Do nhu cầu khác nhau trong nhiều lĩnh vực khoa học, đòi hỏi phải tìm ra định nghĩa tích phân rộng hơn áp dụng cho một lớp rộng lớn hơn nhiều các hàm số các hàm số quá ut gián đoạn.. Ong
Trang 1f AF 4X | K&' & UE & & & & & Ñ Kì K & &) KE & K SS K & SS SS SU & Bi
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA TOÁN - TIN
68 LUẬN TOT Nemes
RA IGG AGB PURE
:TS.LÊ THỊ THIÊN HƯƠNG
: HO LỘC THUẬN
: TOAN 4P
&&,§NRNNRRRRRR&&BR&R&RNRN&RRR&8ð&&&8&B&&&
Trang 2MỤC LỤC
L9) | 0), ) ¡7 | | NGON DDIDDDUDNDDDDDDOUUDIO NUNG DUAGGQ OẠNG QUEN 1
§1 NHAC LAI KHÁI NIỆM ĐỘ DO, HAM SỐ ĐO ĐƯỢC VA CAC TÍNH CHẤT 3
F2 is: giaiiẳiẳađdẳdẳđdđdđiiiẳỶẳỶẮẲẮÝẢ 3
ik DIME RGHIA sg cman eR CR 3 1.2 CAC TÍNH CHAT CUA DO DO .ecsscsssssssessssessssesssesssueesseessuestssuesssnieessssnesesnseeesees 4
II DO DO DU /TNậHH1 5
;8 8912912099 .1332gB: 6
1.4 ĐỊNH NGHĨA : NiSN2-EA1:1210AIRBSIBIS42EEEIBESSSIEIDXGVIIRRSDISSE.0/NS81688:8001.600ø8ả 6
1.5 CAC TÍNH CHAT CUA HAM QYL- DO DUC wissicsssssssssssssssvssssvevssssesssssesssssessee 6
LGGAU TRÚC CUA HẦM DO ĐUNiiaciagiigioigiatianntiatraatuistsaaagsne 8
C KHÁI NIỆM " HẦU KHAP NOI" cccccssesescsssssssesscsssssecsesssnseseseesesssecesesesennasasesees 8
LA DINE NGHIA js cnmanccsumm TIERRA 8:
$2 TICH PHẦN THEO LEBESGUE sscsscsccscssscsscccosesssesezenssssuscsacessseencnsrsannestonestevese —
2.1 TÍCH PHAN CUA HAM DON GIAN J sesssessssssssesssvsssueesseessesssssuesesniesesssncsesneees 10
2:3 TICH PHAN CUA BAM DO DUGG 1ieaeeooeceooeeeiaiaoenadaiisnadsesee 10
2.3 CÁC TÍNH CHAT CUA TICH PHAN CUA HAM DO ĐƯỢC : 11
83 TICH PHAN THEO DANIB LD sinccnncsnaneniamemenannannmnmncnnnmanni 13
A HAM CƠ SỞ VÀ TICH PHAN CƠ SO35 sssesssseessssesssuesssseessnssssssnsesesessnnesesnsvess 13
3? BETIENBE EneongtritgttxưrtygrtryaaNryrtaNildiftgsatraaszuaa 13
3.2 TẬP HOP BO ĐƯỢC : - 2+ ©cseSccecrtivEretrrtrrrrrrerrrrrdrrrrrrerrrrresre 14
$2 BI TuunnngnnngI0000000000101/0001060000000000AĐNNGIADSDENENUEIOVENEGEEOAYEI 14
3.4 HE QUA - - <6 te StEkESEES TH SA ST vá kg xe e3 crrserserkeri l6 B.HM KH TH VÀ TH BH ng reeteentrroanareragaaeegsaranee 16
Trang 33.5 ĐỊNH NGHĨA - -22- c2 S2 SE E210211121112711211112111 21122211 221112211221x1E1xcctve 16
Š:7.:ĐINH LỄ LEVI 8 scssanivncnaccitenainmninunnaraicanaaranieniautavinmmnancetepintiaenaenaaiaweatas 17
3.8 ĐỊNH LY LEBESGUE (ĐỊNH LÝ HỘI TY BỊ CHẶN) - - «s«« 20 ä:8 ĐỊĨNH EF PATO ttooconnaainiinirannintatiaitttbitlt3045016104488584000871885585885525580888880 21
3.10 CÁC HE QUA CUA TIEN ĐỀ CHÍNH QUI (D/) -ccz= 21
Ƒ/7///8/7)///2g2),5 2000 NNưưưjựựgya 11 22
3.12 ĐỊNH LÝ LEVI CHO DAY HAM ĐO ĐƯỢC : ee 22
3:h(,ĐINH BY 5 GiciocnienoiopioitniititDEGI00540051D180080236701521G350048i708852088710/002i08đ0088 24
D TH PHẦN TREN TẬP.HỢPĐO ĐƯỢC 25
3.15 ĐỊNH LÝ VỀ TÍNH ơ -CỘNG TÍNH CUA TÍCH PHAN - 25 3.16 ĐỊNH LY VỀ TÍNH LIÊN TỤC TUYỆT ĐỐI CUA TÍCH PHÂN 26
§ 4 TÍCH PHAN THEO MỘT ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHAN TREN KHÔNG GIAN TÍCH 27
Ñ TREHEBHINNTHEDIMOIEEUEEDeineereereernoraeeierrreeree 27
4.1 TICH PHAN TREN KHÔNG GIAN CÓ ĐỘ ĐO -.«cccccseecee, 29
4.2 THÁC TRIEN ĐỘ DO THEO DANIELL 2.-c2z2£CEY+++CEEE2A2zrtcEvocez 30
B TÍCH PHAN TREN KHÔNG GIAN TÍCH CUA HAI KHÔNG GIAN CÓ ĐỘ ĐO 32
{LAI THIẾT:eaeiaseoaoooooGDR-uiaaiooiDuSliiGE8iuauasauagtgaaggsagniil 32
4.4 TICH PHAN TREN KHONG GIAN TÍCH .- 5< 5s Seseexsssrsessee 33
4:5, DINE LÝ POBIN ssi cninacniansracornnwamaranitanmnnamunitannnannanaes 34
§ 5 MỘT SỐ BÀI TAP BO SUNG LY THUYET cssssssssesesssssssssessnssessesseesenssssesenseees 36
Sul TH PHAM LEBESGUE TRỀNHã JB] ss asnesossasearesssssnsssnsansnsansassshannasessassnassaniamis 36
5.2 DIEU KIỆN KHẢ TÍCH RIEMANN 0 0.scsesvssssssesssssesssessssessssssessseesssesessueessnseseen 38 5.3 VÍ DỤ VỀ TICH PHAN LEBESGUE TREN [a,b| 5.25 +cczveczsesssz 42
5.4 TÍCH MOT HAM VỚI MỘT ĐỘ ĐO: 5 St E1 SE SE SE S vgggsrxrxe 44
Trang 45.6 TICH PHAN TREN TẬP ĐO ĐƯỢC : - 5 se +zE£EeE+s+ersrsrsrersrezersesex 48
5.7 PHƯƠNG PHAP BAN ĐẦU LEBESGUE XÂY DỰNG TÍCH PHAN 49
SN HP |nuwenneraerooutitrnnrstrrnorenngeGEINTTWREREIOTIQ.GIE1081650190281007E50 N0 5
5.9 TICN PHAN CUA HAM ƒ DO ĐƯỢC KHÔNG ÂM ( KHÔNG BỊ CHẶN) 52
$.10 BAL TAP T1" ẽ ẽ ẽ d544Ầ4.Ð 53
31; TNCs GIỮT HÀNGrrctrrrrcecccascccgcsiiseseeeeeeeseasssiattetassaaneftssea 36
5.12 MỘT PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH NGHĨA TÍCH CUA HAI ĐỘ ĐO 58
6.09 BAT TAP so cconoxanncunin manasa RRnKnemEERERR 58
TÀI LIEU THAM KHAO occsssssssssssssssssssssssssssssssessssseceesesssssssesesssnasesesesereeeseesesesenesess 60
~—
Trang 5Luận Văn Tốt Nghiệp GVHD : TS Lê Thị Thiên Hương
LỜI NÓI ĐẦU
Phân tích cách xây dựng tích phân Riemamn ta thấy, muốn tích phân tôn tại thì hàm số phải liên tục hầu khắp nơi Do đó tích phân Riemann không áp dụng được cho
những hàm số quá t gián đoạn Do nhu cầu khác nhau trong nhiều lĩnh vực khoa học,
đòi hỏi phải tìm ra định nghĩa tích phân rộng hơn áp dụng cho một lớp rộng lớn hơn
nhiều các hàm số (các hàm số quá ut gián đoạn) Lebesgue,vào năm 1902, đã dua ra
định nghĩa quan trọng nhất (cho hàm số một biến số) Ong đề ra ý kiến độc đáo là khi
chia nhỏ đoạn A (miền biến thiên của x) không nên nhóm lại các điểm gân nhau trên A
mà nên nhóm lại các điểm tại đó hàm số có giá trị gan nhau (không chia A ra từng đoạn nhỏ mà chia ra từng tập hợp nhỏ, mỗi tập hợp bao gồm những điểm ứng với giá
trị gần nhau của ƒ[x)).Theo quan điểm đó Lebesgue đã xây dựng được khái niệm tích
phân rất tổng quát, áp dụng cho tất cd các hàm số do được và giới nội Sau đó vào
những năm 1912 — 1915, Radon và Frechet đã hoàn thiện khái niệm này Lý thuyết tích
phân của Lebesgue còn đáp ứng được các phát triển hiện đại trong các lĩnh vực :xác
suất, phương trình đạo hàm riêng, cơ học lượng tử
Của Lebesgue : tích phân xây dựng trên không gian có độ đo, đầu tiên cho
hàm đơn giản và sau đó cho hàm ảo được qua phép lấy giới hạn
Của Daniell : xuất phát từ lớp các hàm cơ sở và tích phân của chúng rồi thực hiện việc “làm đây đả” lớp này cũng bằng phép qua giới hạn
ánh hai ph h phân ta thấy rằng:
Nếu trên không gian đã cho một độ đo và chọn lớp hàm cơ sở là các hàm đơn
giản thì phương pháp của Daniell không khác nhiều so với phương pháp của
Lebesgue Tuy nhiên phương pháp của Daniell đặc biệt thích hợp trong trường
hợp khi việc xây dựng trước một độ đo gắp khó khăn Trong trường hợp này sau
khi đã xây dựng được lớp các hàm khả tích và tích phân của chúng thì một độ do
tương ứng cũng được xây dựng như một sản phẩm hệ quả Ví dụ như khi xây dựng
SVTH : Hồ Lộc Thuận Trang :1
Trang 6Luận Văn Tốt Nghiệp GVHD : TS Lô Thị Thiên Hương
tích phân và độ đo trên những không gian “xấu” (như các không gian compact địa
phương) thường được thực hiện qua sơ đồ Daniell
Vì những li do trên chúng tôi đã chọn dé tài "XÂY DỰNG TICH PHAN
THEO DANIELL” để bổ sung thêm phần kiến thức về tích phân xây dung theo
Lebesgue mà chương trình Toán năm thứ ba đã đề cập tới
Khóa luận này gồm năm phần :
e Phân thứ nhất : Nhắc lại khái niệm độ do ,hàm số đo được và các tinh chất
của chúng.
¢ Phần thứ hai : Trình bày sơ lược về tích phân theo Lebesgue
s Phần thứ ba : Trinh bày khái niệm tích phân theo Daniell.
e Phần thứtứ : Ap dụng sơ dé Daniell để xây dựng tích phân theo một độ do
và tích phân trên không gian tích.
© Cuối cùng, ở phần thứ năm : Chúng tôi dua ra lời giải cho một số bài tập đã
được nêu trong quyển “ Phép tính tích phân” của TS Nguyễn Bích Huy, tài liệu tham khảo chính của luận văn, nhằm bổ sung và minh họa cho các phần lý thuyết ở các mục trước.
Trong quá trình làm luận văn chúng tôi đã được TS Lê Thị Thiên Hương hướng
dẫn và T.S Nguyễn Bích Huy đọc và góp ý Chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân
thành tới hai tiến sĩ.
Ngoài ra cho phép chúng tôi được gởi lời cảm ơn sâu sắc đến các thây cô Khoa
Toán, đặc biệt là tổ Giải Tích đã tận tình giảng dạy kiến thức cho chúng tôi trong
suốt quá trình học tập
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên và tạo điều
kiện thuận lợi cho chúng tôi hoàn thành khóa luận này.
Tp Hồ Chí Minh, ngày 1 tháng 6 năm 2001
Hồ Lộc Thuận
SVTH : Hồ Lộc Thuận Trang :2
Trang 7Luận Văn Tốt Nghiệp GVHD : TS Lê Thị Thiên Hương
Sĩ NHAC LAIKHAINEM ĐỘ BO, HAM SỐ
BO ĐƯỢC VA CÁC TÍNH CHAT.
Cho OM là ơ-đại số các tập con của X Khi đó (X, MN) được gọi là không gian
đo được Mọi tập A € OL được gọi là tập do được
A ĐỘ DO
1.1 ĐỊNH NGHĨA :
Cho không gian đo được (X, My.
1.1.1 Định nghia1: Anh xa: MM [0 , + œ]
Ar (A)
* u gọi là độ đo trên 9ÏLnếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau :
(i) n($) =0.
(H) Tính ơ - cộng tính
Nếu A; A 2, là các tập đôi một không giao nhau thuộc OM thi:
u(U A,) = X(A,)
nel n=!
* Nếu p là độ đo trên OM thì (X, MN, u) được gọi là không gian độ do,
u(A) được gọi là độ đo của tập hợp A € MN.
SVTH : Hồ Lộc Thuận Trang :3
Trang 8Luận Văn Tốt Nghiệp GVHD : TS Lê Thị Thiên Hương
1.1.2 Định nghĩa 2:
*u gọi là độ đo hữu hạn nếu p (X) < +00.
*Nếu X=UX,,uŒX,)<+® thip gọi là độ đo ơ _ hữu hạn.
nstl
1.2 CÁC TINH CHAT CUA ĐỘ ĐO.
1.2.1 pp là độ đo cộng tính hữu hạn, nghĩa là nếu Aj, A¿, , Ag € OIL đôi một rời
nhau thì HCU Ay) = 2 ,M(A¿),
M =I
kel k
1.2.2 Nếu hai tap A, B e OM và BCA thi p(B) <p (A).
Ngoài ra nếu u(B) < +0 thi n(A\B) = k(A) - p(B)
I.2.3 Nếu tậphợp A=UA, , A,e Mm=1,2, )
n=l
thì H(A)=p (UA,) $ Sp(Ag)
nel n=l
12.4 Nếu A=UA, A,e SM và w(A,)=0 thì p(A)=0.
1.2.5 Nếu A, B e OIL, BC A và u(A) = 0 thì p(B) =0.
ϩ
1.2.6 Nếu 1 là một độ đo ơ - hữu hạn thì X biểu diễn được dưới dạng X= UJ Y,
n=l
trong đó các Y, rời nhau đôi một và u(Y„) < +© Tương tự cho tập hợp bất
kỳ AcX, Ac ØIL.
1.2.7 Nếu {A,} là dãy tăng các tập hợp thuộc 9ÏLthì H (UAa) =limH(A;)
SVTH : Hồ Lộc Thuận Trang :4
Trang 9Luận Văn Tốt Nghiệp GVHD : TS Lê Thị Thiên Hương
1.2.8 Nếu {A,} là day giảm các tập hợp thuộc MN và u(A¡) < +00 thì
u (` A,) =limM(A,)
1.3 ĐỘ ĐO ĐỦ :
Ta biết rằng tập hợp con đo được của một tập hợp cĩ độ đo khơng là một tập
hợp cĩ độ đo khơng Tuy nhiên khơng phải bao giờ một tập hợp con của một tập
hợp cĩ độ đo khơng cũng là tập đo được.
1.3.1 Định nghĩa :
Độ đo gọi là đủ nếu tập hợp con của một tập cĩ độ do khơng đều là một
tập hợp đo được
Nếu là một độ đo khơng đủ thì bao giờ cũng thác triển thành một độ đo đủ.
1.3.2 Định lý :
Giả sử 4 : ỰU—> [0, œ] là một độ đo xác định trên một ơ - đại số DML các tập hợp con của tập hợp X Gọi 9ÏU là họ tất cả các tập hợp A cĩ dạng A = B L/C.
Trong đĩ B e Miva Cia một tập hợp con của một tập hợp D € ®]Lcĩ u(D) =0.
Với mỗi tập A đã biết, ta đặt yp’ (A) = p(B).
Khi đĩ :
a) MIU là một ơ -đại số các tập con của X.
b) _` là một đo đủ xác định trên MN và w`(A) = 0 khi và chỉ khi A là một tập
hợp con của một tập hợp D nào đĩ thuộc MN cĩ độ đo u (D) =0
SVTH : Hồ Lộc Thuận Trang :5
Trang 10Luận Văn Tốt Nghiệp GVHD : TS Lê Thị Thiên Hương
B.HAM S6 DO ĐƯỢC
1.4 DINH NGHIA :
Cho các khơng gian do được (X, DIL), (X', DIV ) và ánh xa f: X > X'.
a) f là ánh xa (OM, MIL) -đo được néuf' OW ) c ML
( Trong đĩ f' OW )={ f! (B):B CM ))
b ) Nếu X' là khơng gian tơpơ va DIU = B (X') thì f gọi là ỰL-đo được
(B (X) là ơ -đại số sinh bởi ho các tập mở (hay tập đĩng) của X').
c) Ánh xa f từ khơng gian đo được (X, 9ÏU vào R là (ON, É ( R))-đo được thì f
gọi là hàm đo được hay hàm ØÏL-đo được.
1.5 CÁC TÍNH CHẤT CUA HAM Ø/- ĐO ĐƯỢC
1.5.1 Định lý 1:
Đối với hàm f từ khơng gian đo được (X, MIL) vào R, các khẳng định sau là
tương đương.
a) Hàm f là Đ]L- đo được.
b) VaeR , {f>a} eM.
c) VaeR , {f>a} eM.
d) VaeR , {f<a} eM.
e) VaeR , {f<a} eM.
SVTH : Hồ Lộc Thuận Trang :6