1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: Hạt tự do trong biểu diễn schrodinger-heisenberg-feynman

39 0 0
Tài liệu đã được kiểm tra trùng lặp

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Tiêu đề Hạt Tự Do Trong Biểu Diễn Schrödinger-Heisenberg-Feynman
Tác giả Trần Thị Bảo Ngọc
Người hướng dẫn Thầy Lê Nam
Trường học Trường Đại Học Sư Phạm Tp - Hồ Chí Minh
Chuyên ngành Vật Lý
Thể loại Luận Văn Tốt Nghiệp
Năm xuất bản 2004
Thành phố Tp. Hồ Chí Minh
Định dạng
Số trang 39
Dung lượng 34,1 MB

Nội dung

Biểu diễn các trang thái lượng tử: Để biểu diễn trạng thái của một hệ, ta đã sử dung hàm sóng y, x,t là hàm của tập hợp các toa độ x ở thời điểm xác định t, ở đây chỉ số a ký hiệu các đạ

Trang 1

Wea he -4Ð- tage <A fin a al am i g1 om Ah fi Ah om lh fm Ah o> le lh Bm A fs Ae lh os A _——"

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP - HỖ CHÍ MINH

LỚP : LÝ 4A

TP HO CHÍ MINH 05/2004

Trang 2

LỜI NÓI ĐẦU

Bộ môn Vật Lý là một trong những môn khoa học tự nhiên rất quan trọng

góp phan tích cực cho sự phát triển của nhân loại Ngày nay, các nhà khoa học

mô tả vũ trụ dựa trên hai lý thuyết: Thuyết tương đối rộng và cơ học lượng tử Hai lý thuyết đó là những thành tựu trí tuệ vĩ đại của nửa đấu thế kỷ này, Lý

thuyết tương đối rộng mô tả lực hấp dẫn và cấu trúc cực vĩ của vũ trụ Trái lại,

cơ học lượng tử lại mô tả những hiện tượng ở phạm vi cực kỳ nhỏ, cỡ | phẩn

triệu của | centimeter.

Em là một trong số những người bạn may mắn được làm luận văn tốtnghiệp và em đã chọn dé tài vé cơ học lượng tử: “Hạt tự do trong biểu diễn

Schordinger, biểu diễn Heisenbeng và biểu diễn Feymann” dưới sự hướng dẫn

của thầy Lê Nam Em mong muốn với để tài này sẽ giúp em nâng cao kiến thức

dạy vật lý một cách sinh động, hấp dẫn cho các em học sinh sau này Và em

cũng hy vọng nay có thể được xem như một tài liệu để các bạn sinh viên có thể

tham khảo.

Nội dung của luân văn:

4 Phẩn/ : Chuyển biểu diễn

® Phận JJ : Hại tự do trong biểu điễn Schrodinger

4 Phần Ill : Hạt tự do trong biểu diễn Heisenberg

® Phần ƒV : Hạt tự do trong biểu diễn Feynman

Để hoàn thành luận văn em đã tham khảo nhiều sách về cơ lượng tử, và

quan trọng nhất là sự hướng dẫn tận tình, chu đáo, đẩy nhiệt tâm của thầy LêNam Với kiến thức sâu rộng của minh, thay đã giúp em mở mang rất nhiều và

hiểu được rất nhiều diéu mà trước đây em còn mù mờ Qua đây, em xin gởi đến

thầy lời cảm ơn chân thành nhất.

Mặc dù em đã cố gắng rất nhiều khi làm luận văn, nhưng không tránh

khỏi sai sót và hạn chế Em rất mong được sự góp ý của hội đồng xét duyệt và ý

kiến của ban đọc Xin chân thành cám ơn

Sinh viên thực hiện

Trang 3

CHUYỂN BIEU DIỄN

I Biểu diễn các trang thái lượng tử:

Để biểu diễn trạng thái của một hệ, ta đã sử dung hàm sóng y, (x,t) là

hàm của tập hợp các toa độ x ở thời điểm xác định t, ở đây chỉ số a ký hiệu các

đại lượng vật lý hay là lượng tử số tương ứng xác định trạng thái Ta có thể gọi

trang thái xác định bởi các lượng tử số a là trạng thái a

Việc mô tả trang thái nhờ hàm sóng phụ thuộc toa đô được gọi là biểu

điển toa độ hay x- biểu diễn Bình phương modun của hàm sóng chuẩn hoá trong

biểu diễn toa độ bằng mật độ xác xuất để trong trạng thái đã cho toa độ x có giá

trị xác định.

Trước hết ta nghiên cứu trạng thái ở I thời điểm nhất định: t = const Do

đó trong biểu thức của hàm sóng không cắn viết biến rõ thời gian: ụ, (x)

Toán tử Ê là toán tử biểu diễn một biến số động lực Các ham riêng của toán tử £ được ký hiệu là g„ (x), Các hàm riêng này hợp thành một hệ đó.

Nghĩa là ta có thể biểu diễn một ham sóng y, (x) bất kỳ dưới dạng tổ hợp tuyến

tính của các hàm riêng tu(X):

Hàm sóng w,(x) bằng tổng lấy theo tất cả các giá trị có thể có của chỉ số

nguyên n.

Nếu biết được các hệ số c„ ở (1) thì ta có thể xây dựng được tổng nghĩa là

biết được biểu thức của y, (x) Vậy tập hợp các hệ số c„ hoàn toàn có thể thaythế cho w,(x) để mô tả trang thái của hệ Ta nói rằng: tập hợp các hệ số c„ làhàm sóng của hệ ở trạng thái a trong L- biểu diễn

HH Biểu diễn của toán tử:

Xét | toán tử tuyến tính A Toán tử này biến đổi hàm y,(x) thành ham

Wo(x)

A w(x) = w(x) (2)

Xét phương trình này trong L-biểu diễn Phân tích w,(x) va ›(x) theo các

ham riêng của toán tử L, ta có:

w„(6)=3)b 1 (x) (4)

Trong đó tập hợp các hệ số a, và b„ không phụ thuộc và biến số x lắn lượt

là hàm sóng của hệ ở trạng thái a và b trong L- biểu điễn Ta sẽ viết phương

Trang 4

trình (2) trong L biểu diễn, nghĩa là tim mối liên hệ giữa các hệ số a, và các hệ

số b„ Muốn vậy ta thay các biểu thức của (x) và 4w¿(x) ở (3) và (4) vào (2):

Đây chính là hệ phương trình cho ta biết mối liên hệ giữa các hệ số a, va

b„ mà ta cắn Om Hai phương trình (2) và (7) đều mô tả tác dụng của toán tử A

lên hàm sóng:

Trang 5

+ (2) được viết trong biểu diễn toạ độ.

+ (7) được viết trong L- biểu diễn

Các đại lượng A„„ đặc trưng cho toán tử A được gọi là các phan tử ma trận của toán tử A trong L- biểu điễn Như vậy toán tử A được biểu dién bằng một ma trận vuông, có số hàng bằng số hàm riêng của toán tử 2 Nếu ta biểu

điển tập hợp các hệ sổ phân tích a, (hoặc b,) nghĩa là hàm sóng trong L- biểu

dién- dưới dang ma trần chỉ có 1 cột:

a ) a2

Trong đó A là ký hiệu ma trận của toán tử A mà các phan tử cho bai (6).

Nếu ta xét một toán tử trong biểu diễn của chính nó, nghĩa là nếu các hàm

u,(x) là hệ các hàm riêng của chính toán tử A thì từ (6) ta có:

Amn = Így„Œ) u„(x)dx

= J 1g (2) Agus (x) dx

= Ag J ag (2) te (x) dx = Bn Amn =Aqdan (9)

Với A, là trị riêng của toán tử A

Nghĩa là:

0 nếu m#n

Ama=

A, nếu m= n

Vậy ma trận của toán tử A là | ma trận chéo trong A- biểu diễn.

Ta tim dang của biểu thức giá trị trung bình của đại lượng vật lý A trong trang thái bất kỳ biểu diễn bằng hàm sóng y Ta có:

A= W (x) A ự (x) dx (10)

Xét công thức này trong L- biểu diễn Phân tích hàm sóng y theo các hàm riêng u„ (x) của toán tử Ê:

Trang 6

Trong đó A gm là phẩn tử ma trận của toán tử A trong L- biểu diễn Ta có

thể viết lại (11) dưới dang phương trình ma trận:

HI Xác đình trị riêng và hàm riêng của toán tử cho đưới dang ma trân:

Phương trình mô tả tác dụng của toán tử A lên ham sóng, viết trong biểu

diễn tương ứng với toán tử có phổ gián đoạn:

Trang 7

c > [Amn A bmn la„= 0 (14)

Đây là I hệ vô tận các phương trình tuyến tính thuần nhất đối vớ i các a„

Để hệ có nghiệm khác không thì định thức của hệ phải bằng không Nghĩa là:

(14) là một phương trình bậc vô tận với A, nó có vô số nghiệm 4, 4; ,

A, Các nghiệm này là trị riêng của toán tử A, Thay | trong các trị riêng tìm

được như A, vào (13) và giải hệ, ta tìm được hàm riêng tương ứng với trị riêng

này Nếu viết dưới đạng ma trận cột, ta có:

Theo (9) trong biểu diễn riêng của toán tử Â, ma trận của toán tử Â là

chéo Các phan tử trên đường chéo chính là các trị riêng tìm được Như vậy bai

toán tìm trị riêng của toán tử dưới dang ma trận dẫn đến bài toán chéo hoá ma

trận Trong toán học đã chứng minh được rằng ma trận Hermit luôn luôn có thể

đưa được về dang chéo.

Trong trường hợp biểu diễn có phổ liên tục ta thay tổng bằng tích phân thì

cũng tìm được trị riêng và hàm riêng của toán tử.

IV - Lý thuyết tổng quát của phép biến đổi Unita:

1 Phép chuyển biểu diễn:

Việc chuyển từ một biểu diễn này sang một biểu diễn khác, chẳng han

từ L- biểu diễn (trong đó ma trận của toán tử L là chéo) sang F- biểu điển ( trong

đó ma trận của toán tử F là chéo) Vé mặt hình học điểu đó có nghĩa là ta

chuyển từ hệ toa độ có các vect cơ sở „sang hệ toa độ có các vectơ cơ sở @„

trong không gian Hilbert Các hàm „ và @, là các hàm riêng của toán tử L và F

tương ứng.

Ta có các hàm riêng „ là | hệ đẩy đủ nên ta có thể phân tích hàm 9, theo các hàm 4ự„, với giả thiết là phổ các trị riêng gián đoạn.

Trang 8

Tập hợp các đại lượng S,, lập thành một ma trận tương ứng với sự

biến đổi từ hệ cơ sở này sang hệ cơ sở khác Nghĩa là từ biểu điễn L sang biểu

dién E.

Ma trận S có các phần tử S„„ gọi là ma trận biến đổi từ biểu diễn nay

sang một biểu diễn khác.

Tính trực chuẩn của hệ các hàm riêng („ (x) và Wy, cho ta:

Phép biến đổi từ | biểu diễn nay sang một biểu điễn khác, được thực

hiện nhờ một ma trận Unita nên được gọi là phép biến đổi chính tấc Về mặt

Trang 9

hình học, phép biến đổi này tương ứng với một "phép quay” nào đó trong không

gian Hilbert,

2 Sự biến đổi của hàm trong phép biểu diễn:

Ta tim mối liên hệ trực tiếp giữa các hàm sóng mô tả cùng một trang thái trong các biểu diễn khác nhau, nghĩa là giữa các thành phắn của I vectơ bất

kỹ trong các hệ tog độ khác nhau Giả sử:

v= 3 cum) €ụ

Các hệ số C„ là hàm sóng của trạng thái y trong L- biểu diễn đó cũng

là thành phần của vectơ tự trong hệ toa độ mà các vectơ cơ sở là w„ Còn C¿ là

hàm sóng của cùng trạng thái trong F-biểu diễn nghĩa là nó là thành phẩn của

vectd y trong hệ toa độ mà các vectd cơ sở là (0,

3 Sự biến đổi của toán từ trong phép chuyển biến:

Trong phép biến đổi chuyển các hàm sóng từ biểu diễn này sang biểu

diễn khác thì tất cả các toán tử cũng biến đổi theo và dang của toán tử phụ thuộc

vào biểu diễn mà ta xét Giả sử trong L- biểu diễn, một toán tử được mô tả bằng

ma trần R Ta có:

b= ȴ Ria Cm

Hay dưới dang ma trận:

b=RcKhi chuyển sang biểu diễn khác, các ma trận b và c chuyển thành các

Trang 10

Trong số các phép biến đổi Unita thì biến đổi dang Š = eTM hay được

dùng trong cơ học lượng tử, trong đó œ có thể là toán tử Hermit hay hàm thực bất

kỳ của cùng biến số như hàm sóng Lúc đó biến đổi:

S y= c'l“ự (21) Lam thay đổi dang của hàm sóng nhưng không làm thay đổi các biến

số độc lập của hàm Biến đổi như vậy gọi là biến đổi pha.

4 Tính chất của toán tử trong phép chuyển biến biểu diễn:

Vậy mỗi đại lượng vật lý không phải chỉ được đối chiếu với một toán

tử mà với | tập hợp vô tận các ra 3 chỉ khác nhau 1 phép biến đổi Unita:

Toán tử R là toán tử Hermit trong một biểu diễn này thì nó cũng là

Hermit trong biểu diễn khác:

Trong đó R, là trị riêng thứ n của toán tử R, tập hợp các biên độ

C9, C¿'") 1a hàm riêng của toán tử R trong F - biểu diễn thoả mãn trị riêng thứ

n Nếu viết các hàm riêng dưới dang ma trận | cột CTM thì (20) thành:

RC” sR, Cc” (*)

Khi chuyển sang biểu diễn mới, ma trận của toán tử R là R', các

hàm riêng là C'' Bay giờ phương trình trị riêng trong biểu diễn mới:

Trang 11

Unita của các toán tử.

Vay dạng của các phương trình ma trận là bất biến đối với phép

biến đổi Unita

d Các hệ thie giao hoán;

Giả sử: [ Â, Â]= ¡ C

— ÂÊ- ÊÂ=iÊ

Nhân hai vế từ bên trái với Š” và từ bên phải với Š ta có:

° §* ⧠-SBAS =iS' ES

— SAS S&S - §* AS SAS =¡ §* C$

c A's’ ~ BA’ miÊ'

© [Â),8'] =i C’

Các hệ thức giao hoán là bất biến trong phép biến đổi Unita.

_ xét biến đổi pha nhỏ:

=e"*

Trong đó œ << 1 là hàm thực của tọa độ hay toán tử Hermit phụ

10

Trang 12

Š là toán tử Unita nên S* = $"

Nếu chỉ giới hạn ở hai số hạng đầu trong các chuỗi này, thì điều

kiện Unita được thực hiện với độ chính xác đến các vô cùng bé bac hai:

Trong đó { } là các dấu ngoặc Poisson lượng tử:

Với Ê = Ê(q, dạ Q6 Pts Pa» + PO

và Ge Ga Gas + Q6 Pte Paes PO

=k.ö]=z(#ö - ö#)

Vv udién

Trang 13

Nếu phổ các trị riêng của toán tử không thay đổi thco thời gian thì ta cóthể dùng các toán tử mà dang toán học của chúng không phụ thuộc vào thời

gian Trong trường hợp này sự biến thiên của trạng thái theo thời gian được phản

ánh trong hàm sóng Cách mô tà như vậy của toán tử và hàm sóng gọi là biểu

điễn Schordinger Phương trình xác định sự thay đổi theo thời gian của hàm sóng

là phương trình Schordinger.

oy _ „

hm =

t a ự

Trong biểu diễn Schordinger ta có thể mô tả sự phụ thuộc của hàm sóng

vào thời gian bằng biến đổi Unita:

ự (x,0 = Š ( ự Oo (26) Trong đó y (x) là giá trị của hàm sóng ở thời điểm t= 0;

Toán tử Š (U thay đổi liên tục theo thời gian Khi t= 0, toán tử Š (1) trùng

với toán tử đơn vị: Š (0) =1 Tính Unita của toán tử Š (0: Š (0 Š (0 = 1 là cắn

thiết để đảm bảo diéu kiện chuẩn hoá của hàm sóng:

Ta thay (26) vào phương trình Schordinger:

in= wae = Ay(x,t)

Trang 14

Nếu H không phụ thuộc rõ vào thời gian thì (27) thành:

at 2 Sy 2-17S(t) Gt h

<> S(t) exp ~zf)

hay Š(\) = € * (28)

- she Lin

S'y=S(y= Sse" =e* wx) (A: Hermit)

Suy ra sự biến thiên của trang thái theo thời gian được xác định bởi hàm

sóng:

y (x,t) = Sy (x) =e" yx) (29)

Đặc điểm của (29) là trên mũ có chứa toán tử nên để xác định tắc dụng

của toán tử lên ta, cắn khai triển hàm này theo các hàm riêng của #.

Nếu /#ọ, =E, @„ thì (29) có dang:

- ie 2 hd

vá = 3 (-i nt] are, 9 = de Dir TE 5

(«6 's¿. + ="

=> Ce cme $ =>) Ca °c" E@

Vậy, việc mô tả sự tiến hoá của hệ theo thời gian qui vé hàm sóng hay

vectd trạng thái tụ (x,t) biến thiên theo thời gian Sự biến thiên này có thể được

đặc trưng bằng toán tử Unite Š ( tác dụng lên hàm sóng ban dau w (x) và biến

nó thành ham yw (x,U tai | thời điểm đã cho Các toán tử đặc trưng cho hệ, chẳng

hạn như các toán tử x, p hay các toán tử bất kỳ F (x,p) đều không phụ thuộc

tường minh vào thời gian.

VI Biểu điễn Heisenberg:

Trong phép biểu diễn Heisenberg, sự biến thiên của hệ theo thời gian

được mô tả dựa vào các toán tử phụ thuộc thời gian Bản thân hàm sóng wy(x)

trong biểu diễn này chỉ phụ thuộc vào toa độ mà không phụ thuộc vào thời gian.

Còn các toán tử tương ứng với các đại lượng vật lý thay đổi theo thời gian

Giả sử ws (x,t) là hàm sóng trong biểu diễn Schrodinger, hàm wy(x) là

hàm sóng không phụ thuộc thời gian trong biểu didn Heisenberg Khi đó sự

chuyển từ biểu diễn Schrodinger sang biểu diễn Heisenberg được thực hiện nhờ

Trang 15

Suy ra hàm sóng trong 2 biểu diễn trùng nhau.

Sự biến thiên của toán tử trong biểu diễn Heisenberg sau thời gian t:

L(+ =S" (and, (8a) =e* Le

Khai triển S dưới dạng chuỗi Taylor, lấy đến vô cùng bé bậc 2 thì theo

(25) ta có:

L „+ At) = Ê() + (A, Liar +

Từ đây ta suy ra định luật biến thiên theo thời gian của các toán tử trong

biểu diễn Heisenberg:

= =#./øo]=~#6.3] (31)

Suy ra các toán tử giao hoán với toán tử Hamilton H déu không thay đổi

theo thời gian có trong biểu dién Heisenberg Vì tại thời điểm t=0, các toán tử

trong biểu diễn Schrodinger sang biểu diễn Heisenberg trùng nhau nên dang của các toán tử giao hoán với toán tử Hamilton H bất biến khi chuyển từ biểu diễn

14

Trang 16

Schrodinger sang biểu diễn Heisenberg Dac biệt đúng ngay với chính toán tử

Hamilton.

Trang 17

HẠT TỰ DO TRONG BIỂU DIEN

Ta tìm nghiệm dưới dang: w(r,t) = y(r) F(t) (32)

Thay (32) vào phương trình Schrodinger:

> w(ryhŠ ƒ() = f(Hy(r)

ih Of Hy(x)

———-= = (=E

fe yx) 7”

"ra" of xát coin f(a) =-2 Et *Ìn Cœ ƒ0)= Ce* 'q3)

Hy =Eo Hy =Ey :phương trình Schordinger dừng

Xét hạt vi mô chuyển động tự do 1 chiéu nghĩa là hạt không chịu tác dụng

của trường lực ngoài U= 0

Trang 18

Đây là phương trình vi phân bậc hai với hệ số bằng 0 Nghiệm là hàm

tuần hoàn: cos, sin, cos + sin, hàm mũ, hàm sin — hyperbol

Vậy wix) =AeTM

=>Nghiém phụ thuộc thời gian:

O đây nghiệm không có rang buộc nên không nhận các giá trị thực bất kỳ.

liên tục, Điều kiện chuẩn hoá hàm sóng

<W,(x,!),V,(x0)>= far ett et se“ e' ‘de = ð(k ~k')

=> Nghiệm riêng của hàm sóng: W(%,f) = Nhưng mg"

=sNghiệm tổng quát bằng tổng các nghiệm riêng Nhưng do không liên

tục nên ta thay dấu thành tích phân ƒ

(x,f)= Í= e* xã : Ỉ = ie

1 “m-Ễn lL xăc

v2z 42x VỚI w 5

© Động lượng của hat:

Do hạt chuyển động không tương đối tính:

17

Trang 19

Mặt khác ta lại có:

h`k 7): =

(37) E

So sánh với (38) ta có: p`= hˆk?

e _ Hạt chuyển động trong không gian 3 chiéu Khi đó tổng quát lên:

WŒ f)=Ae!t?-eÐ)= l i(k? ~ at)

Trang 20

HẠT TỰ DO TRONG BIỂU DIỄN

© Toán tử toa độ; toán tử xung lượng

© Sử dụng phép biến đổi Unita liên hệ các toán tử của các đại

lượng vật lý trong biểu diễn Shordinger và Heisenberg:

Đối với hat tự do: # =

Để tim được dang của các toán tử x(t) và P (t) ta sử dụng biểu diễn xung

Trang 23

s* Ta cũng có thể tim dang của toán tử toa độ x(t) và toán tử xung lượng

P(t) bằng cách giải trực tiếp phương trình chuyển động của các toán tử

trong biểu diễn Heisenberg

ap) _ ¡ vn syle Ê [2y sale ss Pe) 2n At) BC] 0 (51)

Trong x_biéu dién a

dưng

=v tự này

= =iÑ(W + xự )+ ihry'= -ihy

=> [pi = -ny ={ô.‡]= =(h

Ta có các hệ thức giao hoán là bất biến trong phép biến đổi Unita

Ngày đăng: 20/01/2025, 03:28

Nguồn tham khảo

Tài liệu tham khảo Loại Chi tiết
1. Cơ học lượng tử Phạm Quý Tư-Đỗ Đình Thanh Khác
2. Quantum Field Theoryof Point Particles and String Brian Hatfield Khác
3. Cơ học lượng tử 2 Nguyễn Hữu Mạc-Nguyễn Quốc Khánh 4. Giáo trình cơ học lượng tử Nguyễn Trần Trác Khác
5. Bai tập cơ học lượng tử Hoang Ding Khác
6. Những cơ sở toán học của cơ học lượng tử Khác
7. Bài tập vật Lý lý thuyết Nguyễn Hữu Minh-Ta Duy LợiĐỗ Đình Thanh- Lê Trọng Tường 8. Cơ học lượng tử Đặng Quang Khang Khác