Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh 1 SỞ GD VÀ ĐT ĐỒNG THÁP Trường THPT Cao lãnh 2 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2009 - 2010 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 20 tháng 9 năm 2009 (buổi chiều) (Đề thi gồm có: 01 trang) Câu 1: (4.0 điểm) 1.1. Cho hàm số: mxmxmxy 2)32()3( 23 . Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng theo một thứ tự nào đó. 1.2. Cho hàm số cos cos3 1 0 ( ) 0 0 x x e khi x f x x khi x . Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0 Câu 2: (3.0 điểm) 2.1. Giải phương trình lượng giác: 2 1 3sin.2sin.sin3cos.2cos.cos xxxxxx . 2.2. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: xyyy yxxx 23 23 21 21 Câu 3: (2.0 điểm) 3.1. Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2 2 2 8 2x y x y xy (1) 3.2. Hàm y f(x) xác định và có đạo hàm trên toàn trục số, thỏa mãn điều kiện: 2 3 f (1 2x) x f (1 x), x R (*) Hãy viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y f(x) tại điểm có hoành độ x 1 Câu 4: (3.0 điểm) 4.1. Tìm giới hạn: 3 1 3 1 1 lim x x x 4.2. Cho dãy số ( U n ) có số hạng tổng quát 3 5 195 1 16( 1) n n n n n C u C n N n . Tìm các số hạng dương của dãy. Câu 5: (2.0 điểm) Cho 4 3 4 ( ) 1f x x x x . Sau khi khai triển và rút gọn ta được: 16 16 2 210 )( xaxaxaaxf . Hãy tính giá trị của hệ số 10 a . Câu 6: (2.0 điểm) Cho x, y, z là các số thực thoả mãn các điều kiện sau: 04,01,01,0 zyxzyx . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 411 z z y y x x Q . Câu 7: (4.0 điểm) 7.1. Cho đường thẳng ( d): 022 yx và hai điểm A ( 0; 1), B( 3; 4). Hãy tìm toạ độ điểm M trên ( d) sao cho 22 2 MBMA có giá trị nhỏ nhất. 7.2. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AD = 2a. SA vuông góc với mp’ ( ABCD ) và SA = a 6 . 1. Tính khoảng cách từ A và B đến mp’ ( SCD ). 2. Tính diện tích của thiết diện của hình chóp S.ABCD với mp’( ) song song với mp’( SAD) và cách mp’(SAD) một khoảng bằng 4 3a ./.Hết. Giỏo viờn dy: Phan Hu Thanh 2 S GD V T NG THP Trng THPT Cao lónh 2 K THI CHN HC SINH GII LP 12 THPT CP TNH NM HC 2009 - 2010 HNG DN CHM THI CHNH THC MễN: TON (Bui chiu: Ngy 20-9-2009) (Hng dn chm v biu im gm cú 04 trang) im ỏp ỏn 4.0 Cõu 1 2.0 1.1. Tỡm im M trờn th (C) sao cho 0.5 Honh giao im ca th hm s vi trc honh l nghim ca PT: 3 2 ( 3) (2 3 ) 2 0x m x m x m 0.5 1 2 3 1, 2 ,x x x m 0.5 Ba honh ny lp thnh mt cp s cng theo mt th t no ú thỡ ta cú h phng trỡnh: 0 3 2 3 2 2 2 132 231 321 m m m xxx xxx xxx 0.5 Vy vi 3 ; 3; 0 2 m m m tha yờu cu bi toỏn. 2.0 1.2. Tớnh o hm ca hm s ti x = 0 0.5 Ta cú: 2 3coscos 0 2 3coscos 00 3cos3cos . 3coscos 1 lim 1 lim 0 )0()( lim)0(' x xx xx e x e x fxf f xx x xx xx . 0.5 Ta li cú: cos cos3 0 0 1 1 lim lim 1 cos cos3 x x t x t e e x x t 0.5 2 2 0 0 0 cos cos3 2sin 2 sin sin 2 sin lim lim lim4 . 4 2 x x x x x x x x x x x x x 0.5 Vy f ( 0) = 4. 3.0 Cõu 2 1.5 2.1. Gii phng trỡnh lng giỏc. s * Zk k xkxx 312 22 2 4 * Zkkxkxx 4 2 2 24 Vy PT ó cho cú 3 h nghim. 1.5 2.2. Gii h phng trỡnh. s Vậy hệ phơng trình có 3 nghiệm ( x; y) là: 2 51 ; 2 51 ; 2 51 ; 2 51 ;1;1 . 2.0 Cõu 3 1.0 3.1. Gii phng trỡnh nghim nguyờn. D thy pt cú nghim: x = y = 0. s *Thay x = 4 vo (2) ta c y = -1, y = 2. *Thay x = -4 vo (2) ta c y = 1, y = -2. Vy PT cú cỏc nghim nguyờn (x; y) l: (0;0), (4; -1), (4;2), (-4;1), (-4;2). 1.0 3.2. Tỡm phng trỡnh tip tuyn. S Vỡ f(1) 0 nờn f(1) 1 . Suy ra 1 f '(1) 7 . Do ú phng trỡnh tip tuyn cú dng; 1 y (x 1) 1 x 7y 6 0 7 3.0 Cõu 4 Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh 3 1.5 4.1. Tìm giới hạn. Vậy 2;1n . Từ đó tìm được 8 45 , 8 75 21 uu 2.0 Câu 5: Tìm giá trị của hệ số 10 a . Vậy 226.14.4. 2 4 4 4 3 4 1 410 CCCCa 2.0 Câu 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức. Vậy 1; 2 1 3; 2 3 ; 3 1 max zyxcbacbabaQ 4.0 Câu 7: 2.0 7.1. Tìm tọa độ điểm M. M ( 2; 0). 2.0 7.2. Tính khoảng cách và diện tích thiết diện. 1.0 1. Tính khoảng cách. 0.25 d(B,(SCD)) = d(I,(SCD)) = 2 2 ))(,( 2 1 a SCDAd 1.0 2. Tính diện tích thiết diện. + Thiết diện là hình thang vuông ( MN // PQ, MQ MN ) S = 2 1 (MN + PQ).MQ. MN = 2 , 2 6 , 2 3 a PQ a MQ a . Vậy: S = 2 6 2 a Chú ý: Nếu học sinh có hướng giải quyết khác mà đúng và hợp lôgích thì vẫn chấm điểm tối đa như hướng dẫn này. Sai phần trên thì không chấm phần dưới. . dy: Phan Hu Thanh 2 S GD V T NG THP Trng THPT Cao lónh 2 K THI CHN HC SINH GII LP 12 THPT CP TNH NM HC 20 09 - 20 10 HNG DN CHM THI CHNH THC MễN: TON (Bui chiu: Ngy 2 0 -9 -2 0 09) (Hng dn chm v biu. ĐT ĐỒNG THÁP Trường THPT Cao lãnh 2 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 20 09 - 20 10 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 20 tháng. xxxxxx . 2. 2. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: xyyy yxxx 23 23 21 21 Câu 3: (2. 0 điểm) 3.1. Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2 2 2 8 2x y x y xy (1) 3 .2. Hàm y f(x)