Biểu diễn các trang thái lượng tử: Để biểu diễn trạng thái của một hệ, ta đã sử dung hàm sóng y, x,t là hàm của tập hợp các toa độ x ở thời điểm xác định t, ở đây chỉ số a ký hiệu các đạ
Trang 1Wea he -4Ð- tage <A fin a al am i g1 om Ah fi Ah om lh fm Ah o> le lh Bm A fs Ae lh os A _——"
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP - HỖ CHÍ MINH
LỚP : LÝ 4A
TP HO CHÍ MINH 05/2004
Trang 2LỜI NÓI ĐẦU
Bộ môn Vật Lý là một trong những môn khoa học tự nhiên rất quan trọng
góp phan tích cực cho sự phát triển của nhân loại Ngày nay, các nhà khoa học
mô tả vũ trụ dựa trên hai lý thuyết: Thuyết tương đối rộng và cơ học lượng tử Hai lý thuyết đó là những thành tựu trí tuệ vĩ đại của nửa đấu thế kỷ này, Lý
thuyết tương đối rộng mô tả lực hấp dẫn và cấu trúc cực vĩ của vũ trụ Trái lại,
cơ học lượng tử lại mô tả những hiện tượng ở phạm vi cực kỳ nhỏ, cỡ | phẩn
triệu của | centimeter.
Em là một trong số những người bạn may mắn được làm luận văn tốtnghiệp và em đã chọn dé tài vé cơ học lượng tử: “Hạt tự do trong biểu diễn
Schordinger, biểu diễn Heisenbeng và biểu diễn Feymann” dưới sự hướng dẫn
của thầy Lê Nam Em mong muốn với để tài này sẽ giúp em nâng cao kiến thức
dạy vật lý một cách sinh động, hấp dẫn cho các em học sinh sau này Và em
cũng hy vọng nay có thể được xem như một tài liệu để các bạn sinh viên có thể
tham khảo.
Nội dung của luân văn:
4 Phẩn/ : Chuyển biểu diễn
® Phận JJ : Hại tự do trong biểu điễn Schrodinger
4 Phần Ill : Hạt tự do trong biểu diễn Heisenberg
® Phần ƒV : Hạt tự do trong biểu diễn Feynman
Để hoàn thành luận văn em đã tham khảo nhiều sách về cơ lượng tử, và
quan trọng nhất là sự hướng dẫn tận tình, chu đáo, đẩy nhiệt tâm của thầy LêNam Với kiến thức sâu rộng của minh, thay đã giúp em mở mang rất nhiều và
hiểu được rất nhiều diéu mà trước đây em còn mù mờ Qua đây, em xin gởi đến
thầy lời cảm ơn chân thành nhất.
Mặc dù em đã cố gắng rất nhiều khi làm luận văn, nhưng không tránh
khỏi sai sót và hạn chế Em rất mong được sự góp ý của hội đồng xét duyệt và ý
kiến của ban đọc Xin chân thành cám ơn
Sinh viên thực hiện
Trang 3CHUYỂN BIEU DIỄN
I Biểu diễn các trang thái lượng tử:
Để biểu diễn trạng thái của một hệ, ta đã sử dung hàm sóng y, (x,t) là
hàm của tập hợp các toa độ x ở thời điểm xác định t, ở đây chỉ số a ký hiệu các
đại lượng vật lý hay là lượng tử số tương ứng xác định trạng thái Ta có thể gọi
trang thái xác định bởi các lượng tử số a là trạng thái a
Việc mô tả trang thái nhờ hàm sóng phụ thuộc toa đô được gọi là biểu
điển toa độ hay x- biểu diễn Bình phương modun của hàm sóng chuẩn hoá trong
biểu diễn toa độ bằng mật độ xác xuất để trong trạng thái đã cho toa độ x có giá
trị xác định.
Trước hết ta nghiên cứu trạng thái ở I thời điểm nhất định: t = const Do
đó trong biểu thức của hàm sóng không cắn viết biến rõ thời gian: ụ, (x)
Toán tử Ê là toán tử biểu diễn một biến số động lực Các ham riêng của toán tử £ được ký hiệu là g„ (x), Các hàm riêng này hợp thành một hệ đó.
Nghĩa là ta có thể biểu diễn một ham sóng y, (x) bất kỳ dưới dạng tổ hợp tuyến
tính của các hàm riêng tu(X):
Hàm sóng w,(x) bằng tổng lấy theo tất cả các giá trị có thể có của chỉ số
nguyên n.
Nếu biết được các hệ số c„ ở (1) thì ta có thể xây dựng được tổng nghĩa là
biết được biểu thức của y, (x) Vậy tập hợp các hệ số c„ hoàn toàn có thể thaythế cho w,(x) để mô tả trang thái của hệ Ta nói rằng: tập hợp các hệ số c„ làhàm sóng của hệ ở trạng thái a trong L- biểu diễn
HH Biểu diễn của toán tử:
Xét | toán tử tuyến tính A Toán tử này biến đổi hàm y,(x) thành ham
Wo(x)
A w(x) = w(x) (2)
Xét phương trình này trong L-biểu diễn Phân tích w,(x) va ›(x) theo các
ham riêng của toán tử L, ta có:
w„(6)=3)b 1 (x) (4)
Trong đó tập hợp các hệ số a, và b„ không phụ thuộc và biến số x lắn lượt
là hàm sóng của hệ ở trạng thái a và b trong L- biểu điễn Ta sẽ viết phương
Trang 4trình (2) trong L biểu diễn, nghĩa là tim mối liên hệ giữa các hệ số a, và các hệ
số b„ Muốn vậy ta thay các biểu thức của (x) và 4w¿(x) ở (3) và (4) vào (2):
Đây chính là hệ phương trình cho ta biết mối liên hệ giữa các hệ số a, va
b„ mà ta cắn Om Hai phương trình (2) và (7) đều mô tả tác dụng của toán tử A
lên hàm sóng:
Trang 5+ (2) được viết trong biểu diễn toạ độ.
+ (7) được viết trong L- biểu diễn
Các đại lượng A„„ đặc trưng cho toán tử A được gọi là các phan tử ma trận của toán tử A trong L- biểu điễn Như vậy toán tử A được biểu dién bằng một ma trận vuông, có số hàng bằng số hàm riêng của toán tử 2 Nếu ta biểu
điển tập hợp các hệ sổ phân tích a, (hoặc b,) nghĩa là hàm sóng trong L- biểu
dién- dưới dang ma trần chỉ có 1 cột:
a ) a2
Trong đó A là ký hiệu ma trận của toán tử A mà các phan tử cho bai (6).
Nếu ta xét một toán tử trong biểu diễn của chính nó, nghĩa là nếu các hàm
u,(x) là hệ các hàm riêng của chính toán tử A thì từ (6) ta có:
Amn = Így„Œ) u„(x)dx
= J 1g (2) Agus (x) dx
= Ag J ag (2) te (x) dx = Bn Amn =Aqdan (9)
Với A, là trị riêng của toán tử A
Nghĩa là:
0 nếu m#n
Ama=
A, nếu m= n
Vậy ma trận của toán tử A là | ma trận chéo trong A- biểu diễn.
Ta tim dang của biểu thức giá trị trung bình của đại lượng vật lý A trong trang thái bất kỳ biểu diễn bằng hàm sóng y Ta có:
A= W (x) A ự (x) dx (10)
Xét công thức này trong L- biểu diễn Phân tích hàm sóng y theo các hàm riêng u„ (x) của toán tử Ê:
Trang 6Trong đó A gm là phẩn tử ma trận của toán tử A trong L- biểu diễn Ta có
thể viết lại (11) dưới dang phương trình ma trận:
HI Xác đình trị riêng và hàm riêng của toán tử cho đưới dang ma trân:
Phương trình mô tả tác dụng của toán tử A lên ham sóng, viết trong biểu
diễn tương ứng với toán tử có phổ gián đoạn:
Trang 7c > [Amn A bmn la„= 0 (14)
Đây là I hệ vô tận các phương trình tuyến tính thuần nhất đối vớ i các a„
Để hệ có nghiệm khác không thì định thức của hệ phải bằng không Nghĩa là:
(14) là một phương trình bậc vô tận với A, nó có vô số nghiệm 4, 4; ,
A, Các nghiệm này là trị riêng của toán tử A, Thay | trong các trị riêng tìm
được như A, vào (13) và giải hệ, ta tìm được hàm riêng tương ứng với trị riêng
này Nếu viết dưới đạng ma trận cột, ta có:
Theo (9) trong biểu diễn riêng của toán tử Â, ma trận của toán tử Â là
chéo Các phan tử trên đường chéo chính là các trị riêng tìm được Như vậy bai
toán tìm trị riêng của toán tử dưới dang ma trận dẫn đến bài toán chéo hoá ma
trận Trong toán học đã chứng minh được rằng ma trận Hermit luôn luôn có thể
đưa được về dang chéo.
Trong trường hợp biểu diễn có phổ liên tục ta thay tổng bằng tích phân thì
cũng tìm được trị riêng và hàm riêng của toán tử.
IV - Lý thuyết tổng quát của phép biến đổi Unita:
1 Phép chuyển biểu diễn:
Việc chuyển từ một biểu diễn này sang một biểu diễn khác, chẳng han
từ L- biểu diễn (trong đó ma trận của toán tử L là chéo) sang F- biểu điển ( trong
đó ma trận của toán tử F là chéo) Vé mặt hình học điểu đó có nghĩa là ta
chuyển từ hệ toa độ có các vect cơ sở „sang hệ toa độ có các vectơ cơ sở @„
trong không gian Hilbert Các hàm „ và @, là các hàm riêng của toán tử L và F
tương ứng.
Ta có các hàm riêng „ là | hệ đẩy đủ nên ta có thể phân tích hàm 9, theo các hàm 4ự„, với giả thiết là phổ các trị riêng gián đoạn.
Trang 8Tập hợp các đại lượng S,, lập thành một ma trận tương ứng với sự
biến đổi từ hệ cơ sở này sang hệ cơ sở khác Nghĩa là từ biểu điễn L sang biểu
dién E.
Ma trận S có các phần tử S„„ gọi là ma trận biến đổi từ biểu diễn nay
sang một biểu diễn khác.
Tính trực chuẩn của hệ các hàm riêng („ (x) và Wy, cho ta:
Phép biến đổi từ | biểu diễn nay sang một biểu điễn khác, được thực
hiện nhờ một ma trận Unita nên được gọi là phép biến đổi chính tấc Về mặt
Trang 9hình học, phép biến đổi này tương ứng với một "phép quay” nào đó trong không
gian Hilbert,
2 Sự biến đổi của hàm trong phép biểu diễn:
Ta tim mối liên hệ trực tiếp giữa các hàm sóng mô tả cùng một trang thái trong các biểu diễn khác nhau, nghĩa là giữa các thành phắn của I vectơ bất
kỹ trong các hệ tog độ khác nhau Giả sử:
v= 3 cum) €ụ
Các hệ số C„ là hàm sóng của trạng thái y trong L- biểu diễn đó cũng
là thành phần của vectơ tự trong hệ toa độ mà các vectơ cơ sở là w„ Còn C¿ là
hàm sóng của cùng trạng thái trong F-biểu diễn nghĩa là nó là thành phẩn của
vectd y trong hệ toa độ mà các vectd cơ sở là (0,
3 Sự biến đổi của toán từ trong phép chuyển biến:
Trong phép biến đổi chuyển các hàm sóng từ biểu diễn này sang biểu
diễn khác thì tất cả các toán tử cũng biến đổi theo và dang của toán tử phụ thuộc
vào biểu diễn mà ta xét Giả sử trong L- biểu diễn, một toán tử được mô tả bằng
ma trần R Ta có:
b= ȴ Ria Cm
Hay dưới dang ma trận:
b=RcKhi chuyển sang biểu diễn khác, các ma trận b và c chuyển thành các
Trang 10Trong số các phép biến đổi Unita thì biến đổi dang Š = eTM hay được
dùng trong cơ học lượng tử, trong đó œ có thể là toán tử Hermit hay hàm thực bất
kỳ của cùng biến số như hàm sóng Lúc đó biến đổi:
S y= c'l“ự (21) Lam thay đổi dang của hàm sóng nhưng không làm thay đổi các biến
số độc lập của hàm Biến đổi như vậy gọi là biến đổi pha.
4 Tính chất của toán tử trong phép chuyển biến biểu diễn:
Vậy mỗi đại lượng vật lý không phải chỉ được đối chiếu với một toán
tử mà với | tập hợp vô tận các ra 3 chỉ khác nhau 1 phép biến đổi Unita:
Toán tử R là toán tử Hermit trong một biểu diễn này thì nó cũng là
Hermit trong biểu diễn khác:
Trong đó R, là trị riêng thứ n của toán tử R, tập hợp các biên độ
C9, C¿'") 1a hàm riêng của toán tử R trong F - biểu diễn thoả mãn trị riêng thứ
n Nếu viết các hàm riêng dưới dang ma trận | cột CTM thì (20) thành:
RC” sR, Cc” (*)
Khi chuyển sang biểu diễn mới, ma trận của toán tử R là R', các
hàm riêng là C'' Bay giờ phương trình trị riêng trong biểu diễn mới:
Trang 11Unita của các toán tử.
Vay dạng của các phương trình ma trận là bất biến đối với phép
biến đổi Unita
d Các hệ thie giao hoán;
Giả sử: [ Â, Â]= ¡ C
— ÂÊ- ÊÂ=iÊ
Nhân hai vế từ bên trái với Š” và từ bên phải với Š ta có:
° §* ⧠-SBAS =iS' ES
— SAS S&S - §* AS SAS =¡ §* C$
c A's’ ~ BA’ miÊ'
© [Â),8'] =i C’
Các hệ thức giao hoán là bất biến trong phép biến đổi Unita.
_ xét biến đổi pha nhỏ:
=e"*
Trong đó œ << 1 là hàm thực của tọa độ hay toán tử Hermit phụ
10
Trang 12Š là toán tử Unita nên S* = $"
Nếu chỉ giới hạn ở hai số hạng đầu trong các chuỗi này, thì điều
kiện Unita được thực hiện với độ chính xác đến các vô cùng bé bac hai:
Trong đó { } là các dấu ngoặc Poisson lượng tử:
Với Ê = Ê(q, dạ Q6 Pts Pa» + PO
và Ge Ga Gas + Q6 Pte Paes PO
=k.ö]=z(#ö - ö#)
Vv udién
Trang 13Nếu phổ các trị riêng của toán tử không thay đổi thco thời gian thì ta cóthể dùng các toán tử mà dang toán học của chúng không phụ thuộc vào thời
gian Trong trường hợp này sự biến thiên của trạng thái theo thời gian được phản
ánh trong hàm sóng Cách mô tà như vậy của toán tử và hàm sóng gọi là biểu
điễn Schordinger Phương trình xác định sự thay đổi theo thời gian của hàm sóng
là phương trình Schordinger.
oy _ „
hm =
t a ự
Trong biểu diễn Schordinger ta có thể mô tả sự phụ thuộc của hàm sóng
vào thời gian bằng biến đổi Unita:
ự (x,0 = Š ( ự Oo (26) Trong đó y (x) là giá trị của hàm sóng ở thời điểm t= 0;
Toán tử Š (U thay đổi liên tục theo thời gian Khi t= 0, toán tử Š (1) trùng
với toán tử đơn vị: Š (0) =1 Tính Unita của toán tử Š (0: Š (0 Š (0 = 1 là cắn
thiết để đảm bảo diéu kiện chuẩn hoá của hàm sóng:
Ta thay (26) vào phương trình Schordinger:
in= wae = Ay(x,t)
Trang 14Nếu H không phụ thuộc rõ vào thời gian thì (27) thành:
at 2 Sy 2-17S(t) Gt h
<> S(t) exp ~zf)
lä
hay Š(\) = € * (28)
- she Lin
S'y=S(y= Sse" =e* wx) (A: Hermit)
Suy ra sự biến thiên của trang thái theo thời gian được xác định bởi hàm
sóng:
y (x,t) = Sy (x) =e" yx) (29)
Đặc điểm của (29) là trên mũ có chứa toán tử nên để xác định tắc dụng
của toán tử lên ta, cắn khai triển hàm này theo các hàm riêng của #.
Nếu /#ọ, =E, @„ thì (29) có dang:
- ie 2 hd
vá = 3 (-i nt] are, 9 = de Dir TE 5
(«6 's¿. + ="
=> Ce cme $ =>) Ca °c" E@
Vậy, việc mô tả sự tiến hoá của hệ theo thời gian qui vé hàm sóng hay
vectd trạng thái tụ (x,t) biến thiên theo thời gian Sự biến thiên này có thể được
đặc trưng bằng toán tử Unite Š ( tác dụng lên hàm sóng ban dau w (x) và biến
nó thành ham yw (x,U tai | thời điểm đã cho Các toán tử đặc trưng cho hệ, chẳng
hạn như các toán tử x, p hay các toán tử bất kỳ F (x,p) đều không phụ thuộc
tường minh vào thời gian.
VI Biểu điễn Heisenberg:
Trong phép biểu diễn Heisenberg, sự biến thiên của hệ theo thời gian
được mô tả dựa vào các toán tử phụ thuộc thời gian Bản thân hàm sóng wy(x)
trong biểu diễn này chỉ phụ thuộc vào toa độ mà không phụ thuộc vào thời gian.
Còn các toán tử tương ứng với các đại lượng vật lý thay đổi theo thời gian
Giả sử ws (x,t) là hàm sóng trong biểu diễn Schrodinger, hàm wy(x) là
hàm sóng không phụ thuộc thời gian trong biểu didn Heisenberg Khi đó sự
chuyển từ biểu diễn Schrodinger sang biểu diễn Heisenberg được thực hiện nhờ
Trang 15Suy ra hàm sóng trong 2 biểu diễn trùng nhau.
Sự biến thiên của toán tử trong biểu diễn Heisenberg sau thời gian t:
L(+ =S" (and, (8a) =e* Le
Khai triển S dưới dạng chuỗi Taylor, lấy đến vô cùng bé bậc 2 thì theo
(25) ta có:
L „+ At) = Ê() + (A, Liar +
Từ đây ta suy ra định luật biến thiên theo thời gian của các toán tử trong
biểu diễn Heisenberg:
= =#./øo]=~#6.3] (31)
Suy ra các toán tử giao hoán với toán tử Hamilton H déu không thay đổi
theo thời gian có trong biểu dién Heisenberg Vì tại thời điểm t=0, các toán tử
trong biểu diễn Schrodinger sang biểu diễn Heisenberg trùng nhau nên dang của các toán tử giao hoán với toán tử Hamilton H bất biến khi chuyển từ biểu diễn
14
Trang 16Schrodinger sang biểu diễn Heisenberg Dac biệt đúng ngay với chính toán tử
Hamilton.
l§
Trang 17HẠT TỰ DO TRONG BIỂU DIEN
Ta tìm nghiệm dưới dang: w(r,t) = y(r) F(t) (32)
Thay (32) vào phương trình Schrodinger:
> w(ryhŠ ƒ() = f(Hy(r)
ih Of Hy(x)
———-= = (=E
fe yx) 7”
"ra" of xát coin f(a) =-2 Et *Ìn Cœ ƒ0)= Ce* 'q3)
Hy =Eo Hy =Ey :phương trình Schordinger dừng
ự
Xét hạt vi mô chuyển động tự do 1 chiéu nghĩa là hạt không chịu tác dụng
của trường lực ngoài U= 0
Trang 18Đây là phương trình vi phân bậc hai với hệ số bằng 0 Nghiệm là hàm
tuần hoàn: cos, sin, cos + sin, hàm mũ, hàm sin — hyperbol
Vậy wix) =AeTM
=>Nghiém phụ thuộc thời gian:
O đây nghiệm không có rang buộc nên không nhận các giá trị thực bất kỳ.
liên tục, Điều kiện chuẩn hoá hàm sóng
<W,(x,!),V,(x0)>= far ett et se“ e' ‘de = ð(k ~k')
=> Nghiệm riêng của hàm sóng: W(%,f) = Nhưng mg"
=sNghiệm tổng quát bằng tổng các nghiệm riêng Nhưng do không liên
tục nên ta thay dấu thành tích phân ƒ
(x,f)= Í= e* xã : Ỉ = ie
1 “m-Ễn lL xăc
v2z 42x VỚI w 5
© Động lượng của hat:
Do hạt chuyển động không tương đối tính:
17
Trang 19Mặt khác ta lại có:
h`k 7): =
(37) E
So sánh với (38) ta có: p`= hˆk?
e _ Hạt chuyển động trong không gian 3 chiéu Khi đó tổng quát lên:
WŒ f)=Ae!t?-eÐ)= l i(k? ~ at)
Trang 20HẠT TỰ DO TRONG BIỂU DIỄN
© Toán tử toa độ; toán tử xung lượng
© Sử dụng phép biến đổi Unita liên hệ các toán tử của các đại
lượng vật lý trong biểu diễn Shordinger và Heisenberg:
Đối với hat tự do: # =
Để tim được dang của các toán tử x(t) và P (t) ta sử dụng biểu diễn xung
Trang 23s* Ta cũng có thể tim dang của toán tử toa độ x(t) và toán tử xung lượng
P(t) bằng cách giải trực tiếp phương trình chuyển động của các toán tử
trong biểu diễn Heisenberg
ap) _ ¡ vn syle Ê [2y sale ss Pe) 2n At) BC] 0 (51)
Trong x_biéu dién a
dưng
=v tự này
= =iÑ(W + xự )+ ihry'= -ihy
=> [pi = -ny ={ô.‡]= =(h
Ta có các hệ thức giao hoán là bất biến trong phép biến đổi Unita