Tài liệu ĐỀ THI SINH VIÊN GIỎI TOÁN NĂM 2009 vòng sơ khảo ppt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI Độc lập - Tự do - Hạnh phúc *  * ĐỀ THI SINH VIÊN GIỎI TOÁN NĂM 2009 – VÒNG SƠ KHẢO (Thời gian: 150p) Câu 1. Tìm cực trị của hàm số:  Câu 2. Tìm giới hạn sau:       Câu 3. Cho hệ vectơ a 1 = (2, 3, 5); a 2 = (3, 7, 8); a 3 = (1, -6, 1); a 4 = (7, -2, m). Tìm m để vectơ a 4 biểu diển tuyến tính qua các vectơ a 1 , a 2 , a 3 . Câu 4. Cho A k = 0, với k ∈ N\{0; 1} và E là ma trận đơn vị cùng cấp với A. Chứng minh rằng: (E – A) -1 = E + A 2 + + A k-1 Câu 5. Tính định thức:                                   && BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI Độc lập - Tự do - Hạnh phúc *  * ĐỀ THI SINH VIÊN GIỎI TOÁN NĂM 2010 – VÒNG SƠ KHẢO Câu 1. Tìm giới hạn           Câu 2. Cho hàm số f(x) = x(x – 1)(x – 2) (x – 2010) Tính f’(2010). Câu 3. Cho 4 vectơ X 1 = (2, 1, -3, 2); X 2 = (-2, 0, 1, 1); X 3 = (1, 2, -1, 0); X 4 = (-1, 3, -2, 4) a) Tìm hạng và một cơ sở của hệ vectơ. b) Hãy biểu diễn tuyến tính các vectơ còn lại qua cơ sở đã chỉ ở câu a). Câu 4. Giải hệ phương trình tuyến tính ! " # " $ %  &  ' (  )  * '     % (  )  *  '  +  , (  )  * -      (  *    %  % (  )  * ' . Câu 5. Tìm cực trị của hàm số y = sin 5 x + cos 5 x trên đoạn /0 1 ( 2. && BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI Độc lập - Tự do - Hạnh phúc *  * ĐỀ THI SINH VIÊN GIỎI TOÁN NĂM 2011 – VÒNG SƠ KHẢO (Thời gian: 150p) Câu 1. Cho 34 5 (        5 (     6. Tính A 2011 . Câu 2. Cho f(x) = 7                     7. Tìm x để f(x) max. Câu 3. Cho hệ phương trình: 8 9% %9 %9 . 1) Tìm điều kiện của a và b để hệ có nghiệm duy nhất. 2) Tìm a, b để hệ có vô số nghiệm. Câu 4. Tìm   5  :   5  :  . Câu 5. Cho f(x) = x 2 + 3|x-1|. Tính f’(3) và f’(-3). Hàm số có đạo hàm tại x = 1 không? && HƯỚNG DẪN GIẢI - NĂM 2009 Câu 1. TXĐ: {x : cosx > 0} (1)  ; < <   <   ; => <   ? @ ABCB .  ;;      DEBF Suy ra y đạt cực đại tại x = n2B và y max = y(n2B) = 1. Câu 2.    :G H IJH   K :GLMNG H IJH O PQR   K :GLMNG  IJ  H : G H . Câu 3. Để a 4 biểu diễn tuyến tính qua a 1 , a 2 , a 3 thì phương trình sau phải có nghiệm a 4 = k 1 a 1 + k 2 a 2 + k 3 a 3 Hay hệ: 8 A  %A  A ( , %A  ,A  +A (  'A  -A  A ( S . có nghiệm Do r(A) = 2 nên r(3 T ) = 2 suy ra m = 15. Câu 4. Ta có: (E – A)(E + A + A 2 + + A k-1 ) = E – A k = E (gt) Suy ra: (E – A) -1 (E – A)(E + A + A 2 + + A k-1 ) = (E – A) -1 E Suy ra: (E – A) -1 = E + A + A 2 + + A k-1 (đpcm). Câu 5. Nhân cột 1 với –b và cộng vào cột 2 ta có: U J       L      L      L            L      L          L      L      L L           L      L    (cột 2 – cột 1 x b)      L L     L L           L L     L L     = a.D n-1 Suy ra D n = aD n-1 = a 2 D n-2 = = a n-2 D 2 = a n . && HƯỚNG DẪN GIẢI - NĂM 2010 Câu 1. Ta có:           O PQR         O PQR           O PQR      (        Vậy I = 2010. Câu 2. Đặt g(x) = x(x – 1)(x – 2) (x – 2009) suy ra f(x) = g(x)(x – 2010). Suy ra f’(x) = g(x) + g’(x)(x – 2010) suy ra f’(2010) = g(2010) = 2010! Câu 3. a) Biến đổi mà trận có các cột là các vectơ đã cho 3V        %         %  & WV             ,    % &  W Do U 00( 00( ,X và định thức cấp 4 bằng 0 nên r(A) = 3 hay r{X 1 , X 2 , X 3 , X 4 } = 3 Dễ thấy {X 1 , X 2 , X 3 } là một cơ sở của hệ vectơ {X 1 , X 2 , X 3 , X 4 }. b) Giả sử X 4 = aX 1 + bX 2 + cX 3 suy ra a = 1, b = 2, c = 1 Vậy: X 4 = X 1 + 2X 2 + X 3 Câu 4. Biến đổi ma trận hệ số mở rộng 3 Y  Z [ \ %  '    &  +  %  ' % ,  %              ] ] ] ] ]  '  -  ' ^ _ ` về dạng tam giác (nên đổi cột 1 cho cột 4, ẩn cũng đổi tương ứng), thay ẩn, ta được nghiệm duy nhất của hệ: (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ) = (1, 0, 0, 1, 1). Câu 5. Ta có: y’ = 5sin 4 x.cosx – 5cos 4 x.sinx = 5sinx.cosx(sin 3 x – cos 3 x)  ; =a <  < . =a  B  B & Ub > 0 B % c  . Lập bảng biến thiên (hoặc tính đạo hàm cấp 2 tại các điểm tới hạn) ta có: Hàm số có 2 điểm cực đại (0, 1) và ( 1  0; có 1 điểm cực tiểu d 1 ) 0 5  ) eL && HƯỚNG DẪN GIẢI - NĂM 2011 Câu 1. Cách 1. Ta có: 3f  1 g < 1 g < 1 g < 1 g  1 g < 1 g h. Bằng quy nạp chứng minh được: A n = f  J1 g < J1 g < J1 g < J1 g  J1 g < J1 g h. Suy ra: A 2011 = 4  i1 g < i1 g < i1 g < i1 g  i1 g < i1 g 6=4  5 (          5 (     6. Cách 2. Ta có: A 6 = -E (ma trận đơn vị cấp 2) Suy ra A 2011 = (A 6 ) 335 .A = 4  5 (          5 (     6. Câu 2. Khai triển theo cột 4, ta có: f(x) = -x 2 – 2x + 7. Suy ra f(x) đạt giá trị max là 8 khi x = -1. Câu 3. 1) Để hệ có nghiệm duy nhất thì r(A) = r(3 T ) = 3. Xảy ra khi det(A) ≠ 0 hay a ≠ 21/2. 2) Dễ thấy r(A) ≥ 2, để hệ vô số nghiệm thì r(A) = 2, hay det(A) = 0 suy ra a = 21/2. Thay a = 21/2, biến đổi ma trận 3 T về f     &     +   +  % h Suy ra b = 3. Câu 4. TXĐ: R TH1: x j Ta có:   5  :   5  :     k  l G : m l G  k  l G : n    TH2: x j Ta có:  H 5  :   5  :   H 5  :   5  :  L H 5  :  H 5  :   H 5  :  o H 5  :  p   H    k    L o  5    p j. Câu 5. +) Khi x > 1, f(x) = x 2 + 3x – 3, f’(x) = 2x + 3 nên f’(3) = 9. Khi x < 1, f(x) = x 2 - 3x + 3, f’(x) = 2x - 3 nên f’(-3) = -9. +) Với x = 1, f’(1 + ) = 5, f’(1 - ) = -1 nên hàm số không có đạo hàm tại x = 1. && . THƯƠNG MẠI Độc lập - Tự do - Hạnh phúc *  * ĐỀ THI SINH VIÊN GIỎI TOÁN NĂM 2009 – VÒNG SƠ KHẢO (Thời gian: 150p) Câu 1. Tìm cực trị của hàm. THƯƠNG MẠI Độc lập - Tự do - Hạnh phúc *  * ĐỀ THI SINH VIÊN GIỎI TOÁN NĂM 2010 – VÒNG SƠ KHẢO Câu 1. Tìm giới hạn         