Khóa luận tốt nghiệp Toán tin: Phương pháp sai phân hữu hạn cân bằng cho hệ phương trình Euler đẳng entropy

Hệ phương trình Euler dang entropy một chiều của khí động học là một mb hình của dòng chảy chất lưu trong ống được thiết lập từ đình luật bao toàn khéi lượng, bảo toàn động lượng và bảo

TRƯỜNG DAI HỌC SU PHAM THÀNH PHO HO CHÍ MINH

KHOA TOAN - TIN HOC

DAI HOC

SP

TP HO CHÍ MINH

NGUYÊN THỊ NGÂN TRÚC

PHƯƠNG PHÁP SAI PHAN HỮU HAN CAN

BANG CHO HE PHƯƠNG TRINH EULER

DANG ENTROPY

KHOA LUẬN TỐT NGHIỆP

Giảng viên hướng dẫn

TS DÀO HUY CƯỜNG

Thành phố Hỗ Chí Minh, thang 5 năm 2022

LOI CAM GN

Lời đầu tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của minh tới thầy hướng dan

khoa học, TS Dao Huy Cường, người đã luôn nhiệt tình hướng dan, giảng day,

quan tâm, truyền đạt kiến thức và tạo mọi điều kiện để em hoàn thành khóa luận

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Quý Thay, Cõ trong khoa Toán - Tin,

Trường Đại học Su phạm thành phố Hỗ Chí Minh đã tân tình giảng day suốt bốnnăm học để em có được nên tảng tri thức cũng như kinh nghiệm cuộc sống quý

báu làm hành trang sau này.

Em xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên và giúp đỡ em trong suốt

quá trình học tập và làm khóa luận.

Cuỗi cùng, em xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thay, Cô đã đành thời gian quý

báu để xem xét và góp ý cho những điểm còn thiếu sót giúp em rút dude kinh

nghiệm cho khóa luận Rat mong nhận được sự chỉ bảo của Quý Thay, Cô và góp

¥ của các bạn để bổ sung và hoàn thiên đề tài hơn Em xin chân thành cam ơn

Thành phố Hỗ Chí Minh, tháng 5 năm 2022

Nguyễn Thị Ngân Trúc

PHAN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong vật lý và kỹ thuật, đông lực học chất lưu là một phân ngành của cơ học chất lưu m6 tả dong chảy của chat lưu, bao gồm chat lỏng và chất khí Dong luc học chất lưu có nhiều ứng dụng, bao gồm tính toán lực và momen trên máybay, xác định tốc độ dòng chảy của đầu mỏ qua đường ống dan, dự đoán các kiểuthời tiết Các bài toán đặt ra thường liên quan đến việc tính toán các đặc tính

khác nhau của chất lưu như vận tốc ddng chảy áp suất mật độ và nhiệt d6, như

là các hàm của không gian và thời gian.

Hệ phương trình Euler dang entropy một chiều của khí động học là một mb

hình của dòng chảy chất lưu trong ống được thiết lập từ đình luật bao toàn khéi

lượng, bảo toàn động lượng và bảo toàn năng lượng Cu thể, khi đại lương entropy

đo lường sự rỗi loạn trong hệ là hằng số thì phương trình bảo toàn năng lượng

được rút gon, thu được dang của hệ phương trình Euler đẳng entropy như sau:

Hp + Apr} = 0

{ O (pv) + Oy (pv? 4 p) =0, reER, t>a'

trong đó ø(z,f} là mat đô, v(x, t) là vận tốc, p(x, t) là áp suất của chat.

Hệ các định luật bảo toàn là hệ các phương trình đạo hàm riêng xuất phát

từ các bài toán của động lực học chất lưu Các lý thuyết của hệ các định luật bảotoàn đã được nghiên cứu và phát triển trong nhiều năm qua bởi các nhà toán hocnhư P D Lax, A Bressan, E Godlewski, P A Raviart, Rất nhiều các lược đồ

sai phân xấp xi cho nghiệm của hệ các định luật bảo toàn đã được đưa ra bởi K.

O Eriedrichs, P D Lax, B Wendroff, S K Godunov, Bên canh đó, hệ phương

trình Euler dang entropy có thể viết đưới dang hệ các định luật bảo toàn:

u; + f{u), = 0,

Z _ 0 " pu

trong đó u = ñ „ f(u)= |„/ tại)

Vì vậy hệ phương trình Euler đẳng entropy cũng có các tính chất của hệ các

định luật bảo toàn và các phương pháp số áp dung cho hệ các định luật bảo toàncũng có thể áp dụng cho hệ phương trình Euler đẳng entropy

Khóa luân đặt mục tiêu xây dựng phương pháp sai phân hữu han cân bằng

cho hệ phương trình Euler đẳng entropy cùng với những m6 phỏng xấp xỉ nghiêm

sóng cho bài toán Riemann bằng lược đỏ từ đó có thể kết luận vé tính hiệu quả

của phương pháp.

2 Mục đích nghiên cứu

- Thiết lập mô hình hệ phương trình Euler đẳng entropy từ các định luật bảo

toàn khối lượng, bảo toàn động lương.

- Xây dựng lược đỏ sai phân hữu hạn cân bằng Lax-Friedrichs cho hệ phương

trình Euler dang entropy.

- Kiểm định tính hiệu quả của phương pháp thong qua tính toán độ chénh

lệch của nghiệm xắp xỉ và nghiệm chính xác bằng phần mềm Matlab.

3 Phạm vi nghiên cứu

- Tìm hiểu m6 hình hệ phương trình Euler dang entropy

- Tìm nghiêm xấp xỉ cho bài toán Cauchy tổng quát bằng lược đồ

Lax-Friedrichs.

4 Phương pháp nghiên cứu

- Tìm hiểu các sách chuyên khảo và các bài báo khoa học có liên quan đến dé

tài; phân tích, tổng hợp các kiến thức thu được và trình bay chúng theo thể thông

nhất, khoa học

- Sử dụng phần mềm Matlab để viết code mé phỏng nghiệm xap xỉ của bai

toán.

5 Cau trúc của khóa luận tốt nghiệp

Khóa luận ngoài phan mở dau, phần kết luận gồm 3 chương:

Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Xây dung lược đồ sai phan hữu han cho hệ hyperbolic các định

luật bảo toàn.

Chương 3: Các thử nghiêm số

—+—f(uj=0, zeR mt pt) 0, 2eER, t>0 {1.1)

trong đó w : # x (0,400) + Q.u = u{z,£},z € R,t > 0 là một vectơ m chiều của

các đại lượng bảo toàn, hoặc các biến trạng thái, chẳng hạn như khối lượng, độnglượng và năng lượng trong một bài toán động hre học chất lỏng Cụ thể hơn, tập 2

được gọi là tập các trang thái va wu; là hàm mat độ cho biến trang thái thứ j, với

F ?w;(x,t)dr là tổng đại lượng của biến trạng thái này trên đoạn [ri.z2| tại thờiđiểm !

Thực tế là các biến trạng thái này được bảo toàn có nghĩa là ƒ " u;(z.£) khôngđồi đối với t Bản thân các ham uy, đại điên cho sự phân bố không gian của các

biến trạng thái tại thời điểm ¢ Giả thiết (1.1) cho biết giá trị của u(x,t} tai một

thời điểm và thời điểm nhất định cho phép chúng ta xác định tốc độ dòng chảy.hoặc thông lượng, của mỗi biến trang thái tai (z,#) Thông lượng của thành phần

thứ j được cho bởi hàm /;(z(z.t)) Hàm có giá trị vectd f(u) với thành phan thứ

1, fie) được gọi là các hàm thong lượng đối với hé luật bảo toàn Hơn nữa, ta nói

ring hệ (1.1) được viết đưới dang bảo toàn.

Bay giờ ta phát biểu khái niệm hé hyperbolic các luật bảo toàn

Goi ma trận Jacobi của £ứ) là

Alu) = (26) " :

Định nghĩa 1.1.1 //£ (1.1) được goi là hyperbolic nếu với mỗi u € ma trận

A(u)] cém giá bY riêng

cùng ớt một hệ mm vectd riêng tương ứng độc lập huyền tính rì(tQ.ra(w), rm{w).

Khi đó

Afujrgfu) = Ay(u)ry(u), Lokam.

Hon nữa, nếu tat cả các giá trị riêng A¿(w} là phân biệt, hay

Ay(u) < Àz(w) < < Am(u), thì hệ (1.1) được gọi là hyperbolic ngặt.

CHUONG 1 NHŨNG KIÊN THUC CHUAN BI

Giả sử hệ (1.1) là hyperbolic, ta định nghĩa vectd riêng trái của 4ø): Vì một

ma trận và ma trận chuyển vi của nó có cùng tập các giá tri riêng nên tồn tại các

vectd riêng i.(u) ứng với mỗi giá trị riêng A¿ của ma trân AT{ø), tức là

AT(u)ly(u) = Ag(uw)¿{u), k=L, m.

Lẫy chuyển vị hai về ta được

IF (ujAtee) = Ag(elt (up, k=1, m

Ti đó, các vecto í¿ thường được gọi là các vectơ riêng trái, và các vectd r; thường

được gọi là các vectd riêng phải của ma tran A.

Định nghĩa 1.1.2 Bài toán Cauchy dói vdi hệ (1.1) là bar toán sau đây: Tim

hàm u:R x [0,+00) + 2 là nghiệm của (1.1) thỏa mãn điều kiện đầu

u(x,( =ug(z), «ER, (1.2)

trong đó ua: — Q là mét hàm cho trước,

Trong trường hợp hàm dữ kiên dau up có dang

Tếếu # « 0

wq(#) = § ‘ (1.3)

urn, neugr>O

bài toán Cauchy được gọi là bai toán Riemann.

Tinh chat 1.1.1: Giả sử hệ (1.1) là hyperbolic ngặt Khi đó,

l(u) -ry(u)=Ú WAR, Wee Qw z0 (1.4)

1.1.2 Sự không tổn tại nghiệm cổ điển

Định nghĩa 1.1.3 Ham u : E x (0,400) + @ được gọi là nghiệm cổ điển của

bài toán Cauchy (1.1) (1.9) nếu w là ham khả vi liên tục va thỏa man các phương

trình (1.1), (1.2) tại từng điểm

Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, bài toán (1.1), (1.2) không tồn tại nghiệm cổ

điển ngoài một số khoảng thời gian hữu hạn, ngay cả khi điều kiện ban dau up{x)

là một ham trơn Ví dụ giả sử là nghiệm cổ điển của bài toán Cauchy (1.1), (1.2)

trong trường hợp m = 1, ƒ: Ro B là hàm €1 Khi đó bằng cách đặt a(w) = f'{w)

ta có thể viết lại bài toán này dưới dang phi bảo toàn như sau:

Mệnh dé 1.1.4 Giả sử u là nghiệm tron của phương trình (1.1) Các đường cong

đặc trưng của phương trình (1.5) là những đường thăng doc theo nó u là hằng số

6

CHUONG 1 NHŨNG KIÊN THUC CHUAN BI

Chitng minh .

Xét một đường cong đặc trưng di qua điểm (zo,0) là nghiêm của phương trình vi

phan thường sau:

Ta, ay > Ì

CHUONG 1 NHŨNG KIÊN THUC CHUAN BI

u

u(., 1)

Hình 1.1.((2/, tr.14) Phương pháp của các đặc trưng cho phương trình Burgers

Với t < 1, các đường đặc trưng không cắt nhau (Hình 1.1) Do đó, lay một điểm

(x,t) với t < 1, vẽ các đường đặc trưng đi qua điểm này, ta có thể xác định được

Giá trị này di chuyển sang phải và độ đốc tang din cho đến khi nó trở thành một

"sốc" (Hình 1.1) Sự gián đoan này của tương ứng với thực tế là tại thời điểm

t= 1, các đường đặc trưng cắt nhau

Tóm lại, bằng cách sử dụng phương pháp đặc trưng, người ta có thể chứng minh

rằng đối với œ đủ trơn, một nghiêm cổ điển của (1.1), (1.2) tồn tại trong một

khoảng thời gian nhỏ Mặt khác, chúng ta đã thay rằng trong trường hợp phi

tuyến a'(u) # 0 sự gián đoạn có thể xảy ra sau một thời gian hữu hạn Do đó ta

cần khái niệm “nghiệm yến"

1.1.3 Nghiệm yếu và diéu kiện bước nhảy Rankine-Hugoniot

Xét bài toán Cauchy (1.1), (1.2) và giả sử uo € LX(RE)“", với LR là không

gian các ham đo được địa phương Giả sử u là nghiệm cổ điển và hàm ¿ € CŒ( x

(0, +00))" (C£ là không gian các hàm kha vi võ han lin có support compact) Ap

dụng công thức Green ta được

CHUONG 1 NHŨNG KIÊN THUC CHUAN BI

Nghĩa là nghiệm cổ điển uw thỏa man đẳng thức tích phan

Ƒ | (uy + flue) dad! + | ug(#)#{z,0)}d+ = 0 (1.7)

a R R

Rõ ràng (1.5) có nghĩa chỉ với giả thiết œ € LX (IR x [0, +00))".

Định nghĩa 1.1.6 Hàm u € LR x [0,+00))" được got là nghiệm yeu của bài

toán Cauchy (1.1), (1.2) nêu u{x,t) € hầu khắp tà thỏa mãn (1.7) với bat ky

Bay giờ ta nhân (1.1) với một hàm thử tùy ý ¿ € CHR x [0,+00))" Sau đó tích

phân từng phẫn và so sánh với (1.5) ta được

| (u(x, 0} — up{x}) ¿(z, O)de = 0.

R

‘iy tùy ý nên hệ thức cuối cùng kéo theo (1.2) tại từng điểm

Nhà vậy, ta đã chứng minh được rằng nếu nghiệm yếu u là hàm khả vi liên tục thi

u cũng là nghiêm cổ điển

Tiếp theo, ta xét các nghiệm yếu của (1.1) là hàm trơn từng mảnh và có gián đoạn

Cu thể, hàm u là C! từng mảnh nếu tổn tại hữu hạn các mặt định hướng trơn Ð

trong mặt phẳng (z,f) sao cho hàm w là Œ! ngoài các mặt này và thừa nhận gián

đoạn trên đó Cho trước một mặt gián đoạn ¥ của u, ký hiệu n = (nạn) là veeto

pháp tuyến của Ð và gọi u u_ là các giới hạn mỗi bên của u tại Ð, tức là

uy = lim tr((z,‡) + en).

s— 0+

Dinh ly 1.1.8 Giá sử u : RB x (0,400) — 2 là hàm C* từng manh Khi đó, u là

nghiệm yeu của (1.1) khi va chỉ khi hai điều kiện sau đồng thời thoa man

(i) u là nghiệm cổ điển của (1.1) trong những miền mà u là Ơ1.

CHUONG 1 NHŨNG KIÊN THUC CHUAN BI

fii) u thỏa man điều kiện bước nhay

(uy — w~}nạ + (ƒ (6+) — f fu) ny = 0, (1.8)

tại các maf gián đoạn.

Hệ thúc (1.8) được got là hệ thức Rankine-Hugoniot.

Đ={(.t): + = x(t), t > 0}, trong đó x{£) là một ham trơn Khi đó

n=(1+s?) ”“(1,—s), trong đó s = 2'{t).

Va do đó, hệ thức (1.8) trở thành

—s[u] +[ƒ(u)=0 trên 5 (1.10)

1.1.4 Tính không duy nhất của nghiệm yếu

Xét bài toán Riemann cho phương trình Burgers’ sau

Bay giờ, ta sẽ chi ra sự tồn tại của các nghiêm yếu khác Dat a là hang số thỏa

man a > max (uy.—ug) Hàm số xác định bởi

CHUONG 1 NHŨNG KIÊN THUC CHUAN BI

a S- ae up —« uy, +a 1¬ eee :

cũng là một nghiệm yeu với sị = = 32 = =— Vi vay, điều kiện

Rankine-Hugoniot (1.10) thỏa man doc theo đường gián đoạn của z và ta có một họ nghiệm

yêu gián đoạn với một tham số.

Do đó ta có thé tim thấy võ số nghiệm yếu cho cùng một bài toán Cauchy.

Dé chọn được nghiệm yếu duy nhất phù hợp với hiện tượng vật lý, ta đưa ra

tiêu chuẩn “nghiêm entropy"

Bay giờ ta hãy nghiên cứu điều kiện entropy Giả sử w là một nghiệm trơn của hệ

luật bảo toàn (1.1) Giả sử U : 9 => E là hàm khả vì Nhân cả hai về của (1.1) với

U'(u) ta được

U{u) & +290) =

hay

OU(u) _ ,„ Ou _ a + Uw) rye “= 0 (1.11)

Vay néu tén tai ham kha vi F sao cho

là thông lượng entropy, théa man hệ thúc (1.19) Cặp (U,F) được gọt là mét cặp

entropy đối uới hệ các định luật bảo toàn (1.1).

= 0.

Dinh nghĩa 1.1.10 Mét nghiệm tiêu u của bài toán (1.1) (1.3) được gọi là nghiém

entropy neu tới moi cap entropy (U,F) điều kiện entropy

Đặc biệt, nghiệm entropy của bài toán là duy nhất

1.2 Bài toán Riemann và nghiệm của bài toán Riemann

Trong mục này, ta xét bài toán Riemann trong 1D sau:

CHUONG 1 NHŨNG KIÊN THUC CHUAN BI

1.2.1 Sóng giãn

Ta tìm các hàm u : (z,) — u(zr,†) liên tục trơn từng khúc là nghiệm của

(1.13) có thể nối uy với up

Trước tiên, ta giới hạn nghiệm fự đồng dang của (1.19), cụ thể, nghiệm có dang

trong đó A{u) là ma tran Jacobi.

Thay (1.14) vào (1.15) ta được

-(#\yv(#\+ 02 PT eS Wh eat (3) (i) ¥ (7) (als (7))v 8 =0,

Bằng cách đặt ¢ = = ta thu được (A(v(é}) = £)v/(€) = 0.

Từ day suy ra

v'(€) =0,

hoặc tốn tại chỉ số k € {1,2, , m} sao cho

v'(€) = a(€)ra(v(€)), Az(v(€)) = €.

Nếu v'(@) không triệt tiêu trên một khoảng, do các giá trị riêng là phân biệt, chỉ

số k khong phụ thuộc vào £ trong khoảng đó Lấy đạo hàm của phương trình thứ

hai đối với £ ta được

DA,(v(£)) - v'(€) = 1,

và sử dụng phương trình thứ nhất ta có

a(€)DA¿{v(€)) - re(v(€)) = 1 (1.16)

Phương trình (1.16) không giải được nếu trường đặc trưng thứ & là suy biến tuyến

tính (DA¿{z)rc(z} = 0.Yz € RTM) Trong trường hợp trường k là phi tuyến thực su

(DA¿(z)r,¿(z) # 0,Vz € RTM), bằng cách chuẩn hóa a(£) = 1 ta thu được

ví(€) = 0,

hoặc

{ v'(€) = re{v(€))

Ax(v()) = € ,

và v là đường cong tích phân của rạ, vì thé giả sử trường đặc trưng thứ & là phi

tuyến thực sự và hàm v là nghiệm của (1.16) với

v(A¿(u¿)) =u¿, v{^¿ (uạ)) = ur,

ta thu được nghiệm yếu tự đồng dang của (1.13):

uy, < Ay (uy)

uz,1)= Fv (F), A (us) SF SA» (ua) (1.17)

up : > Ax (UR)

12

CHUONG 1 NHŨNG KIÊN THUC CHUAN BI

Dinh nghĩa 1.2.1 Nghiém yêu tự đồng dang (1.17) được gọi la mot sóng k-donhoặc sóng k-giãn liên kết trạng thái uy tà ug.

1.2.2 Sóng sốc và tiếp xúc gián đoạn

Bay giờ ta tìm các nghiêm gián đoạn hằng từng khúc của (1.13) mà liền kết

uy, và uy Ta biết rằng doc theo đường gián đoạn z = z(t) của nghiệm yếu u của

(1.13), u thỏa mãn điều kiện bước nhảy Rankine-Hugoniot:

với s — a(t) là tốc độ truyền sóng gián đoạn Khi đó hàm:

' < st

u(z,£) = * ¬ (1.19)

uy # > SẺ

là nghiệm yếu của (1.13) với số thue s thỏa

F(ug) = F(u„) = s{ug = uz),

nghiệm (1.18), (1.19) của hệ hyperbolic phi tuyến được gọi là sóng gián đoan Cho

trước trạng thai uy, € 9 ta muốn xác định các trang thái ug € @ ma uz có thể nỗi

về bền phải bằng một sóng gián đoạn Vì vậy, ta cần tìm hiểu định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.2.2 Tap Rankine-Hugonot của ug là tap các trang thar ue © sao

cho ton tai s (uạ, u) € R ới s (up, u) (u — ug} = f{u) — f (ug).

Bằng cách biến đổi để suy ra phương trình đường cong k-sốc liên kết với

trạng thái xác định ug - Se (up), ta thu được hai trường hợp sau:

THỊ: Trường đặc trưng thứ & là phi tuyến thực sự, đường cong $Š; (ug) là đường

cong k-séc

Nếu up € Sy (u¿) hoặc uy € Sy (ug), sóng gián đoạn (1.18), (1.19) được gọi là

sớng k-sốc,

TH2: Trường đặc trưng thứ & là suy bién tuyén tinh và uy € SŠ„(u;} hoặc uy €

Si (up) Khi đó sóng gián đoạn (1.18), (1.19) với

được gọi là sóng k-tiép rúc gián đoan.

1.3 Hệ phương trình Euler dang entropy

1.3.1 Nguồn géc

Ta bat đầu bang cách suy ra phương trình bao toàn khối lượng trong một bai

toán động học chat khí một chiều Gọi z là tọa độ dọc theo ống và ø(z.£} là mật

CHUONG 1 NHŨNG KIÊN THUC CHUAN BI

đô của khí tai điểm z ở thời điểm +, khi đó tổng khỗi lượng của khí từ z¡ đến x2

được cho bởi tích phan của mat độ pfx, t):

mskhối lượng trong [2;, 22] ở thời điểm t = / p(x t)d+.

ry

Dat v(x, t) là vận tốc của khí tai điểm z ở thời điểm + Khi đó tỉ lê của dong chảy.hoặc thông lượng của khí chảy qua điểm này được cho bởi

thông lượng chất tại (z,t) = ø(z,)»(z.).

Như vậy, tỉ lẽ thay đối của khối lượng trong [2,22] bang hiệu cha thong lượng tại

xy Va x2:

d lu

7 p(x, t)de = ø{#t, the (21,0) = ple, thy (ze, t).

Day là một dang tích phan của định luật bao toàn.

Ngoài ra, bằng cách tích phan theo thời gian từ ?¡ đến £¿ để đưa ra một biểu thức

cho khối lượng trong [21,22] tại thời điểm f2 > f¡ theo khối lượng tại thời điểm 0

và tổng thông lượng tại mỗi biên trong khoảng thời gian này, ta thu được

Phương trình này thỏa mãn với bat ki đoạn [2;,22) và thời gian [f), f2], từ đó suy

ra biểu thức duéi dau tích phan trong (1.21) phải bang 0, cụ thể

ø + (0u)„ =0 (1.22)

Day là dang vi phan của định luật bảo toàn khối lượng

Ta xét các phương trình động lương và năng lượng một cách chỉ tiết hơn Gọi

& là năng lượng toàn phan, p là áp suất của chất Thông lượng chất được cho bởi

ye Do đó, phương trình đồng lượng có tác đông dạng (øe}u = pv? và phương trình

năng lượng có tác đông thông lượng Ev.

Bên cạnh sự chuyển đông của chất lưu, còn có các lực tác động lên gay ra gia tốc

đo định luật Newton, và đo đó động lượng thay đổi Nếu không có lực bên ngoài,

14

CHUONG 1 NHŨNG KIÊN THUC CHUAN BI

thì lực duy nhất là do sự biến đổi của bản than chit lỏng, va tỷ lệ với gradient ápsuất đơn giản là p, theo một chiều Kết hợp điều này với thông lượng chuyền đôngcủa chat hm, ta thu được phương trình bảo toàn đông lượng

(pu)¿ + (pv? + P), = 0 (1.23)

Năng lượng toàn phẫn # được viết đưới đạng

1,

E= spe + pe,

trong đó số hang đầu là dong năng, và pe là nội năng, với e là nội năng trên một

đơn vị khối lượng, được gọi là nôi năng riêng.

Trong phương trình Euler, ta gia định rằng nội năng là một hàm đã biết của Apsuất và mật độ:

e = e(p, p).

Day được gọi là “phương trình trang thái” của khí, phụ thuộc vào loại khí cu thể

trong nghiên cứu.

“Trong trường hợp không có lực bên ngoài, công chỉ được thực hiện bởi các lực ép

và ty lệ với gradient của vp Do đó, đỉnh luật bảo toàn năng lượng trong không

Dối với khí lý tưởng nội năng là hàm độc lập bởi nhiệt độ e = e(T), và T có

mối liên hệ với p và ø bởi định luật khí lý tưởng

làm tăng nội năng Hệ hoạt động khi mở rộng dung tích 1/ø bởi df{1/p) là pd{1/p)

và chúng ta thu được một quan hệ khác

de + pd(1/p} = cpdT,

CHUONG 1 NHŨNG KIÊN THUC CHUAN BI

hoặc

d(e + p/p) = cpdT,

trong đó c, là nhiệt dung riêng ở áp suất không đổi.

Giá trị h = e + p/p được gọi là entanpi Đối với khí đa hình, cp là hang số do đó

h=c,T.

Hon nữa, theo định luật khí lý tưởng,

Cp — tạ = R, (1.27)

ta nhận thấy rằng phương trình trang thái của khí đa hình chi phụ thuộc vào tỉ số

của các nhiệt dung riêng, được kí hiệu bởi

+#Z(tp

/€p-Nội năng trong phan tử thường được phân chia gia các bậc tit do khác nhan, với

số bac tự do phu thuộc vào bản chat của chất khí Mỗi bac tự do góp một nănglượng trung bình là kT cho mỗi phan tử, trong đó & là hằng số Boltzmann Do

đó nếu có n phan tử trên một đơn vị khối lượng, và mỗi phân tử có a bậc tự do,

ta thu được giá tri của nội năng riéng

CHUONG 1 NHŨNG KIÊN THUC CHUAN BI

Như vậy phương trình trang thái cho thay rằng p là một hàm của riêng ø và #.

Mặt khác ta có doc theo đường đi của hạt trong dòng chảy trơn, vì Š là hằng số

nên từ (1.29) ta thu được

p= kept, (1.31)

với & = xe*!* là hằng số chỉ phụ thuộc vào entropy ban dau của hat.

Hệ phương trình Euler đẳng entropy

Nếu entropy luôn khong đổi thì (1.31) giữ nguyên với cùng một giá trị & ở moi

nơi và phương trình thứ ba của hệ (1.30) được đơn giàn hóa Khi đó hệ phương trình Euler rút gon thành một hệ hai phương trình, được gọi là hệ phương trình

trong đó ø(z,/} là mật độ của chất khí, v(x, t) là vân tốc, và p(x, f) là áp suất.

Chúng ta giới hạn trong các loai khí lý tưởng đẳng entropy mà phương trình trạng

thái cho áp suất được đưa ra bởi

p= pÍp) =.p?( ® >0, 1<+<5/ä (1.33)

Ta khảo sát tính hyperbolic của hệ (1.32).

Ta chọn vectơ u = (p,v)? Khai triển đạo hàm bac nhất của phương trình khối

lượng, ta thu được

CHUONG 1 NHŨNG KIÊN THUC CHUAN BI

Dé tim các giá trị riêng của A{u), ta giải phương trình đặc trưng

nên trường đặc trưng thứ nhất va thứ hai là phi tuyến thực sư

Đưới đây, ta đặt mục tiêu giải nghiệm sống tĩnh và sóng giãn cho bài toán Riemann

của hé phương trình Euler dang entropy (1.43) với dữ kiện dau

7T

= vu R x <0

u(z,0) — j !ứ (pL VI) z<0

-uz =(2g,Đn}, #z>0trong đó py pr € Rt và vp, vp € B là các hằng số

1.3.3 Sóng tĩnh

Sóng tĩnh là nghiệm không thay đổi theo thời gian Do đó, sóng tĩnh của hệ

phương trình (1.32) là nghiệm u = (¿.0}” không phụ thuộc thời gian và thỏa mãnđiều kién

(pv), =0

Aa ‘ 36

(0? +p), =0 =

Ta tìm tập hợp các trạng thái u = (p.v)" có thể nỗi với trang thái xác định

uy = (po vo)! (với pp € R*,vp € RE) bằng một sóng tĩnh, khi đó quỹ đạo nghiệm

của hệ phương trình vi phan (1.36) đi qua điểm (øø, vo) lấy tích phan hệ (1.36) thu

— ps = Po — P.

18

CHUONG 1 NHŨNG KIÊN THUC CHUAN BI

Vì áp suất p là ham của ø được cho bởi công thức (1.33), ta thay vào phương trình

tren và rút gọn được

Rø??! ~ (oars py) pt pave =0 (1.37)

Dau tiên ta tim điều kiện có nghiêm của phương trình trên.

p= ( K1) ) , dẫn đến ø(ø) = 0 có téi đa hai nghiệm.

Hơn nữa, ta có g{po) = 0, suy ra pp là một nghiém của phương trình (1.37), dẫn

đến v = vp là nghiệm của hệ.

Vậy u = (øp,ep}“ là một trạng thái nối được với trạng thái ban dau bing sóng tinh

của bài toán.

Mặt khác, thue hiện vẽ bảng biến thiên cho hàm ø(ø) trên (0; pax) ta được:

8 |0 ø' Lm

g'(p) | - 0 +

a(p) | g(0) (Pan)

2(p’)

Từ 9(0) = g(Ømax) = p2vZ > 0 nên ta suy ra số nghiệm của phương trình (1.37) phụ

thuộc vào giá trị của ø(ø}.

e g(ø') > 0: phương trình (1.37) võ nghiệm, điều này không xảy ra do phương

trình luôn có nghiệm p= po.

e ofp’) = 0: phương trinh (1.37) có nghiệm duy nhất p = ø' = po Điều này

povg + “fa aw i= pave ry

e g(ø'} < 0: phương trình (1.37) có hai nghiệm phan biệt øt,ø¿ Giả sử 0 <

a <p < po < pmax Ta có po là một nghiệm của phương trình, nên suy ra được

CHUONG 1 NHŨNG KIÊN THUC CHUAN BI

Do đó ta có (p': pmax} là một khoảng phân ly nghiệm của phương trình ø(ø) = 0.

Ta sẽ tìm giá tri gan đúng của ø; với sai số bé hơn hoặc bằng ¢,¢ > 0 đủ nhỏ bằng

phương pháp chia đôi (bisection), cu thể:

Dat |ao:bạ) = ÍØ';ømax] và lap các khoảng long nhau [a;;bj](¢ = 1,2,3 ) xác định

Qua trình lặp cho ta giá trị của nghiệm gan đúng zạ = _ 7 a = 2 5 tim

và kết thúc khi ta tìm được z„ với sai số Aza = |ba — aạ| < €.

Thường hợp 2: ake, + > ug.

Tương tu ta suy ra được pp < p’, do dé py € (0; p') và øa = po Ta tiếp tục tìm giá trị gan đúng của p; với sai số bé hơn hoặc bang ¢.¢ > 0 đủ nhỏ bằng phương pháp

và kết thúc khi ta tim dude z„ với sai số Arp = |đa — ca| < e.

Như vậy, với trạng thái bén trái uy, điều kiện cần và đủ để tồn tại nghiệm

sóng tĩnh không phụ thuộc thời gian u(z,/} = u(z.,0) là trang thái bén phải uz có

thể nối với uy bằng một sóng tĩnh Nói cách khác, với uz cho trước, bằng tính toán

ta có thể chon ug sao cho bài toán có nghiệm sóng tinh, đây là cơ sở cho các thử

O trén, ta da chứng minh được trường đặc trưng thứ nhất va thứ hai là phi tuyến.

Do đó để tốn tại nghiệm sóng giãn thì điểu kiện cần và đủ là trang thái bên phải

ug có thể nối với trạng thái uy bang sóng giãn Nói cách khác, ug can nam trên

20

CHUONG 1 NHŨNG KIÊN THUC CHUAN BI

đường cong séng-1 giãn hoặc đường cong sóng 2-giãn gồm tập hợp các trạng thái

u có thể nối với uz.

Ta tìm tập hợp các trang thái u = (ø,»}Ÿ có thể nỗi với trang thái xác định

up = (pa va}? (với po € Rt, ey € 8) bằng một sóng giãn, hay u = (p,v)7 nằm trênđường cong giãn liên kết với ug

Đường cong 1-gian {k = 1)

CHUONG 1 NHŨNG KIÊN THUC CHUAN BI

Mat khác, giải phương trình vi phan (1.39) và (1.40) ta thu được nghiệm là

1 “4

ễÖÍ,®* 7= _ ¬

p= (v may 6)

v= tụ + ——T (Ệ - fo)

với po, vp, & là thành phan của trạng thái xác định ban đầu uy.

Kết hợp các điều trên ta thu được nghiệm sóng 1-giãn là:

tự, = = Ay air u(x,t)= 4 v (=) Ay (uz) < Ze : < Ay (ug) (1.42)

UR, : > Ay (up)

Trong đó v (=) = Ga 7 ¬— 1) (; ~ 41 (UL ) `

%+>=T(-Ai(wr))

Đường cong 2-gian (L = 2)

Tương tự ta có đường cong Tâm

R2(ug} sv = 2 (Wi@)- Vion) »

Ta tìm nghiêm sóng sốc của bài toán Riemann của hệ (1.32).

Để tổn tại nghiệm sóng sốc thì điều kién cần và đủ là trang thái bén phải uy nối

được với trạng thái bên trái u; bằng sóng sốc.

Trước tiên, chúng ta tìm tập hợp các trạng thái u = (p, v)" có thé nối với trang tháixác định up = (pp, vo)! (với po € E†,uọ € R) bằng một sóng sốc, hay u = (p,v)"nam trên đường cong sốc liên kết với ug

Áp dụng hệ thức Rankine-Hugoniot (1.10) cho hệ (1.32) ta có

s|ø| = [px] a3

{ s [pe] = (pu? + P| , (1.44)

tw tw

CHUONG 1 NHŨNG KIÊN THUC CHUAN BI

với [u] = uy, —u_, s là van tốc sốc.

Suy ra

[pe]? = [p|øe” + p] (1.45)

Dat uz = u,u_ = ug, từ (1.45) ta thu được

(pv — povo)” = (p — po) (ov? + p — pari — mì

-Biến đối ta được

Chương 2

XÂY DỰNG LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN HỮU HẠN CHO

HỆ HYPERBOLIC CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN

2.1 Phương pháp số cho hệ tuyến tính

Trước khi nghiên cứu phương pháp số cho hệ luật bảo toàn phi tuyến, ta

xét các kết quả vẻ phương pháp số cho phương trình đối lưu tuyến tính và hệhyperbolic tuyến tính Dây là tién dé chuyển sang trường hợp phi tuyến Trongtrục này, ta xét bài toán Cauchy phụ thuộc thời gian trong một chiều khong gian:

u+Auy=0, -oocacoo, (20, (2.1)

2.1.1 Sơ lược về phương pháp sai phan hữu han

Chúng ta rời rac mặt phẳng x ~ / bằng cách chon bước không gian k = Az và

bước thời gian k = At và xác định các điểm lưới rời rac (z;,f„)} bằng cách

+; =jh, j= ,—=l,0,1,2,

tạ =nÈ, n=0,1,2,

Từ đây có thể suy ra

Phương pháp sai phan hữu hạn được phát triển dưa trên việc xác định các xap

xi 7 cho nghiệm yếu u(x,t) ở thời điểm + = t„ tai điểm nút z = z;, trong khi đó

nghiệm đúng được kí hiệu bởi

CHUONG 2 XÂY DỰNG LƯỢC DO SAI PHAN HỮU HAN CHO HE HYPERBOLIC CÁC ĐỊNH

LUAT BAO TOAN

Gia sử ta có day {03} 62 là xấp xi cho nghiệm yếu u(x, 4) ở thời điểm + = 4, tại

điểm nút z = x)

Dé giải (2.1) ta cần tìm nghiệm ở thời điểm tiếp theo £ = f„¿¡, tức là ta tim

(U72 Do đó để tìm đãy {U7* he» xắp xi cho nghiệm yếu u(x,t) bằng

phương pháp sai phan hữu hạn, ta chỉ can xấp xi các dao hàm riêng uw và wy bởi các céng thức sai phan thích hợp chẳng han:

- Sử dụng phép xấp xỉ sai phân tiên cho dao hàm thời gian uw tại điểm lưới

Ta rời rac hệ luật cân bằng (2.1) bởi các điểm lưới rời nhau (+,,f„) j € Zn € N,

bằng cách thay các công thức sai phân trén tương ứng với ø¿ và uy ta được

n+l , Ũ 1

k ¬ 2h :

hay

k

Thông qua lược đỗ trên, nhận thấy rằng dé xác định được U"*! từ U" ở mỗi bước

thời gian, chúng ta phải xem công thức (2.3) như là một hệ phương trình liên kết

tất cả các giá trị 7 Dây là một hệ phương trình vô hạn cho bài toán Cauchy, tuy

nhiên trong một phép tính thực tế chúng ta sử dụng một khoảng giới hạn với N

điểm lưới, do đó đây trở thành một hệ phương trình hữu hạn.

Bên cạnh đó, có thể tao ra nhiều lược dé cho hệ tuyến tính (2.1) bằng cách sử

dụng các xap xi sai phan hữu han khác nhau, một vài phương pháp được liệt kẽ

trong bảng đưới đây

CHUONG 2 XÂY DỰNG LƯỢC DO SAI PHAN HỮU HAN CHO HỆ HYPERBOLIC CÁC DINH

LUAT BAO TOAN Tên lược để Phương trình sai phân Khuôn mau |

Backward Euler

One-sided

One-sided

ry | yee! l " ys

Lax-Friedrichs Ư) 1— 2(U7.+U Hàn x ACs ur)

Leapfrog Urs uy ¬ _ Ưt,

LaxWendrofl |u s„A(U7.- Uj.)e ee (U7„~2U7+Ư;„)

“tì

U7'=U?- 5 A(303 - 4U",+Ul, rot (U7-2U7 +U?:}

Hình 2.1 ({4}, tr.101) Một số lược dé sai phân hữu hạn cho hệ tuyển tính

tự + Au, = 0.

2.1.2 Sai số toàn cục và sự hội tu

Trước tiên, ta thiết lập hàm hằng từng manh Ux(z,?} với mọi a và f từ các

giá trì rời rạc U} Chúng ta gán hàm số này bởi U? trong 6 lưới (7.n), cu thể

Uz (2, 6) = U; với (x, t} € [Z;~t/2:#/+1/2) x (tn, tras) ` (2.5)

với bước không gian h và bước thời gian &, và giả sử rằng A và k có liên hệ với nhau

theo một cách cố định nào đó, vì thế việc chọn & xác định ra một mắt lưới duy

nhất Dối với các phương trình hyperbolic phụ thuộc thời gian, người ta giả định

rang các (í số lưới k/h là một hằng số có định khi &, —> 0 Giả thiết này được sử

dụng từ đây trở đì.

Ta cần quan tam đến việc UP xấp xỉ tốt cho nghiệm đúng đến mức độ nào, vì thế

chúng ta xác định sai số toàn cục là sai khác giữa nghiệm đúng và nghiệm tính

toán được Khi nghiên cứu các nghiêm trơn, thuận tiện nhất là xem xót sai số giánđoạn từng điểm,

Các công thức này có thé dude thông nhất bằng cách giới thiệu ham sai số

Ey(œ, E = Up{a, t) — ula, t), (2.6)

trong đó £7 là giá trị gián đoạn từng điểm Ex (+;,f„} và È là giá trị trung bình 6

của Ey tại thời điểm f„

36

CHUONG 2 XÂY DỰNG LƯỢC DO SAI PHAN HỮU HAN CHO HE HYPERBOLIC CÁC ĐỊNH

LUAT BAO TOAN

Dinh nghĩa 2.1.1 Ta gọi mét phương pháp la hột tụ uới chuẩn |).\| nêu

lEx( £)l >0 kh¿*k —> 0, (2.7)

véi gid trị t > 0 cô định va uới mọi dữ kiện đầu up

2.1.3 Sai số chặt cụt địa phương

Sai số chặt cụt địa phương L¿{z,t) là một thước đo về mức độ tốt mà phương

trình sai phân trở thành mô hình phương trình vi phan địa phương Nó được định

nghĩa bằng cách thay nghiệm xap xi [77 trong các phương trình sai phân bằng

nghiệm dúng u{z;, tạ).

Bay giờ, ta xét một ví dụ: Viết lại lược dé (2.4) ta được

1 mn 1 l7) rn 1 n tt

k [U: Pa 5 (Up + un) tạng (U7~ì - Un) =0.

Ta thay thế U? bằng nghiêm chính xác tại điểm tương ứng trong phương trình

trên, khi đó ta sẽ không nhân được chính xác giá trị 0, mà ta nhận được một biểu

thức:

L,(2,t) = h [uœ.: +k) — s(uz — ht) +-ule + h2) na

l

- Py Alu(z +h,t) — u{x — h.t)|

Khi đó ta gọi L¿(z,#) trong (2.8) là sai số chặt cụt địa phương

Bằng các khai triển Taylor của u(x,t) ở về phải của (2.8) và đặt w = zí(z,t) ta thu

được:

Ly{z, t} - lỆ + kui + gi Mu + ) = (u + aia + =)|

1 1,.

_ mnt [zhu + 3N res + | (2.9)

mu Atty +2 iheg == 2(02Sur ae FS Ue — “CMrz +O (k?)

Vi u(x,t) là nghiệm chính xác, do đó u thỏa (2.1), hay œ¿ + Au, = 0 Suy ra

ug = —Atyy = —u¿¿ = —A(—1u;), = A2

Khi đó (2.9) trở thành

1 2 hề 2Le(x,t) = 5h | để = Foyt ] wx(z,t) + O (RŸ)

= O(k) khi k + 0.

(2.10)

Khi đó ta có thé chỉ ra một ràng buéc manh đưới dang

|L¿{(z.t)| SŒk — với mọi k < ko,

với hằng số Œ phụ thuộc vào dit kiện ban dau up Hơn nữa, nếu ta giả sử up có

support compact, thì khi đó /;(z,t) có chuẩn hữu han tại mỗi thời điểm f và ta

thu được ràng buộc ở dang

Lett] < Crk với mọi k < ko, (2.11)

CHUONG 2 XÂY DUNG LUGC DO SAI PHAN HỮU HAN CHO HỆ HYPERBOLIC CÁC ĐỊNH

LUAT BAO TOAN

với hằng số Cy phụ thuộc vào ug.

Nhận xét: Phương pháp Lax-Friedrichs là chính xác cấp 1 vì sai số địa phương

(2.9) phụ thuộc tuyến tính vào k.

Bay giờ, ta mở rộng khái niệm cho phương pháp cap hai tùy ý.

Định nghĩa 2.1.2 Déi uới một phương pháp cắp 2 tổng quát, chúng ta các định

sai số chặt cụt địa phương bi

1 + ag

Ly{z,t) = E [u(œ.£ + k) — Hyfel-, 0); 2)), (2.12)

trong đó toán tử tuyển tinh Hy thu được khi áp dụng cho ham hang gián đoan

Ta viết lại (2.12) dưới dang

u{(+,t +k) = ?({uÍ(-, Ê}; +) + kb(, t).

Khi đó

Ek(+, + k) = Dg(r,E +k) = u(+,£ + &)

= Hx (UẠ(;);z) — He (ue(-£);#) — kU¿z, t)

1 24; là toán tử tuyến tính, nên ta xác đỉnh được sai số bởi công thức

Ey(z +k) = Hy (Ek(, E): 2) — kL, (x, t) (2.15)

Mặt khác, do phương pháp là tuyến tính, nên ta có thé viết lại (2.15) ở dang ham

Ex(,†+k) = yEà(-,) — kLe (1) (2.16)

Sai số (2.15) tại thời điểm £ + & bao gồm hai phan: sai số dia phương - &L¿ mới tìm

được trong bước thời gian này và sai số tích lũy từ các bước thời gian trước đó Bằng cách áp dung quan hệ nay, ta nhận được một biểu thức cho sai sé tại thờiđiểm tp:

?=1

trong đó các chi số trên Hy, đại diện cho lũy thừa của ma trận (hoặc toán tử tuyén

tính) thu được bằng các phép khai triển lặp

Dé thu được biên cho sai số toàn cục, ta phải đảm bao sai số địa phương Ly (-.t; ¡}không được khuếch dai quá mức bằng cách áp dụng bước x — i của phương pháp

Điền này đòi hỏi tinh ốn định của phương pháp, và chúng ta sử dụng một dang

thường được gọi là tính ồn định của Lax-Richtmyer

Định nghĩa 2.1.4 Phương pháp được goi là ổn định nễu tại mỗi thời điểm T tổn

tại hằng số Cy va giá tri ky > 0 sao cho

|| <Œs wd mọi nk < T.k < Hạ (2.18)

38