Khóa luận tốt nghiệp Toán tin: Quy trình giải các bài toán về phép dời hình trong mặt phẳng gắn với việc mở rộng khái quát hóa các bài toán về phép dời hình và ứng dụng thực tiễn

Qui trình giải các bài toản về phép dời hình trong mặt phẳng gắn với việc mở rộngvà khái quát hóa các bài toán về phép đời hình và ứng dụng thực tiễn Khi xem xét các thuật toán, chúng ta

Trang 1

Trường Dai Học Sư Phạm TP.Hồ Chí Minh

*SP Khoa Toán — Tin Học

cul mee

Luận văn tốt nghiệp

Chuyên ngành Phương pháp giảng day

Trang 2

Qui trình giải các bài toán vẻ phép đời hình trong mặt phẳng gắn với việc mở rộng

và khdi quát hóa các bài toán vẻ phép đời hình và ứng dụng thực tiễn

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên em xin chân thành gởi lời cảm ơn đến TS Lê Văn Phúc, người Thầy đã

tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em hoàn thành luận văn nảy

Xin cảm ơn các Thầy Cô khoa Toán Tin, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Phương pháp giảng dạy đã cung cấp cho em những tri thức quý báu để em có thể vận dụng

vào việc làm luận văn.

Xin cảm ơn Ban giám hiệu, thầy Trương Tứ Hải, thay Dương Bửu Lộc, các học sinh lớp 11A: trường THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa đã tạo điều kiện cho em tiến

hành thực nghiệm sư phạm.

Xin cảm ơn gia đình, người thân đã luôn ở bên, ủng hộ, giúp đỡ, tiếp sức cho

con trong quá trình làm luận văn.

Cám ơn những người bạn của tôi, các bạn đã cho tôi rất nhiều ý tưởng trong qua trình làm luận văn đồng thời đã chia sẻ, giúp đỡ tôi để tôi có thể hoàn thành luận văn.

SVTH: Mai Thị Thanh Héng 1 GVHD: TS Lê Van Phúc

Trang 3

Qui trình giải các bài toán về phép đời hình trong mặt phẳng gắn với việc mở rộng

và khái quát hóa các bài toán vẻ phép đời hình và ứng dụng thực tiễn

CÁC TỪ, CUM TỪ VIET TAT TRONG LUẬN VĂN

ee Viết đầy đủ

a Sách giáo khoa

CŨ 2 016664242xdxzdauxussàl Giáo viên

HN PEA SPRY PE Rar er Pose ey ey tar See Học sinh

THẾ T1 cct2166021600%Gccadsxsk Trung học phổ thông

SVTH- Mai Thị Thanh Hông 2 GVHD: TS Lê Văn Phúc

Trang 4

và khdi quát hóa các bài toán về phép đời hình và ứng dụng thực tiễn

MỤC LỤC

CO a CÁC TU, CUM TU VIET TAT TRONG LUẬN VAN

CHƯƠNG I TƯ DUY THUAT TOÁN VÀ VAN DE REN LUYỆN TƯ DUY THUAT

SU eae NÊN ci i kk6dsdu_iqxe«es 10

1 (Q0 Ga tapi Huệ ĐĂNG 0a 12

3.Mối quan hệ giữa thuật toán và qui trình tựa thuật toán: 2222 ©22se£ 14

II VAN DE PHÁT TRIEN TƯ DUY THUẬT TOÁN Ở TRƯỜNG PHÔ THONG 16

2 Sự cần thiết của việc phát triển của tư duy thuật toán: -22222z=cczzz 17 3.Phương hướng phát triển tư duy thuật toán ở HS: 2 sss22cCC22zzzee 17

HT HN C241 Oe eer Ree RR Tae eR eee 21

Chương II: QUI TRINH GIẢI CAC BAI TOÁN DOI HINH TRONG MAT PHANG, MỞ

Tông VÀ KHÁI QUÁT HÓA CAC BÀI TOÁN DOI HÌNH VÀ UNG DUNG THỰC

Ð GEES H GGẸHHEẠEELHEHAEEaErểểểrggggGGttểraa 22

IIETRONGUHITHUWET kesee<< thung yxsusesad 22

1.Mở đầu về phép biến hình .2- 222222 CS 249222244722344772224729512222cecvzz

3.Phép đối xứng tryc: G22, 140

4.Phép quay và phép đối xứng tâm

3.Hai hình băng nhau co K.kHeẰiiiAiiiehiieseiaaiiisasaaaie

TH TT .Ặ.——————_Ử =-z-ee

EU KĐT LUẬN G0004 atten a 54tscstossse=ee 37

SVTH: Mai Thị Thanh Hồng 3 GVHD: TS Lê Văn Phúc

Trang 5

PHAN B: QUI TRÌNH GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẰNG PHÉP DOI HÌNH GAN VỚI

VIỆC MỞ RỘNG VÀ KHÁI QUAT HÓA CÁC BÀI TOÁN DOI HÌNH 38

1 CAC KIÊN THỨC CƠ BẢN VE PHÉP DOI HINH 555255557 38

In a 38

mm —- —————— 38

1.3.Hai hình bang nhau: ư.e.ằẶ.ẶẶẶ 1111 38

2.Các phép đời hình trong mặt phẳng 222 s2 ZE21ccCC A22 cecCE2222ecrz 39

ae ee 39

CO (ea 39

TC a aa aa 39

DU ¡CÁ (CON TẾ” CA TẢ VAẾIOGDN CHỢ DHP DU NDDOLDEI naakactanaibiiakdadhiadienstandchtdickththnadiiiinie’ 40

3.Vận các phép đời hình trong việc giải các bai toán hình học 40

II.QUI H GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẰNG PHÉP DOI HÌNH 46

1 Qui trình sử dụng phép đời hình dé giải các bai toán chứng minh các tính chất hình

D1 Rating mình sự lồng nhan neesscosesnvenmnsbonssSuinsifetsarstasimssaniteni 46

1.2.Chimg minh ba điểm thẳng hảng ni 46

1.3.Chứng minh hai đường thăng song song: 47

1.4.Một số tính chất khác: ————.asau.m 47

2.Qui trinh six phép dời hình dé giải các bài toán dựng hình 60

2.1.Các bước để giải một bài toán dựng hình 2255552 cengsssceesseở 60

2.2.Cách dựng ảnh của một số hình đơn giản qua các phép dời hình 61

3.Qui trình sử dụng các phép dời hình dé giải các bài toán tim qui tích 73 4.Qui trình sử dụng các phép dời hình để giải các bài toán cực trị 83

5.Qui trinh sử dụng các phép dời hình vào thực ti€n c.ssssseessssensvsesenssnnensennees 94

CHƯƠNG III:THỰC NGHIỆM SU PHẠM - <<.2sexseossesee 101

1 Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 101

2 Đổi tượng thực nghiệm sư pham cc.-.-.:vocsss-s»s0s»veeeenevnneesennmnsnssnmessenenenennnmenenneens 101

Bi NỀ ern anne aN G0226 66ccesc 026x642, 101

4.1.Bién soạn tai liệu thực nghiệm su Pham: 0:0-0ecceseceresesnersceeceessneeeneeeseenennnneess 101

4.2 Các bước tiến hành giờ dạạy S21 E 1E 9c 1E 2340 85127727180 723562 102

5 Phân tích và đánh giá kết quả thực nghiệm: 22-2vzzcccZCE2 222cc 102

SiR NI ng đ*q 3W ái kkkeeeaeeetkdkeekeeaaeoeedioecssskkcetsases«i 102

93iRet hd ngan (lỗ ÂN cá 025 2002260002 ee ees 103

SA NỔI gái NI Non i-iỷŸYkGiieeioeeeeei 103

| mm 104

SVTH: Mai Thị Thanh Hỗng 4 GVHD: TS Lê Văn Phúc

Trang 6

Qui trình giải các bài toán về phép dời hình trong mặt phẳng gắn với việc mở rộng

z” 8w égg ẽ.b .àœ——.“-ẵeee 105

II HƯỚNGNGHINCỦU TIẾP TU G2 SG222222c2SjZccj 105

Qui trình sử dụng phép đời hình để giải bài toán tim qui tích 55555 122

ES GY RS ET 134

SVTH: Mai Thị Thanh Hông 5 GVHD: TS Lê Van Phúc

Trang 7

Qui trình giải các bài toán vẻ phép dời hình trong mặt phẳng gắn với việc mở rộng

và khái quát hóa các bài toán về phép đời hình và ứng dụng thực tiễn

PHÀN MỞ ĐÀU

I.LÍ DO CHON DE TÀI:

Các phép biến hình trong mặt phẳng là một nội dung khó và hay trong chương

trình toán ở trường THPT Trước đây, trong SGK chỉnh lý hợp nhất năm 2000 cácphép biến hình được đưa vào chương cuối của SGK hình học 10 Hiện nay trong

chương trình THPT các phép biến hình được đưa vào chương trình hình học 11 ởchương I với tên gọi "Phép đời hình và phép đồng dang trong mặt phẳng”

Việc đưa các phép biến hình vào chương I hình học lớp 11 là sự thay đổi lớntrong chương trình hình học phổ thông Ở trung học cơ sở, HS đã được làm quen với

các phép biến hình qua các bai tâm đối xứng, trục đối xứng (lớp 8, 9) O THPT, HS

được học các phép biến hình một cách có hệ thống Qua việc học các phép biến hình,

HS có phương pháp tư duy, suy luận mới biết nhìn nhận sự vật hiện tượng trong sự

vận động và biến đổi không ngừng Phép biến hình còn cung cắp cho HS công cụ mới

để giải toán Thực tế, nếu được vận dụng một cách khéo léo, các phép biến hình cho

ta những lời giải “hay” và “dep” cho rất nhiều bai toán hình học Đặc biệt, các phép

biến hình là công cụ hiệu quả để giải các bài toán dựng hình và tim qui tích Ngoài ra,các phép biến hình còn là công cụ quan trọng để giải các bài toán thực tế

Tuy nhiên, các em HS THPT thường gặp một số khó khăn khi tiếp cận những

khái niệm của phép biến hình đặc biệt là phần vận dụng những kiến thức vào việc giải

bài tập.Việc dạy và học các phép biến hình thường dừng lại ở phần biểu thức tọa độ

của các phép biến hình RO rang, biểu thức tọa độ không giúp HS giải quyết các bài

toán tìm quỹ tích hay dựng hình Điều đó là cho HS không thấy được tiện ích của cácphép biến hình và làm mắt đi hứng thú học tập ở các em

Bên cạnh đó với thời lượng quá ngắn: 14 tiết ở ban khoa học tự nhiên va II

tiết ở ban cơ bản, liệu có đủ cho HS lĩnh hội đầy đủ phương pháp tiếp cận của lí

thuyết và vận dụng lí thuyết vào các bài tập Hệ thống bài tập trong sách giáo khoa lạiđược đánh giá là ít, không quá phức tạp và không day đủ đối với trình độ của HS

Trang 8

Vì vậy một câu hỏi được đặt ra là: “Chúng ta phải làm gì để giúp HS tiếp thuhiệu quả hơn kiến thức về các phép biến hình và biết cách vận dụng các phép biếnhình để giải các bài tập?”

Qua tìm hiểu vé các phương pháp day học môn toán, chúng tôi chú ý đến

phương pháp dạy học các angorit giải toán Nghĩa là chúng ta sẽ xây dựng các thuật

toán hoặc qui trình tựa thuật toán để giải các bai toán biến hình sao cho với các qui

trinh đó, HS có thé coi như đó là hướng dẫn ban đầu, là bước định hướng trong quá

trình tìm lời giải cho các bài toán.

Ngoài ra, một chủ để dạy học hay phải là một chủ để đơn giản, có ích, hứngthú Việc dạy học các phép biến hình cần trang bị cho HS những tri thức để giải thích,

vận dụng va giải quyết những van dé xuất hiện trong thực tế Những van đề đó có thé

là bai toán tìm đường đi ngắn nhất, bài toán tiết kiệm nguyên liệu hoặc chi đơn giản

là cách để giành chiến thắng khi tham gia các trò chơi

Phép biến hình trong mặt phẳng ở trường phổ thông bao gồm phép dời hình

và phép đồng dạng Nhưng do thời gian hạn chế, chúng tôi chí giới hạn nghiên cứu

qui trình giải các bai toán liên quan đến phép dời hình

Vì những lí do vừa nêu trên, chúng tôi chọn nghiên cứu dé tài

“Qui trình giải các bài toán về phép dời hình trong mặt phẳng gắn với

việc mở rộng và khái quát hóa các bài toán về phép dời hình và ứng dụng thực

tiễn"

II.MỤC DICH NGHIÊN CỨU

Trên cơ sở nghiên cứu qui trình giải các bài toán vẻ phép dời hình, luận văn

xây dựng một lớp các bài toán mở rộng và khai quất của các bài toán về phép đời

hình và ứng dụng để giải các bài toán thực tiễn

III.NHIỆM VỤ NGHIÊN CUU

Dé đạt được những mục dich trên chúng tôi thực hiện những nhiệm vụ sau:

- Nghiên cứu, phân tích những tài liệu liên quan đến đẻ tài.

- Đưa ra qui trình giải các bài toán về các phép dời hình

Trang 9

và khái quát hóa các bài toán về phép dời hình và ứng dụng thực tiễn

- Mở rộng và khái quát hóa các bải toán đời hình.Trên cơ sở đó, vận dụng các

phép dời hình để giải quyết các bài toán thực tế

- Tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của

các biện pháp từ đó rút ra những kết luận khoa học

IV.GIA THIẾT KHOA HOCNếu xây dựng qui trình giải toán hiệu quả dé giải các bài toán dời hình đồngthời xây dựng được hệ thống các bài tập mở rộng và khái quát hóa về phép dời hình

sẽ góp phan nâng cao chất lượng day học môn toán ở trường phổ thông nói chung vàchất lượng dạy học chương phép biến hình ở lớp 11 nói riêng

V.KHÁCH THÊ VA DOI TƯỢNG NGHIÊN CUUKhách thể nghiên cứu: HS lớp 11 THPT

Đối tượng nghiên cứu: Qui trình giải các bài toán về phép dời hình trong mặtphẳng gắn với việc mở rộng và khái quát hóa các bài toán về phép dời hinh và ứngdụng thực tiễn

VI.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Chúng tôi đọc và nghiên cứu sách giáo

khoa, sách bài tập, sách giáo viên, sách tham khảo, và các tài liệu liên quan đến đề tài.

Ngoài ra chúng tôi còn nghiên cứu các tai liệu về phương pháp dạy học toán.

- Phương pháp điều tra quan sát thực tiễn.

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Chúng tôi tiến hành dạy 2 tiết thực nghiệm trén đối tượng HS khá giỏi Sau đó sẽ cho HS làm bài kiểm tra Chúng tôi sẽ tiến hanh phân tích kết quả của bai kiểm tra để kiểm chứng và khẳng định tính khả thi

của các biện pháp mà chúng tôi đưa ra.

VII.CÁU TRÚC CUA LUẬN VAN

Trang 10

Phần nội dung

Chương I: Cơ sở lí luận.

Trong chương I chúng tôi làm rõ các khái niệm liên quan đến thuật toán, qui

trình tựa thuật toán, vấn dé rèn luyện tư duy thuật toán

Chương II: Qui trình giải các bài toán đời hình trong mặt phẳng, mở

rộng và khái quát hóa các bài toán dời hình và ứng dụng thực tiễn

Phan B: Trên cơ sở phân tích sách giáo khoa, sách bai tập và các tai liệu

tham khảo chúng tôi phân loại các dạng toán về phép dời hình Đối với từng dạng

toán chủng tôi đưa ra các qui trình để giải, một số ví dụ áp dụng và sau đó là các bài

tập mở rộng và khái quát hóa sẽ sử dụng các qui trình chủng tôi đưa ra dé giải Cuối

cùng sẽ là các bài toán ứng dụng thực tế

Chương II: Thực nghiệm sư phạm.

Chương III chúng tôi trình bảy mục đích, nội dung, tổ chức, phương pháp thực

nghiệm.Cuỗi cùng là phân tích đánh giá kết quả thực nghiệm Dựa trên những đánh

giá đó dé rút ra kết luận thực nghiệm.

Phần kết luận: Tóm tắt các kết quả đạt được, những hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp của luận văn.

Tài liệu tham khảo Phụ lục

Trang 11

Qui trình giải các bài toán vê phép dời hình trong mặt phẳng gan với việc mở rông

và khái quát hỏa các bài toản về phép đời hình và ứng dụng thực tiễn

CHƯƠNG |

TƯ DUY THUẬT TOÁN

VA VAN DE REN LUYEN TƯ DUY THUẬT TOÁN

1.CÁC KHÁI NIEM VE THUAT TOÁN VA QUI TRÌNH TUA THUẬT TOÁN

1 Thuat toán

¡.1.Khái niệm

Trong Phương pháp dạy học toán học ở trường phô thông trung học cơ sở, tác

giả Hoàng Chúng viết:

Angorit (hay thuật giải, thuật toán) là một ban qui định trình tự những thao tác

cân thiết để giải một bài toán,

Theo Phương pháp dạy học môn toán- Nguyễn Bá Kim Thuật toán (angorit hay thuật giải) theo nghĩa trực giác được hiểu như một dãy

hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện được một cách đơn trị, kết thúc sau một số hữu hạn

bước vả đem lại kết quả là biến đổi thông tin vào (INPUT) của một lớp bài toán thành

thông tin ra (OUTPUT) mô tả lời giải của bài toán đó.

Trong Phương pháp dạy học môn toán ở trường pho thông (Các tình huống

dạy học điển hình) tác giả Lê Văn Tiến đưa ra định nghĩa về thuật toán:

Theo nghĩa chặt, thuật toán 14 một dãy sắp thứ tự các thao tác cần thực hiện

trên một số hữu hạn các dữ liệu và đảm bảo rằng sau một số hữu hạn bước sẽ đạt

được kết quả nao đó Hơn nữa, qui trình nay độc lập với dữ liệu.

Theo nghĩa rộng, thuật toán là day hữu han các bước cẩn thực hiện theo một

thứ tự nhất định dé giải quyết một kiểu nhiệm vụ nao đó

Các phát biểu trên chưa phải là một định nghĩa chính xác về thuật toán ma chỉ

là cách nói giúp chúng ta một cái nhìn trực quan thé nào là một thuật toán.

Một điểm cân lưu ý là khái niệm thuật toán theo nghĩa chat của tác giả Lê VănTiền trùng với các khái niệm ở trên, còn khái niệm thuật toán theo nghĩa rộng liên

quan đến khái niệm qui trình tựa thuật toán mà ta sẽ nói đến ở phan sau.

Dé hiểu rd hơn về thuật toán, chúng ta xét ví dụ đơn giản sau.

SVTH: Mai Thị Thanh Hằng 10 GVHD; TS Lê Văn Phúc

Trang 12

Qui trình giải các bài toán vẻ phép đời hình trong mặt phăng gắn với việc mở rộng

và khái quát hóa các bài toản về phép dời hình và ứng dụng thực tiễn

Thuật toán xác định vị trí tương đối giữa hai đường thắng

Bước 4: Ta có TÊN, A, song song A,

Thuật toán trên gồm bến bước Mỗi bước là một hoạt động cụ thé hướng dẫn

HS sẽ phải thực hiện thao tác gì Thực hiện xong bốn bước trên bài toán sẽ được giải

quyết.

Ngoai thuật toán trên, trong trường phổ thông HS còn được làm quen với

nhiều thuật toán khác như: thuật toán tìm ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất của

hai số tự nhiên, thuật toán giái hệ 2 phương trình bậc nhất hai ẩn, thuật toán giải

phương trình bậc hai

1.2.Những đặc trưng của thuật toán:

SVTH: Mai Thị Thanh Hông II GVHD: TS Lê Văn Phúc

Trang 13

Qui trình giải các bài toản về phép dời hình trong mặt phẳng gắn với việc mở rộng

Khi xem xét các thuật toán, chúng ta có thể rút ra những đặc trưng cơ bản của

thuật toán như sau:

-Tinh tổng quát: thuật toán được xây đựng không phải để giải quyết một bài

toán riêng lẻ ma để giải quyết một lớp các bài toán tương tự nhau

-Tính xác định: toàn bộ các bước của thuật toán cũng như thứ tự các bước nảy

phải được xác định duy nhất Như vậy với cùng một dữ liệu ban đầu, nếu hai người

khác nhau sử dụng cùng một thuật toán sẽ cho ra kết quả như nhau

- Tính kết quả: khi sử dụng thuật toán, sau một số bước hữu hạn nhất định sẽ phải ra kết quả.

Theo tác giả Lê Văn Tiến, các đặc trưng cơ bản nhất của thuật toán theo nghĩa

chặt là:

-Tinh hữu hạn: Số bước cẩn thực hiện, số dữ liệu và cả số thao tác can làm trong mỗi bước đều phải hữu hạn.

-Tinh xác định: Thể hiện ở sự rõ ràng, không mập mờ và thực thi được của các

thao tác cần thực hiện trong mỗi bước

-Tinh đúng đắn: Với dữ liệu vào cho trước, sau một số hữu hạn bước được thực hiện thi thuật toán phải đảm bảo đem lại kết quả và kết quả này là duy nhất.

2.Qui trình tựa thuật toán

2.1.Khái niệm

Trong giải toán chúng ta thường bắt gặp những qui tắc tuy không có đầy đủ

các đặc điểm thuật toán nhưng chúng có những nét gần giống với thuật toán và

những qui tắc này tỏ ra khá hiệu quả trong việc giải toán Những qui tắc nảy được

gọi là qui trình tựa thuật toán.

Theo Phương pháp dạy học môn toán- tác giả Nguyễn Bá Kim định nghĩa:

Qui trình tựa thuật toán được hiểu như một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực

hiện theo một trình tự xác định nhằm biến đổi thông tin vào của một lớp bài toán

thành thông tin ra mô tả lời giải của một lớp bài toán đó.

SVTH: Mai Thị Thanh Héng 12 GVHD: TS Lê Văn Phúc

Trang 14

và khái quát hóa các bài toán vé phép đời hình và ứng dụng thực tiễn

Ở trường pho thông, HS làm quen với một số qui trình như: qui trình giải bài

toán bằng cách lập phương trình, qui trình chứng minh bài toán bằng phương phápqui nạp toán học, qui trình khảo sắt và vẽ đồ thị của hàm số

Qua định nghĩa trên chúng ta có thể thấy thuật toán và qui trình tựa thuật toán

có những nét tương tự và những nét khác biệt nhau Qui trình tựa thuật toán tương tự

như thuật toán bởi vì nó cũng đưa ra các thao tác dé giải quyết một lớp các bai toán.

Tuy nhiên nếu như mỗi bước của thuật toán là một hoạt động cụ thể thì mỗi bước của

qui trình tựa thuật toán chi la một hướng dẫn

Chúng ta xét ví dụ về qui trình chứng minh một bài toán bằng phương pháp

qui nạp toán học:

Để chứng minh mệnh để chứa biến A(n) là mệnh đề đúng với mọi giá trị

nguyên dương n, ta thực hiện 2 bước sau:

Bước |; Chứng minh A(n) là mệnh dé đúng với n = 1

Bước 2: Giả sử A(n) là mệnh dé đúng với n = k với k là số nguyên đương tùy

ý, chứng minh A(n) cũng là mệnh dé đúng với n = k +1

Trong vi dụ trên ở bước 2 không nói rõ chúng ta sẽ chứng minh mệnh dé đúng

giải được bai toán nhưng cũng có HS không giải được bài toán Điều đó không xảy ra

đối với thuật toán bởi vì khi ta thực hiện các bước của thuật toán thì cuối cùng sẽ tìm

ra kết quả

Vì qui trình tựa thuật toán không cụ thể như thuật toán nên nó đòi hỏi HS phải

suy nghĩ và làm quen nhất định Dé hiểu rð hon, chúng ta xét qui trình xác định đoạnvuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a

và b:

Bước 1: Xác định mặt phang (Q) chứa b va

song song với a.

Bước 2: Xác định mặt phẳng (P) chứa a và

vuông góc với (Q) Đường thăng b cắt (P) tại J.

Bước 3: Xác định đường thẳng c đi qua J và vuông góc với (Q) đường thẳng c

cắt đường thẳng a tại I.

SVTH: Mai Thị Thanh Hồng 13 GVHD: TS Lê Van Phúc

Trang 15

Khi đó IJ là đoạn vuông góc chung của a và b.

O qui trình trên các bước xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thingchéo nhau là khá rd rang Tuy nhiên đối với một bai toán cụ thé, HS sẽ gặp một sốkhó khăn như ở bước | phải lam như thế nào để xác định mặt phẳng (P) chứa b và

song song với a? Hay phải lam như thé nao dé xác định giao điểm của mặt phẳng (P)

với đường thing a Rõ ràng lúc đó rat cần tư duy linh hoạt sáng tạo, mềm dẻo của HS.

2.2.Các đặc điểm của qui trình tựa thuật toán:

Theo tác giả Lê Văn Tiến, thuật toán theo nghĩa rộng (ở đây ta hiểu là qui trình

tựa thuật toán) có các đặc điểm sau:

- Mỗi chi dẫn trong một bước có thé chưa mô tả một cách xác định hành động

cần thực hiện

- Có thé có những bước không thực thi được.

- Kết quả thực hiện mỗi bước có thé không duy nhất (không đơn trị)

- Việc thực hiện hết một dãy hữu han các bước không đảm bảo chắc chắn dem

lại kết quả

Như vậy,một qui trình tựa thuật toán bao gồm một dãy hữu hạn các bước sắp

xếp theo một trình tự xác định Mỗi bước là một hoạt động nhằm một mục đích cụ thể, có bước là một thao tác sơ cấp, có bước chỉ là gợi ý định hướng suy nghĩ Thực

hiện xong tất cả các bước cùng với sự mềm déo, linh hoạt của tư duy thì bài toán sẽđược giải quyết

3.Méi quan hệ giữa thuật toán và qui trình tựa thuật toán:

Chúng ta đã xem xét khái niệm thuật toán, qui trình tựa thuật toán cũng như sự

giống nhau va khác nhau giữa chúng Một câu hỏi được đặt ra la : “Néu chúng ta có một qui trình, từ qui trình đó liệu chúng ta có thể phát triển thành một thuật toán hay

khéng?"Dé có câu trả lời cho câu hỏi trên chúng ta xét các ví dụ sau

Diu tiên, chúng ta quay trở lại ví dụ về phương pháp qui nạp toán học qua việc

áp dụng phương pháp trên cho 2 bai toán cụ thẻ sau.

Bài toán 1:

SVTH: Mai Thị Thanh Hong 14 GVHD: TS Lê Văn Phúc

Trang 16

và khdi quát hóa các bài toán vẻ phép đời hình và ứng dụng thực tiễn

Như vay (1) đúng với n =1

*Giả sử (1) đúng với n =k, Vee M", tức là

Trang 17

Vậy U,: 5 VneM'.

Qua bài toán trên ta thấy ở mỗi bài cách chứng minh ở bước 2 là hoàn toànkhác nhau.Chúng ta không thể xây dựng thuật toán cụ thé cho qui trình chứng minh

bài toán bằng phương pháp qui nạp toán học.

Tuy nhiên, trong một số trường hợp qui trình tựa thuật toán có thẻ phát triển

thành thuật toán như ví dụ sau.

Bài toán

Cho đường thăng d: ax + by +c = 0 và điểm 4(x„:y,) Tim tọa độ điểm A’ đối

xứng A qua đường thăng d

Đây là dạng toán tìm tọa độ điểm đối xứng của một điểm qua một đường thẳng

cho trước Với dạng toán này ta có qui trình giải như sau:

Bước 1: Xác định toa độ hình chiếu H của A lên d.

Bước 2: Tim A’ sao cho H là trung điểm AA’

Cụ thể hơn, chúng ta có thuật toán đẻ giải bải toán này là:

Bước 1: Viết phương trình đường thẳng d’ qua A và nhận „ =(~ð;a) làm vecto

II VAN DE PHÁT TRIÊN TƯ DUY THUẬT TOÁN Ở TRUONG PHO THONG

I Khái niệm tư duy thuật toán:

Tư duy thuật toán là cách suy nghĩ để giải quyết một loại công việc nào đó

theo một trình tự nhất định

SVTH: Mai Thị Thanh Hong ló GVHD: TS Lê Văn Phúc

Trang 18

và khái quát hóa các bài toán về phép đời hình và ứng dụng thực tiên

2.Sự cần thiết của việc phát triển của tư duy thuật toán:

Từ xưa đến nay, phát hiện vả xây dựng thuật toán là một van đề quan trong

không chi trong toán học mà cả trong cuộc sống Thậm chí có khi xây dựng được thuật toán rồi, người ta vẫn luôn cố gắng cải tiến thuật toán đó nhằm tìm kiếm những

thuật toán tối ưu nhất Trong nhà trường THPT hiện nay, dạy học các algorit giải toán

là can thiết bởi những lí do sau đây:

Xã hội ngày càng phát triển, nền sản xuất đang tiến din đến quá trình tự động

hóa mọi công việc của con người dan dần chuyển giao cho máy móc thực hiện Việc

day học theo kiểu thuật toán sẽ giúp HS hiểu rd nền tảng của việc tự động hóa là máy

móc chỉ có thể thực hiện theo một thuật toán ma con người lập trình sẵn.Tư duy thuật

toán đặc biệt quan trọng trong lĩnh vực công nghệ thông tin, bởi lẽ trong kĩ thuật lập

trình thi bao giờ ý tưởng xây dựng thuật toán là khâu quan trọng nhắt.

Phát triển tư duy thuật toán đồng thời góp phần phát triển năng lực trí tuệ như

phân tích, tổng hợp, khái quát hóa Những năng lực trí tuệ này giúp HS học tết môn

toán cũng như các môn học khác Ngoài ra, những năng lực trí tuệ này cũng rất cần

thiết dé giải quyết các vấn dé trong cuộc sống

Hơn nữa, giải toán theo kiểu thuật toán còn góp phần rèn luyện cho HS những phẩm chất của người lao động mới như ngăn nắp, cần thận, chính xác, làm việc theo

kế hoạch

3.Phương hướng phát triển tư duy thuật toán ở HS:

Ở phan trên chúng ta đã làm rõ sự cần thiết trong việc phát triển tư duy thuậttoán cho HS Vì vậy, người thầy giáo cin ý thức thông qua việc dạy học phải rèn

luyện cho HS phương thức tư duy thuật toán.

Tư duy thuật toán liên hệ chặt chẽ với khái niệm thuật toán Phương thức tư

duy này thé hiện ở 5 khả năng sau:

i Thue hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một

thuật toán cho trước.

ii Phan tích một hoạt động thanh những thao tác thành phần được thực

hiện theo một trình tự xác định.

SVTH- Mai Thị Thanh Hong 17 GVHD: TS Lé Van Phic

Trang 19

và khái quát hóa các bài toán vê phép đời hình và ứng dụng thực tiên

iii, Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động

iv Khai quát hóa một hoạt động trên những đối tượng riêng lẻ thành một

hoạt động trên một lớp đối tượng

v So sánh những thuật toán khác nhau củng thực hiện một công việc và

phát hiện thuật toán tối ưu.

Thành phan thứ i thể hiện ở khả năng thực hiện thuật toán Bốn thành phan còn

lai thể hiện kha năng xây dựng thuật toán Ở trường phd thông, HS chủ yếu được rèn

luyện ở khả năng thứ ¡ nghĩa là thầy giáo sẽ cung cấp thuật toán, HS làm toán theo

các thuật toán đã có sẵn Điều đó lam cho nhiều người có suy nghĩ rằng HS thực hiệnthuật toán một cách rập khuôn máy móc Cách đạy và học theo kiểu thuật toán làm

mắt khả năng tư duy sáng tạo của HS Vì vậy khi dạy học các thuật toán người thầy

giáo cần có sự khéo léo nhất định thông qua từng nội dung cụ thể mà rèn luyện cho

HS năm khả năng của phương thức tư duy thuật toán.

Khả năng i:

Dé HS có thé thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với

một thuật toán cho trước, giáo viên có thé cung cấp thuật toán cho | số dang toán có

phương pháp giải như giải và biện luận phương trình bậc hai, giải và biện luận hệ hai

phương trình bậc nhất hai ân Thuật toán đó có thể cho theo ngôn ngữ tự nhiên hoặc

theo sơ đồ Kèm theo thuật toán đó là một số bài tập tương tự để HS vận dụng.

Ví dụ như thuật toán giải phương trình bậc 2 có thể cho ở ngôn ngữ tự nhiên

như sau:

Bước |: Tính A = b’-4ac

Bước 2;

Nếu A<0 thì phương trình vô nghiệm.

Nếu A=0 thì phương trình có nghiệm kép x, =x, = =

Trang 20

Qui trình giải các bài todn về phép đời hình trong mặt phẳng gan với việc mở rộng

và khải quát hóa các bài toán về phép đời hình và ứng dụng thực tiễn

Hoặc dưới dạng sơ dé:

Kèm theo thuật toán trên là các bai tập để HS áp dụng

Chúng ta cần lưu ý là phải tập luyện cho HS thực hiện tốt những thao tác trongthuật toán bởi vì nếu HS không biết thực hiện các thao tác đó thì dù HS có học thuộc

thuật toán thì cũng không thể giải được bài toán Ví dụ khi giải phương trình bậc 2

HS phải có kiến thức về các phép tính trên cá

trong tính A và tính nghiệm. Tryang II? THAI ( Sự-Dhm

¡ở HỖ-On!9 tạm

SVTH: Mai Thị Thanh Hồng 19 GVHD: TS Lê Van Phúc

Trang 21

Qui trình giải các bài toán về ệ phép đời hình trong mặt phằng gắn với việc mở rộng

và khái quát hóa các bài toán vé phép dời hình và ứng dụng thực tiễn

Khả năng ii: Bên cạnh đó giáo viên cần phải rèn luyện cho HS thói quen phân

tích một hoạt động thành những thao tác thành phần được thực hiện theo một trình tự

xác định Ví dụ như khi tìm giao điểm giữa đường thẳng d và mặt phẳng (a) HS sẽ

phân tích thành các hoạt động như sau:

Bước |: Tìm mặt phẳng (B) chứa d.

Bước 2: Tim giao tuyển d’ giữa (a) và ()

Bước 3: Tìm giao điểm M của d và d’ M chính là giao điểm của d vả (a).

Khi gặp | bài toán cụ thể có thể có những bước mà kết quả đã có sẵn thi chúng

ta có thể bỏ qua bước đó Tuy nhiên định hướng ban đầu chúng ta phải làm gì và trình

tự các bước thực hiện là khâu quan trọng không thể bỏ qua

Khả năng iii: Để rèn luyện cho HS mô tả chính xác quá trình tiến hành một

hoạt động giáo viên có thể yêu cầu HS phát biểu thuật toán bằng ngôn ngữ của HS

Đồng thời giáo viên phải kiểm tra xem HS phát biểu có chính xác hay không, cần uốnnắn ở những điểm nao, từ đó rút ra cho HS những phát biểu chính xác của chính HS

Vi dụ: Giáo viên có thé cho HS phát biểu cách viết phương trình tiếp tuyến của

đường cong (C): y=f{x) tại điểm M e (C) có hoanh độ xo:

Bước |: Tinh f(xạ) Bước 2: Tính f(x)

Bước 3: Tinh f(x)

Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến:

y - YorP (Xo) (x - Xo)Bước 5: Kết luận

Khả năng iv: Để rèn luyện cho HS khái quát hóa một hoạt động trên những đối

tượng riêng lẻ thành một hoạt động trên một lớp đối tượng giáo viên có thể hướng dẫn HS di từ giải các bài toán cụ thể sang giải các bai toán tông quát.

Vi dụ: Từ việc giải phương trình 3sinx + 4cosx “5 sang giải phương trình tổng

quát asinx + bcosx =c Từ việc giải phương trình |x+2|=x+1 sang giải phương trình

Trang 22

đánh giá các thuật toán dựa trên các ưu điểm và khuyết điểm của nó từ đó rút ra thuật

toán tối ưu Đây là một yêu cầu khó, đòi hỏi quá trình tổng hợp và đánh giá của HS

do đó giáo viên phải hướng dẫn HS phát hiện những ưu điểm và khuyết điểm của

Trong toán học, thuật toán có | vị trí và ý nghĩa sâu sắc va quan trọng Nhờ có

thuật toán mà HS có thể giải được những bài toán tương tự nhau nhìn thấy sự tổng

quất vả ghi nhớ phương pháp một cách toàn diện, việc truyền thụ ti thức của giáo

viên trở nên có hệ thống Học tập với thuật toán giúp người học rèn luyện đức tính

cân thận, ngăn nắp, phát triển năng lực trí tuệ như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa

hình thành những kỹ năng kỹ xảo linh hoạt nhạy bén nhằm giải quyết những tình

huống trong học tap và trong cuộc sống

Trong chương trình toán Phổ thông trung học có nhiều đạng toán có phươngpháp giải nhất định hoặc có thể nêu trình tự các bước giải, đặc biệt phần bài tập phép

biến hình đòi hỏi tư duy logic cao va các dạng toán này thường gắn liền với những

qui trình nhất định Vì vậy với các bài toán về phép biến hình người giáo viên cần

hướng dẫn cho HS biết cách xây dựng các qui trình để có thể giải quyết các bài tập

một cách dé dàng.

Trang 23

và khái quát hóa các bài toán về phép dời hình và ứng dung thực tiễn

NỘI DUNG PHÉP DOI HINH

Ở TRƯỜNG PHO THONG TRUNG HỌC

Khi phân tích SGK, chúng tôi chọn sách Hình hoc 1 1- ban nâng cao của nhóm

tác gid Doan Quynh, Văn Nhu Cương, Phạm Khắc Ban, Tạ Man Đồng thời, chúng

tôi cũng so sánh với SGK Hinh học 1 I- ban cơ bản của nhóm tác giả Tran Văn Hạo,

Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn Ha Thanh, Phan Văn Viện va sách Hìnhhọc 10, sách chính lí hợp nhất năm 2000 của nhóm tác giả Văn Như Cương, Phan

Văn Viện.

IL.HỆ THONG LÍ THUYET:

Hiện nay, phần các phép biến hình trong mặt phẳng được trình bày ở chuong |

SGK hình học 11 còn ở chương trình cũ, phần này được trình bày ở chương 3 hình

học 10 Nhìn tổng thể, SGK trình bày nội dung phép biến hình trong mặt phẳng như

Sau:

Phép đổ: x#ng Hunt

Trang 24

Qui trình giải các bài toán về phép dai hình trong mặt phẳng gan với việc mở rộng

và khái quát hóa các bài toán về phép dời hình và ứng dụng thực tiên

Trong đó, phần phép dời hình được trình bày theo thứ tự:

Mỡ đầu phép biến hình -> Phép tịnh tiến và phép dời hình -—› Phép đối xứng trục

— Phép quay và phép đối xứng tâm -> Hai hình bằng nhau

Trong khi đó, SGK — ban cơ bản trình bày theo thứ tự:

Phép biến hình -› Phép tịnh tiến ->Phép đối xứng trục ->Phép đối xứng tâm

-> Phép quay -> Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau

SGK chỉnh lí hợp nhất năm 2000 trình bày theo thứ tự:

Phép đối xứng trục > Phép đối xứng tâm -> Phép tịnh tiến > Phép đời hình

Chúng ta có thé thấy rằng SGK - ban nâng cao trình bày nội dung phép dời

hình theo lối diễn địch còn hai bộ sách còn lại thì trình bày theo lối quy nạp Đầu tiên,

SGK đưa ra định nghĩa tông quát về phép biến hình sau đó nghiên cứu cụ thé mộtphép biến hình là phép tịnh tiến Từ những tính chất của phép tịnh tiền đặc biệt là tính

bảo toàn khoảng cách, SGK khái quát lên thành tính chất của phép dời hình và giới thiệu phép dời hình Sau đó, SGK giới thiệu lan lượt các phép đời hình còn lại.

Theo chúng tôi, cách trình bày của SGK là hợp lí Cách trình bày này giúp HS tiếp cận kiến thức một cách tự nhiên đồng thời rèn luyện HS thao tác tư duy khái quát

hoá, cụ thể hóa Bên cạnh đó, cách trình bày này không gây cảm giác nhàm chán cho

HS.

Tat nhiên, để phù hợp với trình độ của HS, SGK không thé trình bày một lí thuyếtđầy đủ về phép dời hình Mục đích của chương là nêu ra một số phép đời hình nhằm

giúp HS có hiểu biết bước đầu Các phép đó có liên quan đến hình ảnh quen thuộc

trong cuộc sống như hình có trục đối xứng, hình có tâm đối xứng, các hình ứng với

nhau qua phép tịnh tiến, phép quay

1.Mỡ đầu về phép biến hình Với mục tiêu làm cho HS hiểu được khái niệm về phép biến hình tương tự như

khái niệm ham sé trên tập R, đồng thời làm quen với những thuật ngữ sau này hay sử

dụng.

SƯTH: Mai Thị Thanh Hồng 23 GVHD; TS Lê Văn Phúc

Trang 25

Qui trinh giải các bài toản về é phép đời hình trong mặt phẳng gắn với việc mở rộng

Dựa trên khái niệm ham số đã học ở Đại số, SGK dẫn dat vào phép biến hình

bằng cách cho HS thay "số thực” bang “điểm thuộc mặt phăng”.Sau đó, SGK đưa rađịnh nghĩa về phép biến hình

Phép biến hình ( trong mặt phẳng) là một quy tắc dé với mỗi điểm M thuộc

mặt phẳng xác định được một điểm duy nhất M' thuộc mặt phẳng ấy Điểm M' gọi là

ảnh của điểm M qua phép biến hình đó

Ta thấy, quan hệ hàm thé hiện rõ ràng trong nội dung định nghĩa phép biến

hình Phép biến hình là một quan hệ ham nhưng không phải ham số Cách SGK xây

dựng khái niệm cũng giúp HS có sự so sánh 2 khái niệm này Bên cạnh đó, phép biến hình cũng giúp HS nhận biết mối quan hệ hình học mới giữa các hình hình học: quan

hệ ánh xạ trên tập hợp các điểm thuộc mặt phẳng Giờ đây, HS nhìn nhận một hình là

tập hợp điểm Cách nhìn nhận này gây không ít bỡ ngỡ cho HS khi nghiên cứu phép

biến hình.

Sau định nghĩa về phép biến hình, SGK đưa ra 3 ví dụ về phép biển hình.Ví dụ

| là phép chiếu vuông góc lên đường thằng Vi dụ 2 là phép tịnh tiến theo u Ví dụ 3

là ví dụ về phép đồng nhất, Cách đưa ví dụ trong SGK là có dụng ý Với ví dy 1 làtrường hợp quen thuộc mà HS đã gặp rất nhiều ở các lớp dưới, giờ đây HS nhìn nhậnlại phép chiếu này dưới quan niệm phép biến hình Ví dụ 2 là ví dụ mở đầu để HS họctiếp về phép tịnh tiến Ví dụ 3 là phép biến hình đặc biệt : phép đồng nhất

Tiếp theo, SGK đưa ra kí hiệu và thuật ngữ ảnh của điểm và ảnh của hình quaphép biến hình

Cuối cùng, SGK thiết kế 2 hoạt động để HS xác định ảnh của một hình quaphép chiếu và phép tịnh tiến (2 phép biến hình này đã xét ở ví đụ trên)

1) Häy về một đường tròn va một đường thẳng d rồi vé ảnh của đường tròn

qua phép chiếu trên d.

Để xác định ảnh của đường tròn, HS có thế xác định ảnh của vải điểm thuộcđường tron rồi từ đó suy ra ảnh của cả đường tron là đoạn thẳng A`B' (hình vẽ)

SVTH- Mai Thị Thanh Hồng 24 GVHD: TS Lê Văn Phúc

Trang 26

Qui trình giải các bài toán vẻ phép đời hình trong mặt phằng gắn với việc mở rộng

2) Hãy vẽ một véctơ uv và một tam giác ABC rồi lần lượt vẽ ảnh A', B', C'

của các đỉnh A, B,C qua phép tịnh tiển qua véctơ uw Có nhận xét gì về hai tam giác

ABC và A'B'C'?

Qua hoạt động này, HS sẽ nhận thay 3 điểm A’, B', C’ tạo thành một tam giác

và có nhận xét AABC = AA'B'C' và hai tam giác này có các cạnh song song hoặc

trùng nhau Đây là một hoạt động nhằm củng cé định nghĩa phép biến hình và là nền

tảng để HS học tiếp bải phép tịnh tiến

Nhìn chung, cách trình bày trong SGK đã đáp ứng yêu cầu giúp HS hiểu đượckhái niệm phép biến hình và so sánh được với khái niệm hàm số Tuy nhiên, SGK lại

không đưa ra một ví dụ hoặc hoạt động nào về phép đặt tương ứng mà không phải

phép biến hình Trong khi đó, SGK - ban cơ bản có hoạt động như sau:

Cho số a dương, với mỗi điểm M trong mặt phẳng, gọi M' là điểm sao cho

MM'= a Qui tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M' nêu trên có phải là phép biến

hình hay không?

2.Puép tịnh tiến và phép dời hình

Qua bài này, SGK hướng đến mục tiêu giúp HS

Nắm được định nghĩa và các tính chất của phép tịnh tiến, biết cách dựng ảnh

của một số hình đơn giản qua phép tịnh tiền

Biết áp dụng phép tịnh tiến để tìm lời giải của một sé bài toán.

Trang 27

Qui trình giải các bài toản về ề phép đời hình trong mặt phẳng gắn với việc mở rộng

và khái quát hóa các bài toán về phép dời hình và ứng dung thực tiễn

Nắm được định nghĩa tổng quát của phép đời hình (mà phép tịnh tiến là trườnghợp riêng) và các tính chất cơ bản của phép dời hình,

Vì phép tịnh tiến đã đưa vao ví dụ 2 của bài 1 nên phần này SGK chi nhắc lại

định nghĩa của phép tịnh tiến

Phép tịnh tiễn theo vectơ u là phép biển hình biến điểm M thành điểm M' sao cho

MM'=u

Ki hiệu phép tịnh tiễn theo vectơ w là T hoặc 7 .Vectơ z là vectơ tịnh tiến

SGK đưa ra câu hỏi “Phép đồng nhất có phải là phép tịnh tiến không?" nhằm củng cố khái niệm phép tịnh tiến cho HS Tuy nhiên, SGK lại không đưa hình ảnh

nào về phép tịnh tiến cho HS quan sát Điều đỏ sẽ làm HS không có cái nhìn trực

quan vẻ phép tịnh tiễn, HS hiểu định nghĩa một cách hình thức.

Qua phần tinh chất của phép tịnh tiến, SGK đưa ra hoạt động | như sau:

Giả sử phép tịnh tiến theo vectơ w biến 2 điểm M, N lần lượt thành 2 điểm M', N'.Có

nhận xét gì về 2 vectơ MN và M"X" ? So sánh độ dài 2 vecto đó.

Có thể nói hoạt động | là hoạt động hay Hoạt động này giúp HS củng cố lại

khái niệm phép tịnh tiến, biết cách xác định ảnh của một điểm qua phép tịnh tiến, và nhận xét MN = M`N'( bảo toàn khoảng cách) sẽ dẫn dắt HS đến định lí 1:

Phép tịnh tiến không làm thay đổi khoảng cách của 2 điểm bat kì

Định lí 2

Phép tịnh tiến biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm

thay đôi thứ tự 3 điểm đó.

Hé quả

Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thăng thành đoạn thắng, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính, biến góc thành góc bằng nó.

Định lí 2 và hệ qua có thể chứng minh được bằng phương pháp vectơ tuy

nhiên SGK trình bay cách chứng minh chỉ dựa vào tinh chất “khong làm thay đôi

khoảng cách giữa 2 điểm bat kì" Sở dĩ SGK làm như vậy để suy ra phép đời hìnhcũng có tính chất trên

Trang 28

Qui trình giải các bài toán về Ẻ phép đời hình trong mặt phẳng gắn với việc mở rộng

và khái quát hóa các bài toản về phép đời hình và ứng dụng thực tiên

Phan ké tiếp, SGK đưa ra biểu thức toa độ của phép tịnh tiến Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho phép tịnh tiễn theo vectơ u.Toa độ của

ư là (a; b).Giả sử điểm M(x ;y) biến thành M’(x’; y`)

Khi đó ta cỏ Herpes

y=yr+b

Phan nay SGK đưa ra yêu cau HS giải thích tại sao có công thức trên?

Sau này khi học các phép dời hình khác, SGK đều đưa ra biểu thức toạ độ So

sánh với SGK chỉnh lí hợp nhất năm 2000, việc đưa biểu thức toạ độ vào việc học

phép đời hình là một nét khác biệt Việc đưa biểu thức toa độ vào phép biến hình dem

lại một số lợi ích:

- Minh hoạ làm rõ quan điểm hàm trong định nghĩa phép biến hình.

- Làm rõ quan điểm xem 1 đối tượng hình học là tập hợp điểm

- Ung dụng phương pháp toa độ dé giải bài toán hình học

Một điểm cần lưu ý là nếu chúng ta quá chú trọng vào biểu thức tọa độ, HS

học thuộc công thức rồi áp dụng vào tính toán thì sẽ làm mắt đi ý nghĩa của việc đưa

biểu thức toa độ vao phép biến hình Khi đó học phép biến hình không khác gì so với

học hình học giải tích.

Ké tiếp SGK đưa ra 2 bai toản ứng dụng của phép tịnh tiễn

Bài toán 1

Cho 2 điểm B.C cổ định trên đường tròn (O; R) và điểm A thay đổi trên đường

tròn đó Chứng minh rằng trực tâm của tam giác ABC nằm trên một đuờng tròn cố

định.

SVTH: Mai Thị Thanh Hàng 27 GVHD: TS Lê Văn Phúc

Trang 29

Đây là bài toán khả phé biến trong phần phép dời hình Có nhiều cách để giải

quyết bài toán nay trong đó dùng phép tịnh tiễn là một trong những cách đó Qua bài

đối xứng trục, đối xứng tâm chúng ta sẽ gặp lại bài toán này một lần nữa Qua bàinày, HS sẽ tiếp cận với cách sử dụng các phép biến hình để tim qui tích

Bài toán 2 là bai toán thực tế khá hay.

Hai thôn nằm ở hai vị trí A và B cách nhau một con sông ( xem hai bờ sông là

hai đường thăng song song) Người ta dự định xây một chiếc cầu MN bắc qua sông

(cô nhiên câu phải vuông góc với bờ sông) và làm hai đoạn đường thẳng từ A đến M

và từ B đến N Hãy xác định vị trí chiếc cầu sao cho AM + BN ngắn nhất

Dé giải bài toán này, SGK đưa ra 2 hoạt động:

Hoạt động 1: giải bai toán trong trường hợp đặc biệt: con sông hẹp đến mức

hai bờ sông a b xem như trùng nhau.

Hoạt động 2: giải bài toán trong trường hợp tông quát bằng cách dùng phéptịnh tiễn theo | vectơ MN để a trùng b

Trang 30

và khái quát hóa các bài toán về phép dời hình và ứng dung thực tiên

Bai toán thực tế khá hap din đối với HS HS sẽ cảm thấy hứng thú khi vận

dụng những kiến thức vừa học dé giải bài toán này Các hoạt động dẫn dắt khá hay vì

đã giúp HS rèn luyện thao tác tư duy đặc biệt hoá (trường hợp 2 bờ sông hẹp) và khái

quát hoá.

Cuối cùng, SGK đưa ra định nghĩa phép dời hình và các tinh chat của phép dời

hình Phần này chỉ là khái quát của các tính chất của phép tịnh tiến nên không có hoạt

động nảo cho HS.

Nhin chung, cách trình bay của SGK đáp ứng yêu cầu để ban đầu.Tuy nhiên,

phân rèn luyện kĩ năng xác định ảnh của | hình qua phép tịnh tiến còn hạn chế SGKhình học 1 1- ban nâng cao không có hoạt động nao để rèn luyện kĩ nang này trong lúc

SGK hình học 11- ban cơ bản có hoạt động xác định ảnh của đường thắng, tam giác,

đường tròn qua phép tịnh tiến.

3.Phép đối xứng trục:

Phép đối xứng trục có vai trò đặc biệt quan trọng bởi lẽ mọi phép đời hình đều

là hợp thành của nhiều nhất 3 phép đối xứng trục Phép đối xứng trục có tính chất khác với phép tịnh tiến và phép quay Đó là phép đối xứng trục là “đổi hướng” của

mặt phẳng nhưng do các tính chất này khá trừu tượng đối với HS phổ thông nên SGK

chỉ đừng lại ở việc giới thiệu định nghĩa phép đối xứng trục, chứng minh phép đối

xứng trục là phép đời hình và các bài tập áp dụng.

Qua bài này, mục tiéu đặt ra là giúp HS

Nắm được định nghĩa phép đối xứng trục và biết rằng phép đối xứng trục là 1

phép dời hình, do đó có các tính chất của phép dời hình

Biết cách dựng ảnh của một số hình đơn giản (đoạn thẳng, đường thẳng, tam

giác, đa giác, đường tròn ) qua phép đối xứng trục.

Nhận biết những hình đơn giản có trục đối xứng vả xác định trục đối xứng của

hình đó.

Biết áp dụng phép đối xứng trục đẻ tìm lời giải của một số bải toán.

Đề đưa vào định nghĩa phép đối xứng trục, SGK xuất phát từ bài toán: dựngđiểm M'" đối xứng M qua đường thẳng a Muốn đựng điểm M' ta xét 2 trường hợp: M

Trang 31

Qui trình giải các bài toán vê ` phép đời hình trong mặt phẳng gắn với việc mở rộng

thuộc a và M không thuộc a Cách dựng M' HS đã biết từ lớp 8 Từ phép dựng trên,

HS rút ra kết luận là ứng với mỗi điểm M cho trước luôn dựng được một và chỉ một

điểm M'

Sau đó, SGK đưa ra định nghĩa phép đối xứng trục

Phép đối xứng qua đường thăng a là phép biển hình bién mỗi điểm M thành

M' đối xửng M qua a

Đây cũng là cách xây dựng khái niệm ở hai sách hình học 11- ban cơ bản va

sách hình học 10 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 Với cách xây dựng nảy, HS sẽ thấy rõ

"tương ứng hàm” nêu ra trong định nghĩa.

Sau đó, SGK đưa ra ki hiệu và thuật ngữ:

Phép đổi xứng qua đường thăng a: Ð, (phép đối xứng trục ) Đường thẳng a : trụccủa phép doi xứng ( trục doi xứng)

Dé HS nắm vững khái niệm, SGK đưa ra 2 câu hỏi

?1 Qua phép đối xứng trục D,, những điểm nào biến thành chính nó?

?2 Nếu phép đối xứng trục Ð, biến điểm M thành điểm M' thì nó biến điểm M' thànhđiểm nao? Nếu nó biến hình H thành H' thì nó biến H" thành hình nào?

Câu hỏi | nhằm giúp HS nhận thấy phép đối xứng trục có những điểm bắt biến

là những điểm thuộc trục đối xứng Mở rộng hơn, HS thé thấy đường thăng bat biển

là trục đối xứng và những đường thẳng vuông góc với trục đối xứng, đường tròn bat

biến là những đường tròn có tâm nằm trên trục đối xứng

Câu hỏi 2 thực chất là muốn nói đến tính đối hợp của phép đối xứng trục (cỏnghĩa là thực hiện liên tiếp 2 phép đối xứng trục sẽ được phép đồng nhất).Tuy nhiên

tích hai phép biến hình không được để cập đến trong chương trình học mà nó chỉđược nhắc đến dưới dạng ngầm là thực hiện liên tiếp 2 phép biến hình Câu hỏi 2 chỉ

dừng lại ở mức độ trực quan, HS quan sát thực tế và trả lời

Bai phép đối xứng trục có một định lí duy nhấtPhép đổi xứng trục là phép dời hình

Dé chứng minh định lý nảy sách giáo khoa thiết kế hoạt động sau: Giả sử Ð, là

phép đối xửng qua đường thing a Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy ma Ox là đường thẳng

Trang 32

và khái quát hóa các bài toán về phép đời hình và img dụng thực tiễn

a, Lấy hai điểm tùy ý A(xa;yA) và B(xạ;yạ), hãy viết toa

độ của A'= D,(A) và B' = D,(B) rồi dùng công thức tinh

khoảng cách dé chứng minh A'B' = AB

SGK thiết kế hoạt động để HS chứng minh định lítrên bằng phương pháp tọa độ Đó là lợi the của việc đưa

biểu thức toạ độ vào trong phép biến hình Bài toán

chứng minh trở nên để hiểu hơn đối với HS vì HS có cải

nhìn trực quan hơn thông qua hệ trục toạ độ Với hoạt động chứng minh định lí trên,

SGK đưa ra biếu thức toạ độ của phép đối xứng qua trục Ox một cách hết sức tự

nhiên Và biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Oy là nội dung ?3 trong SGK.

HS dễ dang trả lời HS đã được học ở chương vectơ hình học 10

Bởi vì phép đối xứng trục là phép dời hình nên phép đối xứng trục có đây đủ

tính chất của phép dời hình.

Kế tiếp là phần xác định trục đối xứng của một hinh.phan này theo chúng tôi

thì SGK trình bày khá sinh động với việc cho HS xác định trục đối xứng của một số

chữ cái và hình ảnh đơn giản cũng như cách để HS tự tạo ra một số hình có trục đối

xứng So với sách hình học 10 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 thi phần này ở SGK mớihay hơn và gần gũi với thực tế hơn Phần xác định trục đối xứng của một hình gópphần khắc sâu hơn khái niệm phép đối xứng trục

Phần cuối cùng là bài toán thực tế từ sự mô hình hóa bài toán: Cho đường

thẳng d và 2 điểm A, B nằm về một phía của d Tìm trên d một điểm M sao cho AM

+ BM đạt giá trị nhỏ nhất

SGK đưa ra bài toán thực tế như sau:

SVTH: Mai Thị Thanh Hong 31 GVHD: TS, Lê Van Phúc

Trang 33

Qui trình giải các bài toán vé phép đời hình trong mặt phẳng gắn với việc mở rộng

Người ta tổ chức một cuộc thi trên bãi biển với điều kiện sau: Các vận động

viên xuất phát từ địa điểm A và đích là địa điểm B, nhưng trước khi đến B phải

nhúng mình vào nước biển ( ta giả sử là mép nước biển là đường thẳng).

SGK pnân tích : Dé chiến thắng trong cuộc chạy dua này, ngoài tốc độ chạy, còn có một yêu tô quan trọng nữa là vận động viên phải xác định vị trí M ở mép nước

mà mình phải chạy từ A đến nhúng mình vào nước biển, rôi từ đó chạy đến B sao cho

quang đường phải chạy là ngắn nhất.

SGK cơ bản không có bài toán nảy còn sách chỉnh lí hợp nhất năm 2000 thì

chỉ đưa ra bài toán toán học thuần tuý.

Để giải bài toán trên, SGK đưa ra gợi ý giải trường hợp A, B nằm về hai phíacủa đường thẳng d, như vậy bải toán được giải một cách dễ dàng Sau đó trở về bài

toán trên, SGK gợi ý dùng phép đối xứng trục dé giải bài toán.

Các hoạt động để giải bài toán được thiết kế hợp li Từ các hoạt động này HS

có thể áp dụng cách làm để giải một lớp các bài toán tương tự

Cũng giống như bài phép tịnh tiến, bài này SGK không đưa ra hoạt động nào

để HS xác định ảnh của một hình qua phép đối xứng trục

4.Phép quay và phép đối xứng tâm

Mục tiêu của bài này là làm cho HS

Hiểu được định nghĩa của phép quay, phải biết góc quay lả góc lượng giác.

Biết rằng phép quay là phép đời hình, biết dựng ảnh của những hình đơn giản qua

phép quay cho trước.

Hiểu được phép đối xứng tâm là trường hợp đặc biệt của phép quay Nhận biết

được những hinh có tâm đối xứng.

Biết áp dụng phép quay, phép đối xứng tâm vao một số bai toán đơn giản

SVTH: Mai Thị Thanh Hồng 32 GVHD: TS Lé Văn Phúc

Trang 34

và khái quát hóa các bài todn vê phép dời hình và ứng dụng thực tiên

SGK hình học 11 - ban nâng cao trình bày bai này theo bố cục: giới thiệu phép

quay và các tính chất, sau đó trình bảy phép đối xứng tâm như là trường hợp đặc biệtcủa phép quay Trong khi đó, SGK hình học 11 — ban cơ bản trình bày phép đối xứngtâm trước, phép quay sau và không nhắc đến phép đối xứng tâm là trường hợp đặc

biệt của phép quay.

Theo cách trình bày của SGK hình học 1 1- ban nâng cao, khi ta đã chứng minh

phép đổi xứng tâm là một phép quay thì hiển nhiên nó sẽ có day đủ tính chất của phép

quay.

SGK hình học 10 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 trình bày định nghĩa phép quay

theo cách "thực hiện liên tiếp "` 2 phép đối xứng trục với 2 trục đối xứng cắt nhau (Ở

đây SGK tránh dùng tích 2 phép biến hình vì HS chưa được học tích ánh xạ)

Cách trình bày định nghĩa phép quay qua phép đối xứng trục sẽ làm HS không

hiểu được bản chất của phép quay vì ngay ở bản thân định nghĩa không diễn tả góc

quay.

Trong bộ SGK mới, ở Đại số 10 HS đã học về “góc lượng giác” và hệ thức

Charles Vì thế SGK đưa ra định nghĩa phép quay như sau:

Trong mặt phẳng cho điểm O có định và góc lượng giác g không đổi Phép

bién hình biến O thành O, biến mỗi điểm M khác O thành M’ sao cho OM =OM' và

(OM OM')= ọ được gọi là phép quay tâm O góc quay 9

Kihiệu Qo»

Ở định nghĩa nay ta can lưu ý góc quay là góc lượng giác Như vậy phép quay

tâm O với góc quay @+2z cũng là phép quay có tâm O với góc quayœ Việc sử

dụng góc lượng giác làm cho HS thấy được mối quan hệ giữa đại số và hình học đồng thời thấy được sự thông nhất của toán học.

Sau đó, SGK đưa ra định lí

Phép quay là phép dời hình

Với định nghĩa trên, việc chứng minh định lí tro nên dé dang hơn nhiều khi

chúng ta sử dụng hệ thức Charles để chứng minh các góc bằng nhau.

SVTH: Mai Thị Thanh Hong 33 GVHD: TS Lê Van Phúc

Trang 35

Qui trình giải các bài toản vẻ ; phép đời hình trong mặt phẳng gắn với việc mở rộng

Ta biết, tích 2 phép đối xứng trục với trục cắt nhau là phép quay quanh giao điểm của hai trục Ngược lại mọi phép quay đều có thé phân tích được thành tích 2 phép đối xứng trục có trục cắt nhau bằng vô số cách.

SGK không trình bày về phần nay nhưng trong sách bài tập có nhiều bài tập lí

thuyết yêu cầu chứng minh tính chất này, HS có thể tham khảo thêm.

Dé giúp HS hiểu rõ hơn định nghĩa của phép quay đặc biệt là phần góc quay,

SGK đưa ra hoạt động.

Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O Hãy chỉ ra một số phép quay bién ngũ giác

thành chính no,

Từ lưu ý “phép quay tâm O với góc quay øcũng là phép quay có tắm O với

góc quay @+k2z ", HS có thé liệt kê ra các phép quay thoả man yêu cau bài toán.

SGK giới thiệu phép đối xứng tâm là phép quay đặc biệt : phép quay với góc

quay z Bên cạnh đó, SGK còn đưa ra định nghĩa :

Phép đối xứng tâm O là một phép biến hình biến mỗi điểm M thành M' đối

Kí hiệu Ð„ Điểm O gọi là tâm của phép đối xứng (tâm đối xứng )

Bảng cách này, SGK đã tận dụng được 2 lợi thế khi sử dụng cả hai định nghĩa

Với định nghĩa thứ nhất, phép đối xứng tâm có day đủ tinh chất của phép quay Địnhnghĩa thứ hai có lợi hơn khi ta đưa ra biểu thức toạ độ của phép đối xứng tâm và khixác định tâm đối xứng của một hình

Trong hệ trục tọa độ Oxy cho điểm I(a.b), phép đối xứng tâm I BD, biến điểm

M(x.y) thành M'(x`,y') thi

x'=2a-x

i =2b-y

(biểu thức toa độ của phép đổi xứng tâm)

HS có thé dé dang giải thích công thức trên dya vào kiến thức đã học ở chương

vectơ hình học 10.

SGK có nhắc đến hình có trục đối xứng khi trình bày về tâm đối xứng của một

hình Cách trình bảy như trên giúp HS có sự so sánh dé thấy được những nét tương

Trang 36

Qui trình giải các bài toán vê é pháp đời hình trong mặt phẳng gắn với việc mở rộng

và khái quát hỏa các bài toán vẻ phép đời hình và ứng dụng thực tiễn

đồng giữa 2 định nghĩa trục đổi xứng của một hình, tâm đối xứng của một hình Tuy

nhiên các hoạt động can thiết kế sinh động hơn dé thu hút HS

Lí thuyết của bài này khá nặng Sau cùng SGK đưa ra 3 bai tập áp dụng của

phép quay Bài toán 1 là bài toán chứng minh tính chất hình học Bài toán 2 là bài

toán tim qui tích Bài toán 3 là bài toán dựng hình.

5.Hai hình bằng nhau

Mục tiêu là làm cho HS :

Hiểu được ý nghĩa của định lí: Nêu 2 tam giác bằng nhau thì có phép dời hinhbiến tam giác này thành tam giác kia Đó là định lí đảo của hệ quả: phép đời hình biến

một tam giác thành tam giác bằng nó Từ đó hiểu được một cách định nghĩa khác về

hai tam giác bằng nhau

Nim được định nghĩa 2 hình bằng nhau trong trường hợp tổng quát và thấy

được sự hợp lí của định nghĩa đó.

Ta biết rằng nếu A ABC = AA'B'C' thì có duy nhất một phép dời hình biến A

thành A’, B thành B’, C thành C° Tuy nhiên, SGK không dé cập đến tính duy nhất vì

nó không cần thiết bởi nội dung chủ yếu của bài là thế nào là hai hình bằng nhau

Định lí trên còn được chứng minh theo một cách khác không dùng vectơ như SGK.

Tuy nhiên, việc chứng minh định lí trên không cần giảng một cách cặn kẽ Trọng tâm của bài là đưa ra được “thế nào là 2 hình bằng nhau”.

1II.HỆ THONG BÀI TAP

Trong phần bài tập, SGK đưa ra tổng số 29 bài tập, sách bài tập đưa ra 59 bài

tập.Các bai tập được phân bố như sau:

Trang 37

Bài tập liên quan đên bi

thức toa độ

Nhìn vào bảng sế liệu, ta thấy các bài tập trong SGK còn khá ít Chủ yếu vẫn

là bai tập lí thuyết nhằm kiểm tra mức độ hiểu định nghĩa của HS Các bai tập vận

dụng chưa nhiều Bài tập dành cho mỗi phép đời hình thường có từ 5-7 bài trong đó

2-3 bai tập li thuyết, 2 bài chứng minh tính chất, | bài dựng hình, | bài qui tích Số

lượng bài tập cho mỗi phép dời hình như vậy là ít, thời lượng để giải bài tập cũng ít

HS không thể năm vững tư duy thuật toán của mỗi loại chi trong một, hai bai tập Các

bài tập trong phần hình bằng nhau rất khó giảng vi quá trừu trượng so với trình độ

HS.

Có 3 bài tập chứng minh tinh chất hình hoc Trong đó có 1 bai (bai toán |trong phan lí thuyết phép tịnh tiến) khi qua phin bài tập, SGK yêu cầu chứng minh

theo 2 cách (đối xứng trục và đối xứng tâm)

SGK có 9 bài tập dựng hình và tim qui tích Điều đó chứng tỏ phép đời hình tỏ

ra hiệu quả trong việc giải các bài toán dạng này Nhìn chung các bài tập chỉ ở mức

Ví dụ như bài 10 SBT trang 6

Chứng tỏ rằng hợp thành của 2 hay nhiều phép đời hình là một phép dời hình

SVTH: Mai Thi Thanh Hồng 36 GVHD: TS Lé Van Phic

Trang 38

Qui trình giải các bài toản vê phép đời hình trong mặt phẳng gắn với việc mở rộng

và khái quát hóa các bài toán vê phép dời hình và ứng dụng thực tiên

Hay bài tập 20 SBT trang 8, bài 32 SBT trang 10

Có những bài tập kiểm tra lí thuyết khá hay như bài 41 SBT trang 1!

Hãy chỉ ra tắt cả các phép dời hình biến hình vuông ABCD thành chính nó.

Hay bài 28 SBT trang I I.

Có khá nhiều bài tập tìm qui tích : 7 bai rải đều trong từng bài học Đặc biệt

các bai toán không phát biểu là hãy “tim quỹ tích” mà chỉ yêu cầu chứng minh “taphợp điểm thuộc đường cế định"

Bài tập 67 SBT trang 16 giới thiệu về phép đối xửng trượt Trong SGK chỉnh

li hợp nhất năm 2000, phép đối xứng trượt được đưa vào phan lí thuyết Bài tập 68SBT là bài tập vận dụng phép đối xứng trượt

Qua hệ thống bải tập, HS có thẻ rút ra phép đối xứng trục là phép biến hình

được chú trọng nhất vì mọi phép đời hình đều có thé xem là hợp thành của 3 phép đối

Tóm lại, SGK đã đưa ra hệ thống lí thuyết tương đối đầy đủ về phép dời hình

Lí thuyết phần này là khá trừu tượng đối với HS HS chưa quen với việc chuyển đổi

từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ biến hình nên quá trình vận dụng li thuyết vào giải bải tập là rất khó khăn.

Hệ thống bài tập trong SGK không quá phức tạp Các bài tập khó, HS có thể

tham khảo trong SBT Tuy nhiên, số lượng bài tập không nhiều và không đủ dạng.

HS không thấy được ưu điểm của phép biến hình trong việc giải toán Đặc biệt, cần

bổ sung các bai toán thực tế dé SGK trở nên có ích và hứng thú đối với HS.

Trang 39

Qui trừnh giải các bai toán về ề phép đời hình trong mặt phẳng gắn với việc mở rộng

PHAN B:

QUI TRÌNH GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẰNG PHÉP DỜI HÌNH

GAN VỚI VIỆC MỞ RỘNG VÀ KHÁI QUAT HOA CÁC BÀI TOÁN ĐỜI

HÌNH

I CÁC KIÊN THỨC CƠ BẢN VE PHÉP DOI HÌNH

1.Phép đời hình

I.1.Định nghĩa:

Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai

điểm bat kì Nghĩa là:

Nếu F là phép đời hình và A*= F(A); B’= F(B) thì A'B'=AB

1.2.Tinh chất:

-Bién ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ

tự ba điểm ấy.

-Biến đường thing thành đường thẳng

-Biến đoạn thing thanh đoạn thẳng bằng nó.

-Biến tia thành tia

-Bién tam giác thành tam giác bằng nó

Trang 40

Qui trình giải các bai toán về phép đời hình trong mặt phẳng gắn với việc mở rộng

và khải quát hóa các bài toán về phép dời hình và ứng dung thực tiễn

2.Cac phép dời hình trong mặt phẳng

song hoặc trùng với nó.

Kí hiệu phép tịnh tiến theo vectơ w: 7

Một hình H thỏa mãn điều kiện (H) = D,(H) được gọi là hình có trục đối xứng

và đường thang a là trục đổi xứng của hình H

2.3 Phép đối xứng tâm:

Phép đối xứng tâm O là một phép biển hình biến mỗi điểm M thành M' đi

Kí hiệu của phép đối xứng tâm O: D,

Tiêu đề	Qui Trình Giải Các Bài Toán Về Phép Dời Hình Trong Mặt Phẳng Gắn Với Việc Mở Rộng Khái Quát Hóa Các Bài Toán Về Phép Dời Hình Và Ứng Dụng Thực Tiễn
Tác giả	Mai Thị Thanh Hồng
Người hướng dẫn	TS. Lờ Văn Phỳc
Trường học	Trường Đại Học Sư Phạm TP.Hồ Chí Minh
Chuyên ngành	Khoa Toán - Tin Học
Thể loại	luận văn tốt nghiệp
Thành phố	TP.Hồ Chí Minh

Định dạng
Số trang	156
Dung lượng	43,49 MB