Chuyên đề: Hình đồng dạng

Chuyên đề: Hình học Sự đồng dạng của các hình phẳng Các tiêu chuẩn đồng dạng của tam giác Sự đồng dạng của các hình phẳng Các tiêu chuẩn đồng dạng của tam giác Nh tất cả các kích thớc của một hình phẳng thay đổi (tăng hoặc giảm) theo cùng một tỷ số (tỷ số đồng dạng) , thì các hình cũ và mới gọi là hình đồng dạng. Chẳng hạn, bức tranh và ảnh chụp của nó là những hình đồng dạng. Trong hai hình đồng dạng câc góc tơng ứng bất kỳ bằng nhau, nghĩa là các điểm A, B, C, D của hình này tơng ứng với các điểm a, b, c, d của hình kia thì = abcABC , = bcdBCD v, v Biên soạn: Nguyễn Văn Yên Trờng THCS Phong Khê - Thành phố Bắc Ninh 1 Hai đa giác (ABCDEF và abcdef , H1) là đồng dạng nếu chúng có các góc bằng nhau ( = aA , = bB = fF ) và các cạnh của chúng tơng ứng tỷ lệ ) ( fa FA cd CD bc BC ab AB ==== Tất cả các phần tử giống nhau còn lại của hai đa giác cũng có tính tỷ lệ đó; chẳng hạn các đờng chéo AE và ae cũng có tỷ số nh các cạnh )( ab AB ae AE = e f A B C D E F a b c d H1 Nhng nếu chỉ có các cạnh của đa giác tỷ lệ thì cha đủ để chúng đồng dạng; chẳng hạn, trên (H2) tứ giác ABCD (hình vuông) có các cạnh tỷ lệ với các cạnh của tứ giác abcd (hình thoi); mỗi cạnh hình vuông lớn gấp đôi mỗi cạnh hình thoi. Song các đờng chéo của hình thoi bị làm nhỏ đi một cách không cân xứng (một đờng bị rút ngắn một nửa, còn đờng kia thì lại quá nửa), bởi vì các góc của hình thoi abcd không bằng các góc của hình vuông ABCD A B C a b c d D H2 Chuyên đề: Hình học Sự đồng dạng của các hình phẳng Các tiêu chuẩn đồng dạng của tam giác Hai tam giác cũng đồng dạng, khi hai cạnh của tam giác này tỷ lệ với hai cạnh của tam giác kia, và góc xen giữa chúng bằng nhau (nghĩa là nếu bc BC ab AB = và B = b ) Hai tam giác vuông đồng dạng, nếu cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác này tỷ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác kia. Hai đờng tròn bất kỳ đồng dạng với nhau (một trong hai dờng tròn là hình ảnh thu nhỏ hay phóng đại của đờng tròn kia) Diện tích của các hình đồng dạng (đặc biệt là các đa giác) tỷ lệ với bình phơng đờng giống nhau của chúng (chẳng hạn, các cạnh). Đặc biệt, tỷ số diện tích của hai hình tròn bằng bình phơng tỷ số hai bán kính hoặc hai đờng Biên soạn: Nguyễn Văn Yên Trờng THCS Phong Khê - Thành phố Bắc Ninh 2 Nhng đối với tam giác sự tỷ lệ của các cạnh là đủ để chúng đồng dạng Hai tam giác đồng dạng nếu các cạnh của chúng tỷ lệ. Chẳng hạn nếu các cạnh của tâm giác ABC (H3) lớn gấp đôi các cạnh của tam giác abc, thì tất cả phân giác BD cũng gấp đôi phân giác bd, và các đờng cao BE gấp đôI đờng cao be v.v và chúng có các góc tơng ứng bằng nhau ( A = a , B = b , C = c ) A B C ED a b c d e Nếu các góc của hai tam giác tơng ứng bằng nhau thì hai tam giác đồng dạng (tìm hai cặp góc bằng nhau là đủ, bởi vì tổng các góc trong tam giác bằng 180 0 ). Đối với hai đa giác tùy ý thì tiêu chuẩn đó không đủ để chúng đồng dạng. Chẳng hạn hình vuông ABCD và hình chữ nhật abcd (H4) có các góc tơng ứng bằng nhau nhng chúng không đồng dạng. H3 A B C D a b cd H4 Chuyên đề: Hình học Sự đồng dạng của các hình phẳng Các tiêu chuẩn đồng dạng của tam giác kính. Nh vậy nếu cho rằng tỷ số diện tích của hai hình tròn bằng tỷ số các đ- ờng kính là sai lầm. Song sai lầm đó thờng hay mắc phải! Thí dụ 1: Một đĩa kim loại hình tròn đờng kính 20 cm, cân nặng 2,4 kg. Hỏi một cái đĩa 10 cm do cắt ra từ đĩa đó cân nặng bao nhiêu? Khi giải bài toán đó đã có ngời lập luận sai lầm nh sau: đờng kính đĩa nhỏ bằng nửa đờng kính đĩa lớn; nên đĩa nhỏ bằng nửa đĩa lớn, nghĩa là trọng l- ợng của nó bằng 1,2 kg ! Cách giải đúng nh sau: vì vật liệu và chiều dày của các đĩa nh nhau nên khối lợng của các đĩa tỷ lệ với diện tích; mà tỷ số diện tích của đĩa nhỏ so với đĩa lớn bằng 4 1 ) 20 10 ( 2 = . Vậy khối lợng của đĩa nhỏ là 2,4. 4 1 =0,6 kg. Thí dụ 2: Giả dân số của Phong Khê là 8200, dân số của Khúc Xuyên 4100. Số dân của Khúc Xuyên trên biểu đồ đợc biểu diễn bằng hình vuông cạnh 10 cm. Số dân của Phong Khê sẽ đợc biểu diễn bằng hình vuông có cạnh dài bao nhiêu? Ký hiệu cạnh phải tìm là a, ta có: 2 4100 8200 ) 10 ( 2 == a ; 4,12 10 = a ; a cm10 Biên soạn: Nguyễn Văn Yên Trờng THCS Phong Khê - Thành phố Bắc Ninh 3 . Chuyên đề: Hình học Sự đồng dạng của các hình phẳng Các tiêu chuẩn đồng dạng của tam giác Sự đồng dạng của các hình phẳng Các tiêu chuẩn đồng dạng của tam giác Nh tất. ABCD và hình chữ nhật abcd (H4) có các góc tơng ứng bằng nhau nhng chúng không đồng dạng. H3 A B C D a b cd H4 Chuyên đề: Hình học Sự đồng dạng của các hình phẳng Các tiêu chuẩn đồng dạng của. của hình vuông ABCD A B C a b c d D H2 Chuyên đề: Hình học Sự đồng dạng của các hình phẳng Các tiêu chuẩn đồng dạng của tam giác Hai tam giác cũng đồng dạng, khi hai cạnh của tam giác này tỷ