Các dạng bài tập đại số 9 thi vào lớp 10 và các lưu ý khi giải

Các ý v lời giảI cho số bi toán A toán rút gọn biểu thức I Ví dụ : x Rút gọn biểu thức P x 0,x 1,x ) Giải : Với x 0,x 1,x ta có P x x x x 3x x ( với x : x x x x x x 3x 2x x x x 3x x x : x x x x x x x x : x x x 3 x x x : x x 3 x II Chú ý : Khi rút gọn biểu thức l phép tính phân thức ta thờng tìm cách đa biểu thức thnh phân thức sau phân tích tử v mẫu thnh nhân tử giản ớc thừa số chung tử v mẫu Trờng hợp đề bi không cho điều kiện rút gọn xong ta nên tìm điều kiện cho biểu thức Khi quan sát biểu thức cuối v thừa số đợc giản ớc để tìm điều kiện Ví dụ với bi ny : + Biểu thức cuối cần x + Các thừa số đợc giản ớc l : x 1v x cần x 1v x Vậy điều kiện để biểu thức có nghĩa l x 0,x 1,x B phơng trình bậc hai v định lí viét I Ví dụ Đề bi 1: Cho phơng trình x2 (2m-1)x + m = a Giải phơng trình với m b c d e f g h i j k l Chứng minh phơng trình có hai nghiệm phân biệt Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dấu Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dơng Tìm m để phơng trình có hai nghiệm âm Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng Tìm m để phơng trình có hai nghiệm l hai số nghịch đảo Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn 2x1 + 5x2 = -1 Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn x12 x 22 Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm x1 v x2 phơng trình Tìm GTNN x1 x m Tìm GTLN x12 x 22 x 22 4x12 www.VNMATH.com www.VNMATH.com n Khi phơng trình có hai nghiệm x1 v x2 , chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vo m B x1 x x1x 22 x x12 Giải : 5 Với m ta có phơng trình : x x 3x 7x 3 4.3.2 49 24 25 0; phơng trình có hai nghiệm phân biệt : a Giải phơng trình với m 75 75 ; x2 6 Vậy với m phơng trình cho có hai nghiệm phân biệt l v 3 x1 b Chứng minh phơng trình có hai nghiệm phân biệt Phơng trình cho l phơng trình bậc hai có a = ; b = 2m - ; c = m - 2m 4.1 m 4m 4m 4m 4m 8m 2m 2 Vì 2m với m 2m với m nên phơng trình có hai nghiệm phân biệt với m 2 c Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu Phơng trình cho l phơng trình bậc hai có a = ; b = 2m - ; c = m - Phơng trình có hai nghiệm trái dấu ac m m m Vậy với m phơng trình cho có hai nghiệm dấu e Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dơng Phơng trình cho l phơng trình bậc hai có a = ; b = 2m - ; c = m - Phơng trình có hai nghiệm dơng 2m 2 m m m ac m 2m m b 2m a Vậy với m > phơng trình cho có hai nghiệm dơng f Tìm m để phơng trình có hai nghiệm âm Phơng trình cho l phơng trình bậc hai có a = ; b = 2m - ; c = m - Phơng trình có hai nghiệm âm www.VNMATH.com www.VNMATH.com 2m 2 m m vô nghiệm m ac 2m m b 2m a Vậy giá trị no m để phơng trình cho có hai nghiệm âm g Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng Phơng trình cho l phơng trình bậc hai có a = ; b = 2m - ; c = m - Để phơng trình có nghiệm dơng ta có trờng hợp sau : Phơng trình có nghiệm dơng v nghiệm Thay x = vo phơng trình ta có m - = hay m = Thay m = vo phơng trình ta đợc x2 - x = x x x x ( thỏa mãn ) Phơng trình có hai nghiệm dơng, điều kiện l : 2m 2 m m m ac m 2m m b 2m a Phơng trình có hai nghiệm trái dấu, điều kiện l : ac m m m Kết hợp ba trờng hợp ta có với m phơng trình cho có nghiệm dơng h Tìm m để phơng trình có hai nghiệm l hai số nghịch đảo Phơng trình cho l phơng trình bậc hai có a = ; b = 2m - ; c = m - 2m 4.1 m 4m 4m 4m 4m 8m 2m 2 Vì 2m với m 2m với m nên phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 v x2 với m Theo định lí Viet ta có x1.x2 = c m a Phơng trình có hai nghiệm l hai số nghịch đảo x1.x2 = m m Vậy với m = phơng trình cho có hai nghiệm l hai số nghịch đảo i Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn 2x1 + 5x2 = -1 Phơng trình cho l phơng trình bậc hai có a = ; b = 2m - ; c = m - 2m 4.1 m 4m 4m 4m 4m 8m 2m 2 Vì 2m với m 2m với m nên phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 v x2 với m 2 x1 x 2m (1) Theo định lí Viet v đề bi ta có : x1.x m (2) 2x1 5x (3) Nhân hai vế (1) với sau trừ vế tơng ứng cho (3) ta đợc : 10m (4) 10m 10m 6m 10m 4m x 2m x 2m Thay (4) vo (1) ta có : 3 3 5x1 + 5x2 x1 5x2 = 10m + 3x1 10m x1 (5) Thay (4) v (5) vo (2) ta đợc phơng trình : www.VNMATH.com www.VNMATH.com 10m 4m m 10m 4m m 10m 40m 16m 9m 3 40m 17m 17 4.40 1089 0; 33 17 33 17 33 m1 ; m2 80 80 Vậy với m m phơng trình cho có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện đề bi j Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn x12 x 22 Phơng trình cho l phơng trình bậc hai có a = ; b = 2m - ; c = m - 2m 4.1 m 4m 4m 4m 4m 8m 2m 2 Vì 2m với m 2m với m nên phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 v x2 với m 2 2m (1) Theo định lí Viet ta có : xx1.x x2 m (2) Theo đề bi : x12 x 22 x12 x 22 2x1x 2x1x x1 x 2x1x (3) Thay (1) v (2) vo (3) ta có (2m 1)2 2(m 1) = (2m - 1)2 - 2(m - 1) = 4m 4m 2m 4m 6m 2m 3m c Phơng trình có dạng a + b + c = nên có hai nghiệm l m1 = ; m2 = a Vậy với m m phơng trình cho có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện đề bi k Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm x1 v x2 phơng trình Phơng trình cho l phơng trình bậc hai có a = ; b = 2m - ; c = m - 2m 4.1 m 4m 4m 4m 4m 8m 2m 2 Vì 2m với m 2m với m nên phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 v x2 với m Theo định lí Viet ta có : 2 x1 x x x x1.x x1 x 2x1.x m 2 m x1 x Vậy hệ thức cần tìm l x1 x 2x1.x x1 x 2m x1.x m l Tìm GTNN x1 x Phơng trình cho l phơng trình bậc hai có a = ; b = 2m - ; c = m - 2m 4.1 m 4m 4m 4m 4m 8m 2m 2 Vì 2m với m 2m với m nên phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 v x2 với m 2 2m (1) Theo định lí Viet ta có : xx1.x x2 m (2) Đặt A = x1 x A x1 x x1 x x12 2x1x x 22 x1 x 4x1x Thay (1) v (2) vo ta có 2 A 2m m 4m 4m 4m 4m 8m 2m với m 2 (3) M A nê n từ (3) A 1với m Dấu xảy (2m - 2)2 = m www.VNMATH.com www.VNMATH.com Vậy GTNN A x1 x l xảy m = m Tìm GTLN x12 x 22 x 22 4x12 Phơng trình cho l phơng trình bậc hai có a = ; b = 2m - ; c = m - 2m 4.1 m 4m 4m 4m 4m 8m 2m 2 Vì 2m với m 2m với m nên phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 v x2 với m 2 2m (1) Theo định lí Viet ta có : xx1.x x2 m (2) Ta có A x12 x 22 x 22 4x12 x12 x 22 5x12 x 22 x1 x 2x1x x1 x (3) 2 Thay (1) v (2) vo (3) ta đợc : A 2m m m 4m 4m 5m 10m 2m m 4m 2 m 4m m Vì m với m A m với m Dấu xảy (m 2)2 = hay m = Vậy GTLN A x12 x 22 x 22 4x12 l m = 2 n Khi phơng trình có hai nghiệm x1 v x2 , B chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vo m : x1 x x1x 22 x x12 Phơng trình cho l phơng trình bậc hai có a = ; b = 2m - ; c = m - 2m 4.1 m 4m 4m 4m 4m 8m 2m Vì 2m 2 với m 2m với m nên phơng trình có hai 2m (1) nghiệm phân biệt x1 v x2 với m Theo định lí Viet ta có : xx1.x x2 m (2) x1 x x1 x x x x x1 x x Ta có: B 2 x1x x x1 x12 x 22 x12 x 22 2 x1 x x1 x 2x1x 2m 2m m x12 x 22 m 4m 4m 2m 2m m 4m 8m m 2 m m 2 Vậy biểu thức B không phụ thuộc vo giá trị m Đề bi Cho phơng trình (m+1)x2 - 2(m+2)x + m + = a Giải phơng trình với m = -5 b Tìm m để phơng trình có nghiệm c Tìm m để phơng trình có nghiệm d Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt e Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu f *Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dơng g Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 + 3x2 = h Tìm m để phơng trình có hai nghiệm m tích chúng -1 i Khi phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 Tính theo m giá trị A x12 x 22 j Tìm m để A = www.VNMATH.com www.VNMATH.com k Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 có nghiệm l lập phơng trình có hai nghiệm l Giải : a Giải phơng trình với m = -5 Thay m = -5 vo phơng Khi 6x1 6x v 3x 3x1 trình ta có -4x2 : + 6x = x 2x 2x 2x 2x x Vậy với m = -5 , phơng trình có hai nghiệm l v b Tìm m để phơng trình có nghiệm Với m = -1 phơng trình trở thnh -2x + = x Phơng trình có nghiệm x = Với m -1 phơng trình l phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5 m m m m 4m m 6m 2m ' 2 Phơng trình có nghiệm 2m m Tóm lại phơng trình có nghiệm m 2 c Tìm m để phơng trình có nghiệm Với m = -1 phơng trình trở thnh -2x + = x P.trình có nghiệm x = Với m -1 phơng trình l phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5 m m m m 4m m 6m 2m ' 2 ( thỏa mãn ) Tóm lại phơng trình có nghiệm m m Phơng trình có nghiệm 2m m Chú ý : Trờng hợp phơng trình bậc hai có đợc coi l có nghiệm d Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt Với m = -1 phơng trình trở thnh -2x + = x P.trình có nghiệm x = Với m -1 phơng trình l phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5 ' m m m m 4m m 6m 2m Phơng trình có hai nghiệm phân biệt 2m m Tóm lại phơng trình có hai nghiệm phân biệt m v m e Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu Với m = -1 phơng trình trở thnh -2x + = x P.trình có nghiệm x = www.VNMATH.com www.VNMATH.com Với m -1 phơng trình l phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5 Phơng trình có hai nghiệm trái dấu ac < mm 15 00 mm 51 (vô nghiệm) m mm 15 00 mm 15 m m Vậy với -5 < m < -1 phơng trình có hai nghiệm trái dấu Chú ý : Giải BPT ( m + )( m + ) < (1) có cách nhanh nh sau : Để (1) xảy m + v m + l hai số trái dấu Ta có m + < m + m + < m < -1 m m > -5 nên (1) xảy m + > Trờng hợp cần biết kết BPT dạng nh (1), học thuộc từ ngoi khác v dịch nh sau : ngoi khoảng hai nghiệm vế trái dấu với hệ số a, khoảng hai nghiệm vế trái khác dấu với hệ số a ( hệ số a l hệ số lũy thừa bậc hai vế trái khai triển, nghiệm l nghiệm đa thức vế trái ) Ví dụ với BPT (1) vế trái có hai nghiệm l -1 v -5 , dạng khai triển l m2 + 6m + nên hệ số a l >0 BPT cần vế trái < tức l khác dấu với hệ số a nên m phải khoảng hai nghiệm, tức l -5 < m < -1 Còn BPT ( m + )( m + ) > (2) cần m ngoi khoảng hai nghiệm (cùng dấu với hệ số a), tức l m < -5 m > -1 Một số ví dụ minh họa : m m m m 3; 2m m m ; 2m 3m m m 2m m m f *Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dơng Với m = -1 phơng trình trở thnh -2x + = x P.trình có nghiệm x = Với m -1 phơng trình l phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5 ' m m m m 4m m 6m 2m Phơng trình có hai nghiệm dơng 1 m m 2 2m ac m m m m m 5hoặc m b m m m m m a m 1 m 5hoặc m I Chú ý : Để tìm nghiệm hệ bất phơng trình (I) ta lấy nháp vẽ trục số, điền số mốc lên v lấy vùng nghiệm Sau quan sát để tìm vùng nghiệm chung v kết luận Việc lm diễn tả nh sau : (1) (2) www.VNMATH.com (3) (3) (2) www.VNMATH.com hình đờng (1) ; (2) ; (3) lần lợt l đờng lấy nghiệm bất phơng trình (1) ; (2) ; (3) trục số Qua ta thấy m