Các bài tập hàm số liên tục Page 1 6/28/2024
CÁC BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN
Vấn đề 1 : Tìm giới hạn của hàm đa thức f(x) tại x = a
Phương pháp : lim f ( x ) f ( a )
a
Ví dụ : Tìm các giới hạn sau :
x
x
x
Vấn đề 2 : Tìm giới hạn của hàm phân thức hữu tỷ
) (
) (
x Q
x P
tại x = a
Phương pháp :
) (
) ( lim
x Q
x P
a x
– Nếu Q(a)0 thì
) (
) ( ) (
) ( lim
a Q
a P x Q
x P
a
– Nếu Q(a)0 và P(a) 0 thì
( )
) ( lim
x Q
x P
a x
– Nếu Q(a)0 và P(a) 0 thì
) (
) ( lim
x Q
x P
a
0 0
tính
) (
) ( lim ) ( ) (
) ( ) ( lim ) (
) ( lim
x D
x C x
D a x
x C a x x
Q
x P
a x a
x a
Ví dụ : Tìm các giới hạn sau :
1
5
² lim
x
x
x
1
² lim
3 x
x
x
3
) 2 )(
3 ( lim 3
6 5
² lim
3 3
x
x x x
x x
x x
x
1 3
1 lim )
3 )(
1 (
1 lim
3 4
² 1 lim
1 1
x x
x x
x x
x
5
2
1 1
1 2 lim )
1 )(
1 (
) 1 2 )(
1 ( lim 1
²
1 3
² 2
lim
1 1
x x
x
x x
x
x x
x x
x
6
6
1 5
2 lim ) 5 )(
1 (
) 2 )(
1 ( lim 5 4
²
2 3
² lim
1 1
x x
x
x x x
x
x x
x x
x
2
) 4
² )(
2 )(
2 ( lim 2
16 lim
2 2
4
x
x x x x
x
x x
x
8
5
7 1
1 lim 5
7
x
x
x
1 lim )²
2 (
) 1 )(
2 ( lim )²
2 (
2 3
² lim
2 2
x x
x x x
x x
x x
x
4
²
8
³ lim
x
x
x
) 1
² ).(
1 ( lim 1 2
²
1
³ lim
1
x x x x
x
x
x x
2
²
4 2
³ lim
2
x x x
x x
x x
x x
Trang 2Các bài tập hàm số liên tục Page 2 6/28/2024
Vấn đề 3: Tìm giới hạn tại x = a , của hàm số có chứa căn bậc hai
Phương pháp : Khử dạng vô định
0
0
bằng cách nhân thêm biểu thức liên hợp Cần nhớ : a – b = ( a b)( a b)
a – b = (3 a 3 b)(3 a² 3 a.3 b3 b²)
Ví dụ : Tìm giới hạn cuỉa các hàm số sau :
1
) 1
² 1 (
) 1
² 1 )(
1
² 1 ( lim 1
² 1 lim
0
x x x
x x x
x
x x x
x x
lim0 ( 1 ²² 1) 020
x
x
2.
) 2 )(
2 )(
3 2 1 (
) 2 )(
3 2 1 )(
3 2 1 ( lim 2
3 2 1 lim
4
x x
x x
x
x x
3
4 ) 3 2 1 ).(
4 (
) 2 ).(
4 (
2 lim
²) 2 ).(
3 2 1 (
) 2
²).(
3 2 1 ( lim
4
x x
x x
x x
x x
3.
) 2 ).(
9 1 4 (
) 3 1 4 ).(
2
² ( lim 3 1 4
2 lim
2
x x
x x
x x
x x
8
9 ) 2 ).(
2 (
4
) 3 1 4 ).(
2 )(
1 ( lim
x x
x
x
4.
2
1 1
1
lim
x
x
2 3
²
1 lim
x
x x
6.
1 )² 1 ( 1
1 3
lim 3
1 1
lim
3 3
0
3
x x
x
x x
7.
3
2 2 3
²
1 lim
3
x
x
8.
2 2
3 )
1
² ).(
1 ).(
2 1
(
1
² ).(
2 1
).(
2 1
( lim 1
2 1
lim
3 3 3
3 3 1
3
x x x
x x
x
x x
Vấn đề 4: Tìm giới hạn tại vô cực của hàm phân thức hữu tỷ
) (
) ( lim
x Q
x P
x ( có dạng
)
Phương pháp : Chia tử và mẩu cho bậc cao nhất
Ví dụ : Tìm giới hạn cuỉa các hàm số sau :
2
²
1 5
² 3
x x
x
) 5 )(
2 (
1
²
x
x
1
³ lim
x
x x
x
) 1 ).(
1
³ 2 (
) 3 5 ).(
1
² 3
(
x x
x
5.
2
3 3 5
² 2
1 7
² 3
x x
x
6.
3
² 5
² 2 2
² 3 lim 4
x x
x
5 3
Trang 3Các bài tập hàm số liên tục Page 3 6/28/2024
1
² lim3 5
x
x x
x
1
² 4
3 2
²
x x
x
9.
3
2 1
² 4
3 2
²
x x
x
10.lim( 4 ² 4 3 2 ) 1
x
x
Vấn đề 5 : Tìm giới hạn tại vô cực của hàm số có chứa căn bậc hai
Phương pháp :
– Trường hợp 1 : Khử dạng vô định
bằng cách chia tử và mẩu cho lũy thừa lớn nhất
– Trường hợp 2 : Khử dạng vô định bằng cách nhân thêm lượng
biểu thức liên hợp
Cần nhớ : x + thì x = x²
x – thì x = – x²
Ví dụ : Tìm giới hạn cuỉa các hàm số sau :
²
1 1 1
4 1
²
1 1 lim
²
1
²
²
4
² 1
² lim 1
²
4
² 1
²
x x
x x
x
x x x
x x x
x x
x x x
x x
x
2.
) 3
² (
) 3
² )(
3
² ( lim ) 3
² (
lim
x x
x
x x
x x x
x x
x x
x
x x
x
x x
x
² 3
² lim
2
1 ) 1
²
3 1 1 (
) 3 1 ( lim
3
²
3
x x x
x x x
x x
x
x x
3.
x x x
x x
x x
x x x x x x x
x x
x x
4 lim
4
²
) 4
² )(
4
² ( lim ) 4
² (
lim
) 1 4 1 (
4
x x
x
x
1
²
x x
x
1
²
x x
x
6. lim(x 3).( x² 4 x)
4
7 2
7
² 4
x
HÀM SỐ LIÊN TỤC
Trang 4Các bài tập hàm số liên tục Page 4 6/28/2024
Vấn đề 1 : Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0:
Phương pháp : Cần kiểm tra 3 điều kiện
– Tính f(x0)
– Tính lim ( )
0
x f
x x
– So sánh lim ( )
0
x f
x x = f(x0)
Ví dụ : Xét tính liên tục của hàm số :
1.f(x) =
2
1
x
x
tại x = 1 , x = 2
Tại x = 1 : Ta có : f(1) = – 2
2 2
1 lim ) (
lim
1
x x
f
x x
) (
lim
1 f x
Vậy f(x) liên tục tại x = 1
Tại x = 2 thì f(x) không xác định
Vậy f(x) không liên tục tại x = 2
2.f(x) =
1 3
2
1 1
1 2
²
3
x khi x
x khi x
x x
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 1
Tacó : f(1) = 5
4 1
) 1 3 )(
1 ( lim 1
1 2
²
3
lim
1
x x
x
x x
x x
5 ) 3 2
(
lim
x
x
Không tồn tại lim ( )
1 f x
x
Vậy f(x) không liên tục tại x = 1
3 f(x) =
2 2
3
²
) 2 (
2
2 2
x khi x x
x
x khi
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 2
Ta có : f(2) = 2
2 ) 2 )(
1 (
) 2 ( 2 lim 2 3
²
) 2 ( 2 lim ) (
lim
2 2
x x
x
x x
f
x x
x
) (
lim
2 f x
Vậy f(x) liên tục tại x = 2
4 f(x) =
1 1
2 2
²
³
1 4
x khi x
x x
x
x khi
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 1 ( f(x) không liên tục tại x = 1 ) 5.f(x) =
1 3
²
1
1 1
x khi x x
x khi x
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 1 ( f(x) không liên tục tại x = 1 ) 6.
2 2
3 2
1
2 1
)
(
x khi x
x
x khi x
f
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 2 ( f(x) liên tục tại x = 2 ) 7.
0
² sin
cos
1
0 4
1
)
(
x khi x
x
x khi x
f
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 0 ( f(x) liên tục tại x = 0 ) 8.Cho các hàm số f(x ) sau , có thể gán cho f(1) giá trị để f(x) liên tục tại x =1
a f(x) =
1
2 3
²
x x x
Trang 5Các bài tập hàm số liên tục Page 5 6/28/2024
1
) 2 ).(
1 ( lim 1
2 3
² lim ) ( lim
1 1
x x x
x x x
f
x x
x
Để f(x) liên tục tại x =1 thì gán f(1) = –1
Vậy f(x) =
1 1
1 1
2 3
²
x khi x khi x
x x
b f(x) =
1
1
x
1 lim ) ( lim
1
x
1 lim ) ( lim
1
x
Nên f(x) không có giới hạn tại x = 1
Vậy không thể gán giá trị cho f(1) để f(x) liên tục tại x = 1
9.Định a để f(x) liên tục tại x = x0
a f(x) =
2
2 2
4
²
x khi a
x khi x
x
Định a để f(x) liên tục tại x = 2
b f(x) =
1 2
1 1
1 2
² 3
x khi ax
x khi x
x x
Định a để f(x) liên tục tại x =1 ( a = 2 )
c.f(x) =
0 2
4
0 1
1 1
x khi x
x a
x khi
x x x
Định a để f(x) liên tục tại x = 0
Ta có : f(0) = a + 2
1 1
1
2 lim
1 1
lim ) ( lim
2 )
2
4 ( lim ) ( lim
0 0
0
0 0
x x
x
x x
x f
a x
x a
x f
x x
x
x x
f(x) liên tục tại x = 0 , khi và chỉ khi :
f(0) = lim ( )
0 f x
x
0
lim
x a = – 3 Vậy a = –3 thì f(x) liên tục tại x = 0
d f(x) =
0 1
0 2
sin 4 cos 1
x khi x
a x
x khi x
x
x
Định a để f(x) liên tục tại x = 0 ( a = 2 )
e f(x) =
0 4
1
0 4
2
x khi
x khi x
x
Chứng minh f(x) liên tục tại x = 0
Vấn đề 2:Tìm điểm gián đoạn của hàm số f(x)
f(x) gián đoạn tại x0 f(x) không liên tục tại x0
Phương pháp : f(x) gián đoạn tại x0 khi :
– hoặc f(x) không xác định tại x0
– hoặc không tồn tại lim ( )
0
x f
x x
– lim f ( x )
x x f( x0)
Trang 6Các bài tập hàm số liên tục Page 6 6/28/2024
Ví dụ :Tìm điểm gián đoạn của hàm số f(x)
1 f(x) =
2
1 2
x
x
Tại x = 2 thì f( x ) không xác định Vậy f(x) gián đoạn tại x = 2
2 f(x) =
2 2
3
²
) 1 (
2
2 2
x khi x
x
x
x khi
f(x) xác định x R 1;2
f(x) là hàm hữu tỉ f(x) liên tục x R 1;2
Khi x 1 : Ta có f(x) =
2 3
²
) 1 ( 2
x x
x
=
2
2 ) 2 ).(
1 (
) 1 ( 2
x x
x x
f(x) không xác định tại x = 2
f(x) gián đoạn tại x = 2
Khi x =1 : Ta có f(1) = – 2
2 ) 2 ).(
1 (
) 1 ( 2 lim 2 3
²
) 1 ( 2 lim ) ( lim
1 1
x x
x
x x
f
x x
x
lim ( )
1 f x
x = f(1)
f(x) liên tục tại x = 1 Vậy f(x) chỉ gián đoạn tại x = 2
Vấn đề 3 : Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên toàn trục số :
Phương pháp : Sử dụng định lí
Các hàm đa thức , hàm số hữu tỷ , hàm số lượng giác thì liên tục trên tập xác dịnh của chúng
Ví dụ : Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên R :
1 f(x) = 3x4 –2x³ + x² – 3x + 2
Ta có : f(x) = 3x4 –2x³ + x² – 3x + 2 là hàm đa thức
Vậy f(x) liên tục trên R
2 f(x) =
1
2 4
²
x
x x
TXD : D = R 1
Ta có : f(x) =
1
2 4
²
x
x x
là hàm hữu tỷ Vậy f(x) liên tục trên D = R 1
3 f(x ) =
2
²
1 2
² 3
x
x x
liên tục trên R
4 f(x) =
x
1
liên tục trên R 1
5.f(x) =
2 3
2 2
6
² 4
³
x khi x khi x
x x x
Trang 7Các bài tập hàm số liên tục Page 7 6/28/2024
Vấn đề 4: Xét tính liên tục của hàm số f(x) cho bởi các biểu thức giải tích trên trục số :
Phương pháp :
– Tìm “ điểm nối ” a giữa hai công thức
– Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên hai khoảng (– ; a ) và ( a ; + ) – Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = a
Ví dụ :Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên R :
1 f(x) =
2
2 2
6 5
²
x khi a
x khi x
x x
x 2 thì f(x) =
2
6 5
²
x
x x
liên tục x 2
x = 2 , Ta có : f(2) = a
1 2
) 3 (
2 ( lim 2
6 5
² lim ) ( lim
2 2
x x x
x x x
f
x x
x
– Nếu a = –1 thì f(2) = lim ( )
2 f x
x nên f(x) liên tục tại x = 2 – Nếu a 1 thì f(2) lim ( )
2 f x
x nên f(x ) không liên tục tại x = 2 Vậy a = – 1 thì f(x) liên tục trên R
a 1 thì f(x) liên tục trên ( – ; 2 ) và ( 2 ; + )
2 f(x) =
3 2
3 3
12 7
²
x khi b
x
x khi x
x x
Với x 3 thì f(x) =
3
12 7
²
x
x x
là hàm phân thức hữu tỷ
f(x) liên tục trên khoảng ( – ; 3 )
Với x 3 thì f(x) = 2x + b là hàm đa thức
f(x) liên tục trên khoảng ( 3 ; + )
Tại x = 3 , ta có f(3) = 6 + b
1 3
) 4 ).(
3 ( lim 3
12 7
² lim
6 ) 2 ( lim
3 3
3
x
x x
x
x x
b b
x
x x
x
– Nếu 6 + b = –1 b = – 7 thì
3
lim
3
lim
x = f(3) nên f(x) liên tục tại x = 3 – Nếu 6 + b –1 b – 7 thì
3
lim
x
3
lim
x nên f(x) không liên tục tại x = 3 Vậy b = – 7 thì f(x) liên tục trên R
b – 7 thì f(x) liên tục trên khoảng ( – ; 3 ) và ( 3 ; + )
3.f(x) =
2 2
2 2 3
2 4
1 3
x khi x
x
x khi ax
a = 0 thì f(x) liên tục trên R
a 0 thì f(x) liên tục trên khoảng ( – ; 2 ) và ( 2 ; + )
Vấn đề 5: Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm x a ; b
Trang 8Các bài tập hàm số liên tục Page 8 6/28/2024
Phương pháp : – Chứng minh f(x) liên tục trên a ; b
– Chứng minh f(a).f(b) 0
Ví dụ :
1.Chứng minh phương trình : x³ – 3x +1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt
Giải
Đặt f(x) = x³ – 3x + 1 thì f(x) liên tục trên R
Ta có : f(2).f(1) -3 0
1 f(1)
3 f(2)
thì x1 1 ; 2 : f( x1) = 0 f(1).f(-1) -3 0
3 f(-1) 1 -f(1)
thì x2 – 1 ; 1 : f( x2 ) = 0
0 -3 ) f(-1).f(-2 1
-f(-2)
3 f(-1)
thì x3 –1 ;– 2 : f( x3) 0 Vậy phương trình : x³ – 3x +1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt
2 Chứng minh phương trình : 2x4 + 4x² + x – 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc -1 ; 1
Giải
Đặt f(x) = 2x4 + 4x² + x – 3 thì f(x) liên tục trên R
Ta có : f(1).f(0) -12 0
3 f(0)
4
f(1)
thì ít nhất x1 0 ; 1 : f( x1) = 0 f(0).f(-1) -6 0
2 f(-1) 3 -f(0)
thì ít nhất x2 0 ;– 1 : f( x2 ) = 0 Vậy phương trình : 2x4 + 4x² + x – 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc -1 ; 1
3.Chứng minh phương trình : x17= x11+ 1 có nghiệm
Giải
Đặt f(x) = x17– x11– 1 thì f(x) liên tục trên R
Ta có : f(0).f(2) 0
0 f(2) 1 -f(0)
thì ít nhất x1 0 ; 1 : f( x1) = 0 Vậy phương trình : x17– x11– 1 = 0 có nghiệm
4.Chứng minh phương trình : x5–3x = 1 có ít nhất một nghiệm thuộc 1 ; 2
( f(1).f(2)< 0 )
5.Chứng minh phương trình : m( x – 1)³.( x + 2 ) + 2x + 3 = 0 luôn có nghiệm
( f(1).f( – 2) < 0 )
6.Chứng minh phương trình : a( x – b )( x – c ) + b.( x – a )( x – c ) + c.( x – a)( x – b ) = 0
luôn có nghiệm ( f(a) f(b).f(c).f(0) 0 )