BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
*
*
ĐỀ THISINHVIÊNGIỎITOÁNNĂM HỌC 2010-2011
(Vòng chung khảo)
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1. Cho A là ma trận vuông cấp 2011 và |A| = 2010. Tính |A
*
|, trong đó A
*
là ma trận phù
hợp của A.
Câu 2. Tìm giới hạn sau:
Câu 3. Tìm m để ma trận sau có hạng nhỏ nhất:
Câu 4. Xét sự khả vi của hàm số sau:
!
"
#
$
%
&
'
()*
()
+
tại điểm x = 0.
Câu 5. Giải hệ phương trình tuyến tính
,
-
.
-
/
&
0
1
2
3
&
0
1
2
4
&
0
1
2
&
0
1
2
&
0
2
+
&&
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
*
*
ĐỀ THISINHVIÊNGIỎITOÁNNĂM HỌC 2011-2012
(Vòng chung khảo)
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1. Có tồn tại ma trận thỏa mãn:
&
5
6
hay không? Tại sao?
Câu 2. Tính giới hạn sau:
7
0
89$
:
Câu 3. Xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của hệ véctơ sau trong
không gian ;
<
:
=
&
!
>?>>
"
@=
!
>?>>
"
@?@=
<
!>?>>"
Câu 4. Cho !" là hàm khả vi đến cấp 2 trên R. Chứng minh rằng
!
"
A
biết rằng
!
"
> B
!
"
và
CC
!
"
D>EFG.
Câu 5. Giải hệ phương trình sau:
H
&
0
1
&
0
1
&
0
1
&
0
1
+
&&
HƯỚNG DẪN GIẢI NĂM2010 – 2011
Câu 1. Do |A| = 2010 * 0 nên A khả nghịch.
Ta có:
%&
&
IJI
K
L
K
M
%&
LI
K
I
&&
MI
%&
I
Mà A.A
-1
= E suy ra |A|.|A
-1
| = 1 suy ra |A
-1
= 1/|A| = 1/2010
Suy ra |A
*
| = 2010
2010
.
Câu 2. Do sin
2
x ~ tanx
2
~ x
2
khi x → 0
1 – cosx = 2sin
2
(x/2) ~ x
2
/2 khi x
→ 0
nên
Câu 3. Biến đổi ma trận A
N
3
4
O
Do P
&>>0
&>>0
* suy ra r(A) D 3
Dễ thấy với m = 17/3 thì r(A) = 4.
Với m ≠ 17/3 ta thấy Q
!
"
R
S
'
%1T
%2
U%1S
&V%0S
R
W
X
X
Y
4
%Z
[
\&
0
%%
[
\&
0
+
Câu 4. Xét
]
!
"
%]!"
%
^
_
`
a
'
bc
^
_d
'
&eb
=
bc
b
^
d
'
f
ghi
bc
&
b^
d
'
=0
(Với t = 1/x). Vậy f(x) khả vi tại 0.
Câu 5. Biến đổi ma trận hệ số mở rộng
j
k
l
m
I
I
I
I
I
3
4
n
o
p
về dạng tam giác (nên đổi cột 1 cho cột 4, ẩn cũng đổi tương ứng), thay ẩn, ta được nghiệm duy
nhất của hệ: (x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
) = (2, 1, 0, -1, 0).
&&
ĐÁP ÁN &THANG ĐIỂM NĂM 2011 – 2012
ĐÁP ÁN Điểm
Câu 1
(5 điểm)
Giả sử tồn tại ma trận A thỏa mãn bài toán
Khi đó
I
&
I
I
I
&
D
2.5 đ
Mặt khác
I
&
I
M
q
. Mâu thuẫn
Vậy không có ma trận A thỏa mãn bài toán
2.5 đ
Câu 2
(3 điểm)
7
0
89
$
:
7
0
89
$
:
1 đ
7
7
2 đ
Câu 3
(3 điểm)
Do
I
I
r
s
s
s
s
r
t
*
2 đ
Suy ra
Q
!
"
. Vậy hệ véc tơ đã cho độc lập tuyến tính
1 đ
Câu 4
(5 điểm)
Do
C
C
!
"
D
>
E
F
G
L
C
!
"
là hàm đồng biến trên R
L
C
!
"
D
C
!
"
>
E
D
2 đ
Xét hàm
u
!
"
!
"
. Ta có
u
C
!
"
C
!
"
D
>
E
D
L
u
!
"
ĐB /
v
>
w
"
L
u
!
"
A
u
!
"
L
!
"
A
3 đ
Câu 5
(4 điểm)
x
y
4
z
{
2.5 đ
Hệ đã cho tương đương:
|
0
4
1
&
0
1
+
R
|
1
0
&
+
1.5 đ
.
ĐỀ THI SINH VIÊN GIỎI TOÁN NĂM HỌC 2010- 2011
(Vòng chung khảo)
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1. Cho A là ma trận vuông cấp 2011 và |A| = 2010. .
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
*
*
ĐỀ THI SINH VIÊN GIỎI TOÁN NĂM HỌC 2011-2012
(Vòng chung khảo)
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1.