Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh 1 SỞ GD VÀ ĐT ĐỒNG THÁP Trường THPT Cao lãnh 2 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2009 - 2010 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 21 tháng 9 năm 2009 (Đề thi gồm có: 01 trang) Câu 1: (3.0 điểm) 1.1. Cho hàm số 1x 2x y (C). Cho điểm A (0;a) .Xác định a đẻ từ A kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía trục ox. 1.2. Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau: 3 6 3 2 2 2 2 15x z 3x z 5x z y y Câu 2: (3.0 điểm) 2.1. Giải phương trình: 2 sin 2sin 2sin sin 2 2 2 2 x x x x 2.2. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có: 3 333 43 3 3 3 3 3 C tg B tg A tg C tg B tg A tg Câu 3: (3.0 điểm) 3.1. Giải bất phương trình: 113223 22 xxxxx 3.2. Tìm m để phương trình: 2 m x 2x 2 1 x(2 x) 0 (2) có nghiệm x 0; 1 3 Câu 4: (3.0 điểm) 4.1. Cho đa thức P (x) = x 5 + x 4 – 9x 3 + ax 2 +bx + c. Biết rằng P (x) chia hết cho (x - 2)(x + 2)(x + 3). Hãy tìm đa thức ấy. 4.2. Cho dãy số (u n ) xác định bởi: n n n u u u u .31 3 2 1 1 với 1n Xác định số hạng tổng quát (u n ) theo n. Câu 5: (3.0 điểm) 5.1. Cho tam giác ABC. Xét tập hợp gồm năm đường thẳng song song với AB, sáu đường thẳng song song với BC và bảy đường thẳng song song với CA. Hỏi các đường thẳng này tạo ra bao nhiêu hình bình hành, bao nhiêu hình thang? 5.2. Với n là số nguyên dương, chứng minh hệ thức: n n n nnn C n CnCC 2 22 2 2 1 2 2 Câu 6: (2.0 điểm) Cho 3; 3 1 ,, cba . Chứng minh rằng: 5 7 ac c cb b ba a Câu 7: (3.0 điểm) 7.1. Trên mặt phẳng với hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxy cho các đường thẳng 03:;06:;043: 321 xdyxdyxd . Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết rằng A và C thuộc d 3 , B thuộc d 1 , D thuộc d 2 . 7.2. Cho hình chóp tam giác đều SABC có đường cao SO = 1 và đáy ABC có cạnh bằng 62 . Các điểm M, N theo thứ tự là trung điểm của cạnh AC, AB. Tính thể tích hình chóp SAMN và bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp đó./.Hết. Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh 2 SỞ GD VÀ ĐT ĐỒNG THÁP Trường THPT Cao lãnh 2 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2009 - 2010 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN Ngày 21-9-2009 (Hướng dẫn chấm và biểu điểm gồm có trang) Điểm Đáp án 3.0 Câu 1 2.0 1.1. Phương trình tiếp tuyến. 0.25 Phương trình tiếp tuyến qua A (0;a) có dạng y =kx+a (1) 0.25 Điều kiện có hai tiếp tuyến qua A: )3(k )1x( 3 )2(akx 1x 2x 2 có nghiệm 1x 0.25 Thay (3) vào (2) và rút gọn ta được: )4(02ax)2a(2x)1a( 2 0.25 Để (4) có 2 nghiệm 1x là: 2a 1a 06a3' 03)1(f 1a 0.25 Hoành độ tiếp điểm 21 x;x là nghiệm của (4) . Tung độ tiếp điểm là 1x 2x y 1 1 1 , 1x 2x y 2 2 2 0.5 Để hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục ox là : 0 )2x)(1x( )2x)(2x( 0y.y 21 21 21 0.25 3 2 a0 3 6a9 0 1)xx(xx 4)xx(2xx 2121 2121 . Vậy 1a 3 2 thoả mãn đkiện bài toán 1.0 1.2. Giải phương trình nghiệm nguyên dương. 0.25 3 3 2 2 3 2 2 (1) 5 3x z 5x y x y 0.25 Áp Dụng BDT Cauchy cho 3 số ; ta đđược: VT VP . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 2 2 5x y z 0.25 Từ phương trình: 2 2 5 5x y x y x y 0.25 Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là: , , 3,2,9x y z 3.0 Câu 2 2.0 2.1. Giải phương trình lượng giác. 0.5 2 2 2 2 2 sin 2 0 sin sin 2 2 sin sin 2 sin 2 sin 0 sin 2 sin x x x PT x x x x x x 1.0 hay 4 1 cos 02sin 2sinsin 02sin 2sinsin 02sin 2 2222 x x xx x xx x . 0.5 VËy Zkkx kx ,2 3 2 2 3 1.0 2.2. CMR 0.25 Tõ 3333 ACB , ta suy ra: tan tan 3 3 3 3 B C A Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh 3 0.25 Hay 3 3 3 3 1 . 1 3. 3 3 3 B C A tg tg tg B C A tg tg tg 0.25 3 . . 3 3 3 3 3 3 A B C A B C tg tg tg tg tg tg 0.25 3 3 3 4 3 3 3 3 3 3 3 A B C A B C tg tg tg tg tg tg 3.0 Câu 3 1.5 3.1. Giải bất phương trình: 113223 22 xxxxx ĐS *BPT có tập nghiệm S=(-;1/2] {1} 1.5 3.2. Tìm tham số m. ĐS Do đó, ycbt bpt 2 t 2 m t 1 có nghiệm t [1,2] t 1;2 2 m maxg(t) g(2) 3 Vậy m 2 3 3.0 Câu 4 1.5 4.1. Tìm đa thức. ĐS Vậy đa thức phải tìm là P (x) = x 5 + x 4 – 9x 3 - x 2 +20x - 12. 1.5 4.2. CMR ĐS Suy ra: 61 32 3 tan 3 502tan 3 2007tan 2008 u 3.0 Câu 5 1.0 5.1. 0.5 Số hình bình hành là: 675 2 7 2 6 2 7 2 5 2 6 2 5 CCCCCC (hình). 0.5 Số hình thang là: 1575 1 5 1 6 2 7 1 7 1 5 2 6 1 7 1 6 2 5 CCCCCCCCC (hìnhh) 2.0 5.2. CMR 0.5 Đặt S là vế trái hệ thức cần chứng minh, lưu ý 1 0 n nn CC và kn n k n CC 0.5 Ta thấy: 1 2 22 1 2 2 2 1 n n n nnn CnCnCnCnS 0.75 Từ Rxxxx nnn ,111 2 . So sánh hệ số của n x trong khai triển nhị thức Newton của nn xx 11 và n x 2 1 ta suy ra: 2 2 22 2 2 1 n n n nnn CCCC 0.25 Từ (1) và (2) có đpcm. 2.0 Câu 6 0.25 Đặt ac c cb b ba a cbaF ,, Giả sử cbaa ,,max . 0.5 Ta có: 2 2 , , , , 0 1 a b ab c a b c b F a b c F a b ab a b b c c a a b a c b c a b 0.5 Để ý rằng 5 7 1 2 1 1 5 7 ,, b a a b abbaF . Đặt 3 b a x , ta thấy 0.5 2 2 2 1 2 7 2 7 1 0 3 2 1 1 0 2 5 1 1 5 2 1 1 x x x b x x a a b 0.25 BĐT ( 2) đúng, từ (1), (2) có bất đẳng thức cần chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3 1 ;1;3,, cba và các hoán vị. 3.0 Câu 7 Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh 4 1.5 7.1. Tìm tọa độ. 0.5 Ta có: 21 6;;)43;( dddDdbbB . Vì OydCA //, 3 nên B và D đối xứng nhau qua d 3 0.5 Suy ra 4 2 643 6 d b db db . Do đó B (2; 2), D(4;2), dẫn tới tâm hình vuông ABCD là I (3; 2). 0.25 Mặt khác 3 );3( daA và 22 IBIA nên 312 2 aa hoặc a = 1. 0.25 Bài toán có hai nghiệm hình: (3;3), (2;2), (1;3), (4;2); (1;3), (2;2), (3;3 ), (4;2)A B C D A B C D . 1.5 7.2. Tính thể tích và tìm bán kính mặt cầu nội tiếp. 0.5 * Ta có: 2 3 . 3 1 AMNSAMN SSOV 0.5 * Gọi r là bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp SAMN. Sử dụng công thức: 0.5 SMNASNAMNSAMN SSSrS 3 1 , ta tính được: 224 3 r Chú ý: Nếu học sinh có hướng giải quyết khác mà đúng và hợp lôgích thì vẫn chấm điểm tối đa như hướng dẫn này. Sai phần trên thì không chấm phần dưới. . GD VÀ ĐT ĐỒNG THÁP Trường THPT Cao lãnh 2 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 20 09 - 20 10 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN Ngày 2 1 -9 -2 0 09 (Hướng dẫn chấm và biểu. ĐT ĐỒNG THÁP Trường THPT Cao lãnh 2 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 20 09 - 20 10 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 21 tháng. là 1x 2x y 1 1 1 , 1x 2x y 2 2 2 0.5 Để hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục ox là : 0 )2x)(1x( )2x)(2x( 0y.y 21 21 21 0 .25 3 2 a0 3 6a9 0 1)xx(xx 4)xx(2xx 21 21 21 21 .