1. Trang chủ
  2. » Khoa Học Tự Nhiên

Các bài tập hàm số liên tục docx

8 1,8K 78

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 8
Dung lượng 367 KB

Nội dung

Trang 1

Các bài tập hàm số liên tục Page 1 6/28/2024

CÁC BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN

Vấn đề 1 : Tìm giới hạn của hàm đa thức f(x) tại x = a

Phương pháp : lim f ( x ) f ( a )

a

Ví dụ : Tìm các giới hạn sau :

x

x

x

Vấn đề 2 : Tìm giới hạn của hàm phân thức hữu tỷ

) (

) (

x Q

x P

tại x = a

Phương pháp :

) (

) ( lim

x Q

x P

a x

– Nếu Q(a)0 thì

) (

) ( ) (

) ( lim

a Q

a P x Q

x P

a

– Nếu Q(a)0 P(a) 0 thì 

 ( )

) ( lim

x Q

x P

a x

– Nếu Q(a)0 P(a) 0 thì

) (

) ( lim

x Q

x P

a

0 0

tính

) (

) ( lim ) ( ) (

) ( ) ( lim ) (

) ( lim

x D

x C x

D a x

x C a x x

Q

x P

a x a

x a

Ví dụ : Tìm các giới hạn sau :

1

5

² lim

x

x

x

1

² lim

3 x

x

x

3

) 2 )(

3 ( lim 3

6 5

² lim

3 3

x

x x x

x x

x x

x

1 3

1 lim )

3 )(

1 (

1 lim

3 4

² 1 lim

1 1

x x

x x

x x

x

5

2

1 1

1 2 lim )

1 )(

1 (

) 1 2 )(

1 ( lim 1

²

1 3

² 2

lim

1 1

x x

x

x x

x

x x

x x

x

6

6

1 5

2 lim ) 5 )(

1 (

) 2 )(

1 ( lim 5 4

²

2 3

² lim

1 1

x x

x

x x x

x

x x

x x

x

2

) 4

² )(

2 )(

2 ( lim 2

16 lim

2 2

4

x

x x x x

x

x x

x

8

5

7 1

1 lim 5

7

x

x

x

1 lim )²

2 (

) 1 )(

2 ( lim )²

2 (

2 3

² lim

2 2

x x

x x x

x x

x x

x

4

²

8

³ lim

x

x

x

) 1

² ).(

1 ( lim 1 2

²

1

³ lim

1

x x x x

x

x

x x

2

²

4 2

³ lim

2

x x x

x x

x x

x x

Trang 2

Các bài tập hàm số liên tục Page 2 6/28/2024

Vấn đề 3: Tìm giới hạn tại x = a , của hàm số có chứa căn bậc hai

Phương pháp : Khử dạng vô định

0

0

bằng cách nhân thêm biểu thức liên hợp Cần nhớ : a – b = ( ab)( ab)

a – b = (3 a 3 b)(3 a² 3 a.3 b3 b²)

Ví dụ : Tìm giới hạn cuỉa các hàm số sau :

1

) 1

² 1 (

) 1

² 1 )(

1

² 1 ( lim 1

² 1 lim

0

x x x

x x x

x

x x x

x x

lim0 ( 1 ²² 1) 020

x

x

2.

) 2 )(

2 )(

3 2 1 (

) 2 )(

3 2 1 )(

3 2 1 ( lim 2

3 2 1 lim

4

x x

x x

x

x x

3

4 ) 3 2 1 ).(

4 (

) 2 ).(

4 (

2 lim

²) 2 ).(

3 2 1 (

) 2

²).(

3 2 1 ( lim

4

x x

x x

x x

x x

3.

) 2 ).(

9 1 4 (

) 3 1 4 ).(

2

² ( lim 3 1 4

2 lim

2

x x

x x

x x

x x

8

9 ) 2 ).(

2 (

4

) 3 1 4 ).(

2 )(

1 ( lim

x x

x

x

4.

2

1 1

1

lim

x

x

2 3

²

1 lim

x

x x

6.

1 )² 1 ( 1

1 3

lim 3

1 1

lim

3 3

0

3

x x

x

x x

7.

3

2 2 3

²

1 lim

3

x

x

8.

2 2

3 )

1

² ).(

1 ).(

2 1

(

1

² ).(

2 1

).(

2 1

( lim 1

2 1

lim

3 3 3

3 3 1

3

x x x

x x

x

x x

Vấn đề 4: Tìm giới hạn tại vô cực của hàm phân thức hữu tỷ

) (

) ( lim

x Q

x P

x  ( có dạng

)

Phương pháp : Chia tử và mẩu cho bậc cao nhất

Ví dụ : Tìm giới hạn cuỉa các hàm số sau :

2

²

1 5

² 3

x x

x

) 5 )(

2 (

1

²

x

x

1

³ lim

x

x x

x

) 1 ).(

1

³ 2 (

) 3 5 ).(

1

² 3

(

x x

x

5.

2

3 3 5

² 2

1 7

² 3

x x

x

6.

3

² 5

² 2 2

² 3 lim 4

x x

x

5 3

Trang 3

Các bài tập hàm số liên tục Page 3 6/28/2024

1

² lim3 5

x

x x

x

1

² 4

3 2

²



x x

x

9.

3

2 1

² 4

3 2

²



x x

x

10.lim( 4 ² 4 3 2 ) 1



x



x

Vấn đề 5 : Tìm giới hạn tại vô cực của hàm số có chứa căn bậc hai

Phương pháp :

– Trường hợp 1 : Khử dạng vô định

bằng cách chia tử và mẩu cho lũy thừa lớn nhất

– Trường hợp 2 : Khử dạng vô định    bằng cách nhân thêm lượng

biểu thức liên hợp

Cần nhớ : x + thì x = x²

x thì x = – x²

Ví dụ : Tìm giới hạn cuỉa các hàm số sau :

²

1 1 1

4 1

²

1 1 lim

²

1

²

²

4

² 1

² lim 1

²

4

² 1

²

x x

x x

x

x x x

x x x

x x

x x x

x x

x

2.

) 3

² (

) 3

² )(

3

² ( lim ) 3

² (

lim

x x

x

x x

x x x

x x

x x

x





x x

x

x x

x



² 3

² lim

2

1 ) 1

²

3 1 1 (

) 3 1 ( lim

3

²

3





x x x

x x x

x x

x

x x

3.

x x x

x x

x x

x x x x x x x

x x

x x







4 lim

4

²

) 4

² )(

4

² ( lim ) 4

² (

lim

) 1 4 1 (

4



x x

x

x

1

²



x x

x

1

²



x x

x

6. lim(x 3).( x² 4 x)



4

7 2

7

² 4



x

HÀM SỐ LIÊN TỤC

Trang 4

Các bài tập hàm số liên tục Page 4 6/28/2024

Vấn đề 1 : Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0:

Phương pháp : Cần kiểm tra 3 điều kiện

– Tính f(x0)

– Tính lim ( )

0

x f

x x

– So sánh lim ( )

0

x f

x x = f(x0)

Ví dụ : Xét tính liên tục của hàm số :

1.f(x) =

2

1

x

x

tại x = 1 , x = 2

Tại x = 1 : Ta có : f(1) = – 2

2 2

1 lim ) (

lim

1

x x

f

x x

) (

lim

1 f x

Vậy f(x) liên tục tại x = 1

Tại x = 2 thì f(x) không xác định

Vậy f(x) không liên tục tại x = 2

2.f(x) =

1 3

2

1 1

1 2

²

3

x khi x

x khi x

x x

Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 1

Tacó : f(1) = 5

4 1

) 1 3 )(

1 ( lim 1

1 2

²

3

lim

1

x x

x

x x

x x

5 ) 3 2

(

lim

x

x

Không tồn tại lim ( )

1 f x

x

Vậy f(x) không liên tục tại x = 1

3 f(x) =

 2 2

3

²

) 2 (

2

2 2

x khi x x

x

x khi

Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 2

Ta có : f(2) = 2

2 ) 2 )(

1 (

) 2 ( 2 lim 2 3

²

) 2 ( 2 lim ) (

lim

2 2

x x

x

x x

f

x x

x

) (

lim

2 f x

Vậy f(x) liên tục tại x = 2

4 f(x) =

 1 1

2 2

²

³

1 4

x khi x

x x

x

x khi

Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 1 ( f(x) không liên tục tại x = 1 ) 5.f(x) = 

1 3

²

1

1 1

x khi x x

x khi x

Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 1 ( f(x) không liên tục tại x = 1 ) 6.

2 2

3 2

1

2 1

)

(

x khi x

x

x khi x

f

Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 2 ( f(x) liên tục tại x = 2 ) 7.

0

² sin

cos

1

0 4

1

)

(

x khi x

x

x khi x

f

Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 0 ( f(x) liên tục tại x = 0 ) 8.Cho các hàm số f(x ) sau , có thể gán cho f(1) giá trị để f(x) liên tục tại x =1

a f(x) =

1

2 3

²

x x x

Trang 5

Các bài tập hàm số liên tục Page 5 6/28/2024

1

) 2 ).(

1 ( lim 1

2 3

² lim ) ( lim

1 1

x x x

x x x

f

x x

x

Để f(x) liên tục tại x =1 thì gán f(1) = –1

Vậy f(x) =

1 1

1 1

2 3

²

x khi x khi x

x x

b f(x) =

1

1

x

1 lim ) ( lim

1

x

1 lim ) ( lim

1

x

Nên f(x) không có giới hạn tại x = 1

Vậy không thể gán giá trị cho f(1) để f(x) liên tục tại x = 1

9.Định a để f(x) liên tục tại x = x0

a f(x) =

2

2 2

4

²

x khi a

x khi x

x

Định a để f(x) liên tục tại x = 2

b f(x) =

1 2

1 1

1 2

² 3

x khi ax

x khi x

x x

Định a để f(x) liên tục tại x =1 ( a = 2 )

c.f(x) =

0 2

4

0 1

1 1

x khi x

x a

x khi

x x x

Định a để f(x) liên tục tại x = 0

Ta có : f(0) = a + 2

1 1

1

2 lim

1 1

lim ) ( lim

2 )

2

4 ( lim ) ( lim

0 0

0

0 0

x x

x

x x

x f

a x

x a

x f

x x

x

x x

f(x) liên tục tại x = 0 , khi và chỉ khi :

f(0) = lim ( )

0 f x

x

 0

lim

x a = – 3 Vậy a = –3 thì f(x) liên tục tại x = 0

d f(x) =

0 1

0 2

sin 4 cos 1

x khi x

a x

x khi x

x

x

Định a để f(x) liên tục tại x = 0 ( a = 2 )

e f(x) =

0 4

1

0 4

2

x khi

x khi x

x

Chứng minh f(x) liên tục tại x = 0

Vấn đề 2:Tìm điểm gián đoạn của hàm số f(x)

f(x) gián đoạn tại x0 f(x) không liên tục tại x0

Phương pháp : f(x) gián đoạn tại x0 khi :

– hoặc f(x) không xác định tại x0

– hoặc không tồn tại lim ( )

0

x f

x x

lim f ( x )

x x f( x0)

Trang 6

Các bài tập hàm số liên tục Page 6 6/28/2024

Ví dụ :Tìm điểm gián đoạn của hàm số f(x)

1 f(x) =

2

1 2

x

x

Tại x = 2 thì f( x ) không xác định Vậy f(x) gián đoạn tại x = 2

2 f(x) =

2 2

3

²

) 1 (

2

2 2

x khi x

x

x

x khi

f(x) xác định x R 1;2

f(x) là hàm hữu tỉ f(x) liên tục x R 1;2

Khi x 1 : Ta có f(x) =

2 3

²

) 1 ( 2

x x

x

=

2

2 ) 2 ).(

1 (

) 1 ( 2

x x

x x

f(x) không xác định tại x = 2

f(x) gián đoạn tại x = 2

Khi x =1 : Ta có f(1) = – 2

2 ) 2 ).(

1 (

) 1 ( 2 lim 2 3

²

) 1 ( 2 lim ) ( lim

1 1

x x

x

x x

f

x x

x

lim ( )

1 f x

x = f(1)

f(x) liên tục tại x = 1 Vậy f(x) chỉ gián đoạn tại x = 2

Vấn đề 3 : Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên toàn trục số :

Phương pháp : Sử dụng định lí

Các hàm đa thức , hàm số hữu tỷ , hàm số lượng giác thì liên tục trên tập xác dịnh của chúng

Ví dụ : Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên R :

1 f(x) = 3x4 –2x³ + x² – 3x + 2

Ta có : f(x) = 3x4 –2x³ + x² – 3x + 2 là hàm đa thức

Vậy f(x) liên tục trên R

2 f(x) =

1

2 4

²

x

x x

TXD : D = R 1

Ta có : f(x) =

1

2 4

²

x

x x

là hàm hữu tỷ Vậy f(x) liên tục trên D = R 1

3 f(x ) =

2

²

1 2

² 3

x

x x

liên tục trên R

4 f(x) =

x

1

liên tục trên R 1

5.f(x) =

2 3

2 2

6

² 4

³

x khi x khi x

x x x

Trang 7

Các bài tập hàm số liên tục Page 7 6/28/2024

Vấn đề 4: Xét tính liên tục của hàm số f(x) cho bởi các biểu thức giải tích trên trục số :

Phương pháp :

– Tìm “ điểm nối ” a giữa hai công thức

– Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên hai khoảng (– ; a ) và ( a ; + ) – Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = a

Ví dụ :Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên R :

1 f(x) =

2

2 2

6 5

²

x khi a

x khi x

x x

x 2 thì f(x) =

2

6 5

²

x

x x

liên tục x 2

x = 2 , Ta có : f(2) = a

1 2

) 3 (

2 ( lim 2

6 5

² lim ) ( lim

2 2

x x x

x x x

f

x x

x

– Nếu a = –1 thì f(2) = lim ( )

2 f x

x nên f(x) liên tục tại x = 2 – Nếu a 1 thì f(2) lim ( )

2 f x

x nên f(x ) không liên tục tại x = 2 Vậy a = – 1 thì f(x) liên tục trên R

a 1 thì f(x) liên tục trên ( – ; 2 ) và ( 2 ; + )

2 f(x) =

3 2

3 3

12 7

²

x khi b

x

x khi x

x x

Với x 3 thì f(x) =

3

12 7

²

x

x x

là hàm phân thức hữu tỷ

f(x) liên tục trên khoảng ( – ; 3 )

Với x 3 thì f(x) = 2x + b là hàm đa thức

f(x) liên tục trên khoảng ( 3 ; + )

Tại x = 3 , ta có f(3) = 6 + b

1 3

) 4 ).(

3 ( lim 3

12 7

² lim

6 ) 2 ( lim

3 3

3

x

x x

x

x x

b b

x

x x

x

– Nếu 6 + b = –1 b = – 7 thì

 3

lim

 3

lim

x = f(3) nên f(x) liên tục tại x = 3 – Nếu 6 + b –1 b – 7 thì

 3

lim

x

 3

lim

x nên f(x) không liên tục tại x = 3 Vậy b = – 7 thì f(x) liên tục trên R

b – 7 thì f(x) liên tục trên khoảng ( – ; 3 ) và ( 3 ; + )

3.f(x) =

2 2

2 2 3

2 4

1 3

x khi x

x

x khi ax

a = 0 thì f(x) liên tục trên R

a 0 thì f(x) liên tục trên khoảng ( – ; 2 ) và ( 2 ; + )

Vấn đề 5: Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm x  a ; b

Trang 8

Các bài tập hàm số liên tục Page 8 6/28/2024

Phương pháp : – Chứng minh f(x) liên tục trên a ; b

– Chứng minh f(a).f(b) 0

Ví dụ :

1.Chứng minh phương trình : x³ – 3x +1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt

Giải

Đặt f(x) = x³ – 3x + 1 thì f(x) liên tục trên R

Ta có : f(2).f(1) -3 0

1 f(1)

3 f(2)

thì x1 1 ; 2 : f( x1) = 0 f(1).f(-1) -3 0

3 f(-1) 1 -f(1)

thì x2 – 1 ; 1 : f( x2 ) = 0

0 -3 ) f(-1).f(-2 1

-f(-2)

3 f(-1)

thì x3 –1 ;– 2 : f( x3) 0 Vậy phương trình : x³ – 3x +1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt

2 Chứng minh phương trình : 2x4 + 4x² + x – 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc -1 ; 1

Giải

Đặt f(x) = 2x4 + 4x² + x – 3 thì f(x) liên tục trên R

Ta có : f(1).f(0) -12 0

3 f(0)

4

f(1)

thì ít nhất x1 0 ; 1 : f( x1) = 0 f(0).f(-1) -6 0

2 f(-1) 3 -f(0)

thì ít nhất x2  0 ;– 1 : f( x2 ) = 0 Vậy phương trình : 2x4 + 4x² + x – 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc -1 ; 1

3.Chứng minh phương trình : x17= x11+ 1 có nghiệm

Giải

Đặt f(x) = x17– x11– 1 thì f(x) liên tục trên R

Ta có : f(0).f(2) 0

0 f(2) 1 -f(0)

thì ít nhất x1 0 ; 1 : f( x1) = 0 Vậy phương trình : x17– x11– 1 = 0 có nghiệm

4.Chứng minh phương trình : x5–3x = 1 có ít nhất một nghiệm thuộc 1 ; 2

( f(1).f(2)< 0 )

5.Chứng minh phương trình : m( x – 1)³.( x + 2 ) + 2x + 3 = 0 luôn có nghiệm

( f(1).f( – 2) < 0 )

6.Chứng minh phương trình : a( x – b )( x – c ) + b.( x – a )( x – c ) + c.( x – a)( x – b ) = 0

luôn có nghiệm ( f(a) f(b).f(c).f(0) 0 )

Ngày đăng: 04/07/2014, 07:20

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w