Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa6.. Bài 9: Cho 5 số chính phương bất kì có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hàng đơn vị đều là 6.. Chứng minh rằ
Trang 12 Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa
6 Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4
Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9
Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25
Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16
III MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y 4 là số chính phương.
Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
Trang 2Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k(k+1)(k+2)
Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương
Ta có k(k+1)(k+2) = 41 k(k+1)(k+2).4 = 14 k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)] = 41 k(k+1)(k+2)(k+3) - 14 k(k+1)(k+2)(k-1)
S =41 1.2.3.4 -14 0.1.2.3 + 41 2.3.4.5 -14 1.2.3.4 +…+41 k(k+1)
(k+2)(k+3) - 41 k(k+1)(k+2)(k-1) = 14 k(k+1)(k+2)(k+3)
4S + 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) + 1
Theo kết quả bài 2 k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 là số chính ph ương
Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; …
Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số đứng trước nó Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính
9
9 8 10 8 10 4 10
Trang 3Ta thấy 2.10n +1=200…01 có tổng các chữ số chia hết cho 3 nên nó chia
hết cho 3 n-1 chữ số 0
.
Z hay các số có dạng 44…488…89 là số chính phương
Bài 5: Chứng minh rằng các số sau đây là số chính phương:
Trang 4Bài 7: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên
tiếp không thể là một số chính phương
Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp đó là n-2, n-1, n , n+1 , n+2 (n N , n ≥2 )
Ta có ( n-2)2 + (n-1)2 + n2 + ( n+1)2 + ( n+2)2 = 5.( n2+2)
Vì n2 không thể tận cùng bởi 3 hoặc 8 do đó n2+2 không thẻ chia hết cho 5
5.( n2+2) không là số chính phương hay A không là số chính phương
Bài 8: Chứng minh rằng số có dạng n 6 – n 4 + 2n 3 + 2n 2 trong đó nN
và n>1 không phải là số chính phương
n6 – n4 + 2n3 +2n2 = n2.( n4 – n2 + 2n +2 ) = n2.[ n2(n-1)(n+1) + 2(n+1) ] = n2[ (n+1)(n3 – n2 + 2) ] = n2(n+1).[ (n3+1) – (n2-1) ]
= n2( n+1 )2.( n2–2n+2)Với nN, n >1 thì n2-2n+2 = (n - 1)2 + 1 > ( n – 1 )2
và n2 – 2n + 2 = n2 – 2(n - 1) < n2
Vậy ( n – 1)2 < n2 – 2n + 2 < n2 n2 – 2n + 2 không phải là một số chínhphương
Bài 9: Cho 5 số chính phương bất kì có chữ số hàng chục khác nhau còn
chữ số hàng đơn vị đều là 6 Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính phương
Cách 1: Ta biết một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính
2
Trang 5phương đã cho là 1,3,5,7,9 khi đó tổng của chúng bằng 1 + 3 + 5 + 7 + 9 =
Trang 6Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp 2N-1, 2N và 2N+1 không
2N+1 lẻ nên 2N+1 không chia hết cho 4
2N không chia hết cho 4 nên 2N+1 không chia cho 4 dư 1
)(
1 10
( 2008 2008
+ 1 =
9
9 5 10 4 ) 10 ( 2008 2 2008
Trang 7B DẠNG 2: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH
có thể viết (k+n+1)(k-n-1) = 11.1 k+n+1 = 11 k = 6
k – n - 1 = 1 n = 4
b Đặt n(n+3) = a2 (n N) n2 + 3n = a2 4n2 + 12n = 4a2
(4n2 + 12n + 9) – 9 = 4a2 (2n + 3)2 - 4a2 = 9
(2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9
Nhận xét thấy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9.1 2n + 3 + 2a = 9 n = 1
Trang 8Nhận xét thấy 2m + 2n +1> 2m – 2n -1 > 0 và chúng là những số lẻ, nên
ta có thể viết (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41
Suy ra n có thể có các giá trị sau: 1588; 316; 43; 28
Bài 2: Tìm a để các số sau là những số chính phương:
…; n! đều tận cùng bởi 0 do đó 1! + 2! + 3! + … + n! có tận cùng bởi chữ số
3 nên nó không phải là số chính phương
Vậy có 2 số tự nhiên n thỏa mãn đề bài là n = 1; n = 3
Bài 4: Tìm n N để các số sau là số chính phương:
Trang 9Từ đó suy ra m2 – n2 = 2006 (m + n)(m - n) = 2006
Như vậy trong 2 số m và n phải có ít nhất 1 số chẵn (1)
Mặt khác m + n + m – n = 2m 2 số m + n và m – n cùng tính chẵn lẻ (2)
Từ (1) và (2) m + n và m – n là 2 số chẵn
(m + n)(m - n) 4 Nhưng 2006 không chia hết cho 4 Điều giả sử sai
Vậy không tồn tại số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương
Bài 6: Biết x N và x>2 Tìm x sao cho x(x-1).x(x-1) = (x-2)xx(x-1)
Đẳng thức đã cho được viết lại như sau: x(x-1) = (x-2)xx(x-1)
Do vế trái là một số chính phương nên vế phải cũng là một số chính phương
Một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi 1 trong các chữ số 0; 1; 4; 5; 6; 9 nên x chỉ có thể tận cùng bởi 1 trong các chữ số 1; 2; 5; 6; 7; 0 (1)
Do x là chữ số nên x ≤ 9, kết hợp với điều kiện đề bài ta có x N và 2 <
x ≤ 9 (2)
Từ (1) và (2) x chỉ có thể nhận 1 trong các giá trị 5; 6; 7
Bằng phép thử ta thấy chỉ có x = 7 thỏa mãn đề bài, khi đó 762 = 5776
Bài 7: Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n+1 và 3n+1 đều là các
số chính phương.
Ta có 10 ≤ n ≤ 99 nên 21 ≤ 2n+1 ≤ 199 Tìm số chính phương lẻ trong khoảng trên ta được 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n bằng 12; 24; 40; 60; 84
Số 3n+1 bằng 37; 73; 121; 181; 253 Chỉ có 121 là số chính phương.Vậy n = 40
Bài 8: Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n+1 và 2n+1 đều
là các số chính phương thì n là bội số của 24.
Vì n+1 và 2n+1 là các số chính phương nên đặt n+1 = k2 , 2n+1 = m2 (k,
m N)
2
Trang 10 n = 4b(b+1) n
8 (1)
Ta có k2 + m2 = 3n + 2 2 (mod3)
Mặt khác k2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1, m2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1
Nên để k2 + m2 2 (mod3) thì k2 1 (mod3)
n = 5+7 = 12
Thử lại ta có: 28 + 211 + 2n = 802
C.DẠNG 3: TÌM SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1: Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số Nếu ta thêm vào mỗi chữ
số của A một đơn vị thì ta được số chính phương B Hãy tìm các số A và B.
Gọi A = abcd = k2 Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta có
số
Trang 11Bài 2: Tìm 1 số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số
đầu lớn hơn số gồm 2 chữ số sau 1 đơn vị.
Bài 3: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống
nhau, 2 chữ số cuối giống nhau.
Gọi số chính phương phải tìm là aabb = n2 với a, b N, 1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤ b
≤ 9
Ta có n2 = aabb = 11.a0b = 11.(100a+b) = 11.(99a+a+b) (1)
Nhận xét thấy aabb 11 a + b 11
Mà 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b ≤ 9 nên 1 ≤ a+b ≤ 18 a+b = 11
Thay a+b = 11 vào (1) được n2 = 112(9a+1) do đó 9a+1 là số chính
phương
Bằng phép thử với a = 1; 2; …; 9 ta thấy chỉ có a = 7 thỏa mãn b = 4
Trang 12Bài 5: Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số
nguyên tố, căn bậc hai của số đó có tổng các chữ số là một số chính
abcd = 2025
Vậy số phải tìm là 2025
Bài 6: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng hiệu các bình phương của
số đó và viết số bởi hai chữ số của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một
số chính phương
Gọi số tự nhiên có hai chữ số phải tìm là ab ( a,b N, 1 ≤ a,b ≤ 9 )
Số viết theo thứ tự ngược lại ba
Ta có ab - ba = ( 10a + b ) 2 – ( 10b + a )2 = 99 ( a2 – b2 ) 11 a2
-b2 11
Hay ( a-b )(a+b ) 11
Vì 0 < a - b ≤ 8 , 2 ≤ a+b ≤ 18 nên a+b 11 a + b = 11
Khi đó ab - ba = 32 112 (a - b)
Trang 13Để ab - ba là số chính phương thì a - b phải là số chính phương do đó a-b = 1 hoặc a - b = 4
Nếu a-b = 1 kết hợp với a+b = 11 a = 6, b = 5, ab = 65
Khi đó 652 – 562 = 1089 = 332
Nếu a - b = 4 kết hợp với a+b = 11 a = 7,5 ( loại )
Vậy số phải tìm là 65
Bài 7: Cho một số chính phương có 4 chữ số Nếu thêm 3 vào mỗi chữ
số đó ta cũng được một số chính phương Tìm số chính phương ban đầu
( Kết quả: 1156 )
Bài 8: Tìm số có 2 chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương của tổng các chữ số của nó
Gọi số phải tìm là ab với a,b N và 1 ≤ a ≤ 9 , 0 ≤ b ≤ 9
Theo giả thiết ta có : ab = ( a + b )3
Trang 14Vỡ 1 ≤ a ≤ 9 nờn 1 ≤ 2a-1 ≤ 17 và 2a-1 lẻ nờn 2a – 1 { 3; 9; 15 }
a { 2; 5; 8 }
Vỡ a lẻ a = 5 n = 21
3 số càn tỡm là 41; 43; 45
Bài 10: Tỡm số cú 2 chữ số sao cho tớch của số đú với tổng cỏc chữ số
của nú bằng tổng lập phương cỏc chữ số của số đú.
* Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ớc là 1 và chính nó
* Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ớc
2 Tính chất:
* Nếu số nguyên tố p chia hết cho số nguyên tố q thì p = q
* Nếu tích abc chia hết cho số nguyên tố p thì ít nhất một thừa số của tích abc chia hết cho số nguyên tố p
* Nếu a và b không chia hết cho số nguyên tố p thì tích ab không chia hết cho số nguyên tố p
3 Cách nhận biết một số nguyên tố:
a) Chia số đó lần lợt cho các số nguyên tố đã biết từ nhỏ đến lớn
- Nếu có một phép chia hết thì số đó không phải là số nguyên tố
- Nếu chia cho đến lúc số thơng nhỏ hơn số chia mà các phép chia vẫn còn số d thì ssó đó là số nguyên tố
b) Một số có 2 ớc số lớn hơn 1 thì số đó không phải là số nguyên tố
Trang 154 Phân tích một số ra thừa số nguyên tố:
* Phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố là viết số
đó dới dạng một tích các thừa số nguyên tố
- Dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của mỗi số nguyên tố là chính
* Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ƯCLN bằng 1
Hai số a và b nguyên tố cùng nhau ƯCLN(a, b) = 1
Các số a, b, c nguyên tố cùng nhau ƯCLN(a, b, c) = 1
Các số a, b, c đôi một nguyên tố cùng nhau ƯCLN(a, b) =
Trong 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 có chứa một số nguyên tố chẵn duy nhất
là 2, còn 24 số nguyên tố còn lại là số lẻ Do đó tổng của 25 số nguyên tố là
Vì tổng của 2 số nguyên tố bằng 2003, nên trong 2 số nguyên tố đó tồn tại 1
số nguyên tố chẵn Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 Do đó số nguyên tố còn lại là 2001 Do 2001 chia hết cho 3 và 2001 > 3 Suy ra 2001 không phải
Trang 16- Nếu p 3 thì số nguyên tố p có 1 trong 3 dạng: 3k, 3k + 1, 3k + 2 với
Vậy với p = 3 thì p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố
VD5: Cho p và p + 4 là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng p + 8 là
với k N*
- Nếu n = 4k n4 n là hợp số
- Nếu n = 4k + 2 n2 n là hợp số
Vậy mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4k + 1 hoặc 4k – 1 Hay mọi
số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4n + 1 hoặc 4n – 1 với n N*
VD7: Tìm ssó nguyên tố, biết rằng số đó bằng tổng của hai số nguyên tố và
bằng hiệu của hai số nguyên tố
Trang 17II Bµi tËp vËn dông:
Bµi 1: T×m sè nguyªn tè p sao cho c¸c sè sau còng lµ sè nguyªn tè:
Trang 18g) Cho p và 8p + 1 là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p - 1
a) Một số nguyên tố chia cho 42 có số d r là hợp số Tìm số d r
b) Một số nguyên tố chia cho 30 có số d r Tìm số d r biết rằng r không là
số nguyên tố
Bài 6: Hai số nguyên tố gọi là sinh đôi nếu chúng là hai số nguyên tố lẻ liên
tiếp Chứng minh rằng một số tự nhiên lớn hơn 3 nằm giữa hai số nguyên tố sinh đôi thì chia hết cho 6
Bài 7: Cho 3 số nguyên tố lớn hơn 3, trong đó số sau lớn hơn số trớc là d đơn
vị Chứng minh rằng d chia hết cho 6
Bài 8: Tìm số nguyên tố có ba chữ số, biết rằng nếu viết số đó theo thứ tự
ngợc lại thì ta đợc một số là lập phơng của một số tự nhiên
Bài 9: Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, chữ số hàng nghìn bằng chữ số hàng đơn
vị, chữ số hàng trăm bằng chữ số hàng chục và số đó viết đợc dới dạng tích của 3 số nguyên tố liên tiếp
Bài 10: Tìm 3 số nguyên tố lẻ liên tiếp đều là các số nguyên tố.
Bài 11: Tìm 3 số nguyên tố liên tiếp p, q, r sao cho p2 + q2 + r2 cũng là số nguyên tố
Bài 12: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố a, b, c sao cho a.b.c < a.b + b.c +
c.a
Bài 13: Tìm 3 số nguyên tố p, q, r sao cho pq + qp = r
Bài 14: Tìm các số nguyên tố x, y, z thoả mãn xy + 1 = z
Bài 15: Tìm số nguyên tố
2
, à các số nguyên tố và b
abcd sao cho ab ac l cd b c
B i 16: ài 16: Cho các số p = bc + a, q = ab + c, r = ca + b (a, b, c N*) là các số nguyên tố Chứng minh rằng 3 số p, q, r có ít nhất hai số bằng nhau
Bài 17: Tìm tất cả các số nguyên tố x, y sao cho:
Trang 19Bài 20: Chứng minh rằng: Nếu a2 – b2 là một số nguyên tố thì a2 – b2 = a + b.
Bài 21: Chứng minh rằng mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều có dạng 6n + 1
hoặc
6n – 1
Bài 22: Chứng minh rằng tổng bình phơng của 3 số nguyên tố lớn hơn 3
không thể là một số nguyên tố
Bài 23: Cho số tự nhiên n2 Gọi p1, p2, , pn là những số nguyên tố sao cho
pn n + 1 Đặt A = p1.p2 pn Chứng minh rằng trong dãy số các số tự nhiênliên tiếp: A + 2, A + 3, , A + (n + 1) Không chứa một số nguyên tố nào
Bài 24: Chứng minh rằng: Nếu p là số nguyên tố thì 2.3.4 (p – 3)(p – 2)
Tớnh chất 1: a) Cỏc số cú chữ số tận cựng là 0, 1, 5, 6 khi nõng lờn lũy thừa
bậc bất kỡ thỡ chữ số tận cựng vẫn khụng thay đổi
b) Cỏc số cú chữ số tận cựng là 4, 9 khi nõng lờn lũy thừa bậc lẻ thỡ chữ
số tận cựng vẫn khụng thay đổi
c) Cỏc số cú chữ số tận cựng là 3, 7, 9 khi nõng lờn lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thỡ chữ số tận cựng là 1
d) Cỏc số cú chữ số tận cựng là 2, 4, 8 khi nõng lờn lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thỡ chữ số tận cựng là 6
e) Tớch của một số tự nhiờn cú chữ số tận cựng là 5 với bất kỡ số tự nhiờn
lẻ nào cũng cho ta số cú chữ số tận cựng là 5.
Tớnh chất 2: Một số tự nhiờn bất kỡ, khi nõng lờn lũy thừa bậc 4n + 1 (n
thuộc N) thỡ chữ số tận cựng vẫn khụng thay đổi
Tớnh chất 3: a) Số cú chữ số tận cựng là 3 khi nõng lờn lũy thừa bậc 4n + 3
sẽ cú chữ số tận cựng là 7 ; số cú chữ số tận cựng là 7 khi nõng lờn lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ cú chữ số tận cựng là 3
b) Số cú chữ số tận cựng là 2 khi nõng lờn lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ cú chữ
số tận cựng là 8 ; số cú chữ số tận cựng là 8 khi nõng lờn lũy thừa bậc 4n +
Trang 20Giải: a) Trước hết, ta tìm số dư của phép chia 99 cho 4: 99 − 1 = (9 − 1)(98 +
97 + … + 9 + 1) chia hết cho 4 99 = 4k + 1 (k N) 799 = 74k + 1 = 74k.7
Do 74k có chữ số tận cùng là 1 799 có chữ số tận cùng là 7
b) Dễ thấy 1414 = 4k (k N) 141414 = 144k có chữ số tận cùng là 6
c) Ta có 567 − 1 4 567 = 4k + 1 (k N) 4567 = 44k + 1 = 44k.4 44k cóchữ số tận cùng là 6 nên 4567 có chữ số tận cùng là 4
Giải: Trước hết ta có nhận xét: Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia
cho 4 thì dư 1 (các lũy thừa đều có dạng n4(n − 2) + 1, n {2, 3, …, 2004}) Theo tính chất 2, mọi lũy thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ
số tận cùng giống nhau, bằng chữ số tận cùng của tổng:
(2 + 3 + … + 9) + 199.(1 + 2 + … + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 = 200(1 + 2 + …+ 9) + 9 = 9009
Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 9
Bài 3: Tìm chữ số tận cùng của tổng T = 23 + 37 + 411 + … + 20048011
Giải: Trước hết ta có nhận xét: Mọi lũy thừa trong T đều có số mũ khi chia
cho 4 thì dư 3 (các lũy thừa đều có dạng n4(n − 2) + 3, n thuộc {2, 3, …, 2004}) Theo tính chất 3 thì 23 có chữ số tận cùng là 8 ; 37 có chữ số tận cùng là
7 ; 411 có chữ số tận cùng là 4 ; … Như vậy, tổng T có chữ số tận cùng bằngchữ số tận cùng của tổng: (8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + 8 + 7 +
4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1 + 8 + 7 + 4 = 200(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 +9) + 8 + 7 + 4 = 9019 Vậy: chữ số tận cùng của tổng T là 9
Bài 4: Tồn tại hay không số tự nhiên n sao cho n2 + n + 1 chia hết cho
19952000
Giải: 19952000 tận cùng bởi chữ số 5 nên chia hết cho 5 Vì vậy, ta đặt vấn đề
là liệu n2 + n + 1 có chia hết cho 5 không? Ta có n2 + n = n(n + 1), là tíchcủa hai số tự nhiên liên tiếp nên chữ số tận cùng của n2 + n chỉ có thể là 0; 2;
6 n2 + n + 1 chỉ có thể tận cùng là 1; 3; 7 n2 + n + 1 không chia hết cho
5