÀI LIỆU DÀNH TẶNG HỌC SINH LỚP TỐN THẦY CƯ Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế MỤC LỤC CHỦ ĐỀ HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN VẤN ĐỀ Các tốn điển hình thường gặp VẤN ĐỀ Ứng dụng tọa độ giải tốn hình học khơng gian CHỦ ĐỀ MẶT PHẲNG VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN 10 VẤN ĐỀ Viết phương trình mặt phẳng 11 VẤN ĐỀ Vị trí tương đối hai mặt phẳng 14 VẤN ĐỀ Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách hai mặt phẳng song song Hính chiếu điểm đối xứng 16 VẤN ĐỀ Góc hai mặt phẳng 17 VẤN ĐỀ Ứng dụng giải tốn hình học khơng gian 18 CHỦ ĐỀ MẶT CẦU VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN 20 VẤN ĐỀ Viết phương trình mặt cầu 20 VẤN ĐỀ Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu 20 CHỦ ĐỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN 28 VẤN ĐỀ Viết phương trình đường thẳng 28 Dạng Viết phương trình đường thẳng ( (P) / / (P) ) qua điểm A vng góc với đường thẳng d 30 Dạng Viết phương trình đường thẳng qua A, vng góc với d1 cắt d2 30 Dạng Viết phương trình đường thẳng qua A, song song với (P) cắt d 31 Dạng Viết phương trình đường thẳng d nằm mặt phẳng (P) cắt hai đường thẳng d1, d2 31 VẤN ĐỀ Vị trí tương đối đường thẳng khơng gian 32 Dạng Viết phương trình đường thẳng qua điểm M cắt hai đường thẳng d1 , d2 32 Dạng Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng cắt hai đường thẳng d1 , d2 33 Dạng Viết phương trình đường vng góc chung d hai đường thẳng chéo 34 VẤN ĐỀ Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng khoảng cách hai đường thẳng chéo 34 Dạng Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng 34 Dạng Khoảng cách hai đường thẳng chéo 35 Dạng Ứng dụng tọa độ giải tốn khơng gian 35 VẤN ĐỀ Các tốn liên quan đường thẳng mặt phẳng 36 Dạng Đường thẳng song song với mặt phẳng 37 Dạng Hình chiếu vng góc điểm lên mặt phẳng 38 Dạng Hình chiếu vng góc đường thẳng lên mặt phẳng 40 Dạng Hình chiếu điểm lên đường thẳng 43 VẤN ĐỀ Các tốn liên quan đường thẳng mặt cầu 53 Page Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế CHỦ ĐỀ GĨC TRONG KHƠNG GIAN 57 VẤN ĐỀ Góc tốn liên quan 57 VẤN ĐỀ Sử dụng tọa độ giải tốn hình học khơng gian 58 CHỦ ĐỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 59 VẤN ĐỀ Giải tốn cực trị hình học cách sử dụng bất đẳng thức hình học 59 VẤN ĐỀ Giải tốn cực trị phương pháp hàm số cách sử dụng bất đẳng thức đại số 60 VẤN ĐỀ Giải tốn cực trị phương pháp ứng dụng tâm tỉ cự 62 Dạng Cực trị độ dài vectơ 62 Dạng Cực trị độ dài bình phương vơ hướng vectơ 63 Dạng Cực trị dựa vào tính chất hình học 63 PHỤ LỤC 65 PHỤ LỤC MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRƯỚC KHI THI 65 PHỤ LỤC GIẢI BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BÀNG HAI CÁCH 76 Page Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế CHỦ ĐỀ HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN A CƠ SỞ LÝ THUYẾT AB ( x B x A , yB y A , zB zA ) AB AB x x A yB y A zB zA B 2 a b a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 k.a ka1 , ka2 , ka3 a a12 a22 a32 a1 b1 a b a2 b2 a b a.b a1 b1 a2 b2 a3 b3 | a | | b | cos a, b a a a a / / b a k b a, b b1 b2 b3 a b a.b a1 b1 a2 b2 a3 b3 a 10 [a, b] b a3 a3 , b3 b3 a1 a1 a2 , b1 b1 b2 Trong khơng gian (Oxyz) cho A x A ; y A ; zA ; B xB ; yB ; zB ; C xC ; yC ; zC Ta có: AB xB x A ; yB y A ; zB zA AB AB x x A yB y A zB zA B 2 x A xB x I y yB I trung điểm AB yI A zA zB z I x A x B xC xG y yB yC G trọng tâm tam giác ABC yG A zA zB zC zG Page Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế Tính chất tích có hướng a, b b, a a, b a b sin a, b a, b a ; a, b b Ứng dụng tích có hướng a, b, c đồng phẳng a, b c Diện tích tam giác ABC: S 1 AB, AC Diện tích hình bình hành ABCD: S AB, AD Thể tích tứ diện ABCD: V 1 AB, AC AD 6 Thể tích hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' : V AB, AC AA ' Page Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế VẤN ĐỀ Các tốn điển hình thường gặp Ví dụ 1: a 1; m;2 ; b m 2;2;1 ; c 0; m 2;2 a) Tìm m để a b b) Tìm m để a, b, c đồng phẳng c) Tìm m để a b c ĐS: a) m ; b)m ; c)m 6 3 Ví dụ 2: Tìm x, y để ba điểm A 2;0;2 ; B 1;2;3 ; C x; y 3;7 thẳng hàng ĐS: x 13, y 13 Ví dụ Cho tam giác ABC có A(1;2;1), B(5;3;4); C(8;-3;2) a) Chứng minh ABC vng b) Tìm điểm M cho MA MB MC nhỏ 2 Hướng dẫn a) AB.BC b) M ( x; y, z) ; x 4, y 4, z 1 Ví dụ Cho điểm A(1;-1;2), B(2;1;0); C(0;1;-1) Tìm điểm M thuộc trục Oz cho MA2 MB2 MC nhỏ Hướng dẫn: M (0;0; t ); , t BTTT: Cho điểm A(1;-1;2), B(-1;2;0); C(3;-1;0) Tìm điểm M thuộc trục Oz cho MA2 MB2 MC nhỏ Hướng dẫn: M (0;0; t ); , t Ví dụ Cho điểm A(1;-1;1), B(2;1;-2); C(0;0;1) Tìm tọa độ trực tâm ABC Hướng dẫn: AH BC AH BC 5 8 BH AC ĐS : H ; ; BH AC 9 9 BC , AC , CH đồ n g phẳ n g CH BC; AC BTTT: Cho điểm A(4;-2;-1), B(1;4;-1); C(1;-2;-7) Tìm tọa độ trực tâm ABC Đáp số: H(3;-1;-2) Ví dụ Cho điểm A(1;2;-1), B(-2;1;3) Tìm M thuộc trục Ox cho AMB có diện tích nhỏ Hướng dẫn M (t;0;0) SAMB 1 1 AM; AB 17t 2t 75, t 2 17 Page Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế Ví dụ Cho tam giác ABC có A(-1;0;2), B(0;4;3); C(-2;1;2) Tính độ dài đường phân giác AD tam giác ABC, D BC Hướng dẫn: DB AB k suy DB kDC Suy tọa độ D, sau tính DA DC AC 9 ĐS : D ; ; AD 4 BTTT: Cho tam giác ABC có A(1;2;-1), B(2;-1;3); C(-4;7;5) Tính độ dài đường phân giác góc B 17 26 ; ;7 3 Đáp số: Ví dụ Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết A(0;0;-2), B(1;-4;1); C(2;2;-1) Hướng dẫn: IA IB IA IB IC IA2 IC AB; AC; MA đồng phẳng AB; AC MA 59 14 13 ĐS : I ; ; 30 15 30 1 x;3 x; x tam giác ABC với A(1;1;3), B(0;5;2);C(-1;3;4) 2 BTTT: Cho điểm M a) Tìm tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC b) Chứng minh với x , đường thẳng MI vng góc với (ABC) Hướng dẫn: a)Tam giác ABC vuông C tâm trung điểm AB MI AB b) MI AC Ví dụ Cho điểm A(-2;2;-1); B(-3;-2;-4); C(5;1;2); D Oxz Tìm D biết DA=DB VABCD 37 Hướng dẫn: D (Oxz) nên D(x;0;z) 37 VABCD 15 x 29 z 35 37; DA DB DA2 DB x 3z 10 ĐS : D(1;0; 3) D(4;0; 2) Ví dụ 10 a) Cho hai điểm A(1;2;-1); B(4;3;5) Xác định M thuộc Ox cho M cách A B b) Cho hai điểm A(-4;-1;2); B(3;5;-1) Tìm C biết trung điểm AC thuộc Oy trung điểm BC thuộc (Oxz) Page Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế Hướng dẫn: a) M (0;0;4) b) C(a; b; c) ĐS : a 4; b 5; c Ví dụ 11 Cho điểm A(1;2;4); B(2;-1;0); C(-2;3;-1); M ( x; y; z) ABC Tìm hệ thức liên hệ x, y, z Tìm tọa độ D biết ABCD hình bình hành diện tích hình bình hành ABCD Hướng dẫn: M ABC AB; AC AM 19 x 17y 8z 29 D(1;0; 5); SABCD 714 Ví dụ 12 Cho tứ diện ABCD, có A(2;3;1); B(1;1;-2); C(2;1;0); D(0;-1;2) Đường cao AH Tìm tọa độ chân đường cao Hướng dẫn: AH BC 1 .H 3; ; AH BD 2 BH BC ; BD Ví dụ 13 Cho điểm A(3;2;-5); B(-2;1;-3); C(5;1;-1) a) Chứng minh ABC nhọn b) Tìm điểm D thuộc (xOy) cho tứ diện ABCD tứ diện trực tâm ( có cặp cạnh đối vng góc với nhau) Hướng dẫn: a)* Chứng minh A, B, C ba đỉnh tam giác * Chứng minh AB2 BC CA2 , AB CA BC , BC CA AB b) D( x; y;0) AB AC; AD 31 19 Điều kiện ABCD tứ diện trực tâm AB.CD .D ; ;0 7 AB BD Ví dụ 14 Tam giác ABC có đỉnh A, B, C thuộc trục Ox, Oy, Oz có trọng tâm G(1;2;-1) Tính diện tích tam giác Hướng dẫn: x A( x;0;0); B(0; y;0); C (0;0; z).G trọng tâm tam giác ABC nên y z 3 SABC 3VOABC 27 (h khoảng cách từ O đến (ABC)) h Ví dụ 15 Cho ba điểm A(2;0;0), B(1;1;2), C(3;-1;1) Page Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế a) Chứng minh tam giác ABC tam giác vng b) Biết ABC.A’B’C’ hình lăng trụ đứng có cạnh bên AA’, BB’, CC’ A’ mặt phẳng Oyz Tìm tọa độ A’,B’,C’ Hướng dẫn đáp số a) ABC tam giác vuông A b)A' Oyz A '(0; m; p) ABC.A'B'C' hình lăng trụ đứng nên AB m 2 AA '.AB AA ' B '(1; 1;2) C '(1; 3;1) p AA ' AC AC Ví dụ 16 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(1;2;-1); C(3;-4;1), B’(2;-1;3)., D’(0;3;5) a) Tính tọa độ đỉnh hình hộp b) Tính thể tích hình hộp Hướng dẫn đáp số: a)AC có trung điểm I(2;-1;0) B'D' có trung điểm I'(1;1;4); A'(x;y;z) AA ' II ' A '(0;4;3); BB ' II ' B(3; 3; 1) C '(2; 2;5); D(1;1;1;) b) VABCD A ' B 'C ' D ' AA ' AB, AD BTTT: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(1;0;1); B’(2;1;1), C(4;5;-5), D’(1;-1;1) Tính tọa độ đỉnh hình hộp Đáp số: 3 5 9 3 B 3; ; ; D 2; ; ; A ' 0; ; ; C ' 3; ; ; 2 2 2 2 Ví dụ 17 Cho điểm A(2;-1;-4); B(-2;3;-4), C(2;m+1;-8) a) Tìm m để tam giác ABC tam giác b) Với giá trị m tìm được, xác định tọa độ điểm S thuộc (Oyz) cho S.ABC hình chóp Đáp số: a) m=2; b) S(0;1;-6) Page Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế VẤN ĐỀ Ứng dụng tọa độ giải tốn hình học khơng gian Bài Cho S.ABCD có ABCD hình chữ nhật với AB a, AD 2a, SA ( ABCD), góc SB với mặt phẳng (ABCD) 600 Lấy M SA, AM a , (BCM) cắt SD N Tính VS BCNM Bài Cho S.ABCD có ABCD hình vng cạnh a, SAD đều, SAD ABCD Gọi M, N, P trung điểm SB, BC, CD Chứng minh AM BP VCMNP Bài Cho S.ABC có SA ABC , tam giác ABC vng B, AB a, BD SA 2a Gọi M trung điểm SC Chứng minh AMB cân M Tính SAMB Bài Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy tam giác vng, AB AC a, AA ' a Gọi M, N trung điểm AA’, BC’ Chứng minh MN đường vng góc chung AA’ BC’ Tính VM A ' BC ' Bài Cho lăng trụ đứng ABCD.A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình bình thoi cạnh a, BAD 60 Gọi M, N theo thứ tự trung điểm AA’, CC’ Chứng minh bốn điểm B’, M, D, N thuộc mặt phẳng Tính AA’ theo a để B’MDN hình vng Bài D2010 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA=a; AC Gọi CM đường cao tam giác SAC Chứng minh M trung điểm SA tính thể tích khối tứ diện SMBC hình chiếu vng góc đỉnh S (ABCD) điểm H thuộc AC, AH theo a Page Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế x 2x 2y z 10 Tọa độ tiếp điểm nghiệm hệ: x y z y z Vậy, tọa độ tiếp điểm M(3; 1; 2) Bài Trong khơng gian oxyz cho hai đường thẳng: x t (d1) : y t ; z x y 4x 4y 3z 12 (d2) : Chứng minh (d1) (d2) chéo Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính đoạn vng góc chung (d1) (d2) Hướng dẫn: (d1) qua điểm A(0; 0; 4) có vectơ phương u1 (2; 1; 0) (d2) qua điểm B(3; 0; 0) có vectơ phương u2 (3; 3; 0) AB (3; 0; 4) ; AB.[u1 ; u2 ] 36 AB, u1 , u2 khơng đồng phẳng Vậy, (d1) (d2) chéo x t / / (d2) có phương trình tham số: y t z Gọi MN đường vng góc chung (d1) (d2) M (d1 ) M(2t; t; 4) , N (d2 ) N(3 t / ; t / ; 0) MN (3 t / 2t; t / t; 4) / / t / 1 M(2; 1; 4) MN u1 2(3 t 2) (t t) Ta có: / / N(2; 1; 0) MN u2 t 3 t 2t (t t) Tọa độ trung điểm I MN: I(2; 1; 2), bán kính R MN 2 2 Vậy, phương trình mặt cầu (S): (x 2) (y 1) (z 2) x t Bài Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng: (d1) : y t ; (d2) : z t x t ' y 3t ' z t ' Gọi K hình chiếu vng góc điểm I(1; -1; 1) (d2) Tìm phương trình tham số đường thẳng qua K vng góc với (d1) cắt (d1) Hướng dẫn: (d1) có vectơ phương u1 (1; 1; 2) ; (d2) có vectơ phương u2 (1; 3; 1) K(d2 ) K(t / ; 3t / 6; t / 1) IK (t / 1; 3t / 5; t / 2) IK u2 t / 9t / 15 t / t / 18 18 12 K ; ; 11 11 11 11 Page 68 Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế ) H(t; t; 2t), (H (d1 )) 56 59 18 HK t; t; 2t 11 11 11 18 56 118 26 HK u1 t t 4t t 11 11 11 11 30 7 HK 4; ; (44; 30; 7) 11 11 11 18 x 11 44 12 y 30 11 z 11 7 Bài Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng P : x 2y 2z + = 0; Q : x 2y 2z -13 = Viết phương trình mặt cầu (S) qua gốc tọa độ O, qua điểm A(5;2;1) tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) (Q) Hướng dẫn: Bài Gọi I(a;b;c) tâm R bán kính mặt cầu (S) Từ giả thiết ta có: OI AI d I , P d I , Q OI AI OI d I , P d I , P d I , Q Ta có: OI AI OI AI a2 b2 c2 a 5 b c 1 2 10a 4b 2c 30 (1) OI d I , P a2 b2 c2 | a 2b 2c | a2 b2 c2 a 2b 2c 5 (2) | a 2b 2c | | a 2b 2c 13 | 3 a 2b 2c a 2b 2c 13 (lo¹i) a 2b 2c (3) a b c a b c 13 d I , P d I , Q Từ (1) (3) suy ra: b 17 11a 11 4a ;c (4) Từ (2) (3) suy ra: a b c (5) 2 Page 69 Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế Thế (4) vào (5) thu gọn ta được: a 221a 658 Như a a 658 Suy ra: I(2;2;1) R = 221 658 46 67 I ; ; R= 221 221 221 Vậy có hai mặt cầu thỏa mãn u cầu với phương trình là: 2 46 67 x 2 y 2 z 1 x 658 y z 9 221 221 221 2 Bài 10 Trong khơng gian với hệ trục Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình x y z2 x 4y 6z 11 mặt phẳng ():2x + 2y - z + 17 = Viết phương trình mặt phẳng () song song với () cắt (S) theo giao tuyến đường tròn có chu vi 6 Hướng dẫn: Do () // () nên () có phương trình 2x + 2y – z + D = (D 17) Mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; 3), bán kính R = Đường tròn có chu vi 6 nên có bán kính r = R2 r 52 32 Khoảng cách từ I tới () h = Do 2.1 2(2) D 22 22 (1)2 D 7 5 D 12 D 17 (lo¹i) Vậy () có phương trình 2x + 2y – z - = Bài 11 Trong khơng gian Oxyz, tìm Ox điểm A cách đường thẳng x 1 y z mặt phẳng ( ) : 2x – y – 2z = 2 Hướng dẫn: Gọi A(a; 0; 0) Ox (d) : Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( ) : d ( A; ) 2a 22 12 22 2a ( ) qua M0 (1; 0; 2) có vectơ phương u (1; 2; 2) Đặt M0 M1 u Do đó: d(A; ) đường cao vẽ từ A tam giác AM0 M1 d ( A; ) 2.SAM M M0 M1 Theo giả thiết: d(A; ) = d(A; 2a [ AM0 ; u ] u 8a2 24a 36 ) 8a2 24a 36 4a2 8a2 24a 36 4a2 24a 36 3 4(a 3) a Vậy, có điểm A(3; 0; 0) Bài 12 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz Viết phương trình (P) qua O , vng góc với mặt phẳng (Q) : x y z cách điểm M(1;2; 1) khoảng Page 70 Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế Hướng dẫn: Phương trình mặt phẳng (P) qua O nên có dạng : Ax + By + Cz = với A B C Vì (P) (Q) nên 1.A+1.B+1.C = A+B+C = C A B (1) 2 Theo đề : d(M;(P)) = A 2B C 2 2 A B C ( A B C )2 2( A2 B C ) (2) Thay (1) vào (2) , ta : 8AB+5 B B hay B = 8A B C A Cho A 1,C 1 (P) : x z (1) 8A (1) Chọn A = , B = 1 C (P) : 5x 8y 3z x 1 y z 1 Bài 13 Cho điểm A(10; 2; -1) đường thẳng d có phương trình Lập phương B = trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d khoảng cách từ d tới (P) lớn Hướng dẫn: Gọi H hình chiếu A d, mặt phẳng (P) qua A (P)//d, khoảng cách d (P) khoảng cách từ H đến (P) G.sử điểm I hình chiếu H lên (P), ta có AH HI => HI lớn A I Vậy (P) cần tìm mặt phẳng qua A nhận AH làm véc tơ pháp tuyến H d H (1 2t; t;1 3t) H hình chiếu A d nên AH d AH u (u (2;1;3) véc tơ phương d) H (3;1;4) AH (7; 1;5) Vậy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 7x + y -5z -77 = Bài 14 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A ( ; - ; ) , đường thẳng mp ( P) có phương trình : x y2 z ,(P):x–y+z -5=0 2 Viết phương trình tham số đường thẳng d thỏa điều kiện :đi qua A , nằm ( P) hợp với đường thẳng góc 450 Hướng dẫn: Gọi ud , u , nP lần lươt vtcp đt d , đt vtpt mp ( P) Đặt ud (a; b; c), (a2 b2 c2 0) Vì d nằm ( P) nên ta có : nP ud => a – b + c = b = a + c ( ) Theo gt : góc đt 450 Góc vtcp 450 a 2b 2c a2 b2 c2 2(a 2b c)2 9(a2 b2 c2 ) (2) Page 71 Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế c Thay (1) vào ( 2) ta có : 14c 30ac c 15a * Với c = : chọn a = b = Ta có ptts d : x = + t ; y = - – t ; z = x 7t * Với c = - 15a / chọn a = , c = - 15 , b = -8 ta có ptts d : d : y 1 8t z 15t x y z Bài 15 Trong khơng gian oxyz cho hai đường thẳng d1 : ; d2 1 x 1 2t y t z t điểm M(1;2;3) 1.Viết phương trình mặt phẳng chứa M d1 ; Tìm M’ đối xứng với M qua d2 2.Tìm A d1; B d2 cho AB ngắn Hướng dẫn: x y z Trong khơng gian oxyz cho hai đường thẳng d : ; d2 1 x 1 2t y t z t điểm M(1;2;3) 1.Viết phương trình mặt phẳng chứa M d1 ; Tìm M’ đối xứng với M qua d2 + Phương trình mặt phẳng chứa M d1 … Là (P) x + y – z = + Mp(Q) qua M vng góc với d2 có pt 2x – y - z + = + Tìm giao d2 với mp(Q) H(-1 ;0 ;1) … Điểm đối xứng M’ M qua d2 M’(-3 ;-2 ;-1) 2.Tìm A d1; B d2 cho AB ngắn Gọi A(t;t;2t) B(-1-2t1 ;-t1 ;1+t1) AB ngắn đoạn vng góc chung hai đường thẳng d1 d2 AB.v 3 1 17 18 ; ; B ; ; …… tọa độ A 35 35 35 35 35 35 AB v Bài 16 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho điểm I(1;5;0) hai đường thẳng x t 1 : y t z 1 2t ; 2 : x y2 z 3 3 Viết phương trình tham số đường thẳng d qua điểm I cắt hai đường thẳng 1 2 Viết phương trình mặt phẳng( ) qua điểm I , song song với 1 Hướng dẫn: Page 72 Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế x t I(1;5;0) , 1 : y t z 1 2t 2 : x y2 z 3 3 1 có vtcp u1 (1; 1;2) ;và 1 qua điểm M (0;4; 1) có vtcp u2 (1; 3; 3) ; qua điểm M2 (0;2;0) mp(P)chứa 1 điểm I có vtpt n M1I , u1 (3; 1; 2) p/t mp(P) : 3x –y - 2z + = ' Tương tự mp(Q) chứa điểm I có vtpt n (3;-1;2) p/t mp(Q) : 3x - y + 2z + = *Vì đường thẳng d qua I , cắt 1 , nên d = (P) (Q) đường thẳng d có vtcp ud n, n' = (1;3;0); d qua điểm I(1;5;0) x t Nên p/t tham số d y 3t z *mp( ) qua điểm I song song với 1 nên ( ) có vtpt n = u1 , u2 =(9;5;-2) p/t ( ) : 9x + 5y -2z – 34 = Bài 17 Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A( 1; -1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2), D( 4; -1; 2) mặt phẳng (P) có phương trình: x y z Gọi A’là hình chiêú A lên mặt phẳng Oxy Gọi ( S) mặt cầu qua điểm A’, B, C, D Xác định toạ độ tâm bán kính đường tròn (C) giao (P) (S) Hướng dẫn: Dễ thấy A’ ( 1; -1; 0) * Giả sử phương trình mặt cầu ( S) qua A’, B, C, D là: x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0, a b c2 d 2a 2b d a 2a 6b 4c d 14 b 1 Vì A' , B, C, D S nên ta có hệ: 8a 6b 4c d 29 c 1 8a 2b 4c d 21 d 1 Vậy mặt cầu ( S) có phương trình: x y z 5x y z 5 2 (S) có tâm I ;1;1 , bán kính R 29 +) Gọi H hình chiếu I lên (P) H tâm đường tròn ( C) +) Gọi ( d) đường thẳng qua I vng góc với (P) Page 73 Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế (d) có vectơ phương là: n1;1;1 x / t 5 H t;1 t;1 t Suy phương trình d: y t 2 z t Do H d (P) nên: 5 5 1 t t t 3t t H ; ; 2 3 6 Bà 18 Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho (d ) : P : x 2y z đường thẳng x 3 y z , điểm A( -2; 3; 4) Gọi đường thẳng nằm (P) qua giao điểm ( d) (P) đồng thời vng góc với d Tìm điểm M cho khoảng cách AM ngắn Hướng dẫn: x 2t Chuyển phương trình d dạng tham số ta được: y t z t Gọi I giao điểm (d) (P) I 2t 3; t 1; t 3 Do I P 2t 2(t 1) (t 3) t I 1;0;4 * (d) có vectơ phương a(2;1;1) , mp( P) có vectơ pháp tuyến n1;2;1 a, n 3;3;3 Gọi u vectơ phương u 1;1;1 x u Vì M M u; u;4 u , AM1 u; u 3; u : y u z u AM ngắn AM AM u AM.u 1(1 u) 1(u 3) 1.u u 16 ; ; Vậy M 3 3 Bài 19 Cho mặt phẳng ( ) : x y 2z điểm A(1;2;-1), B(3;1;-2), C(1;-2;1) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng ( ) cho: a) MA+MB nhỏ b) |MA-MB| lớn c) MA2 MB2 MC lớn d) MA MB MC nhỏ Đáp số: 13 4 a) M ;1; ; 5 11 b)M ; ;1 ; 2 5 2 c)M (2; 2; 2); d )M ; ; 3 3 Page 74 Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế Bài 20 Cho đường thẳng d : x 1 y 1 z điểm A(1;4;2), B(-1;2;4) Tìm điểm M thuộc 1 d cho: a) MA MB nhỏ b) MA+MB nhỏ MA2 MB2 nhỏ d) AMB nhỏ c) Đáp số: 2 12 38 10 a) M 1;0;4 ; b)M 1;0;4 ; c)M ; ; ; d )M ; ; 3 7 7 1 Page 75 Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế PHỤ LỤC GIẢI BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BÀNG HAI CÁCH Bài Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác có cạnh 2a , SA vng góc với (ABC) SA = a Gọi E, F trung điểm cạnh AB, BC Tính góc khoảng cách hai đường thẳng SE AF Hướng dẫn: S Cách 1: Gọi M trung điểm BF EM // AF (SA; AF) (EM; AF) SEM SE2 SA2 AE a2 2a2 3a2 SE a H 2a AF a A K C F E a ; BF a 2 SB2 SA2 AB2 a2 8a2 9a2 SB 3a M EM BM MF B SF2 SA2 AF2 a2 6a2 7a2 SF a 1 15a2 SB2 SF 2.SM2 BF 9a2 7a2 2SM2 2a2 SM2 2 Áp dụng định lý hàm Cơsin vào 3a2 15a2 3a ES2 EM2 SM2 2 45o cos cosSEM 2.ES.EM 2 a .a 2 a AH (SME) Vì AF // ME d(SE; AF) d(AF; (SME)) AH Dựng AK ME; AH SK Ta có: AK MF 1 1 a AH 2 AH SA AK a a a Vậy, d(SE; AF) a z a S Cách 2: Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az với A(0; 0; 0), B(a 2; a 6; 0), C(a 2; a 6; 0), S(0; 0; a), a a a E ; ; ; F(0; a 6; 0);M ; a 6; C A x F E M y B Page 76 Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế a a a SE ; ; a ; AF (a; a 6; 0), SM ; a 6; a cos cos(SE; AF) a a a 0(a) 3a2 2 45o a 6.a a2 3a2 6a2 a2 2 a2 a2 a2 a2 [SE; SM] ; 0; ( 2; 0; 1) n, với n ( 2; 0; 1) 2 2 Phương trình mặt phẳng (SEM) qua S với pháp vectơ n : Khoảng cách từ A đến (SEM): d(A;SEM) 00a 1 2x z a a Vì AF // EM AF //(SEM) d(SE; AF) d(A; SEM) Vậy, d(SE; AF) a Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA vng theo a Hướng dẫn: Cách 1: Ta có: SA (ABC) SA AC vng A có AM trung tuyến nên MA S SC M SA (ABC) Ta lại có: AB BC (ABC vuông B) SB BC (định lý đường vng góc) tuyến nên MB SC Suy ra: MA = MB Dựng MH // SA HK // BC (H AC; K AB) A C H K M B MH SA a SA (ABC) MH (ABC) vì: BC AB HK AB HK BC a z 2a S MK2 MH2 HK2 a2 a2 2a2 MK a M H A a K x C Page 77 a B y Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế 1 a2 SMAB MK.AB a 2.a 2 AC2 AB2 BC2 a2 4a2 5a2 AC a Cách 2: AB2 a2 a ; AC a 5 2a BH Dựng BH AC (H AC), ta có: AH 1 2 2 BH AB BC 4a Dựng hệ trục tọa vng góc Axyz, với Ax, Ay, Az đơi vng góc 2a a A(0; 0; 0), C(0; a 5; 0), S(0; 0; 2a), B ; ; 0 5 Tọa độ trung điểm M SC M 0; Ta có: MA 0; a ; a a 3a 3a 2a 3a ; a MA ; MB ; ; a MB 2 5 suy ra: MA = MB a2 2a2 Ta có: [MA; MB] ; ; a [MA; MB] a2 SMAB 1 a2 [MA; MB] a2 2 Bài Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC có cạnh a, mặt bên tạo với đáy góc (0o 90o ) Tính thể tích khối hình chóp S.ABC khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC) Cách 1: Gọi H trung điểm BC trùng với giao điểm ba đường cao trực tâm O nên chân đường cao đỉnh S Suy ra: BC SH, BC AH, nên SHA Ta có: OH a AH SHO vng góc: SO HO.tg a HO a tg SH cos 6.cos 1 a a2 a3tg tg Thể tích hình chóp S.ABC: V SO.SABC 3 24 a2 SSBC SH.BC 12.cos Gọi h khoảng cách từ A đến (SBC), ta có: 3.V a3tg a2 a V h.SSBC h : sin SSBC 24 12 cos Page 78 Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế Cách 2: Vì S.ABC hình chóp nên chân đường cao đỉnh S trùng với tâm O đường tròn (ABC) Gọi M trung điểm BC Ta có: z S a a OM AO AM 3 C AM BC, SM BC SMA : SO OM.tg M y A O a tg B x Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az đơi vng góc, A(0; 0; 0), a a a a a a a a B ; ; ,C ; ; ,M 0; ; , O 0; ; , S 0; ; tg 2 2 3 a3tg SO.SABC 24 a a a Ta có: BS ; ; tg , BC (a; 0; 0) 6 Thể tích hình chóp: V a2 a2 [BS; BC] 0; tg; n 6 Phương trình mặt phẳng (SBC) qua B với vectơ pháp tuyến n : a a2 a a2 a 0 x tg y (z 0) (SBC) : tgy z tg 2 6 tg.O O Khoảng cách d từ A đến (SBC): d a tg tg2 a tg a sin cos Bài Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' cạnh a M, N trung điểm AB C'D' Tính khoảng cách từ B' đến (A'MCN) / / / / Cách 1: Bốn tam giác vng AA M, BCM, CC N, A D N (c.g.c) A/ M MC CN NA/ A/ MCN hình thoi Hai hình chóp B/A/MCN B/.A/NC có chung đường cao vẽ từ D/ đỉnh B/ SA/ MCN 2.SA/ NC nên: VB/ A/ MCN 2.VB/ A/ NC Mà: 1 a3 VB/ ANC VC.A / B/ N CC/ SA /B/N a .a.a 3 a VB/ A/ MCN A/ C/ N B/ D A M C B Page 79 Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế Ta có: SA/ MCN / A C.MN, với / / A C a 3; MN BC a SA/ MCN a2 Gọi H hình chiếu B/ (A/MCN), ta có: VB/ A/ MCN B/ H 3.VB/ A/ MCN SA/ MCN / B H.SA/ MCN a3 a2 a : 3 Cách 2: Chọn hệ trục Dxyz, với Dx, Dy, Dz đơi vng góc, A(a; 0; 0), B(a; a; / / / / D(0; 0; 0), A (a; 0; a), B (a; a; a), C (0; a; a), D (0; 0; a), 0), C(0; a; 0), z a a M a; ; , N 0; ; a / a D C/ N A/ Ta có: A/ C (a; a; a), MN (a; 0; a) [A / C; MN] (a2 ; 2a2 ; a2 ) a2 (1; 2; 1) C a y D a2 n với n (1; 2; 1) A a Phương trình mp (A MCN) qua C(0; a; 0) với pháp vectơ n : M B x / 1(x 0) 2(y a) 1(z 0) (A/ MCN) : x 2y z 2a Khoảng cách d từ B/(a; a; a) đến mp(A/MCN): d a 2a a 2a 1 1 2a a Bài Tính thể tích hình chóp S.ABC, biết đáy ABC tam giác cạnh a, mặt bên (SAB) v Cách 1:Dựng SH AB S Ta có: (SAB) (ABC), (SAB) (ABC) AB, SH (SAB) SH (ABC) SH đường cao hình chóp Dựng HN BC, HP AC B SN BC, SP AC SPH SNH N H HN = HP HP HA.sin 60o SH HP.tg a C P A a tg 1 a a2 a3 tg tg Thể tích hình chóp S.ABC : V SH.SABC 3 4 16 Page 80 Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế Cách 2: Dựng SH AB Ta có: (SAB) (ABC), (SAB) (ABC) B, SH (SAB) SH (ABC) Vì (SAC) (SBC) Dựng hệ trục tọa độ Hxyz, với Hx, Hy, Hz đơi vng góc, H(0; 0; 0), a a A ; 0; ; B ; 0; , 2 a C 0; ; , S(0; 0; h), (h 0) z h S Phương trình mp (ABC): z = 0, với pháp vectơ n1 (0; 0;1) Phương trình mp (SAC): B x y z 1 a a h (SAC) : 2h 3x 2hy a 3z ah A với n2 (2h 3; 2h; a 3) cos C H x 00a 12h2 4h2 3a2 y a a a 16h2 3a2 16h2 3a2 tg cos2 3a2 3a2 tg2 a h h tg 16 Thể tích hình chóp S.ABC: V 1 a a2 a3 h.SABC tg tg 3 4 16 Bài Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác cân với AB = AC = a, góc BAC 120o cosin góc hai mặt phẳng (ABC) (AB'I) Hướng dẫn: Cách 1: Gọi H trung điểm BC AH BC AH a a BC a IB/ C/ vng có: a2 13a2 IB/ IC/ B/ C/ 3a2 4 B/ C/ A/ BH a2 5a2 AI IC AC a 4 2 I H B 30 C o A Page 81 Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế /2 Ta có: AI AB a) / 5a2 13a2 2a2 IB/ (AB/ đường chéo hình vng AA/B/B cạnh 4 I vng A Ta có: SAB/ I 1 a a2 10 1 a a2 ; SABC AH.BC a AI.AB/ a 2 2 I), theo cơng thức chiếu, ta có: / cos SABC a2 a2 10 30 : SAB/ I 4 10 Cách 2: Gọi H trung điểm BC AH BC a AH C/ z A/ B/ a a BC a BH 2 I C A Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az đơi vng góc, A(0; 0; 0), z 60o H y B a a a a / a a / a a B ; ; , C ; ; , A (0; 0; a), B/ ; ; a , C ; ; a , 2 2 2 2 a a a I ; ; 2 2 a a a a a / AB ; ; a , AI ; ; 2 2 2 / Ta có: AB AI a a 3 a a a 3a2 a2 2a2 a 0 2 4 / AB AI / I vng A Phương trình mp(ABC): z = có pháp vectơ n1 (0; 0; 1) / mp (AB/I) có cặp vectơ phương AB , AI , nên có pháp vectơ: a2 3a2 2a2 a2 a2 [AB ; AI] ; ; (1; 3; 3) n 4 4 / với n2 (1; 3; 3) cos 002 1 27 12 / I), ta có: 30 10 40 Page 82