Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: Ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn trong việc phân tích các mô hình lượng tử phức tạp

Lý do chọn đề tài Ngày nay trong sự phát triển mạnh mẽ của vat lý phan tử, nguyên tử và hat nhân và vật lý cấu trúc nano bán dẫn không thể không kể đến sự đóng góp rấtlớn của các chương

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHO HỖ CHÍ MINH

KHOA VẬT LÍ

RB SP

TP HỒ CHÍ MINH

LƯU KIM LIÊN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

HAN TRONG VIỆC PHAN TICH CÁC MO

HÌNH LUGNG TU PHUC TAP

Bo mon: Toan ly

MSSV: 46.01.102.035

GVHD: TS Lương Lê Hải

Thành phố Hỗ Chí Minh, tháng 5 năm 2024

RB SP hy

TP HỒ CHÍ MINH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

UNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHAN TỬ HỮU

HAN TRONG VIỆC PHAN TÍCH CÁC MO

HINH LUGNG TU PHUC TAP

Bộ mon: Toán lý MSSV: 46.01.102.035 GVHD: TS Lương Lê Hải

Thành phố H6 Chi Minh, thang 5 năm 2024

Lời mở đầu

Trong quá trình thực hiện khóa luận, em đã nhận được rất nhiéu sự giúp đỡ từ

thầy cõ, gia đình và bạn bè Em xin chan thành gửi lời cảm ơn đến:

Dau tiên, em xin gửi đến thay Lương Lê Hải - giảng viên khoa Vật lí trường

Dai hoc Su Pham thành phó Hỗ Chí Minh, thay là người đã dẫn dat, hướng dẫn

em một cách tân tình trong suốt quá trình thực hiện khóa luân Ngoài trừ những

kiến thức chuyên môn, em đã học được từ thay sự tự tin, niềm dam mẽ nghiên cứu

khoa học và rất nhiều những kiến thức, kinh nghiệm khác mà em có thể ứng dụng

vào học tập và làm việc.

Lời cảm ơn thứ hai, em xin gửi đến tat cả các thầy cô của khoa Vat Lý, các

thay cô đã giảng dạy truyền đạt cho em những kiến thức chuyên môn nên tảng

cũng như những kĩ năng, phương pháp để em có thể định hướng và thực hiện đề

tài này, những lời góp ý của thay cõ luõn là bài học quý giá đỗi với em.

Cuối cùng, em xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn ở cạnh để động viên, cổ

vũ tỉnh thần cho em trong suốt thời gian qua.

TP Hỗ Chí Minh, tháng 5 năm 2024

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Ngày nay trong sự phát triển mạnh mẽ của vat lý phan tử, nguyên tử và hat

nhân và vật lý cấu trúc nano bán dẫn không thể không kể đến sự đóng góp rấtlớn của các chương trình tính toán được biên soạn trên các phan mềm toán hoc

trong việc khảo sát và phan tích các m6 hình toán học thu được từ việc ddn giản

hóa các mô hình vật lý lượng tử phức tap (1, 2| Các mô hình toán học này thường

là các bài toán elip chứa phương trình Schrodinger trong không gian toa độ một

chiểu hoặc đa chiều Thực tế, các bài toán elip này mô phỏng các cấu hình và các

quá trình vật lý thú vị có thể xuất hiện trong một hệ lượng tử vài hạt, như là các

trạng thái liên kết và trạng thái siêu bên, tan xạ cộng hưởng hiệu ứng đường ham

lượng tử, cũng như sự quang hóa và hap thụ quang hóa [3-5] Để xây dưng các

chương trình này chúng ta cin phải tiếp cận các thuật toán đại số và số học phức

hợp phổ quát cho tắt cả các trang thái và quá trình vật lý nêu trên với độ chính

xác cao và đây cũng là một nhiém vụ cấp thiết và quan trọng của mö hình toánhọc hiên đại theo quan điểm ứng dung

Đã có một số công trình khoa học đưa ra những chương trình tính toán dựa

trên các sơ dé tính toán bằng phương pháp số và giải tích khác nhau để giải những

mo hình toán học trên với mục dich tìm ra hàm sóng và năng lượng riêng của hệ

lượng tử Các chương trình này được viết trên các chương trình phần mém tính

toán nhìt Mathcad, Mathlab, Mathematica hay Fortran Tuy nhién số lượng các

công trình như vậy còn khá ít và kết quả của những công trình chỉ đưa ra những

chương trình tính toán một cách sơ bộ, rời rac và chỉ áp dung cho một vài phương

pháp đơn giản với nhiều lí do như sự hạn chế tốc d6 van hành của mỗi phần mềm,

ma code chưa được chuấn, hoặc sư hạn chế về mặt tính toán số học hay vẽ dé thị

v.v Vì vậy việc xây dựng và áp dụng những chương trình dita trên những phương

pháp mới dé khảo sát những mõ hình lượng tứ phức tạp là một nhiệm vụ can thiết

và quan trọng đối với những người nghiền cứu khoa học, đặc biệt là trong lĩnh vực

khoa học tự nhiên và kĩ thuật.

Vì các lý do trên, chúng tôi quyết định thực hiện khóa luận với để tài Ung dụng

2

phương pháp phan tử hữu han trong tiệc phân tích các mô hình lượng tử phúc tạp.

Trong khóa luận này, chúng t6i sử dung một chương trình có tên gọi KANTBP

4M [6], một chương trình ding để giải bài toán biên chứa hệ phương trình viphan thường bậc hai trong việc khảo sát các m6 hình hệ thống lượng tử ít chiều

[7] Chương trình nay được viết trên phan mềm tính toán Maple [8] bởi các nhà

nghiên cứu khoa học ở viện Vật lý hạt nhãn Dubna (JINR - Joint Institute for

Nuclear Research), thành phố Dubna, Liên Bang Nga Các thuật toán (algorithm)

mà ma code trong chương trình này được biên soạn dựa trên sit mở rộng và tdi

ưu hóa phương pháp phan tử hữu han (FEM - Finite Element Method) [9, 10] với

đa thức nội suy Lagrange va Hermite [11] Phương pháp các phan tử hữu hạn với

đa thức nội suy Hermite là một phương pháp hoàn toàn mới, mang tính hiệu quả

cao vì đa thức nội suy Hermite có thể cho ta viết chương trình thuật toán đến bacdao hàm cấp cao, khác với các đa thức nội suy khác nhor da thức Lagrange chi cho

ta viết chương trình chỉ cho hàm số mà không cho đạo hàm cấp một hay cấp cao

Nếu trong một thuật toán ta có thể biểu dién một đa thức với đạo ham cắp càng

cao thì sẽ cho ta kết quả thu được càng chính xác.

2 Mục đích nghiên cứu

Mục tiêu chính của dé tài này là phân tích chương trình tính toán phức hợp

dua trên phương pháp phan tử hữu hạn với đa thức nội suy Hermite và ứng dụng

chương trình này để giải các bài toán biên trong việc khảo sát các mô hình lượng,

tử phức tạp.

Để đạt được mục tiêu này thì trong để tài này chúng tôi sẽ phải giải quyết các

nhiệm vụ sau:

- Lựa chọn các mé hình trang thái lượng tử đặc biệt trong các trường thé năng

phức tạp như hố thé Poschl - Teller, phương trình Schrédinger phi tuyến tinh lap

phương.

- Đơn giản hóa các mé hình vật lý lượng tử vai hạt thành bài toán biên dang

elip trong một miền võ han của các biến độc lập, sau đó thành lập bài toán biên

thấp chiều hơn trong miễn không gian hữu hạn.

- Xây dựng các thuật toán rời rạc cho các bài toán biên trong miền hữu han

có chứa các phương trình elip và cho các hệ phương trình vi phan thường bậc hai

dựa trên phương pháp pháp phần tử hữu hạn có độ chính xác cao với đa thức nội

suy Lagrange và Hermite đơn biến và đa bién của các bài toán biên elip thấp chiều

hơn.

- Phân tích đặc điểm động lực học của các mô hình trạng thái lượng tử đặc biệt

đã được hra chon.

3 Phạm vi nghiên cứu

Khóa luận sẽ nghiên cứu về hai bài toán lớn: một là trạng thái siêu bổn trong bài toán tán xạ và bài toán trị riêng, hai là tính toán hàm sóng trong phương trình

Schrédinger phi tuyển tính lập phương.

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp mô hình hóa.

- Phương pháp phân tích và tổng hợp.

5 Cau trúc của khóa luận tốt nghiệp

Khóa luận tốt nghiệp gồm 02 chương

Chương 1: Giới thiệu sơ lược vé chương trình KANTBP 4M

Chương này bao gồm các nội dung như giới thiệu chương trình KANTBP 4M,cấu trúc chương trình, phương pháp phan tử hữu han, bài toán tan xa, bài toán

trị riêng bài toán trạng thái siêu bên.

Chương 2: Ứng dụng chương trình KANTBP 4M

Chương này trình bày ứng dung của phương pháp phan tử hữu han được thể

hiện qua chương trình KANTBP 4M để giải bài toán tan xạ và bài toán trị riêng

đối với trạng thái siêu bên cho các hồ thế phức tạp như ho thế Poschl - Teller, bài toán chứa phương trình Schrödinger phi tuyến tính lap phương.

Cuối cùng là phần kết luận và hướng phát triển của đề tài

Mục lục

Mục lục

Danh sách hình vẽ

Danh sách bang

1 Giới thiệu sơ lược về chương trình KANTBP 4M

1.1 Cơ sở lý thuyết của chương trình

1.2 Mõ tả ngắn gọn bài toán biên

1.3 Sự hình thành phương pháp phan tử hữu hạn của bài toán đại sé

2_ Ứng dụng chương trình KANTBP 4M

2.1 Tính toán các trạng thái siêu bén trong bài toán tán xạ va bài toán

trị riêng chứa rào thế phức - ¿cv n2

211 Rào thế Poschl - Teller

2.1.2 Kết quả tính toán - -.-.-

2.1.3 Hồ thế Poschl - Teller hiệu chnh

2.2 Tính toán hàm sóng trong phương trình hàm số Schrédinger phi

tuyến tính lập phương -‹ eee ee ee ee es 2.2.1 Sơ lược vẻ phương trình Schrödinger phi tuyển tính

222 Dặạtvắn đề 0 ee ee ee ees

2.2.3 Phương pháp giải phương trình Schrödinger phi tuyến tính

bằng chương trình KANTBP4M

2.2.4 Kết quả tính toán phương trình Schrödinger phi tuyến tính

Tai liệu tham khảo

10 10

So dé biểu diễn nghiệm của bài toán tin xa vdi tiém cận có dạng

“sóng tới + séng phan xa va sóng truyền qua" trong các kênh mỏ

Cau trúc hoạt động của ma code trong chương trình KANTBP 4M

ứng vdi các bài toán lượng từ khác nhau [lđ,

Do thị biểu điển hệ thống rào thé Poschi - Teller kép ở dạng phúc

vdi các giá tri khác nhau của VỊ,V> tà d Đường liền nét thể hiện phần thực, đứt nét thể hiện phần ảo của hàm thé .

Hàng trên biểu dién dé thị của hàm sáng ®,,,(z) trong bài toán tan xa

(hình bên trái va hình giữa) vdi năng lượng rác định RE = 0.23456

của sóng tới va hàm sóng của trạng thái siêu ben (hình bên phải) khi

4= 1ýU¿ = 01;đ = 0.5 Dưỡng hiến nét thể hiện phần thực va dit

nét thể hiện phần ao Phan bang phía dưới biểu điện ma trần tán xa

Hàng trên là đồ thi biểu diễn ham sóng ®„(z) trong bài toán tan za(hình bên trút va hình giữa) vdi ning lượng rác định RE = 0.23456

của sóng tới va hàm sóng của trạng thái siêu bên (hình bên phải) khi

1 = 1; = 0;d = 3.5 Dường liền nét thể hiện phan thực va đứt nétthể hiện phan do Phần bảng phía dudi biểu điễn ma trận tán ra S.

Hàng phía trên: Do thi của hàm sóng ®,,(z) tớt trị riêng tương ứng

Em trong bài toán tri riêng khá Vì = 1; V2 = 0.3; = 3 Hàng phía dưới:

Do thị hàm sóng cho trạng thái siêu bền trong từng lân cận năng

lượng công hưởng tương ứng được dua ra ở bang 2.3: E, = 0.3071

(trái vt 9ÄE,„ = 0.9935 (phar) Dường liền nét thể hiện phan thực

va nót đứt thể hiện phần ảo Q ee

12

21

kề co

2.7

2.8

2.11

Hàng phía trên: Dé thị của ham sóng ®„{(z} tới trị ring tương ứng

Em trong bar toán trị riêng khỉ Vy = 1.3; V2 = 0.2;d = 3 Hàng phía

dudi: Do thị hàm sóng cho trang thái siêu bền trong tàng lần cận

nang lượng cộng hưởng tương ứng được dua ra ở bang 2.3: 9E, =

0.3545 (trái) va E,v, = 1.1036 (phải) Dường hen nét thể hiện phanthực va đứt nét thể hiện phan âo Ặ ee ee

Do thi biểu diễn phần thực của hàm sóng trong bài toán tri riêng

được giải bằng phương pháp giải tích ở công trình [15] Dường liền

net mau đỏ ứng vớt trang thái đầu tiên, dường chấm mau den ứng

trang that thứ 2, đường đứt nét mau sanh ứng uới trạng thái thứ 3.

Đồ thị biểu điển hỗ thé Poschl - Teller hiệu chỉnh ở dang phức tớicác giá trị khác nhau của a va b Dường hiền nét màu đỏ thể hiệnphan thực, đứt nét màu xanh thể hiện phan áo của hàm thé

Hàng trên là đồ thị biểu dién hàm sóng ®„(z) trong bài toán tắn xa

(hình bên trái va hình giữa) uới nang lượng sác định RE,, = 0.0543

của sóng tới va hàm sóng của trạng thát siêu bên (hình bên phải)

khi ä = 1;b = 0 Dường liền nét thể hiện phần thực va đứt nét thể

hiện phan ao Phần bang phía dưới biểu diễn ma trận tán xa S.

Hàng trên là dé thị biểu diễn hàm sóng ®ạ„(z) trong bài toán tan xa

(hình bên trái va lành giữa] với năng lượng rác định RE, = 0.055

của sóng tới va hàm sóng của trạng thái siêu bèn (hình bên phai)

khí a — 1;b = 0.5 Đường liền nét thể hiện phần thực va đứt nét thể hiện phan áo Phan bảng phía dưới biểu tiễn ma trận tan xa S.

Hàng phía trên: Dé thị của hàm sóng ®,,(z) tới trị riêng tương ứng

Em trong bài toán bY riêng khi a = 2.6;6 = 0.6 Hàng phía dưới: Do

thị ham sóng cho trang thái siéu bền trong viing lân cận năng lượng

cộng hưởng tương ứng được đưa va ở bảng 2.4: 9E = —1.38935405

(trái va RE, es = —0.01336692 (phổi) Dudng liền nét thể hiện phan thực uà đứt nét thể hiện phần dow ee

Hàng phía trên: Do thị của hàm sóng ®„{(z} tới trị riêng tướng ứng

E,, trong bài toán tri riêng khi a = 2.6;:b = 04 Hàng phía dưới: Dé

thị hàm séng cho trạng thái siêu bên trong từng lân cận năng lượng công hưởng tương ứng được đưa ra ở bang 3.6: RE,, = —=1,4018§314

(trái) va f#Ñ2, = —0.01508174 (phảu Dường liền nét thể hiện phần

thực va đứt nét thể hiện HN:Õ: cidade dad ácg ào ánh SDE

25

29

30

2.12 Đồ thị hàm sóng ®„(z) (ma — 1.4) của bốn trạng thái đầu tiên ting

uới các try riêng Em,(m = 1,4) vdi ham thé bình phương V(z) = —7

2.13 Sai số của hàm riéng cho bốn trạng thái đầu tién vdi ham thé bình

z

2.14 Đồ thị hàm sóng ®m(z),{m = 1-3) của bốn trạng thái đầu tiên ons g

uới các tri riêng Em,(m = 1,4) với hàm thé lap phương V(2) = z

2.15 Sai số của nay riéng cho bốn trang thái đầu tiên tới ham thé lập

phương V(z) = > ee oe eee ee eee ee ee

Danh sách bảng

2.1 Code của chương trình KANTBP 4M cho bài toán tán rạ 21

2.2 Code của chương trình KANTBP 4M cho bài toán tri riêng 24

2.3 Các trị tiếng đầu tiên Ey (m = 1.3.3.4) tà giá trị năng lượng cộng

hưởng RE tương ứng của trang thái siêu bền ứng với các giá ty

Vị Vạ vad khác nhau Q Q Q Q Q Q Q HQ HQ HQ ee 24

24 Các trị riêng đầu Hiện En (m = 1,2,3,4) tà giá trị năng lượng cộng

hưởng 9ÄE,„ tương ứng của trang thái siêu bền ứng vdi các gid trì a

2.5 Code của chương trình KANTBP 4M để giải phương trình

Schrédinger phi tuyên tính lập phương 35

2.6 Tri riêng nang lượng của bon trang thái đầu tiên đổi uới hàm thé

bình phương Viz) = > được tinh bằng chương trình KANTBP 4M(cột 2), phương pháp giải tích (cột 3) tà sai số (cột bên phải) 37

27 Trị riêng năng lượng của bồn trạng thái đầu tiên đối tới hàm thé

lập phương V(z) = được tính bằng chương trình KANTBP 4M 39

Chương 1

Giới thiệu sơ lược về chương

trình KANTBP 4M

1.1 Cơ sở lý thuyết của chương trình

Chương trình KANTBP 4M là chương trình ding dé giải những bài toán biến

chứa hé gồm N phương trình vi phân thường bic hai với hàm số chưa biết (hàm

riêng) ®{z) = (#;(z) ®x(z))f của biến số độc lập z € 2 [zmin max} bằng phương

pháp phan tử hữu hạn |6]:

1 id d falz) d 1 đƒa(z)Q(z)

I—fa(z)—+V{(z zÌ— — 2` ` =Èll6(z)=0 (LI

fp(z) aatAl at + Faye }q; fn(z) dz ) @) (1.1)

Với / là năng lượng toàn phan, ®(z) là ham sóng, các hàm tham số fp{z) > 0 và

fa(z) > 0 là những hàm liên tục hoặc liên tuc từng phan mang giá trị dương, I

là ma trận đơn vị, V{z) là ma trận đối xứng (Wj;(z) = Vji(z)) và Q(z) là ma trân

phản đối xứng (Q,;(z) = —-Q„(2)) của thế hiệu dung có kích thước N x N Các

phan tử của các ma tran này là những hệ số liên tục hoặc liên tục từng phan mang

giá trị thực hoặc phức thuộc khöng gian Sobolev H3="(Q), điều kiện tồn tại các

nghiệm bat thường thỏa mãn các điển kiên biên thuần nhất: Dirichlet (loại I) hoặc

Neumann (loại II) hoặc loại IIT tại các điểm biên trong khoảng z € [zmin, Zmax| với

giá tri được cho sẵn của các phan tử thuộc ma trận thực hoặc phức #®(z;} có kích

thước N x N.

10

(I): 2) = 0, t= min và (hoặc) max (1.2)#(

(II): lim fa(z} (1 + _ Q:)) ®(z) = 0, £ = min và (hoặc) max (1.3)

zŠi

(II): (tr; - Q())#()| _ =R(z)#(z), t= min và (hoặc) max (14)

Nghiệm ®(z) € HF) của các bai toán biên (1.1) - (1.4) được rút gọn theo

phép tính toán số học các điểm đừng của phiém hàm bậc hai đối xứng bằng cách

sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn.

#(đ, B, ssia, max) = | ” &*(z)(D - ED#&(z)d:

= TI(®, EF, Zmin; Zmax} — fA(Zmax}® ° (Zmax)G(Zmax)}®(Zmax)

và G(z) = ®(z) — Q(z) là ma trận đối xứng có kích thước N x X, dấu * là hoán vị

T hoặc liên hợp Hermite Ì, tức là chuyển vị với liên hợp phức phụ thuộc vào loại

bài toán cần giải, H là hàm thế ở dang đối xứng, = gọi là phiếm hàm.

1.2 M6 tả ngăn gon bài toán biên

1.2.1 Bai toán tan za đa kênh

Trên trục z € (—% +00) với giá tri năng lượng không đối E = RE, nghiệm can

tìm ở dang ma trận ®(z) = {(®Ÿz)}Ÿ¡, 8Ÿ {z) — (#{(z), pe (zy, chi số v chỉ

11

hướng ban dau của sóng tới là từ trái sang phải — hoặc từ phải sang trái © (H.

1.1) của bài toán biên (1.1) dành cho hệ N phương trình vi phân thường bac hai

trong khoảng = € [Zmin Zmax| được tính bằng code của chương trình KANTBP 4M.

Các nghiêm 6 dang ma trận này phải thỏa mãn điều kiện biên thuần nhất loại III(1.4) tại các điểm biên trong khoảng z € Ïzm¡n max} với tiệm cận có dang "sóng tới

+ sóng truyền qua" trong các kênh mở i= 1, , Nz (12):

® (=: +0) ®, (: > +x)

XPOR | XT, XOGT|XPOR,

z<0 z>0 z<0 $2

Hình 1.1 Sơ dé biểu dién nghiệm của bài toán tán xa uới them cận có dang "sóng

th + sóng phản ca va sóng truyền qua” trong các kênh md.

Trong đó X là nghiệm hàm sóng, dau (+) và (—) thể hiện chiều từ trái sang

phải hoặc từ phải sang trái T, và R, là ma trận chữ nhật và ma trân vuông chưa

biết của hệ số truyền qua và phản xa tương ứng, để thành lap ma trận tán xa S$

có kích thước N, x No No = NE + NF (với NE và A# là số lượng các kénh md):

sa" ts , Sts=sst=I (1.8)

T.) Re

Với R và T lin lượt là hệ số truyền qua và hệ số phan xa, mũi tên chỉ hướng

của sống tới là từ trái sang phải — hoặc từ phải sang trái ©, ma trận tán xa S là

ma tran đối xứng và đơn nhất trong trường hợp ham thế năng có giá trị thực.

Đi với bài toán tán xạ đa kênh trên bán trục z € [zmin, +%) hoặc z € {—00, zmax].

nghiệm ở dang ma trận can tìm ®{¿) của bài toán biên dành cho hé V phương

trình vi phân thường bậc hai (1.1) được tính trong khoảng z € Íz„m, zmax| Các

nghiệm của ma trận này phải thỏa mãn điều kiện biên thuần nhất loại HH (1.4) tại

12

điểm biên zmax hoặc zpin của khoảng đang xét, với tiệm cận của loại "sóng tới +sóng truyền qua" trong các kênh mở i= 1, , Na:

®_(z — +00) = x'")(2) + X°(:)R , z € [Zmax, +00)

hoặc ®_,(z— -s) = Xf¿z)+XÊÌ¿)R ze(—-œ, Zmin]

và thỏa mãn điều kiện biên thuần nhất (1.2) - (1.4) tai điểm biên zi, hoặc zm¿x

để thành lập ma trận tán xạ S = Re hoặc S = R., là ma trận đối xứng và đơn

nhất trong trường hợp hàm thế năng có giá trị thực

Trong nghiệm của bài toán tán xạ đa kênh các kênh đóng cũng được xét đến.

Trong trường hợp này điều kiện tiệm cận (1.7), (1.9) có dạng:

Zmin trong phương trình (1.11), T*,,T., R°,, RO là các ma trận phụ trợ Với hồ

thé thực, các giá trị V(z) và Q(z), hệ số truyền qua 7T, hệ số phản xạ R sẽ thỏa

mãn các điểu kiện để đảm bảo tính đối xứng và đơn nhất của ma trận tán xạ S

[13].

Giả sử các số hang chính của các nghiệm tiêm cận X) (=) của bài toán biên tại

z< zmi" và (hoặc) z > 2TM* có dang như sau:

Trong các kênh mở V' < thì nghiêm dao động:

Trong các kênh đóng V{, > £ thì nghiệm giảm theo hàm sé mũ:

1

¿

Dị, = Vi VU =E j=1, ,N, ic=Ng+l, ,ÀN (1.13)

Zt

Các hệ thức nay sẽ đúng néu các hệ số của phương trình đối với z < z„m¡ạ„ và

(hoặc) z > zmax thỏa mãn điều kiên dưới đây (1Ì:

1.2.2 Bài toán tri riêng

Chương trình KANTBP 4M tính toán một bộ M tri riêng năng lượng £ : RAL, <

ME, < < REy và bộ hàm riêng tương ứng H(z) = {®”“()}$“ 4, ®”(z) =

(oi) (=), ., #0 1(z))7 thuộc không gian H3 đối với hé N phương trình vi phanthường bậc hai (1.1) Các hàm riêng này phải thỏa mãn điều kiện biên thuần nhất:

loại 1 và (hoặc) loại II và (hoặc) loại HH ((1.2) - (1.4)) tai các điểm biên thuộc

khoảng = € [Zmin Zmax].

Trong trường hợp hàm thế năng có giá trị thực, nghiệm phải thỏa mãn điều

kiện chuẩn hóa và trực giao:

*

“max

< @(m")|g@(m) > = / Splz PO (2)! BO" (2) dz = Sam’ (1.15)

và phiém hàm bậc hai đối xứng (1.5) tương ứng được sử dung, trong đó đấu * là

liên hợp Hermite Ï cần thiết cho tính rời rac của bài toán khi dùng phương pháp

phan tử hữu hạn Ở phương trình (1.15) < |p") > là tích võ hướng của hai

hàm sóng với ®É”?, ©!) là các hàm riêng của toán tử Hermite, ham Delta đmụụ

nhận giá trị 0 (néu m # m’) hoặc 1 (nếu m =m").

Trong trường hợp, hàm thé năng có giá trị phức, nghiệm phải thỏa mãn diéu

kiên chuẩn hóa và trực giao:

Ÿmox

<OTM gir 5 = / fp(z)(®f")(z))f OO (z)dz = Sn (1.16)

14

và phiém ham bậc hai đổi xứng (1.5) tương ứng được sử dung, trong đó * là chuyển

vị 7 cần cho tính rời rac của bài toán khi dùng phương pháp phần tử hữu hạn

Dé giải bài toán giới han trên trục hoặc nửa trục số bài toán ban dau được xap

xỉ bang bài toán biên (1.2) - (1.4) trên khoảng giới han z € (min Zmax] với các điều

kiện biên loại II] với ma trận R{z,) đã cho phụ thuộc vào trị riêng £ chưa biết và

một bộ trị riêng, hàm riêng xắp xỉ được tính toán Nếu ma trận R(x) phụ thuộcvào trị riêng # chưa biết khí đó R(x, E) được xác định bằng khai triển tiệm cận

đã biết của nghiệm can tìm Trong trường hợp đó, để tính trị riêng và hàm riêng

xap xỉ trong chương trình thì sơ đồ lặp cha Newton được triển khai dé tính toán

Sự xấp xỉ thích hợp ban dau được chọn từ nghiệm đã tính trước đó với điều kiện

bién phụ thuộc vào Ö#.

Bài toán trạng thái siêu bền

Từ các sơ đồ tính toán của hai bài toán biên đã được để cập ở trên ta xét

sơ dé tính toán các trạng thái siêu bén Với các trị riêng năng lượng phức, # =

E+ 1E, 3E <0: RE, < REQ < điều kiện biên Robin đối với nghiệm ham

tiệm cận của sóng tới tương ứng với diéu kiện Siegert [0].

Đối với hệ phương trình vi phan (1.1) với f4(z) = fe(z) = 1, Q„{z) = 0 và hàm

thé năng hiệu dung V;;(z) = VER CÓ) trong miễn tiệm cận, nghiệm ham tiệm cân

X!"2) được biểu điễn bởi công thức sau [L1]

Với A; và VW; là nghiệm của bài toán trị riêng, 7 và chỉ hướng của hàm sóng

di từ trái sang (Z) hay từ phải sang (R).

Hình 1.2 biểu điễn cẫu trúc của chương trình KANTBP 4M đổi với các dang bai

toán bién khác nhau Ta có thể thấy rằng với những giá trị khác nhau của keypot

thì sẽ có những dạng bài toán tương ứng Với keypot = 0 ta có nghiệm gan đúng

đưới dang các điểm nút, keypot = 1 ta có nghiệm của bài toán trị riêng, keypot = 2

ta có nghiệm của bài toán tan xạ đa kênh, keypot = 3 ta có nghiệm của bài toán tri

riêng được giải bằng phương pháp Newton dé tính toán các trạng thái siêu bến và

với keypot = 4 để tính toán sai số của đa thức nôi suy Hermite (IHP - Interpolation

Hermite Polynomials) DirL và DirR tương ứng là các lệnh điều kiện biên tại điểm

biên bén trái và bến phải (1 - Điều kiện biên Dirichlet; 2 - Điều kiện biên Neumann;

3 - Diéu kiện biên Robin; 0 - Điều kiện biên Robin được xác định từ nghiệm tiệmcận; 4 - Diéu kiện biên Robin được xác định từ nghiệm tiệm cân do người dùng

cung cấp phương pháp).

Functional structure of KANTBP 5M code

Mwj#tG »wø-l evegted lapde3 beret’ ,uagmom keypok< approximation of

&heme% function given in nodes by a

code continuous one in the form of a

Hình 1.2 Cấu trúc hoạt động của ma code trong chương trình KANTBP 4M ứng

vir các bar toán lượng tử khác nhau (L3),

1.3 Sự hình thành phương pháp phan tit hữu

hạn của bài toán đại số

Các sơ đồ tính toán có độ chính xác cao để giải bài toán biên (1.1) - (1.4) có thể suy ra từ hàm bién phân (1.5) - (1.6) dựa trên phương pháp phan tử hữu hạn Ý

tưởng chung của phương phấp này là trong không gian một chiểu Ízm¡a, Zmax] được

chia thành nhiều phần nhỏ mà mỗi phần được xem như là các phần tử Kích thướccủa các phan tử này có thế được xác định thông qua các tính chat vật lý của hệ

lượng tử đang khảo sát [LÍ].

Khoảng A = [2min, zmax] chứa một bộ nv phan tử Aj = [Zj.„.Z„„„ = zj+1,.„Ì, ĐỨC

16

là A= U?_¡Ä; VÌ vậy, chúng ta thu được một mạng lưới:

2H) zin, Zmax] = {2min = Zheine Ímax = “màn + hị.j = 1, = 1,

Znax = Faw + lạ = Zmax} (1.17)

trong đÓ, Z/„„ = Z¿~1,„.j = 3 là các điểm mắt và các bước hy = Zan = z/„„ là

độ dài của các phan tử A;

Chương trình còn có kha năng xác định một mạng lưới giả đồng nhất, mà hị —

hạ = = Any ha;+t = An, +2 = = Bmv+nzs Pny+na+1 = Rny+n2+2 = = Ìnt+na+na›

tức là khoảng A = (m„,Zax| đầu tiên được chia nhỏ thành nmesh khoảng phu(trong trường hợp tổng quát độ đài không bằng nhau) mỗi khoảng phụ đó lại được

chia thành ngrid(r0) = n,9 khoảng con có cùng độ dai.

Chương 2

Ứng dụng chương trình

KANTBP 4M

2.1 Tinh toán các trạng thái siêu bền trong bài

toán tán xạ và bài toán trị riêng chứa rào

thế phức

Trong phan nay, bằng cách sử dung chương trình KANTBP 4M chúng tôi sẽ

tính toán các trạng thái siêu bên trong bài toán tán xạ và bài toán trị riêng chứa

rào thé năng Poschl - Teller ở dạng phức Đối với bài toán tan xa, các hàm sóng với ma trận tán xạ S được tính toán với năng lượng có giá trị thịực xác định của

sóng tới, còn đối với bài toán trị riêng, các hàm sóng cùng với các trị riêng tương

ứng cũng được tính toán Sau đó, chúng tôi khảo sát và tính toán hàm sóng của các trạng thái siêu bền trong vùng lan cận của các giá trị năng lượng cộng hưởng cho hai bài toán này Kết quả tính toán được biểu điễn dưới dang bảng va dé thi.

Trong phan nhận xét, chúng ta sẽ thảo luận về các kết quả đã đạt được và mở

rộng hướng phát triển tiếp theo.

2.1.1 Rao thế Poschl - Teller

Xét phương trình Schrỏdinger một chiều có fa{z) = fs{z} = 1, Q(z) =0 7= 1

ta viết lại phương trình (1.1) đưới dang

- | |=. bu —_ tì | m S=- ^ a | = —2.1)t

18

Rao thé Poschl — Teller kép ở dang phức được cho bởi công thức

Trong đó, d là khoảng cách giữa hai rào thé VỊ V¿ và d được xem như là các

tham số của các rào thé Dé dang nhận thấy, khi Vi < 0,V2 < 0, chúng ta nhãn

được một hỗ thé và khi tị > 0, V2 > 0, chúng ta có một rào thế Hình 2.1 biểu diễn

hệ hai rào thế Poschl — Teller ở dạng phức với các giá trị khác nhau của WJ, V2 và

d Có thể nhận thay rằng, rào thé phức Poschl - Teller có dạng đối xứng That

vậy, khi d= 0, > 0, V2 = 0, chúng ta nhận được duy nhất một rào thế (H 2.1a),

khi d > 0.V, > 0,12 = 0, chúng ta nhận được hai rào thế đối xứng cách nhau một

khoảng d (H 2.1b) và khi d > 0.1 > 0.V¿ >0, ta thu được hai rào thé đổi xứng

gồm 2 phần thực và ảo (H 2.1e và 2.1d) Chúng ta phải khảo sát khả năng tồn tại

19

của trạng thái siêu bên trong các rào thé này với các giá trị khác nhau của Vì, V2

và d.

2.1.2 Kết quả tính toán

a Bài toán tan za

Code của chương trình KANTBP 4M để giải bài toán tan xa được thể hiệntrong bang 2.1, trong đó cột bẽn trái là các lénh của chương trình (phan input),cột bên phải giải thích các đòng lệnh (bằng tiếng Anh và tiếng Việt)

Code của chương trình KANTBP 4M cho bài toán tắn xạ

Khoi ding chương trình va lựa

chọn tham số cho phương pháp phần tử hữu hạn

Setting a uniform gird

Thiết lập một lưới giá trị

Setting the boudary tions of the third kind

condi-Thiết lập điều kiện biên loại ba

Setting the effective potential and its eigenvalue

Lua chon các giá tri tham số

hermites():

abs(TLRsecat[1,1))^2;

The solution of the scattering

problem and check that there

is a complete transmission

Giải bài toán tan xa, kiếm tra

read "“wiluncts].dat";

sự truyen qua của sóng tới

Read file "wfunets1l.dat"

Doc file "wfunctst.dat" cá

chứa nghiệm rời rac

keypot:=3; Select the options to clarify

solution by newton’s method

Chon cach sang loc nghiém bằng phương pháp Newton

Phink:=eigfRLr(1,1)+I*eigffLei{1,1) The initial approximation for

Setting the boudary

conditions of the third kind

Thiết lập điều kiện biên loạt ba

Selecting the type of the

normalization, the maximum number of iterations and the solution of the problem by

Newton's method

Lua chọn điều kiện chuẩn hóa,

số lần lặp tối đa tà giải bàitoán bằng phương pháp New-

ton

Bang 2.1: Code của chương trình KANTBP 4M cho bai toán tán ra.

0.901758039088300 — 1.02504244482879 1 = -0.0783790244108254 — 0.551737239653348 |

-0.0783790244 108525 — 0,551737239653537 1 0.901758075339512 — 1.02504241795799 |

Hình 2.2 Hàng trên biểu điển đề thị của hàm sóng ®„(z) trong bài toán tan ra

(hình bên trát va hình giữa) vdi năng lượng xác định RE = 0.23456 của sóng tắt

va hàm sóng của trang thái siêu bên (hành bên phải} khi Vị = 1;V; = 0.1;đ = 0.5.Đường liền nét thể hiện phần thực và đứt nét thể hién phần áo Phần bảng phía

dưới biểu điển ma tran tán va S

21