Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: Thế màn chắn trong Plasma một thành phần và trong Plasma hai thành phần

Mô hình sử dụng va những thông số cơ bản liên quan : Thông thường , chúng ta có thé xem plasma như một hỗn hợp của những electron, ion , những hạt trung hòa điện Trong plasma, điều kiện

TRUONG ĐẠI HỌC SƯ PHAM TP HO CHÍ MINH

GVHD Thay DO XUAN HỘI

SVTH MAI HUU DUC

Khóa3l 2005-2009

MỤC LỤC

PHAN A: LÝ THUYET

CHUONG I: MO HINH PLASMA MOT THANH PHAN ( Tr 2)

CHƯƠNG II: HAM PHAN BO THEO BAN KÍNH VA THE MAN

CHAN TRONG PLASMA MOT THÀNH PHAN (Tr 9)

CHUONG III: LY THUYET DEBYE-HUCKEL SỬ DUNG CHO

PLASMA LOANG MOT THANH PHAN (Tr 18)

PHAN B: THUC NGHIEM

CHUONG IV:HAM PHAN BO XUYEN TAM (Tr 26)

CHƯƠNG V: KHOANG TUYẾN TÍNH CUA THE MAN CHAN

H(r) (Tr 36)

CHUONG VI: THE MAN CHAN TRONG PLASMA OCP BAT DAU

KET TINH VA CHO PLASMA BIM CARBON-OXY (Tr 56)

BANG GIÁ TRI (Tr 69)

| THU VIEN |

[rưỡng Đại-Học Su-Pham

_TP HỖ-CHI-MINH |

CHUONG I: MÔ HÌNH PLASMA MỘT THANH PHAN

1 Mô hình sử dụng va những thông số cơ bản liên quan :

Thông thường , chúng ta có thé xem plasma như một hỗn hợp của những electron, ion , những hạt trung hòa điện Trong plasma, điều kiện trung hòa về điện tích phải

luôn được thỏa mãn :

n= > Zn, (LI.1)

trong đó n; : Mật độ electron trung bình

n, : mật độ ion trung bình của loại ion "i"

Z, : điện tích của mỗi ion loại "i" ( Z; là một số nguyên lin của điện tích

nguyên tỏ e).

Điều kiện trung hòa trên bảo đảm cho tỉnh ôn định của plasma.

Trong khuôn khổ của dé tài này , chúng ta quan tâm chủ yêu đến plasma một

thành phan [ One Component plasma (OCP)] là loại plasma được xác định bởi các thông số vẻ nhiệt độ T, thé tích V trong đó chứa N ion cùng loại ( tức cùng điện

tích Ze) và khí electron phân bế đều sao cho trung hòa điện tích ZN của các ion,

Trong loại hình plasma này, điều kiện trung hòa điện tích được viết lại :

n, = Zn (1.1.2)

với n là mật độ ion trung bình của Plasma (n=)

Ly do chúng ta chỉ quan tâm tới loại plasma một thành phần (OCP) nhằm mục

dich đơn giản các vấn đề nghiên cửu , nhờ đó các tính toán cũng đơn giản hơn

nhưng vẫn không mất tính tông quát Thật vậy, OCP có thể được xem như một hệ tham khảo trong quá trình nghiên cứu Plasma nhiều thành phần (multicomponent plasma) bằng cách sử dung một cách thích hợp điện tích hiệu dụng

Mô hình “Hinh cầu ion * cũng sẽ được nêu ra vì nó can dùng cho các tính toán

cũng như cho phép hình dung vẻ mô hình plasma đang nghiên cửu

Hình bên mô tả một ion riêng biệt mang điện

tích Ze và một dam may điện tử bao quanh nó

Điện tich của dam mây điện tử này hoan toàn

trung hòa với điện tích Ze của ion trên.

Qua đó ta thấy hình cau này biểu hiện cho vùng

ảnh hưởng của điện tích Ze Bán kính hình cầu

và mật độ electron của nd lin lượt là a và

3

4za’

Hình cầu ion như ta thấy chi chứa trung bình | ion vả dam may điện tử của nó

Theo mô hình trên, chúng ta có thé hình dung plasma dưới dạng N hình cầu ion va

mỗi hình cdu chứa Z electron, Dựa vào sự hình dung đó chúng ta có thé dé dang

tính được bán kinh hình cau ion a thông qua hệ thức:

Dựa theo tham số này người ta phân biệt 2 loại plasma: Plasma liên kết yếu

(weakly coupled plasmas): ['<l va plasma liên kết mạnh (strongly coupled

plasmas): F >1 Khi F <I, tức (2) ear ta nhận thay rằng chuyên động hỗn loạn

a

của các hạt trong plasma chiếm ưu thé so với sự sắp xếp có trật tự của chúng Tinh trạng trên đã gây nên sự giảm cường độ tương tac Coulomb giữa các hạt dẫn tới

những tinh chat của plasma yếu gan gidng với các tính chất của khí lý tưởng (tuân

theo Thong kê cô điển, phản bố vận tốc theo phân bé Maxwell ) Loại plasma

yêu hiện diện trong các khí tích điện; trong những máy Tokamak Còn loại

plasma liên kết mạnh thường xuất hiện trong các sao lùn trắng, sao Neutron,v.v Các nhà khoa học cũng đã có thé tạo ra plasma liên kết mạnh trong phòng thi

nghiệm bằng các chùm tia laser hay ion Những tinh chất cơ bản của plasma một thành phan được tóm tắt trong bảng sau.

2 Phương pháp mô phỏng Monte-Carlo

Chi bắt đầu từ sau năm 1965, phương pháp mô phỏng Monte-Carlo ( mới được

phát triển sử dụng de nghiên cứu những tinh chất nhiệt động lực của plama một

thành phan Các phép tinh nay sẽ cho ta kết qua hàm phân bỏ xuyên tâm và phan

du nội năng của hệ plasma.

Mô phòng Monte-Carlo dựa trên ý tưởng các tập hợp thống kẻ Xét một hệ vĩ mô

ở trong trang thai cân bằng mà ta muốn tinh các tính chat, ta tạo ra một số rất lớn

những hệ tương tự Sau khi tính toán gia trị của các đại lượng ma ta muốn có, ta sẽ lấy giá trị trung bình trên tập hợp.

Như vậy sau khi xác định một cau hình ban dau của hệ ta sẽ phải làm phát sinh

một dãy những << cấu hình chọn lựa >> một cách ngẫu nhiên tức là phải có một

phản mẻm cho ra các số ngẫu nhiên trên máy tính Và phải có các vị trí của các hạt

sao cho năng lượng của mỗi cấu hình được phân bế ngẫu nhiên Nếu gọi M lả số

cấu hình toan phan, giá trị trung bình của một đại lượng X xác định cho mỗi cấu

hình được tính như sau:

(x)=—— (1.2.1)

Tuy nhiên trong thực tế, việc áp dụng hệ thức trên một cách đơn thuần sẽ gặp khó khăn là mỗi cấu hình ngẫu nhiên như vậy sẽ có năng lượng rất lớn, nghĩa là có

thừa số Boltzmann rất nhỏ Thật vậy, xét một lưu chất chẳng hạn, nếu ta chọn tinh

cờ vị trí của hạt mà các hạt lại rất gần nhau nên ta sẽ có một giá trị rất lớn của

năng lượng Do vậy, vào những năm năm mươi, Metrotropolis va Teller đã dé

nghị một phương pháp hiệu qua hơn đó là không lấy các cấu hình ngẫu nhiên,

nhưng theo một xác suất là hàm của năng lượng Như vậy, giá trị trung bình cúa hệ

thức (1.2.1) trở thành.

Phương pháp tính ở trên gọi là “phép lắy mẫu quan trọng” Dé có được một day

cấu hình sao cho sự phân bề ti lệ với thừa số Boltzmann, ta phải tao ra một “ChuỗiMarkov", tức là cấu hình thứ k chỉ phụ thuộc cấu hình thứ k- 1 ngay trước đó mà

không phụ thuộc các câu hình thứ k-2, k-3,

Với cách làm như vậy việc mô phỏng trên Monte-Carlo được thực hiện trên máy

tính một cách dé đàng hon, độ chính xác cao hơn, va đặt biệt hơn nữa, là phương

pháp này có thể áp dụng cho các tập hợp thống kê chính tắc lớn

Với mô phòng Monte-Carlo ta chỉ cần hệ có vai trăm hạt là đủ để có thể cho được

cúc giá trị của các đại lượng đặc trưng của hệ ở giới hạn nhiệt động lực nghĩa là sự

phụ thuộc vào các giá trị trung bình thống kê vào số hạt sẽ trở nên rất nhỏ

Phương pháp Monte-Carlo đã mang lại những kết qua rat quan trọng trong lĩnh

vực plasma một thành phần trong những năm gân đây Công trìnhđầu tiên vào năm

1966 được thực hiện bởi Brush va Teller cho mô hình plasma này ở thé lưu chất

0,05 < F < 100, Gần mười năm sau, Hasen công bé các kết quả có độ chính xác

cao hơn cũng cho plasma lưu chất ;1< F <160., và sau đó cho plasma ớ trạng thái

rắn : 140<T < 300

Trong những năm gan đây vào cuối năm 1998, Dewitt e ai đã thực hiện các mô

phòng Monte-Carlo với độ chính xác rat cao, khoảng l0” cho ham phân bố xuyên

tam g(r).

3 Phương pháp HyperNetted Chain:

Gọi h(r)=g(r) - | là “ham phan bỏ xuyén tam toàn phản “ta có được hệ thức sau:

g(r) =exp| ~E +2()=«(r)| (1.3.1)

với g(r): hàm tương liên trực tiếp, liên hệ với lýr)qua he thite Orstein-Zernike

h(r)=c(r)+ ø 4# 'e|? - # Wr) (13.2)

Hai hệ thức (1.3.1) và (1.3.2) ở trên tạo thành tập kín mà ta có thé thực hiện các

phép tỉnh bởi bước lặp Tuy nhiên phương pháp nảy chỉ cho ta kết quả chỉnh xác ở những giá trị nhỏ của “Tham số tương liên” I< 1 Do vậy kết qua của phương

pháp nay chỉ sử dụng để nghiên cứu plasma liên kết yếu có <1

CHƯƠNG HH: HAM PHAN BO THEO BAN KÍNH VA THE MAN

CHAN TRONG PLASMA MOT THANH PHAN

1, Ham phan bé xuyén tim ( Radial Distribution Function)

Dé tim được ham phan bé xuyên tâm đầu tiên cần phải xét điều kiện ôn định doi

với chat long

_ Năng lượng thé năng toàn phần của hệ phải lớn hơn một giá trị nhất định tức là

có giới hạn dưới:

Vue > ®(Ä-Ñ,)>-4AN A>0 (II.1.1)

_ Thẻ năng tương tác day phải giảm nhanh ở khoảng cách lớn

®(Ä -8,Ì<—— _ |&-8,|>“ (II.1.2)

|, -R,|

B20,C >0,R>0

®( Ä ~R,) : Thế năng tương tác giữa hai hat i và j của chat lỏng được xét

Ä,Ñ, : Vectơ vị tri của hạt i và j

Uy : Thế năng toàn phần của hệ hạt.

Đề thành lập được hàm phân bế của plasma một thành phần , chúng ta cần đưa vàokhái niệm thể năng toàn phan của plasma Thẻ năng toàn phan này là tông các thé

năng tương tác Coulomb giữa ion-ion , electron-electron và giữa ion-electron.

Những thé năng tương tac Coulomb trên lần lượt là :

¿ là vecteur vị trí của những clectron chửa trong một thé tịch nguyên tỏ.

Cin chú ý rằng trong (11.1.3), ta phải lấy tông rời rac cho tương tác các ion-ion,

trong khi o (11.1.4) và (11.1.5), tông là phép tích phân, vì các electron được xem

như tạo ra một môi trưởng liên tục ma trong đó các ion chuyên động Thừa số 1/2

xuất hiện trong (I1 1.3)vả (11.1.4) nhằm tránh lặp lại 2 lần khi chúng ta cộng năng

lượng tương tác Coulomb giữa mỗi cặp hạt.

Thế năng tương tac Coulomb được viết lại:

V, =(Ze)’ ~ ! bt 2 drdF" s 22k ¬ 1h 2" ae 3 I "1 i dF

Đối với hệ Plasma một thành phan có thé xem như một hệ chính tắc gồm N hạt

giếng nhau có thé tích V, nhiệt độ T và năng lượng Vy.

Xúc suất tim thấy ion | trong thẻ tích nguyên tố df tại vị trí 3, ion 2 trong đ# tại

vị trí Ø ion N ở trong df, tại vị trí #, không phụ thuộc vận tốc mỗi hat là:

cởi l i err

(1.1.7) Q

với Q là tích phân cấu hình (tích phân trạng thai):

l4 2 ¿

Xác suất để ion 1 được tim thay trong thẻ tích nguyên tổ df, tại vị trí 7, hạt 2

trong df, tại vị trí 7, -hatn trong đ¿ tại vị trí ø là:

Pl a, di MF, =

= Pp" (z 7,) =—_— —_— (11.1.8)

10

Ta gọi Ø'°Ì(Z Z,}đ# d# là xác suắt để có một ion nào đó (không nhất thiết là

ion 1) được tim thấy trong thẻ tích nguyên tố df tại vị trí #, ion khác thử hai trong

df, tại vị trí #, lon khác thir n trong df, tại vị trì £.

Vị có N cách chọn cho ion ở trong df, N-L cách chon cho ion ở trong đ#, và

tương tự có N-(n-1) tức N-n+l cách chọn cho ion ở trong ¿Z, nên tất cá có:

Tir định nghĩa trên thi ø'”(#) đế, là xác suất dé một trong những ion của hệ được

tim thấy trong thé tích nguyên tố df vả vi mọi điểm ÿ trong thé tích V tương

đương nhau ( ø!”(Z)đ#, độc lập với #) nên:

1 eg - 0 NEyị 4 pl =~ =p

Ta chú ý rằng ø°'(#,Z,)d#đẽ, là xác suất để một ion ở trong đ và một ion khác ở

trong dr, và do ø°” chỉ phụ thuộc vào khoảng cách r;; giữa hai ion nên:

Tu 1.9)ta có:

p” aor Vậy ta có

p9 =T=p

pt) TT - (1-4)

Ta thấy p"" (#)de là xác suất để một ion của hệ được tìm thấy trong thẻ tích

nguyên tổ dé tại vị tri # Nếu xác suất này độc lập với xác suất tim thấy ion thứ

hai trong thẻ tich nguyên t6 df, tại vị trí Z với xác suất tim thấy ion thử n trong

để, tại vị trí & thì ta có xác suất dé | ion ở trong dF, một ion khác ở trong

dr, một ion khác thứ n ở trong để, là:

PO Front dine, =[ ø!9(8)đã Ì[ø°(z,)4 Ì.-|a()đ] — đL110)

Ngược lại khi có sự tương quan giữa | ion này và một ion khác tức li n xác suất

trên không độc lập với nhau, vậy ta sẽ đưa vào hàm g"”(f, %) vì ham nay cho

biết mức độ map") lệch khỏi giá trị của nó khi các xác suất ø!'(Z)#z độc lập với

nhau Hàm ø'*' được định nghĩa như sau:

PO Frente) = ø'" (FP (FR) (EB Fann) (1.1.11)

Mọi điểm Z trong thé tích V đều tương đương nhau trong plasma lưu chất, tức là:

Ø®()= pF) =.= eR) =p

(1.1.11) được viết lại:

Ø (ñ +)= pig (Fount) (IH.1.12)

với p= ~ là mat độ ion trong Plasma,

‘Tir (1.1.9) và (1L1.12)ta rút ra mdi quan hệ giữa P và g"’ như sau:

12

ion, kỷ hiệu | vả 2, có điện tích Z, cách nhau khoảng rj) bat chấp sự cỏ mat cua

các ion ở các vị trí 7, xác suất này là P#)(Z,Z })

Sự hiểu biết giá trị hàm phân bể xuyên tâm đóng vai trò quan trọng trong việc

khảo sát thống kê của plasma, vì một phần là hàm này(cùng với trung bình phần

dư của năng lượng tự đo) là đại lượng được tính toán trực tiếp từ phương pháp

Monte-Carlo.

2 Thế màn chắn ( Sereening Potential - SP)

Đổi với hệ nhiều hạt, dé tinh thé năng tương tác hiệu dụng giữa hai hạt nào đó của

hệ ta phải tỉnh đến tác dụng của mỗi trường chung quanh, tức là ảnh hướng của

các hạt khác Tác dụng này được đặc trưng tại một đại lượng gọi là thé màn chắn

13

(screening potential-SP), thường được ki hiệu H Như vậy néu gọi thé nẵng tương

túc của hai hạt là U và thể của lực trung bình (potential of mean force) là V, ta có

biéu thức tổng quát:

V=U-H

SP là một dit liệu quan trọng dé nghiên cứu hiệu suất phan ửng hạt nhân (nuclear

reaction rates), sự hình thành những chuẩn phân tử (quasi molecules) và dang vạch

pho (spectral tral line shape) trong những môi trưởng đậm đặc (đặc biệt là trong

môi trường plasma Trong những môi trường này, thé man chan tăng rat nhanh

theo mật độ môi trường và có khuynh hướng làm thay đổi tính chất nhiệt động lực của hệ vật lí Trong plasma liên kết mạnh tìm thấy ớ một vải vật thể được khảo sát

bởi Vật lí Thiên văn như sao Lin tring, sao neutron, hàng rao thé ion giữa hai ion

giám đáng kẻ do hiệu ứng màn chẳn của những hạt chung quanh và do đó, hiệu

suất phản ứng hạt nhân phải được nhân lên với một thừa số khuyếch đại tính theo

thé man chắn ở khoảng cách rất nhỏ Mặt khác, trong plasma có mật độ hạt đủ lớn,khi khoảng cách giữa hai ion đủ nhỏ), xác suất tạo ra các phân tử đa nguyên tử trở

nên đáng kẻ.

* Mô hình lý thuyết

Xét mô hình plasma một thành phần (OCP): được xác định bởi nhiệt độ T và thể

tích V gồm N ion giếng nhau mang điện tích Ze và chất khí đồng chất gồm NZ

electron Khi đó, tắt cả các đại lượng nhiệt động lực có thé được tính theo chỉ mộttham số tương quan (coupling hay correlation parameter), thường được ký hiệu là

Tức là ta xem như plasma gồm có N khỏi cau, mỗi khỏi cầu có một ion ở tâm và

có điện tích trung hòa bởi các electron phân bỏ déu (mô hình khỏi cau ion - ionic

sphere model tương tự khai niệm khối câu Wigner-Seitz sử dụng trong vật lí chất

rằn).

Vậy, ta cũng cỏ:

is n ; a

=2.69x10°Z° —

LAN (sat) (ae)

Đối với plasma trong phan ửng nhiệt hat nhân cỏ điều khiển chẳng han, ta có

n=10"cmTM,T =10°K , và như vậy: F =10”

Có thể nhận xét ngay rằng với hệ thức định nghĩa, tham số tương quan I’ đặc

trưng cho tầm quan trọng của thế năng tương tác Coulomb so với thế năng của

chuyển động nhiệt hỗn loạn, tức là khi I” càng lớn, hệ vật lý đang xét có khuynh

hướng đi về trạng thái có trật tự (lỏng rắn) trong khi hệ sẽ có những tính chất rất

gần với tính chất của chất khí (chuyển động nhiệt hỗn loạn chiếm wu thé ) khi F

càng nhỏ.

Nếu gọi V(R) là thé của lực trung bình và H(R) là thé man chắn đối với hệ khảo

sát thi ham phân bố xuyên tâm (radial distribution function, hay ham tương quan

cập (pair distribution function) g(R), xác suất dé hai ion cách nhau một khoảng R

bắt kể đến vị trí của tắt cả những ion khác, được tinh theo công thức:

g(R) = exp[-BV(R)]

với: /(R)= (e) ~H(R)

8= ữ (k là hằng số Boltzman, T là nhiệt độ của hệ).

tt là thế năng tương tác ion giữa hai ion.

l§

Khi nghiên cứu plasma thi chiều dai và năng lượng rút gọn được tính lần lượt theođơn vị cúa a và (Ze)”⁄a Ta ký hiệu r = R/a thi thế màn chắn và hàm phần bó

xuyên tâm được viết đưới dạng:

H(r)=^*r-tng(r)

gír)= eø|-r(2-w()])

* Ý nghĩa của thế màn chắn

Trong nghiên cứu vật lý thiên văn, đổi với những plasma liên kết mạnh (sao nơ

tron, sao lùn trắng) hàng rào the Coulomb giữa hai ion tương tác giảm đi rất nhiều

do hiệu ứng thế màn chắn Hiệu suất phản ứng hạt nhân được tăng lên bởi thừa số

H (0)

(Ze)

a

H(0) la thể man chắn ở khoảng cách gần bằng 0

Trong vật lý thống kê, thế màn chắn cho phép tính toán các đại lượng nhiệt động

lực như phần du ra của nội năng, phần dư ra của năng lượng tự do so với khí lý

tưởng.

* Định lý Widom

Năm 1963, Widom đã phát biểu định lý quan trọng vẻ dạng hàm của H(r) như sau:

Trong lưu chất hay trong tính thé, thể màn chắn là hàm chén, theo khoảng cách

giữa hai ion hay hai nguyễn tử và trong vùng bản kinh hội tụ, được biểu thị bởi

một da thức luắn phiên đổi dau.

Dạng triển khai của thế màn chăn theo định lý Widom

H(r)=h, hy’ +hyr* — +(-1) hr”

#)=2 Cy ae

khuyếch dai A = exp| -F

Các hệ số h, có vải đặc điểm sau:

l6

h, = lim//(r) là số khuyéch đại khi có sự tong hợp hai hạt nhân nguyên tử, và

Widom đã chứng minh được rằng hp > |

- Hệ sé hy đã được Jancovici dùng vật lý thống kẻ xác định giá trị chính xác va

được đặt tên là hệ số Jancovici với hy = 0.25

_ Các hệ số còn lại phụ thuộc vào plasma 1a liên kết mạnh hay liên kết yếu, tức là

ở trạng thái tình thẻ hay lưu chất

Các đặc điểm trên giúp ích cho ta rất nhiều trong việc tìm lại dạng khai triển của

thé màn chan khi so sánh với các số liệu thực nghiệm Monte-Carlo

17

CHƯƠNG 1H: LY THUYET DEBYE-HUCKEL SỬ DUNG CHO

PLASMA LOANG MỘT THÀNH PHAN

1 Phương trình Poisson-Boltzman

Xét một ion riêng rẻ, điện tích Ze và chọn vị tri của ion lam góc tọa độ (R=9).

lon này day các ion khác và hút các electron xung quanh Do đó, nó sẽ tạo ra xung

quanh một “dam mây” điện tích có phân bỏ liên tục, đặc trưng bởi mật độ điện

tích khối ø (#} (mật độ ion địa phương) va mật độ điện tử trung bình n, = Zn Gọi

V(R) là thể trung bình sinh ra do ion đang xét và đám mây của ion này.

Đề thu được phương trình Poisson-Boltzman, ta xét hai phương trình:

_ Theo tính chat tĩnh điện, ta xét phương trình Poisson cho phép liên hệ giữa the

năng và mật độ điện tích tại mỗi điểm:

AV (R)=—4nZ8(R)+4ze| n, — Zn, (Ẩ)] (III.1.1)

n : Mật độ điện tích trung binh các ion

A : Toán tử Laplacien

6(R) : Hàm delta Dirac, biểu điển mật độ điện tích ngay vị trí ion đang xét

Thế năng (2) phải thỏa man hai điều kiện giới hạn sau:

Ze

lim (R) == (111 1.2a)

lim V (R) =0 (III.1.2b)

Hai điều kiện trên giúp xác định ¥(R), z (#) Khi R tiến đến 0, ta tìm được thé

Coulomb của một ion.ngược lại khi R tiến đến © thi thể năng #(Ế} tién đến 0

_ Theo vật ly thống kê khi nhiệt độ hệ plasma đủ lớn thi mật độ ion trong Plasma tuân theo thông ké Boltzmann.

18

»(8)=ss| ee (HI.1.3)

~ZeV(R)

k7

là ty số giữa thể năng một hạt —Zef (R) và nhiệt nang trung bình kT

Từ biểu thức trên ta thấy khi điều kiện thứ hai của thé năng (2) được thỏa thi

mat độ ion địa phương », ( R) tro thanh mật độ ion trung bình n.

Từ hai phương trình (1H 1.1) và (II 1.3) , ta thu được phương trình

Poisson-Boltzmann:

AV(R)= tect 8) teal og] 2] (11.1.4)

2 Cách giải gần đúng:

Dé giúp cho việc giải gan đúng phương trình trên được dễ dang, ta đưa vào

khoảng cách rút gọn rak/ và biêu diễn V theo năng lượng của Ze va dat:

ya vey (11.2.5)

Cân lưu ý đến tính đối xứng câu trong plasma xung quanh ion dang xét dé thay

rằng V chỉ phụ thuộc vào khoảng cách tinh từ gốc tọa độ (A= A(R,0,9) > A(R))

Phuong trình (HH 1.4) được viết lại

2, -=Pˆ

d J‹ ) = | el L2 9Ì (IH.2.6)

dr r

Nghiệm y(r) thỏa các điều kiện giới hạn sau:

lim y(r) =1 (HI.2.7a)

lim y(r)=0 (III.2.7b)

Ta dang phương pháp gan đúng Debye, tức là tuyến tinh hóa thừa số Boltzmann.

Nên ta có: yau(r)=e“® (IHL2.11)

Tử nghiệm yoy trên, ta tính được thé trung bình Vọ„(r), thé man chắn Hp)(r) và

hàm phân bế xuyên tâm gox(r)

Can lưu ý rằng guyár) là hàm déng biến tăng đơn điệu, khi r -»ø thì g,,, (r) >!

nên cỏ tiệm cận ngang là đường thing y = 1 Ngược lại, khi về hàm g(r) từ các số

liệu Monte-Carlo thì ta thấy rằng hàm g(r) có xuất hiện những dao động trong

những plasma ma I > Fe (ngường trật tự địa phương) Vậy ta cần phải xác định

chỉ tiết hơn phạm vi ap dụng cho lý thuyết Debye-Huckel

21

3 Hiệu chính lý thuyết Debye-Huckel:

Quan sat d6 thị hình H HI ta thay dao động của hàm g(r) phụ thuộc vào giá trị

tham số liên kết [ Vậy có tôn tại một ngưỡng F¿ mà tại đó hàm g(r) bat đầu thê

Đề thị trên thé hiện các giá trị của hàm H(r) ứng với F = 1 thu được từ kết quả mô

phỏng Monte-Carlo(ooo) Hàm Hpạár) được thể hiện dudi dạng liền nét Ta thấy

chúng chi phd hợp từ một khoảng cách r xác định Ở khoảng cách r nhỏ, chúng

không còn phù hợp nữa.

a Các giới hạn của lý thuyết Debye-Huekel:

Theo định lý Widom, the màn chắn được biều điển đưới dang một đa thức chăn,

luân phiên đổi dấu:

H(r)=30(-1) ar”

ino

23

Bây giờ ta tiến hành khai triển thé man chin Debye-Huckel:

Biểu thức trên đã vi phạm định lý Widom khi xuất hiện biến số bậc lẻ của r Do đó

hệ thức Debye-Huckel chỉ đúng với các khoảng cách liên ion r lớn hơn một gia trị

giới hạn rp nào đó đối với mỗi giá trị tham số tương liên F.

Mat khác, ta xét điều kiện dé tuyến tinh hóa thừa số Boltzmann bằng cách đưa vào

tham số phụ «= 2 vào phương trình (IIL2.6)

Nói cách khác r phải lớn hon một giá trị giới han roy: r > ton

Ta có kết luận rằng lý thuyết Debye-Huckel có giá trị khi:

_ Tham sé tương liên F' nhỏ hơn giá trị ngưỡng Fc

<1

_ Đối với mỗi giá trị F bat kỳ thi lý thuyết chỉ có giá trị khí khoảng cách giữa các

ion lớn hơn một khoảng rp),

24

Bằng cach sử dung phương pháp tôi ưu hóa sự tương thích của nghiệm thé man

chắn có dang đa thức bậc chin luân phiên đổi dấu và các dữ liệu cho bới mô

phóng Monte-Carlo cho I” =1, 2 và phương pháp HyperNetteChain, tác giả Đỗ

Xuân Hội đã dé nghị biêu thức khoảng cách Debye-Huckel như sau:

r

Fog, (UT) = 1.62540+ 0.34536arete 3, 040301n 0212

25

CHƯƠNG IV: HAM PHAN BO XUYÊN TÂM g(r):

Từ công thức tinh the man chan theo định ly Widom công thức liên hệ giữa thé

man chin hàm phân bỏ xuyên tâm, va bang 2 trong phân Bảng giá trị

e()~ew|-r(t-w()|Ì

Ta tính được biểu thức giải tích ham phân bé xuyên tâm g(r) theo [”

g(r) = exp{-['*{1/r-0.939-0.15*®1n([')+0,521e-1 *in([')^2 - 0.723e-2*ln(I)^3 +

0.295e-3*In(I')^4 + 0.984e-5*ln(F)^§ + 0.25%r*2-(0.523e-1-0,192e-1*In(T) +

0.748e-2*In(I')^2 - 0.123e-2*In(F')^3 + 0.714e-4*lIn(F}^4 + 4.63* 10^(-7)

*In(I')ˆ^5)*r^4 + (0.385e-2-0.22e-2*ln(IF) + 0 |34e-2*In(I')^2-0.349e-3*In(F}^3 +

0.399e-4*In([ˆ}ˆ^4-0 16e-5*In('}^5)*r^6 -

(-0.397e-3+0.366e-3*ln(I')-0.349e-S*In([)ˆ2 - 0.407e-4*ln(T}^3 + 0.917e-5*ln(I'}^4 - 6.04*10^{-7)*In()^5)*r^8 +

(-0.591e-4 + 0.469e-4*ln(I') + 1.8§2*10(-7)*ln(I')^2 - 0.606e-5*ln(I'}^3 +

0.142e-5*#In(E')^4 - 9.83*10^{-8)*In(I }^5)*r210 - (-8.11*10^{-7) - 4.13% 10%(-7)* InP) +

0.128e-5*In(1)°2-5.91 *10°(-7)*In(P 3+ 1.04*10^(-7)*lIn([)^4 - 6.46*10^{-9)

*In(F}^5)*r^12])

_ Dùng phan mềm Maple:

+ Viết chương trình tìm các giá trị hy.

+ Tim điểm rag, và tính giá trị g„„„ từ biểu thức giải tích của g(r) Tinh giá trị

és 10 Ga ) rồi nhận xét 6 là nhỏ hay lớn.

+ Vẽ ham phân bé xuyên tâm từ dữ liệu mô phỏng Monte-Carlo và tử biểu thức

giải tích trên cùng một dé thị rồi vẽ đỏ thị sai số để so sánh giữa biểu thức giải tích

và số liệu thực nghiệm mô phòng Monte-Carlo

26

Giá trị cực đại đầu tiên gu, tăng theo E là phù hợp với lý thuyết và các đỏ thị thực

nghiệm.

_ Ham phân bố xuyên tâm từ da liệu mô phỏng Monte-Carlo và từ biểu thức giải

tích trên trên cùng một đỗ thị và đồ thị sai số, Đường liền nét là hàm giải tích.

đường cham tròn là số liệu mô phỏng Monte-Carlo Dé thị sai số là hiệu giữa biểu

thức giải tích vả số liệu thực nghiệm được nhân lên hệ so 10°

29

30

[ =20

3I

IL=40

33

[ =160

34

OT = 5, cực đại đầu tiên chưa thé hiện rd, nhưng khi F tăng dân thi cực đại đầu

tiên cũng tăng theo và biéu hiện dao động rat rõ khi [ = 160

Vir các đỏ thị trên ta thấy khi r =1.5 trở đi thi đã có sự không phù hợp giữa hai

dang đỏ thị Sai số trở nên rất lớn khi r tiến đến vị trí r„„„, vị trí cực trị đầu tiên của

gir)

Từ gia trị F = 20, 40 80, 160 quan sat đô thị sai số ta thay sy sai biệt bat dau xuấthiện tir khoảng giá trị r €[1:1.5] Trong khi ở hai giá tri [ = 5 10 thì sai số xuất

hiện ở khoảng giá trị r < 1.

OT = Š thi sai sé là ôn định trong khoảng z [0.1.8] với sai số khoảng 3.10”

Trong khi ở các giá trị I khác thi khoáng sai số là 0.

* Tìm lại giá trị h, = 0.25

Dựa vào Bảng I(bảng giả trị h,), Bảng 3 và Bang 4 (bảng giá trị g(r) trong phần

Bang giá trị, ta sẽ viết chương trình dé xác định lại hệ số hy = 0.25 còn gọi là hệ số

Ở các giá trị [ = 40, 80, 16vi thiếu đữ liệu mô phỏng Monte-Carlo ở khoảng r nhỏ

nên chương trình chưa xác định được giá trị hy Tuy nhiên, với [' = $, 10, 20 thi giá

trị hy thu được là rat tốt

35

CHƯƠNG V: KHOANG TUYẾN TÍNH CUA THE MAN CHAN H(r):

Khi tham số tương liên [ > Ec thi ham phan bố xuyên tâm xuất hiện các dao

động đặc trưng cho trật tự địa phương Khi I" €[5;160] các dao động thé hiện rat

rõ rang Người ta đưa ra tham số 6 dé đặc trưng cho các dao động gọi 1a biên độ

trật tự địa phương.

ð=-In8., (V.1)

với Saux là giá trị cực đại đầu tiên của hàm phân bố xuyên tâm E„„ = #(f„w.)

f~e tương ứng là vị trí cực đại đầu tiên của hàm phân bó xuyên tâm

Thế màn chắn H(r) và hàm phân bỗ xuyên tâm g(r) được liên hệ với nhau qua biểu

thức:

H(z)=>+r-Ingt) (V.2)

Khi phân tích các số liệu mô phỏng Monte-Carlo, ta thay 46 thị thé màn chắn có

tính tuyến tính tương img với một khoảng giả trị r xác định Từ các đỗ thị, thé manchắn theo nhận xét bạn đầu là hàm nghịch biến, nên ta có biểu thức tổng quát mô

tả thế H(r) dưới dang tuyến tính như sau:

Hy(t) = Cạ - Cy (V.3)

Bằng cách phân tích số liệu thực nghiệm Monte-Carlo thì hai hệ số Cy và C; có

mỗi liên hệ C,- 2C, = 0 Biểu thức này sẽ được ta kiểm chứng ở phan sau

Biểu thức trên vẻ lý thuyết có thể giải thích như sau:

Khai triển Taylor biểu thức Ing(r) quanh điểm r = tux với r„„„ là vị trí cực đại đầu

tiên của ham phân bế xuyên tâm.

Với /,„(r}= “+6 gọi là thé Coulomb nâng cao.

Từ phương trình (V.5) nhận xét rằng khi r > Foy thì /,.(r)—» /(r), nghĩa là

He(r) là gan đúng rất tốt của H(r) khi rr,

Khai triển Taylor 1 quanh vị trí r © fax và bỏ qua số hạng có bậc lớn hơn 2

Đặt =-—+ð và C, a thi ta tim ra được mối quan hệ giữa Co và C không

phụ thuộc vao rey như sau.

C,=2/€, +6 (V.7)

Tác giả DS Xuân Hội [2] có dé nghị công thức:

ở=ing, = (0.544-0.401.1n 7 0° đổi với ï e[I40:200]

37