Tóm tắt nội dungPhương trình Hamilton - Jacobi cắp một là một lớp phương trình đạo hàm riêng phi tuyến có su xuất hiện của ham H cho trước.. Có thể nói phương trình Hamilton — Jacobi có
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HOC SU PHAM THÀNH PHÔ HỒ CHÍ MINH
Khoa Toán - Tin học
ĐẠI HỌC
SP
TP HÔ CHÍ MINH
KHÓA LUẬN TÔT NGHIỆP
Giang viên hướng dan: TS Tran Tri Dũng
Sinh viên thực hiện: Pham Thị Phương Thảo - 46.01.101.146
THÀNH PHÔ HO CHÍ MINH - 2024
Trang 2Thành phố Hỗ Chí Minh, ngày 03 tháng 05 năm 2024
Xác nhận của giảng viên hướng dẫn
TS Trin Trí Dũng
Thanh phố Hỗ Chí Minh, ngày 03 tháng 05 nam 2024
Xác nhận của chủ tịch hội đồng
TS Tran Trí Dũng
Trang 3Tóm tắt nội dung
Phương trình Hamilton - Jacobi cắp một là một lớp phương trình đạo hàm riêng phi
tuyến có su xuất hiện của ham H cho trước Hàm H thường được gọi là hàm Hamilton,
cô nguồn gắc từ việc nghiên cứu các hệ cơ học theo cách tiếp cận của William RowanHamilton (1805 — 1865) Có thể nói phương trình Hamilton — Jacobi có rất nhiều ứng
dung trong thực tế kể từ khi nó xuất hiện, một trong những ứng dụng lớn nhất đó là
trong Lý thuyết điều khiển téi ưa Dac biệt, mốt trong hai bài toán nổi bat khi nghiên
cứu ting dung của phương trình Hamilton — Jacobi chính là bài toán The finite time
hozizon (Thời gian hữu han) sau:
Ta xét phương trình vi phan mo tả đường di của một chất điểm
(s) = b(y(s),v(s}) 0< s<f,
y(t) = x,
thỏa mãn các giả thiết:
e V là không gian metric compact, đại điện cho tập điểu khiển.
e Trường vector b: RE” x — E* cho trước thỏa tén tại C > 0 sao cho:
be C{R" xV},lb(y.v)) <C Y{w.v) € R" x V,
|b(wi 0) — b(wa.e)| < Cla — wl Vụi,yy ER ve V.
e v{-) là hàm điều khiển do được v : [0;00) 3 V.
Với mỗi ham điều khiến e(-} sẽ tương ứng với đường đi y,(-) và người ta chứng minh
được là khi đó sẽ sinh ra phí tổn và tổng phí tổn sẽ được tính theo công thức:
Trang 4và hàm ø thỏa:
lo{a)| << C, VzeR"*,
tụ — g(¿)| < |#\ — za| Vzi,#; € R",
Van dé được dat ra ở đây là: "Lam cách nào để chúng ta giảm thiểu tổng số chi phí
J{(r.{-}) của hàm điều khiển ø(-}? " Day cũng là van để thực tế mà chúng ta cần
nghiên cứu.
Một ý tưởng tự nhiên của Bellman nghĩ ra là chúng ta dat:
Khi đó u(x) là chi phí tối thiểu mà chúng ta phải trả
Trong quá trình nghiên cứu người ta đã thấy một điều thú vị ở đây là w chính lànghiêm nhớt của phương trình Hamilton — Jacobi cấp một
ue + H{+, Du) = 0 trong R" x (0,7),
với HH : R" x [E" — BR” là hàm không lôi.
Một ví dụ thực tế của bài toán trén chính là Two -player zero - sum differentialgames (Trò chơi cân bằng có đạo hàm giữa hai người chơi) Van dé liên quan đến giải
nghiêm nhớt cho trò chơi này rat được quan tâm trên thé giới và được phân tích lin
đầu tiên bởi Evans và Souganidis [1], ngoài ra còn có một số tác giả nghiên cứu khác
như Bardi và Capuzzo -Dolcetta [2], Elliott '3|
Trong dé tài này, tôi nghiên cứu vẽ nghiệm nhớt của phương trình Hamilton Jacobi cắp một với ham H không lỗi thông qua việc thảo luận trò chơi trên Bên cạnh
-đó, tôi đưa ra các công thức biểu diễn nghiệm nhét cho phương trình trên bao gồm
Công thức cho Bài toán giá trị đẫu, Bài toán giá trị cuối và Công thức biểu điễn Hopf
cho trường hợp ug lỗi Cuối cùng, tôi giới thiên ngắn gọn vẻ các phép tính xap xi sai
phân hữu han cho các phương tình Hamilton — Jacobi bậc nhất
Từ nội dung trên cau trúc của khóa luận bao gồm 4 chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Nghiệm nhớt của phương trình Issac trên và Issac dưới.
Chương 3: Cong thức biểu diễn nghiệm nhớt của phương trình Hamilton - Jacobikhông lỗi
Chương 4: Xap xi sai phan hữu han
Trang 5Lời cảm ơn
Người ta thường nói: “Thành công không phải chỉ một cá nhân tạo
nên, kết quả dé còn gắn liền uới sự giúp đỡ uà hỗ trợ của moi người xưng
quanh
Em vé cùng biết ơn trường Dai học Su phạm thành phố Hà Chí Minh
va khoa Toán - Tin học đã cho em co hội được thực hiện đề tài làm khóa
luận tốt nghiệp của minh Em vin gửi lời cảm ơn đến TS Tran Trí Dũng người Thay đã tan tình hướng dan va giúp đỡ em trong thời gian thực
hiện khóa luận luận.
Đồng thời em vin gửi lời cằm an sâu sắc tới các thay cô, bạn bè, gia
đình đã luôn bên cạnh giúp đỡ em Mặc dù đã rất có gắng, tuy nhiên
khóa luận sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Rat mong các thay cô
giáo cùng ban đọc đánh gid góp ý để bản thân rút kinh nghiệm va nhận
ra được những lỗi sat của bản thân trong quá trình làm khóa luận.
Xin chân thành cam ơn!
Thanh phố Hồ Chí Minh, ngày 23 thang 04 năm 2024
Sinh vién thuc hién
Pham Thi Phương Thao
Trang 6Mục lục
Tóm tắt nội dung 2
Lời cảm ơn 4
1 Kién thức chuẩn bị 7
11 Giới thiệu trò chơi cin bang có đạo ham giữa hai người chơi 7
1.2 Neghiém nhát của bài toán có giả thiết giá trì cuỗổi " 9
1.3 Hàm Hamiltonians trên và dưới của trò chơi 9
2 Nghiệm nhớt của phương trình Issac trên va Issac dưới 12
2.1 Tính chat của các giá tri trên và đưới 13
2.2) Chứng minh định lý 201 - Ặ.Ặ Q SH KV 19
3 Công thức biểu dién nghiệm nhớt của phương trình Hamilton - Jacobi
không lỗi 223.1 Bài toán có hàm giá trị c"Ỗi ee eee 22
3.2 Bài toán có hàm giá trì đâu ¬ de ea ¬ 24
3.3 Công thức biểu điễn Hopf{ 25
4 Xấp xi sai phân hữu han 30
4.1 Phương pháp xắp xi đơn điệu và nhất quán 30
42 VER cca ca DTT HDAC SETH DARE SEH DEES 32
Kết luận 35
Tai liệu tham khảo 36
Trang 7Danh sách ký hiệu
R Tap hợp các số tự nhiên
R Tap hợp các sẽ thực.
fe” Tap hợp các vector n chiều với các phan tử là các số thực
LX{X)_ Không gian các hàm đo được bị chan hau khắp nơi
|fl- = mf{C: |/(z)| <ŒCC bkn}.
B(z.R) Quả cầu đồng tam x bán kính R trong R”
6
Trang 8Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Giới thiệu trò chơi cân bằng có dao hàm giữa
hai người chơi.
Chúng ta xem xét trò chơi cân bằng có đạo ham được chơi bởi hai người choi (người
chơi 1 và người chơi ID}, cả hai đến có chiến lược riêng Người chơi [ có mục tiêu tôi
da hóa trong khi người chơi I có mục tiêu giảm thiểu tối đa chi phí ham điều khiển
chuyển động của một phan tứ trong R" đại điện cho vị trí của 2 người trong trò chai.
Có định T > 0, cho A, B là hai không gian compact Với t € [0,T), đặt:
A, = {a: [t, 7] + Asa là hàm do được},
B, = {b: Ít, TỊ + Ð : bla ham do được}
lan lượt là tập điều khiển trong thời gian [f, T} của hai người chơi I và II Trong để tai
này chúng ta xác định rằng bất kì hai hàm điều khiến cũng hiểu theo nghĩa hầu khap
với hàm điền khiển af-) € A; của người chơi I và b(-) € Ö, của người chơi IL Trong đó
f:R° x Ax BE là một trường vector cho trước thỏa mãn tốn tại hằng số C > 0
sao cho:
ƒ€C(#" x Ax BỊ,
|ƒ/( œ,b}| < Œ, với mọi z € Rae Abe B,
|ƒ(za a,b) — f{a2,a,b)| < Clay — ral, với moi r7¡,#a € R".aé A, be B.
Trang 9KLTN - Chuyên ngành Giải tích - Phạm Thị Phương Thao
Với điều kiện của hàm f, phương trình (1.1) có nghiệm đuy nhất Với bắt kì thời điểm
s € (t.T), w„(s) dai điện cho vị trí của hai người chơi trong trò chơi.
Khi di chuyển, thông qua phương trình (1.1) hai người chơi phải trả một phí tổn
|h(.ø,b)| < C, với mois € lR",œ€ Abe B
|h(za a,b) — Af{ze,a,6)| < Clay — rel, với mọi #¡.rza €[E",œc€ Abe B
và J|9)| £ € với mọi z € R”
|g(#\) — g{z2)| < Cla, — 3a| với mọi #¡,z¿ € RK".
© day, ta hiểu rằng A là hàm chi phí để chạy và ø là ham chỉ phí cố định Trở lai
với bài toán thì mục tiêu của người chơi 1 là mong muốn làm tối đa hóa ham chi phí
tang C,, (a(-}.b(-)), ngược lại, người chơi II muốn làm giảm tối da hàm chi phí này
(hay ta có thé hiểu người chơi [I muốn téi đa hóa hàm —Œ;„ (a{-), b(-}).
Tap chiến lược cho người chơi 1 bat đầu tại thời điểm ¢ là:
x, = {a : B, > A; nonanticipating}, với "nonantieipating"có nghĩa là: Với mọi ð;(-), ba(-) € , và s € [t,T],
by{-) = bạ(-) trên Ít, s) => a|lnÌ{-) = a|ba)(-) trên Ít, s)
Tương tự, tập chiến lược cho người chơi I bắt dau tại thời điểm ¢ là:
T¿ = {đ : A, > B, nonanticipating} ,
với "nonantieipating"có nghĩa là: Với mọi a(-) đa(‹) € A, và s € Ít, TỊ,
a,(-) = aa(-) trên [t s} => đ{m](-) = fíaaÌ(-) trên Ít s).
Ta gọi:
Ví,f) = inf sup Cx1 (a(-), 8[a](-)) ;
U(z.f) = sup inf Cys (e[b](-), 60)
a€d, Of ER
lần lượt là giá trị dưới và giá trị trên của trò chơi
Trang 10KLTN - Chuyên ngành Giải tích - Phạm Thị Phương Thao
1.2 Nghiệm nhớt của bài toán có giả thiết giá tri
cuối
Trong phan này với những thiết lap chung ở phan 1.1 ta sé di tìm hiểu về nghiệm nhớt
của bài toán có giả thiết giá tri cuối
2)
uw + H(+, Du) =0 trong R” x (0,T), u(x,T) = g(x) trén R",
trong đó, H € C(R® x 8", R) và g € BUG(E")n Lip(R") đã cho trước.
Định nghĩa 1.2.1 (Nghiệm nhót của phương trình (1.2))
Một hàm wu € BUC{R" x (0,TỊ) được gọi là:
1 Nghiệm nhớt dưới của (1 2) nếu với bắt kì ¿ € CH(R" x (0 T) sao cho u(£o, ty) =
@(#q, lạ) và tt — ý đạt cực đại tại (zp, fp) € R" x (0,7), khi đó:
và u{-,T} < g;
2 Nghiệm nhót trên của (1.2) nếu với bắt kis € C'(R" x (0,7) sao cho ulay, ty) =
Ủ{Zp,fp) và — w đạt cực tiểu tại (za tạ) € RB” x (0,7), khi đó:
và u(-.T} > g:
3 Nghiệm nhót của (1-2) nếu vừa là nghiệm nhót trên vừa là nghiệm nhót dưới của
(1.2).
Nhận xét 1.2.2 Định nghĩa trên dược hình thành từ định nghĩa nghiệm nhớt cho
bài toán giá trị dau That vậy, néu ta xét bài toán giá trị đầu trong trường hợp ty = T
khi đó đặt 6 = ð(+,£) + 7 thì điều kiện kiểm tra nghiệm nhất sẽ không thay đổi đà
hai bài toán trên có điều kiện biên khác nhau
1.3 Ham Hamiltonians trên và dưới của trò chơi.
Cho (a, p) € IR” x IR”, ta kí hiệu:
H(z,p)= max min { f(x, a,b) -p+ h(x, a,b)} ,
H*(2,p) = tin max { f(x, a,b) - p+ híœ,a,b)}
Trang 11KLTN - Chuyờn ngành Giải tớch - Phạm Thị Phương Thao
Chỳng ta núi rằng H~ và HỲ lẫn lượt là cỏc ham Hamiltonians dưới và trờn của trũ
chơi.
Bồ dộ 1.3.1 Cho H*,H~ là cỏc ham được định nghĩa như trờn Khi do:
đô Tửn tại C > 0 sao cho với mọi x,y, p,q â BR”
|H*(x,p) — H*(x,q)| < C|p — 4l,
|H*(x,p) — H*(y,p)| < Cũ + |p|)|z — yl.
e Ta luụn thu được H~ < HT.
Chứng mỡnh, Â Theo định nghĩa ham Ê và h ta cú: Tộn tai C) > 0 và C2 > Ú sao
cho với mọi z,21,T2 € R",a € 4,b€ B thỏa:
|ƒ(+.œ,b)| < Cy
|f(21,a,6) = /(za a,b)| < Cỡ|#i = #a|
|k(x, a,b)]| < Ca
|h(zỡ.a,b) — h(+, &,b)| < Cala, — 24|
Đặt C = max{C), Cạ} Khi đú tồn tại C > 0 thỏa với mọi z,zĂ,z¿ € R",a €
A.b€ B sao cho
|ƒ(œ,a,b)| < Œ
|f(2,, a,b) = f(x2,a,b)| Š Cla, = 22}
|h(z, a,b)| < Œ
|k(Œạ, a,) — h(+¿, &,b]| < Clay — za|
Dat H(z,p) = ƒ(ô, a,b] -p + h(z, a,b}
Ta cú:
|H(œ.p) — H(x,q)| = |F(x, a, 6) - (p — gèl
= |f(x, a, b)|.|p — 4|
< C|p = 4l.
Khi đú max min |H (x, p) = He, g)| C|p= 4| hay |H*(+,p)= H*(=.g){ Š |p=4|:
Chứng minh tương tu ta thu được: |H*(x, p) — H*(x,q)| < CÍp — q|
Trang 12KLTN - Chuyên ngành Giải tích - Phạm Thị Phương Thắa
Do đó ta có:
|H*(x, p) — H”(w,p)| < CO + |p|)|z = w|
e Lay (2,p) € E".a€ ADE B,
Fx,a,b) -p + hix,a,b) < max{ f(z, a,b) -p + h(+,a,b}}
Trang 13Chương 2
Nghiệm nhớt cua phương trình
Issac trên và Issac dưới
Dinh lý 2.0.1 Cho VU, H*, HT là các ham đã được định nghĩa Khi đó
1 V là nghiệm nhét của phương trình Issac dưới:
V(+,T) = g{z) trên R&R”
-2 U là nghiệm nhét của phương trình Issac trên:
U,+ H*(x, DU) =0 trong R" x (0,T), (2.2)
Dinh nghĩa 2.0.3 Tré chơi can bằng có dao hàm giữa hai người chơi được gọi là "cá
giá trị "nếu H~ = Ht; có nghĩa là
max min { f(x, a,b)-pt+ h(z, a,b)} = min max { f(z, a, b} -p + hứ, a, b)} (2.3)
Ta gọi (2.3) là điều kiện minimag.
Vi dụ 2.0.4 Lay n = 2,p = (pì,) € R2, xét:
Híp) = H{m p›) = |m| — |p›|
Trang 14KLTN - Chuyên ngành Giải tích - Phạm Thị Phương Thao
Đặt A= B =[—L,1]C R.
Ta có:
H{p) = |m| — |pa| = max (apr) + Hết {bp2)
= max (ap} + min (bp;)
= max min(a, b) : p = min max(a, b) - p.acd min( »b)-p 66B aca * yp
Do đá trong vi dụ nay, ƒ(#, &,b)} = (a,b) va h = 0 là điều kiện minimas của trà chơi
Hệ quả 2.0.5 Giả sử trò chơi thda man điều kiện minimax, khi đó U = V là nghiệm
nhót của phương trình:
uy + H{z, Du) = 0 trong R® x (0,T),
u(x, T} = g() trên R”
2.1 Tính chất của các giá trị trên và dưới
Tiếp theo ta trình bày về nguyên lý Dynamie Programing Principles (DPP) cho các
giá trị trên và dưới ULV
Dinh lý 2.1.1 (DPP cho và V) Cho U,V là các hàm đã được định nghĩa Khi đó
với mỗi 0 < t < t+ ø < T' và z € RE",
(+o
V(z,t) = inf Ae / h{w„(s}, a(s}, S[a](s))ds + V{wz( + 7), t+ z)
ứœcS, MEBs
U(x,t) = sup inf [ nu,(s).all|s).1Is))4s + U(u,{t + ø},£ + 0)
Chứng minh Ta chứng minh định lý DPP cho V Do định nghĩa inf, lấy ¢ > 0 bat kỳ
khi đó tổn tai đ € Ï, sao cho:
tte
Wf(z,f) > sup J h{z(s}, a(s}, 3Ía](s))4s + V(wz(t + ø),† + ø) > —e.
al-)EA,
13
Trang 15KLTN - Chuyên ngành Giải tích - Phạm Thị Phương Thắa
Theo đình nghĩa V, với mỗi z € R”,
V(zf+z)= inf sup €:;¿+z(a(),đía|(-)).
Ly al \EAteo
Khi đó theo định nghĩa inf, tốn tai 6 € Ty sao cho:
V(z,t + a) => sup Crtre {a(-}, 5,[a}(-)) —é.
Trang 16KLTN - Chuyên ngành Giải tích - Phạm Thị Phương Thao
Liy sup tổi lẫy inf cho 2 về
Vái mỗi a(-] € Ay, ta định nghĩa a € Ay bởi công thức
a af{s) với! <s<t+ơ,
a(s} = s
a(s} vớit++ơ <s<TT.
Ta định nghĩa ge Di+es g = Slal(s) với L+ø < s < TT.
Bang định nghĩa của V đặt z = y,(t +),
Trang 17KLTN - Chuyên ngành Giải tích - Phạm Thị Phương Thắa
Chúng ta định nghĩa a{-) € A,
(s} als) với <s<t+ø, a(s} :=
Trang 18KLTN - Chuyên ngành Giải tắch - Phạm Thị Phương Thắa
Chứng mình, Ta chứng minh bat đẳng thức theo V đúng
Do h và ụ đều bị chăn nên ta cố:
V{z;,f} > sup {fe (ys, (s),@(s), đắa](s}} ds + ụ(0Ỉ, ry} -é.
Với mỗi a(-) Ạ Ay, gọi Ư, là nghiệm của phương trình
Trang 19KLTN - Chuyên ngành Giải tích - Phạm Thị Phương Thắa
|V{za,f) — V{zn,9)| < Cl+z¿ — z¡| = PV [nce (4= xeu7; <(Œ.
Chứng minh Í|V || +.(gxs „(a,ị Š © được chứng minh trong {1, Dinh lý 3.2, Trang 779} O
18
Trang 20KLTN - Chuyên ngành Giải tích - Phạm Thị Phương Thao
2.2 Chứng minh định lý 2.0.1
e Chứng mình £ là nghiệm nhớt dưới của (2.2)
Lay ó € C!(E* x (0,T)) là ham thử sao cho (To, fa) = ö(đa tạ) và U — ở đạt cực
đại địa phương tại (zo,fp) € R*" x (0,7) Theo định nghĩa nghiêm nhớt dưới ta cin
chứng minh
(2o, ly) + H* (x9, Dooley, fo)} > 0
Gia sử tốn tai Ø > 0 sao cho
Theo định nghĩa của H*
H*(z.p) = min max { f(x, a,b) - p+ h(x,a,b)},
to
ate,
19
Trang 21KLTN - Chuyên ngành Giải tích - Phạm Thị Phương Thao
diéu nay mâu thuẫn với nguyên lý DPP cho U
Vay điều giả sử là sai hay là nghiêm nhớt dưới của (2.2)
e Chứng minh U là nghiệm nhớt trên của (2.2)
Lấy ó € C)(R" x (0,T)) là hàm thử sao cho U{2p, to) = ó(#a, tạ) và U — @ dat cực
tiểu địa phương tai (x, tp) € RB" x (0,7)
Theo định nghĩa nghiêm nhót đưới chúng ta can chứng minh rằng
(2o, fo) + H* (xo, Dỏ(2zo to) < 0.
Giả sử tốn tại Ø > 0 sao cho
x(x, tạ) + H*(zạ, Dd(xo, to)) > 6 > 0 (2.7)
Theo định nghĩa của H*
H*(z,p) = min max { f(z, a,b) -p+ h(z,a,b)},
nén ta thn được a € Y,, và ø > 0 đủ nhỏ sao cho với mọi b € By,
Trang 22KLTN - Chuyên ngành Giải tích - Phạm Thị Phương Thao
Thay vào (+) rồi lẫy inf trên b(-] € đụ,
tote
U(2xp, ty) + 0œ < : inf J h(w„„,a[b(s), b(s))4s + U(w„„{tạ + 7), to + 7)
(-Ì 6i
tạ
điều này miu thuẫn với nguyên lý DPP cho LU.
Vậy điều giả sử là sai hay U là nghiệm nhớt trên của (2 2)
Tóm lại, ta thu được là nghiệm nhớt của (2.2).
Chứng mình tương tự ta cũng thu được V là nghiệm nhớt của (2.1).
21
Trang 23Chương 3
Công thức biểu diễn nghiệm nhớt
của phương trình Hamilton - Jacobi
Mue tiêu của chúng ta trong phan này là tim cổng thức biểu điễn cho nghiệm uw
Đề làm điền đó, ta phải viet H dưới dạng max - min như bố dé dưới đây.
Bồ dé 3.1.1 Giá sử H thỏa mãn diều kiện (3.2) Lay R > 0 cố dịnh, dat A = B(0, R)
và B = B(0,1) Khi dé với x € R" và p € B(O, R),
H{x,p)= max min{ H {x, a) + C(p — a) - b).