các dạng bài tập đại số 9 thi vào lớp 10 và các lưu ý khi giải phần 1 ppt

Chú ý :  Khi rút gọn các biểu thức lμ các phép tính giữa các phân thức ta thường tìm cách đưa biểu thức thμnh một phân thức sau đó phân tích tử vμ mẫu thμnh nhân tử rồi giản ước những

Trang 1

Các chú ý vμ lời giảI cho một số bμi toán cơ bản

A toán rút gọn biểu thức

I Ví dụ : Rút gọn biểu thức P 2 x x 3x 3 : 2 x 4 1

x 9



0,x 1, x 9

Giải : Với x  0, x  1,x  9 ta có      

x 3





     



II Chú ý :

 Khi rút gọn các biểu thức lμ các phép tính giữa các phân thức ta thường tìm cách đưa biểu thức thμnh một phân thức sau đó phân tích tử vμ mẫu thμnh nhân tử rồi giản ước những thừa số chung của cả tử vμ mẫu

 Trường hợp đề bμi không cho điều kiện thì khi rút gọn xong ta nên tìm

điều kiện cho biểu thức Khi đó quan sát biểu thức cuối cùng vμ các thừa

số đã được giản ước để tìm điều kiện

 Ví dụ với bμi nμy : + Biểu thức cuối cùng cần x  0

+ Các thừa số được giản ước lμ :

x 1vμ x    3 cần x  1vμ x  9

Vậy điều kiện để biểu thức có nghĩa lμ x  0,x  1, x  9

B phương trình bậc hai vμ định lí viét

I Ví dụ

Đề bμi 1: Cho phương trình x2 – (2m-1)x + m – 1 = 0

a Giải phương trình với m 5

3



b Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

c Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

d Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu

e Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dương

f Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm

g Tìm m để phương trình có nghiệm dương

h Tìm m để phương trình có hai nghiệm lμ hai số nghịch đảo của nhau

i Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 2x1 + 5x2 = -1

j Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 2 2

1 2

x  x  1

k Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 vμ x2 của phương trình

l Tìm GTNN của x1 x2

m Tìm GTLN của 2 2 2 2

x 1 x   x 1 4x 

Trang 2

n Khi phương trình có hai nghiệm x1 vμ x2 , chứng minh biểu thức sau không phụ

thuộc vμo m

1 2

1 2 2 1

x x x x

B

Giải :

a Giải phương trình với m 5

3



Với m 5

3

 ta có phương trình : 2 7 2 2

 2

7 4.3.2 49 24 25 0; 5

          phương trình có hai nghiệm phân biệt :

Vậy với m 5

3

 phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt lμ 1vμ 2

3

b Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Phương trình đã cho lμ phương trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

2m 1 4.1 m 1 4m 4m 1 4m 4

2m 1   0 với mọi m    2m 1     1 1 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai

nghiệm phân biệt với mọi m

c Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi ac   0 1 m 1    0 m 1 0    m  1

Vậy với m<1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu

d Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu

Phương trình có hai nghiệm cùng dấu khi

2m 2 1 0 ( luôn dúng )

ac 0 m 1 0





Vậy với m > 1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu

e Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dương

Phương trình có hai nghiệm cùng dương khi



2

0

a





Vậy với m > 1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dương

f Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm

Phương trình có hai nghiệm cùng âm khi

Trang 3

2

0

a





Vậy không có giá trị nμo của m để phương trình đã cho có hai nghiệm cùng âm

g Tìm m để phương trình có nghiệm dương

Để phương trình có nghiệm dương ta có các trường hợp sau :

 Phương trình có một nghiệm dương vμ một nghiệm bằng 0

Thay x = 0 vμo phương trình ta có m - 1 = 0 hay m = 1 Thay m = 1 vμo phương trình

ta được

x2 - x = 0  x x 1     0 x 0 hoặc x  1( thỏa mãn )

 Phương trình có hai nghiệm cùng dương, điều kiện lμ :



2

0

a





 Phương trình có hai nghiệm trái dấu, điều kiện lμ :

ac   0 1 m 1    0 m 1 0    m  1

Kết hợp cả ba trường hợp ta có với mọi m thì phương trình đã cho có nghiệm dương

h Tìm m để phương trình có hai nghiệm lμ hai số nghịch đảo của nhau

2m 1 4.1 m 1 4m 4m 1 4m 4

2m 1   0 với mọi m    2m 1     1 1 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 vμ x2 với mọi m

Theo định lí Viet ta có x1.x2 = c m 1

a   Phương trình có hai nghiệm lμ hai số nghịch đảo của nhau khi x1.x2 = 1

Vậy với m = 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm lμ hai số nghịch đảo của nhau

i Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 2x 1 + 5x 2 = -1

2m 1 4.1 m 1 4m 4m 1 4m 4

Theo định lí Viet vμ đề bμi ta có : 11 2 2

1 2





Nhân hai vế của (1) với 5 sau đó trừ các vế tương ứng cho (3) ta được :

5x1 + 5x2 – 2 x1 – 5x2 = 10m – 5 + 1 3x1 10m 4 x1 10m 4

3



Thay (4) vμo (1) ta có : 10m 4 x2 2m 1 x2 2m 1 10m 4 6m 3 10m 4 1 4m

(5)

Thay (4) vμ (5) vμo (2) ta được phương trình :

Trang 4

     

2 2

2

10m 4 1 4m

40m 17m 5 0

17 4.40 5 1089 0; 33

Vậy với m 1 hoặc m 5

  thì phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện đề bμi

j Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 2 2

1 2

x  x  1 Phương trình đã cho lμ phương trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

2m 1 4.1 m 1 4m 4m 1 4m 4

Theo định lí Viet ta có :  1 2

1 2

 

x  x   1 x  x  2x x  2x x   1 x  x  2x x  1 (3) Thay (1) vμ (2) vμo (3) ta có (2m – 1)2 – 2(m – 1) = 1

(2m - 1) - 2(m - 1) = 1  4m  4m 1 2m 2      1 4m  6m 2    0 2m  3m 1 0  

Phương trình có dạng a + b + c = 0 nên có hai nghiệm lμ m1 = 1 ; m2 = c 1

a  2 Vậy với m 1 hoặc m 1

2

  thì phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện đề bμi

k Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x 1 vμ x 2 của phương trình

2m 1 4.1 m 1 4m 4m 1 4m 4

2m 1   0 với mọi m    2m 1     1 1 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 vμ x2 với mọi m Theo định lí Viet ta có :

1 2

2

x x m 1

m x x 1



      

1 2

2

Vậy hệ thức cần tìm lμ x1 x2  2x x1 2  1

l Tìm GTNN của x1 x2

2m 1 4.1 m 1 4m 4m 1 4m 4

1 2

 

x  x   0 A  x  x  x  x  x  2x x  x  x  x  4x x

Thay (1) vμ (2) vμo ta có

A  2m 1   4 m 1   4m  4m 1 4m     4 4m  8m    4 1 2m 2    1 1 với mọi m (3)

Mμ A  0 nê n từ (3)   A 1với mọi m

Dấu bằng xảy ra khi (2m - 2)2 = 0  m  1

Trang 5

Vậy GTNN của A  x1 x2 lμ 1 xảy ra khi m = 1

m Tìm GTLN của 2 2 2 2

x 1 x   x 1 4x  Phương trình đã cho lμ phương trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

2m 1 4.1 m 1 4m 4m 1 4m 4

1 2

 

Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2  2  2

Thay (1) vμ (2) vμo (3) ta được :

2 2

m 2   0 với mọi m    A 2 m 2   2 với mọi m

Dấu bằng xảy ra khi (m – 2)2 = 0 hay m = 2

Vậy GTLN của 2 2 2 2

A  x 1 x   x 1 4x  lμ 2 khi m = 2

n Khi phương trình có hai nghiệm x 1 vμ x 2 ,

chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vμo m : 1 2

1 2 2 1

x x x x

B

2m 1 4.1 m 1 4m 4m 1 4m 4

2m 1   0 với mọi m    2m 1     1 1 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 vμ x2 với mọi m Theo định lí Viet ta có :  1 2

1 2

 

 

2 2

1 2

2

Ta có:

4 m 1

4



B

Vậy biểu thức B không phụ thuộc vμo giá trị của m

Đề bμi 2 Cho phương trình (m+1)x2 - 2(m+2)x + m + 5 = 0

a Giải phương trình với m = -5

b Tìm m để phương trình có nghiệm

c Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất

d Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

e Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

f *Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dương

g Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 + 3x2 = 4

h Tìm m để phương trình có hai nghiệm mμ tích của chúng bằng -1

i Khi phương trình có hai nghiệm x1 , x2 Tính theo m giá trị của 2 2

1 2

j Tìm m để A = 6

Trang 6

k Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 trong đó có một nghiệm lμ 1

2 Khi đó hãy lập phương trình có hai nghiệm lμ 1 2

vμ

Giải :

a Giải phương trình với m = -5

Thay m = -5 vμo phương trình ta có : -4x2 + 6x = 0

2x 2x 3 0

2





 

Vậy với m = -5 , phương trình có hai nghiệm lμ 0 vμ 3

2

b Tìm m để phương trình có nghiệm

 Với m = -1 phương trình trở thμnh -2x + 4 = 0   x 2 Phương trình có một nghiệm x = 2

 Với m -1 phương trình lμ phương trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5

  2  

Phương trình có nghiệm khi 2m 1 0 m 1

2



Tóm lại phương trình có nghiệm khi m 1

2





c Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất

 Với m = -1 phương trình trở thμnh -2x + 4 = 0   x 2 P.trình có một nghiệm duy nhất x = 2

  2  

Phương trình có nghiệm duy nhất khi 2m 1 0 m 1

2



     ( thỏa mãn )

Tóm lại phương trình có nghiệm duy nhất khi m 1 hoặc m 1

2



Chú ý : Trường hợp phương trình bậc hai có   0 cũng được coi lμ có

nghiệm duy nhất

d Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

  2  

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 2m 1 0 m 1

2



Tóm lại phương trình có hai nghiệm phân biệt khi m 1 vμ m 1

2



e Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

Trang 7

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi ac < 0

(vô nghiệm)

Vậy với -5 < m < -1 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu

Chú ý :

Giải BPT ( m + 1 )( m + 5 ) < 0 (1) có cách nhanh hơn như sau :

Để (1) xảy ra thì m + 1 vμ m + 5 lμ hai số trái dấu Ta luôn có m + 1 < m + 5 nên (1) xảy ra khi m + 1 < 0 m < -1 5 m 1

m + 5 > 0  m > -5     

Trường hợp chỉ cần biết kết quả của các BPT dạng như (1), hãy học thuộc từ

“ngoμi cùng trong khác” vμ dịch như sau : ngoμi khoảng hai nghiệm thì vế trái cùng dấu với hệ số a, trong khoảng hai nghiệm thì vế trái khác dấu với

hệ số a ( hệ số a lμ hệ số lũy thừa bậc hai của vế trái khi khai triển, nghiệm ở

đây lμ nghiệm của đa thức vế trái )

Ví dụ với BPT (1) thì vế trái có hai nghiệm lμ -1 vμ -5 , dạng khai triển lμ m2

+ 6m + 5 nên hệ số a lμ 1 >0 BPT cần vế trái < 0 tức lμ khác dấu với hệ số a nên m phải trong khoảng hai nghiệm, tức lμ -5 < m < -1 Còn BPT ( m + 1 )(

m + 5 ) > 0 (2) sẽ cần m ngoμi khoảng hai nghiệm (cùng dấu với hệ số a), tức

lμ m < -5 hoặc m > -1

Một số ví dụ minh họa :

2m 6 1 mm 3 m 7  00 m1 m7 hoặc m3 ; 3; 5 m 2m 82m 4 3m 9 00 m 34 hoặc mm 2 5

f *Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dương

  2  

Phương trình có hai nghiệm cùng dương khi

       

 

   

2m 1 0

1

2





Chú ý :

Để tìm nghiệm của hệ bất phương trình (I) ta lấy nháp vẽ một trục số, điền các số mốc lên đó vμ lấy các vùng nghiệm Sau đó quan sát để tìm ra vùng nghiệm chung vμ kết luận Việc lμm đó diễn tả như sau :

(1)

Trang 8

ở hình trên các đường (1) ; (2) ; (3) lần lượt lμ các đường lấy nghiệm của các bất phương trình (1) ; (2) ; (3) trên trục số Qua đó ta thấy m<-5 hoặc -1 < m < 1

2

 lμ

các giá trị chung thỏa mãn cả ba bất phương trình (1) ; (2) ; (3) nên đó lμ tập nghiệm của hệ bất phương trình (I)

g Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn x 1 + 3x 2 = 4

  2  

Phương trình có hai nghiệm x1 , x2 khi nó lμ phương trình bậc hai có   0

2







Khi đó theo đề bμi vμ định lí Viet ta có

   

 

1 2

b





Từ (1) vμ (3) ta có hệ phương trình

1 2

Thay vμo (2) ta có phương trình :

m 1 m 1 m 1

5

2

Vậy m 5

2

  lμ giá trị cần tìm

h Tìm m để phương trình có hai nghiệm mμ tích của chúng bằng -1

  2  

Trang 9

Tức lμ m 1 m 11  1

2







Khi đó theo định lí Viet ta có x1.x2 = m 5

m 1



 Vậy để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn tích hai nghiệm bằng -1 thì m phải

m 1



         

 Vậy m = -3 lμ giá trị cần tìm

i Khi phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 Tính theo m giá trị của 2 2

1 2

  2  

Tức lμ m 1 m 11  

1

2





   

 

1 2

b

2 2

2 m 5



 

2

m 1



j Tìm m để A = 6

2 2

2

m 1



2

2 2

2



Kết hợp với điều kiện ta có m = -2 lμ giá trị cần tìm

k Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 trong đó có một nghiệm lμ 1

2 Khi đó hãy lập phương trình có hai nghiệm lμ 1 2

vμ

Trang 10

  2  

Tức lμ m 1 m 11  1

2







Thay x = 1

2 vμo phương trình đã cho ta có

(m+1).( 1

2)2 - 2(m+2) 1

2 + m + 5 = 0 m+1 - 4m - 8 + 4m + 20 = 0 m = -13 ( thỏa mãn (1))

Vậy với m = -13 thì phương trình có hai nghiệm x1 , x2 trong đó có một nghiệm lμ 1

2 Thay m = -13 phương trình trở thμnh -12x2 + 22x - 8 = 0  6x2 - 11x + 4 = 0

Theo định lí Viet : x1 x2 11 : x x1 2 4 2

    Khi đó :

2 2

7 2

3.

3

 

2 11

36 6 1 36x x 6 x x 1

2

9.

3

Do đó phương trình cần tìm có dạng y2 - 7y + 6 = 0 (2)

Chú ý :

Phương trình (2) không nên lấy ẩn lμ x vì dễ gây nhầm lẫn với phương trình của đề bμi

II Chú ý :

Khi gặp phương trình có tham số ( thường lμ m) ở hệ số a (hệ số của lũy thừa bậc hai)ta cần xét riêng trường hợp hệ số a = 0 để kết luận trường hợp nμy có thỏa mãn yêu cầu của đề bμi hay không Sau đó xét trường hợp a khác 0, khẳng

định đó lμ phương trình bậc hai rồi mới được tính 

C hμm số vμ đồ thị

I Ví dụ

Đề bμi 1: Cho hμm số bậc nhất : y = ( 2m – 5 )x + 3 với m  5

2 có đồ thị lμ đường thẳng d

Tìm giá trị của m để

a Góc tạo bởi (d) vμ vμ trục Ox lμ góc nhọn, góc tù ( hoặc hμm số đồng biến, nghịch biến)

b (d ) đi qua điểm ( 2 ; -1)

c (d) song song với đường thẳng y = 3x – 4

d (d) song song với đường thẳng 3x + 2y = 1

e (d) luôn cắt đường thẳng 2x – 4y – 3 = 0

f (d) cắt đường thẳng 2x + y = -3 tại điểm có hoμnh độ lμ -2

g (d) cắt trục hoμnh tại điểm ở bên trái trục tung ( có hoμnh độ âm)

h (d) cắt đường thẳng y = 3x + 1 tại điểm có hoμnh độ âm (hoặc ở bên trái trục tung)

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	250,51 KB