2.2. Tính toán hàm sóng trong phương trình hàm
2.2.4. Kết qua tính toán phương trình Schrédinger phi
a. Ham thế bình phương
Xét hàm thế bình phương có dang
z
VỆ) ==. (2.8)
35
Lúc đó, phương trình (2.5) trở thành
( ld ad 2
QIzdz dz 2 “ )#() + AB (=) = 0. (2.9)
Kết qua tính toán được biểu diễn ở các hình 2.12, 2.13 và bảng 2.6. Hình 2.12
biểu dién đồ thị hàm sóng của bốn trang thai đầu tiên ứng với các trị riêng F„„. Do
tính chat phi tuyển của hàm sóng trong phương trình Schrédinger, ta thay hàm
sóng sẽ giảm vẻ 0 (hàm số mũ) khi z tiến ra võ cùng. Từ đỗ thị sai số của hàm
riêng cho bốn trạng thái đầu tiên với hàm thế bình phương V{z} = Ea (H. 2.13), ta
thấy sai số của him riêng sẽ nằm trong khoảng 1072 đến 1077, Điều này cho thấy
kết quả tính toán bằng phương pháp phan tử bữu han được thể hiện qua chương
trình KANTBP 4M sẽ cho độ chính xác cao.
So sánh kết quả tính toán trị riêng E,, với nghiệm chính xác F,„„; được tính toán bằng phương pháp giải tích ở bảng 2.6 [22], ta nhận thay rằng, sai số của trị riêng #„ được tính toán bằng chương trình KANTBP 4M có sai số rat nhỏ (từ
10-8 đến 1077) so với nghiệm giải tích.
h6) ®,(Z)
08)
0.64
Hình 2.12. Dé thi hàm sóng ®,,(z)},(m = 1,3) của bến trạng thái đầu tiên ứng
tới các trị riêng Em, (m = 1,3) tới ham thé bình phương V(z) = =:2
36
Hình 2.13. Sai số của hàm riêng cho bốn trang thái đầu tiến vdi ham thé bình
z2
phương V(z) = >"
Trang thai Trị riêng Fy,
(KANTBP 4M)
ra = Ì 0.9999999999991938 im = 3 3.000000000022675 m=3 5.000000001295045
m=: 7.000000023546898 | 10°?1
Bảng 2.6: Ti riêng năng lượng của bến trang thái đầu tiên đốt với ham thé bình
phương V{z} = = được tính bằng chương trình KANTBP 4M (cột 2), phương pháp
giải tích (cột 3) va sai số (cột bên phải).
b. Hàm thé lập phương
Xót hàm thé lập phương có dang
„3
Fis) = 25 5
We)" > (2.10)
Lic d6, phuong trinh (2.5) tré thanh
Lđ d. z3 :
(- Qzdz dz 2 Em) ®(2) + ABS (z) = 0. (2.11)
Kết quả tính toán được biểu diễn ở các hình 2.14, 2.15 và bang 27. Hình 2 14 biểu dién dé thị ham sóng của bốn trạng thái dau tiên ứng với các trị riêng F„„. Do tớnh chất phi tuyến của hàm súng trong phương trỡnh Schrửdinger, ta thấy hàm sóng sẽ giảm vẻ 0 (hàm số mũ) khi z tiến ra võ cùng. Từ dé thị sai số của hàm
riêng cho bốn trạng thái đầu tiên với hàm thế lập phương WV(z) = = (H. 2.15), ta3
thấy sai số của hàm riêng khi tính toán sẽ nằm trong khoảng 10-7 đến 10”Š.
,(2)
Hình 2.14. Dé thi hàm sóng ®,,(z),{m = 1.4) của bến trạng thái đầu tiên ứng
„3
vdi các trị riêng Em, (m = 1,4) uới hàm thé lap phương V{z) = *
38
Hình 2.15. 2 số của hàm riêng cho bốn trang thai đầu tiên tới ham thé lập
phương V(z) = —
A
Trị riêng năng lượng của bốn trạng thái dau tiên đối với hàm thể V(z) = 5 được trình bày ở bảng 3.7. Đối với hàm thế ở dang lập phương, hàm riêng và trị
riêng năng lượng chưa được tính toán bằng phương pháp giải tích (chia có nghiệm
chính xác} nên chưa thể tính toán sai số cho trị riêng năng lượng.
Trang thái m = 1 Trang thai m = 2
Tri riêng 2, = 1.093730750107763 | Tri riêng E¿ = 3.969573443406711
Bang 2.7: 7h Tiêng năng lượng của bốn trạng thái đâu tiên đối vdi hàm thé lập
phương Viz) = > được tính bằng chương trình KANTBP 4M.
39
Nhận xét
Trong phan này, chúng tôi đã trình bày phương pháp giải phương trình
Schrédinger phi tuyến tinh lap phương bằng phương pháp phan tử hữu hạn được thể biện qua chương trình KANTBP 4M và áp dụng vào việc giải bài toán trị riêng.
Các kết quả tính toán cho độ chính xác cao và có độ sai số nhỏ so với kết quả được tính toán bằng phương pháp giải tích. Ngoài ra, chương trình còn có thể tính toán
các hàm sóng cùng với các trị riêng năng lượng đỗi với hàm thé lập phương mà
chưa có nghiệm giải tích.
40
Kết luận và hướng phát
triển
Trong khóa luận này, chúng tôi đã phân tích và ứng dung phương pháp phần tử hữu hạn được thể hiện qua chương trình tính toán có tên gọi là KANTBP 4M để phan tớch cỏc mử hỡnh lượng tử phức tạp. Cỏc mử hỡnh lượng tử phức tạp được chúng t6i lựa chọn dé khảo sát là trường thé năng Poschl - Teller kép ở dang phức (ở dang cơ bản và hiệu chỉnh). Đối với trường thé năng nay, chúng tôi đã khảo sát trang thái siêu bền đối với hai bài toán biên đó là bài toán tan xạ và bài toán tri riéng. Ding như dự đoán, đối với trường thé năng phức tap này không chỉ tén tại các trạng thái liên kết, mà còn tồn tại các trạng thái siêu bền. Ngoài ra chúng tôi
còn giải bài toán chứa phương trình Schédinger phi tuyển tính lập phương, trong
bài toán này chúng tôi đã tính toán được hàm sóng (hàm riêng) cùng với trị riéng
năng lượng tương ứng và so sánh kết quả thu được với các kết quả giải tích và nhân thay rằng kết quả chúng tôi thu được có độ chính xác cao.
Những kết quả này có ý nghĩa quan trọng dối với các nghiên cứu tiếp theo trong việc tìm hiểu các mé tả sự truyền sóng trong các ống dẫn sóng, đường ham và kênh lượng tử thông qua các rào thé đa chiều, quang hóa, quang hap thụ, và sự van chuyển trong hệ thông bán dẫn một chiều của nguyên tử, hạt nhân và lượng
tử. Trong tương lai, dựa trên phương pháp và kết quả thu được, chúng tôi sẽ tiếp
tục nghiên cứu những m6 hình lượng tử khác phức tạp hơn, từ đó xây dung các sơ
đỗ số và thuật toán mới để nghiên cứu các tinh chat vật lý của cả hệ lượng tử.
41