2.1. Tinh toán các trạng thái siêu bền trong bài
2.1.3. Hồ thế Poschl — Teller hiệu chỉnh
Xột phương trỡnh Schrửdinger một chiều cú f4{z) = fa{z} = 1, Q(z) =0. =1 ta viết lại phương trình (1.1) dưới dang
(-gz+V(@) - En) ®(2) =0 (3.3)
Hỗ thế ở dang phức được cho bởi công thức
a bsinh{2)
V€) cosh* (a) cosh’ (x) =
Trong đó, a và b được xem như tham sé của các hỗ thé. Dé dang nhận thay, khi ứ < và b< 0, chỳng ta nhận được một rào thộ và khi a > 0,b > 0, chỳng ta nhận
được một hỗ thế. Hình 2.7 biểu diễn hỗ thé ở dang phức với các giá tri a,b khác nhau. Có thể nhận thay ring, phan thực của rào thế phức có dang đỗi xứng trục,
26
Hình 2.7. Dé thi biểu dién hỗ thế Poschl - Teller liệu chỉnh ở dạng phúc vdi các
giá trị khác nhau của a tà b. Dường liền nét mau dé thể hiện phần thực, ditt nét
màu xanh thể hiện phần do của hàm thế.
phan ảo có dạng đổi xứng tâm. Thật vậy. khi a > 0.b = 0 ta nhân được duy nhất
một hồ thế, Khi a > 0,b > 0 ta thu được hai rào thế đối xứng gồm 2 phan thực và áo, phan thực đối xứng trục, phan ảo đối xứng tam. Chúng ta phải khảo sát khả năng tổn tại của trạng thái siêu bên trong các rào thé này với các giá tri khác
nhau của a, b.
Kết quả tính toán
Thực hiện một cách tương tu như phan trước (phan 2.1.1) ta cũng thu được kết
quả tính toán trạng thái siêu bền với bài toán tan xa và bài toán trị riêng.
a. Bai toán tan ra
Hình 2.8 và 2.9 biểu diễn đỗ thi của các ham sóng ở trạng thái siêu bén ứng
với các giá trị a và b khác nhau. Đường liền nét thé hiện phần thực và nét đứt thể hiện phan ảo. Có thể thay rằng, đối với sóng đi từ trái qua (hình bên trái) hay từ phải qua (hình ở giữa) đều thu được một hàm sóng, chứng tỏ rằng đối với sóng đi
bo ~!
từ trái qua hay từ phải qua déu sẽ có 1 kênh mở (tương ứng với số hàm sóng thu được). Biên độ của hàm sóng phụ thuộc vào dé cao a,b của các rào thế, biên độ này sẽ thay đổi khi di qua các rào thé (hình bên trái và hình giữa). Trang thái siêu
bền tồn tại trong vùng giữa hai rào thế (hình bén phải) nhưng khong tồn tại một cách rõ ràng như ở hỗ thé Poschl - Teller được thể hiện qua biên độ ham sóng ®,,,,
của trạng thái siêu bên. Phần bảng phía đưới biểu điễn ma trận tán xạ S được
tính bằng công thức (1.8). Tat cả phan tử của ma trận tán xạ S đều ở dạng phức.
— 0.756061544609545 + 0.06805839687266871 0.0583607972407353 + 0.6483309438266401 0.0583607972407399 + 0.6483309438266931 —0.756061547411848 + 0.0680583657418444 1
Hình 2.8. Hang trên là dé thị biểu diễn hàm sóng ®ạ(z) trong bài toán tán xa
(hình bên trai va hình giữa) uớt nang lượng rác định RE ys = 0.0543 của sóng tới
tà hàm sóng của trang thái siêu bên (hình bên phải) khi a = 1;b = 0. Dường liền nét thể hiện phần thực và đứt nét thể hiện phần ảo. Phan bang phía dưới biểu dién
ma trận tán 2a S.
(=) 3 (=) 2 ®„.(:)
_ | = 0.783019621907222 — 0.0199296314032181 —0.0190816826782993 + 0.7497037213803641
_ | ~0.0190816826783006 + 0.7497037213804251 —0.558475059258817 — 0.01421447627041771
Hình 2.9. Hàng trên là dé thi biéu dién hàm sóng ®„(z) trong bài toán tan xa
(hỡnh bờn trỏi va hỡnh giữa) uới năng lượng rỏc định đẹE,„., = 0.055 của súng tối va
hàm sóng của trạng thái siêu bên (hình bên phải) khi a = 1;b = 0.5. Đường liền nét
thể hiện phần thực va ditt nét thể hiện phan do. Phần bằng phía dưới biểu diễn ma
trận tán va S.
28
b. Đài toán tri riêng
Bang 2.4 thể hiện các trị riêng E,, và năng lượng cộng hưởng R#,,. mang giá
trị thue tương ứng với F,, trong bài toán trị riêng.
Thông số Năng lượng rào thế Tri riêng Ep cong hudng
RE ves
E\ = —1.38935417648861 — 9.21169501720762.107': —1.38935405 a = 2.6;b=0.6 | By = —0.0137011187135501 + 1.15367753098399.10-19; | —0.01336692 Ey = 0.203284828916654 — 6.66663624965504, 107! 0.21716973 Fy = 0.44385945668329 + 2.97063430269155.10~11; 0.44308743 By = —1.40188325939954 — 4.47062725234786.10” 8 —1.40188314 a = 2.6;6=0.4; | E¿ = —0.0154504806401133 + 8.5134717502548.10° 4% | —0.01508174
Bang 2.4: Các trị riêng đầu tiên Em (m = 1,2,3,4) tà giá trị năng lượng cộng hưởng Đ\E,„„ tương ứng của trang thái siêu bên ứng tới các giá trị & tà b khác nhau.
a hese eet CIEL s{ ¡ 9449146009 X6e-4071 DAD NR ee Natt MAIS 9924 EE ¡5
keo
tí
29
4 CUNO eet OCR ENT RSA UI Seti 4190 43 SPICE att 1S
v4 mì ¿
Hình 2.11. Hàng phía trên: Dé thị của hàm sóng ®,,(z) tới try riêng tương ứng
Em trong bài toán trị riêng khi a = 2.6;b = 0.4. Hàng phía dưới: Đà thị ham sớng
cho trang thái siêu bên trong tàng lân cận nang lượng công hưởng tương ứng được dua ra ở hang 2.6: ẦE,., = —1,40188314 (bái) và RE. = —0.01508174 (phái).
Dường liền nét thể hiện phan thực va đứt nét thể hién phan do.
Hình 2.10 và 2.11 biểu diễn các hàm sóng ứng với giá trị E„ trong bài toán tri
tiếng (hàng trên) với các giá trị khác nhau của @ và 6. Hàng đưới biểu diễn hàm
sóng của các trang thái siêu bền trong lan cận của năng lượng cộng hưởng 93#,„,
được lay từ bảng 2.4. Đường liễn nét hiển thi phan thực và đường đứt nét hiển thị
phan ảo. Có thé thấy rằng, khi nang lượng công hưởng tăng lén, hàm sóng sẽ dao
động mạnh hơn trong vùng ở giữa hai rào thé.
Nhận xét: Trong phan này chúng toi đã tính toán trạng thái siêu bền của hệ lượng tử trong trường thé năng phức tap, cụ thé là trường thé năng Poschl - Teller kép ở dang phức và hé thế Poschl - Teller dang hiệu chỉnh. Hai mô hình vật lý này đã được đơn giản hóa về mô hình toán học chứa bài toán biên dang elip (phương trình Schrédinger) trong miễn vô hạn của các biến độc lập. Sau đó. thành lập bai toán biên là hai bài toán tan xa và trị riêng trong miễn không gian hữu hạn cùng với các diéu kiện biên tương ứng. Dé giải quyết hai bài toán này, chúng tôi đã sử dụng chương trình KANTBP 4M dua trên phương pháp phần tử hữu hạn với da
thức nội suy Hermite có d6 chính xác cao. Rao thé phức Poschl - Teller có hình
dang khác nhau tùy thuộc vào các thông số của nó. Đúng như dự đoán, đối với rao thế phức này hé lượng tử không chỉ tồn tai trang thái liên kết, mà còn tốn tại trạng thái siêu bến.
30