trên cung AB. Lay trên AC một điểm M sao cho AM = BC. Tim tập hợp điểm M.
4, Cho đường tròn (O), một day BC thay đổi nhưng có độ dai 2a cho trước và một điểm A cố định trong mặt phẳng.
a.Tìm tập hợp trung điểm M của BC
b.Dựng tam giác đều AMN. Tìm tập hợp đỉnh N.
SVTH: Mai Thị Thanh Hong 82 GVHD: TS. Lê Van Phúc
Qui trình giải các bài toán về phép dời hình trong mặt phẳng gắn với việc mở rộng
và khdi quát hôa các bài toán về phép dời hình và ứng dụng thực tiễn
5.Cho đường tròn (O) và một điểm | không nằm trên đường tròn.Với mỗi điểm A thay đôi trên đường tròn, xét hình vuông ABCD có tâm L. Tìm tập hợp các điểm B, C,
D.
4.Qui trình sử dụng các phép dời hình để giải các bài toán cực trị Đầu tiên ta xét một số bài toán sau:
Bài toán 1
Cho đường thẳng d va hai điểm A, B cố định không thuộc d. Tìm trên đường thằng d một điểm M sao cho AM + BM nhỏ nhất trong hai trường hợp
sau:
a.A, B nằm khác phía đối với d.
b.A, B nằm cùng phía đối với d.
Giải
a.A, B nằm khác phia đối với d.
Với M thuộc đường thắng d, ta có AM +BM > AB không đổi. Dấu “=” xảy ra
khi A, M, B thẳng hàng.
Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng AM + BM là AB; tổng AM + BM đạt giá trị nhỏ nhất khi A, B. M thang hang = M là giao điểm của đoạn thẳng AB với đường thẳng d
A
b.A, B nằm cùng phía đổi với d.
Bài toán khó hơn khi A, B ở cùng phía. Chúng ta sẽ tìm phép dời hình thích
hợp dé có thé đưa câu b về trường hợp câu a.
SVTH: Mai Thị Thanh Hẳng 83 GVHD: TS. Lê Văn Phúc
Qui trình giải các bài toán vê phép đời hình trong mặt phẳng gắn với việc mở rộng
và khái quát hóa các bài toán về phép dời hình và ứng dụng thực tiễn
Ki
` g
Gọi B' là ảnh của B qua pháp đối xứng trục d. Vì M c d nên ta có
Đ„(M) = M DAB) = B
Suy ra B' là điểm cố định và MB = MB’.
Khi đó AM + BM = AM + B'M > AB' không đổi. Dấu “=" xảy ra khi A,M, B thẳng hàng.
Vay giá trị nhỏ nhất của tổng AM + BM là AB’; tổng AM + BM đạt giả trị nhỏ nhất khi A, B’, M thẳng hàng => M là giao điểm của AB’ với đường thăng d
Ở câu b bài toán trên chúng ta đã giải quyết bài toán theo cách tìm hai điểm cố
định (ở đây là A và B’). Sau đó, tìm phép dời hình thích hợp (phép đối xứng trục) để
chuyển yêu cầu bài toán (AM + BM nhỏ nhất) thành tổng độ dài đường gấp khúc có
hai đầu mút là hai điểm cố định trên. Khi đó, độ dài đường gdp khúc sẽ lớn hơn hoặc
bằng độ đài đoạn thẳng nối hai điểm cế định.
Qui trình trên tỏ ra khá hiệu quả khi chúng ta giải một số bai toán cực trị bằng phương pháp biến hình. Một bài toán cực trị thường được phát biểu đưới dạng:
Trong tất cả các hình có chung tinh chất, tìm những hình mà một đại lượng nào đó (như độ dài đoạn thẳng, số đo góc, số đo diện tích...) có giá trị lớn nhất hoặc
nhỏ nhất. Các bài toán cực trị luôn thu hút HS bởi lẽ vấn đề đặt ra mang tính thực tế:
đi tìm cái lớn nhất. nhỏ nhất, nhiều nhất, ít nhất....đó là các bai toán tối ưu trong đời sống vả kĩ thuật.
Dé hiệu rõ hơn chúng ta xem xét bài toán 2 sau đây:
SVTH: Mai Thị Thanh Hồng 84 GVHD: TS. Lê Văn Phúc
Qui trình giải các bài toán về phép đời hình trong mặt phẳng gắn với việc mở rộng
và khải quát hóa các bài toán về phép dời hình và ứng dụng thực tiễn
Bài toán 2
Cho điểm M cố định và đường tròn (O; R) cố định cùng nằm trên nữa mặt phẳng có bờ là đường thăng d. Hãy tìm trên đ một điểm A và trên (O) một điểm B sao cho tổng MA + AB nhỏ nhất.
Giải
Nếu B là điểm cổ định thì bài toán đưa về bài toán 1. Khi B chạy trên (O), ta
có cách giải như sau:
Dau tiên ta cố định B
Ldy M' đổi xứng M qua d. Ta có AM = AM’.
Khi đó MA +A B = M'A + AB > BM’.
Dấu “=" xảy ra khi A, B, M’ thẳng hàng.
Bây giờ ta can tìm B trên (O) sao cho BM’ nhỏ nhất.
Lấy B là giao điểm của đoạn thing M'O với đường tròn (O). Ta sẽ chứng mình M'B < M'B; với B, là điểm bất kì thuộc (O) và B, khác B. Thật vậy, ta có:
M'O< M'B, +B,O <> M'B + BO < M'B, + B,O <> M'B< MB,
Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng MA + MB là OM'- R; tổng MA + MB dat giá trị nhỏ nhất khi M’, A, B, O thăng hàng.
=A là giao điểm của đoạn thẳng M'O với đường thang d: B là giao điểm của
đoạn thẳng M’O với đường tròn (O).
GO bài toán 1 hai điểm A, B là hai điểm cô định. Qua bài toán 2 điểm B di
chuyền trên một đường tròn. Nếu cả A và B đều di chuyển trên đường tròn ta có bài
toán 3.
SVTH: Mai Thị Thanh Hồng 85 GVHD: TS. Lê Văn Phúc
Qui trình giải các bài toan vê ằ pháp đời hình trong mặt phẳng gắn với việc mở rộng
và khải quát hóa các bài todn vẻ phép đời hình và ứng dụng thực tiễn
Bài toán 3
Cho đường thăng d và hai đường tròn (O;; R), (O;; R’) có định nằm cùng một phía đối với đường thẳng d. Hãy tìm trên (O,), (O;), d lần lượt các điểm A, B, M sao cho tổng AM + MB nhỏ nhất.
Giải
Ở bài này hai điểm A, B chạy trên hai đường tròn thay vì là hai điểm cố
định. Với cách giải tương tự hai bài trên ta có:
Lay (O',) đối xứng (O)) qua d. Ta có (O',) là đường tròn có định.
Nổi O,O;. Đoạn thẳng O;O; cắt (Q)) tại A’, cắt d tại M và cắt (O,) tại B.
Ta chứng minh A'B < A,B, với A,, Bị bat kì lan lượt thuộc (O)), (O›) và A;
khác A, B, khác B. Thật vậy, ta có:
O0',O; < ỉ',A,+ A,B, +O;B,
<> Ó',A'+ A'B +O2B < O',A,+ A,B, +OB;
<> 4AB<A,B,.
Ta cỏ O',, Oz không đổi nên A 'B không đổi.
Lay A là điểm đổi xứng của A’ qua a.
Ta có AM +MB = A'M + MB. Mà A’M + MB nhỏ nhất nên AM +MB nhỏ
nhất.
Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng MA + MB là O,'O;- (R + R') : tổng MA + MB dat gia trị nhỏ nhất khi O;', A’, B, O; thang hàng.
=A’ là giao điểm của đoạn thẳng O;'O; với đường thẳng d.
SVTH: Mai Thị Thanh Hồng 86 GVHD: TS. Lê Văn Phúc
Qui trình giải các bài todn về phép dời hình trong mặt phẳng gắn với việc mở rộng
và khái quát hỏa các bài toán về phép đời hình và ứng dụng thực tiễn
=> A là điểm đối xứng của A‘ qua đường thẳng d; B là giao điểm của đoạn thăng O; 'O; với đường tròn (Q)).
Bây giờ, chúng ta hãy xét trường hợp điểm A di chuyển trên một tia Oy còn đường thẳng d bây giờ sẽ là tia Ox. Liệu qui trình trên vẫn sử dụng được khi ta xét bài
toán sau đây?
Bài toán 4
Cho một góc nhọn xOy và một điểm M thuộc miền trong của góc đó. Hãy xác định trên Ox một điểm A, trên Oy một điểm B sao cho tổng AM + BM nhỏ nhất.
Giải
Cá định A trên Ox ta có cách giải như sau:
Lay M' đối xứng M qua Oy. Ta có BM = BM’.
Khi đó, AB + BM = AM’.
Dấu “="' xảy ra khi A, B, M' thắng hàng.
Khi A di chuyển trên Ox ta can tìm vị trí của
điểm A sao cho AM’ nhỏ nhất. Dễ thấy, điểm A cần tìm là chân đường vuông góc hạ từ M' xuống Ox.
Mở rộng bài toán 4 bằng cách dé cả A, B đi chuyển trên hai tia Ox, Oy ta có
bài toán 5:
Bài toán 5
Cho một góc nhọn xOy và một điểm M thuộc miền trong của góc đó. Hãy
xác định trên Ox một điểm A, trên Oy một điểm B sao cho chu ví tam giác AMB
nhỏ nhất.
Giải
Lay M, đối xứng M qua Ox, À4; đối xứng M qua Oy. Ta có M;, M) cổ định
Khi đó
MA + MB +AB = M,A + AB + BM; >
M,M> không đi.
SVTH: Mai Thị Thanh Hong 87 GVHD: TS. Lê Van Phúc
Qui trình giải các bài toán vé phép dời hình trong mặt phẳng gắn với việc mở rộng và khái quát hóa các bài toán về phép dời hình và ứng dụng thực tiễn
Dầu "=" xảy ra khi M,, A, B, M; thẳng hàng.
A = Ox nM1,M,;
B=Oy 7 M,M;
Trong bai toán 5, ta xét một điểm M thuộc miễn trong của góc xOy. Nếu trong góc xOy ta xét hai điểm có định M, N và yêu cầu tim trên Ox một điểm A, trên Oy một điểm B sao cho chu vi tứ giác AMNB nhỏ nhất thì sao?
Bài toán 6
Cho góc nhọn xOy và 2 điểm A, B thuộc miền trong của góc đó. Hãy tìm M trên Ox, N trên Oy sao chu vi tứ giác AMNB nhỏ nhất.
Giải
Ta có chu vi tứ giác AMNB = AB +AM + MN +NB. Mà AB không đổi nên chu
vi tứ giác AMNB nhỏ nhất <> AM + MN +NB Hhỏ nhất.
Lấy A, là ảnh của A qua phép đối xứng trục Ox, B, là ảnh của B qua phép đối xứng trục
Oy. Ta có A,, By cé định.
Ta có: MA = MA, và MB = MB, Khi đó:
AM + MN + NB = A,M + MN + NB, > A,B,
không đổi.
=>AM + MN +NB nhỏ nhất khi A’, M, N, B’
thẳng hàng.
Suy ra M = A,B, ơ Ox và N = A,B, ơ Oy.
Ta hãy quay trở lại bài toán 5. Trong bài toán 5 điểm M là một điểm cố định.
Nếu ta cho M di chuyển trên một đường thẳng (hoặc đoạn thăng hoặc tia) thì kết quả
sẽ như thế nào? Cụ thé là ta xét bài toán thứ 7 sau đây:
Bài toán 7
Cho tam giác nhọn ABC. Lấy các điểm D, E, F lần lượt trên BC, CA,
AB.Tim vị trí của D, E, E để chu vi tam giác DEF nhỏ nhất.
SVTH: Mai Thị Thanh Hồng 88 GVHD: TS. Lê Văn Phúc
Qui trình giải các bài toán về phép đời hình trong mặt phẳng gắn với việc mở rộng và khái quát hóa các bài toán vé phép đời hình và ứng dung thực tiễn
Giải
Dau tiên ta cô định D e AB. Gọi
D, là ảnh của D qua phép đối xứng trục AC.
D; là ảnh của D qua phép đổi xứng trục AB.
Ta có D;.D; cố định.
Khi dé
ED = ED,; FD = ED; D or Suy ra
DE + DF + EF = D,E + D;Ƒ + EF = D,D;
không đỏi.
Dấu "=" xảy ta khi D, D,, E, F thang hàng.
Suy ra cách xác định E, F: D,D; cắt
AC, AB tại E, F.
Khi D di chuyển trên BC, ta có DE + DF + EF nhỏ nhất khi D,D; nhỏ nhất.
Xét tam giác AD,D; có AD,= AD) = AD và D,AD, =2 BÁC =const nên D,D;
nhỏ nhất <> AD, nhỏ nhất < AD nhỏ nhất eằ AD là đường cao.
Khi đó dễ dàng chứng mình được E, F là chân đường cao lan lượt hạ từ B và
C
Ta chứng minh CF L AB.
Ta có ADF = AD,F = AD,F = tứ A
giác AD,DE nội tiếp => AD,D= BFD (1) F on
œ
- ADD = ADD, _ ADD, = ACD
A a o
AD,D = ACD (2)
Từ (1) và (2) => BFD=ACD = tứ
gác AFDC nội tiép =
AFC = ADC = 90(dpem).
SVTH: Mai Thị Thanh Hong 89 GVHD: TS. Lê Van Phúc
Qui trình giải các bài toán về phép đời hình trong mặt phẳng gắn với việc mở rộng
và khái quát hóa các bài toán vê phép dời hình và ứng dụng thực tiên Tương tự ta chứng minh được B E 1. AC.
Tới đây chúng ta có thé rút ra một qui trình dé giải các bài toán cực trị như sau:
Bước 1:Tim hai điểm cố định.
Bước 2: Sử dụng phép dời hình thích hợp để đưa những độ dài liên quan về độ dai đường gấp khúc có đầu mút là hai điểm cô định trên.
Bước 3: Sử dụng mệnh đề “độ dài đoạn thẳng luôn bé hơn độ dài mọi
đường gấp khúc nối hai đầu mút của nó” để tìm các điểm thỏa yêu cầu bài toán.
Không chỉ có phép đối xứng trục được sử dụng để giải quyết các bài toán cực
trị mà chúng ta còn có thể sử dụng phép tịnh tiến và phép quay, đặc biệt là sự kết hợp
giữa phép tịnh tiến và phép đối xứng trục.
Bài toán 8
Cho trước một điểm A và một đường thắng d không đi qua A.Trên d ta
đặt một đoạn BC = a (a là độ dài cho trước). Tìm vị trí của BC để AB + AC nhỏ
nhất.
Thực hiện phép tịnh tiến theo vecto u với giá của u song song với đường
thằng d và |u|= a. Ta có
T.(B)=C T.(A)= A'
=> A’ cỗ định khác A và AB = A'C.
Khi đó: AB+ AC = A'C+ AC.
Bài toán trở thành: Cho 2 điểm A và A’ cỗ định không thuộc đường
thăng d. Tìm trên x một điểm C sao cho AC+ A'C nhỏ nhất.
Lấy A" đối xứng A’ qua đường thắng d. A” cô định Khi đó, CA‘ = CA”.
Ta có AC + A'C = AC+ A"C > AA" không đổi.
SVTH: Mai Thị Thanh Hong 90 GVHD: TS. Lé Van Phic
Qui trình giải các bài toán về phép dời hình trong mặt phẳng gắn với việc mở rộng
và khái quát hỏa các bài toán về phép dời hình và ứng dụng thực tiễn
Dấu “=" xảy ra khi A, A”, C thẳng hàng hay C là giao điểm của AA" với d B là ảnh của C qua phép tịnh tiễn T -.
Bài toán 9
Cho góc nhọn xOy và điểm M cố định nằm trong góc đó. Tìm trên các tỉa Ox, Oy các điểm A, B sao cho OA = OB và MA + MB nhỏ nhất.
Giải
Bài toán 9 khác bai toán 5 ở chỗ có thêm giả thiết OA = OB.Các yếu tế cố
định của bài toỏn là điểm M và gúc ứ= (ỉx, Oy).Gia thiết OA = OB khiển ta nghĩ tới
sử dụng phộp quay tõm O và gúc quay chớnh là ứ =(Ox, Oy)
Thực hiện phộp quay tõm O gúc quay ứ =(Ox,Oy).
@(4)=Đ
0(M)=M'
Khi đó M' cỗ định và AM = BM’. Ta có:
MA + MB = M'B + MB > MM' không đổi.
Dấu “=" xảy ra khi M, M', B thẳng hàng.
Suy ra cách xác định A, B:
B là giao điểm MM’ với Oy. A là ảnh của B qua phép quay Q;°.
Bài toán 10
Cho tam giác nhọn ABC. Tìm M
bên trong tam giác sao cho MA + MB + F
MC nhỏ nhất.
Giải
Thực hiện phép quay tâm B góc quay
-601 B
Ó,; „„,(C)=C€'
Ó,„,(M) “: M*
Ta có: C' cổ định va MC = M'C.,
Qui trình giải các bài toán về phép đời hình trong mặt phẳng gắn với việc mở rộng
và khái quát hóa các bài toán về phép dời hình và ứng dụng thực tiễn Ngoài ra: A BMM' là tam giác đều nên MB = MM'
Khi đó:
MA + MB + MC = MA + MB’ +M'C'> AC’ không đổi.
Dấu "=" xảyra khi A, M, M’, C' thẳng hàng.
Khi đó