Ta có thể xem một đường cong afin là tập hợp các không điểm trong &?K} của một đa thức không bội khác hằng, hay là một tập đại số xác định bởi chính đa thức định nghĩa của nó.. DUONG CON
Tham số hóa của các đường cong chứa điểm bac cao
Trong phần này, chúng ta xem xét các đường cong xa ảnh C bat khả quy với bậc d lớn hơn 2, trong đó có một điểm P có bậc d - 1 Để đơn giản hóa, ta có thể giả sử rằng P = (0:0:1).
Doin Lê Minh ‘Trang 48 Khoa Toán - Tin hạc
CHUONG § THAM SỐ HOA DUONG CONG HỮU TI thức định nghĩa của € có dang
Hàm F (x,y,z) = fặw) + faa (2.9) thể hiện rằng nếu C có một điểm kỳ dị Q khác P, thì đường thang đi qua P và Q sẽ gặp C tại nhiều hơn d lần Nhận xét này cho thấy C nhận đường thang này là một thành phần, điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng C là bất khả quy.
€ có duy nhất một điểm kì di là P.
Xót hệ tuyến tính các đường thang đi qua gốc O = (0:0: 1), thực biện giải hệ tương tut như ở mục trước, ta thu được tham số hóa của Œ là
Tit đó ta thu được hệ quả sau:
Hệ qua 4.4.4 Moi đường cong bậc d chứa mét điển bậc đ— 1 đều là hữu tỉ.
Kết hợp cùng ví dy [4.1.19] ta thu được hệ qua sau:
Hệ quả 4.4.5 Mét cubie là hữu tỉ khí va chỉ khí nó có một điểm kép.
Chúng tôi sẽ trình bày một thuật toán tham số hóa đường cong xa ảnh C, được định nghĩa bởi đa thức F (2, y, z) với bậc d và chứa một điểm bậc đ - 1 Thuật toán này sử dụng các đường thẳng để thực hiện việc tham số hóa.
Bước 1 | Nếu d = 1 ta áp dụng nhận xét [4.1.8] Nếu d > 1, xác định điểm bac đ— 1 trên C Giả sử P = (a:b: 1) (nêu P có thành phan tọa đõ thứ ba bang
0, ta có thể dối vai trò của các biến).
Bước 2 | Xác định g(x,y) = F(z + a,y + 6,1) Đặt gy (x.y) và ga—) (2, y) lần lượt là
| thành phan thuần nhất bậc d và bậc d = 1 của g(x,y).
Bước 3 | Xác định tham số cua C.
Bang 4.2: Thuật toán tham số đường cong xa ảnh bằng các đường thing
Ví dụ 14 Cho € là đường cong afin trên trường số phúc C dink nghĩa bởi ƒƑ(œ,u}=1+z~— 15z? — 29 + 302 — 25x? + xy + 35w + 2! — 6y1 + 6z°.
Ta thấu C là đường cong bậc 4 có mot điểm bac 3 là {1, 1).
Doin Lê Minh “Trang 49 Khoa Toán - Tin hạc
CHUONG ÿ THAM SỐ HÓA DUONG CONG HỮU TI
Xét g(x,y) = ƒ (z + 1+ 1) = a1 + z2 — Gy! + 5+9 + 9z? — 25x + 6ụ°, Khi đó g(t} — —6+tÊ+L ; ứ@(1Ê0)— 6Ở — 25? 4+ 9t4+5
Tham số hóa của € cho bởi
Ta thấy rằng không phải mọi đường cong hữu tỉ bậc ở đều có điểm bac ở - 1, chẳng hạn như trong ví dụ [10| đường cong xa ảnh C định nghĩa bởi F (x,y,z) = w°z — 2° có
Điểm bac 3 và điểm kép có sự khác biệt quan trọng trong tham số hóa, cụ thể là (/?,£”,1) Thuật toán hiện tại chưa đủ tổng quát để tham số hóa mọi đường cong hữu tỉ Bài viết sẽ giới thiệu một thuật toán tổng quát hơn, cho phép tham số hóa mọi đường cong có giỗng bằng 0.
Thuật toán tham số bằng các đường cong liên hợp|
Phương pháp tham số bằng các đường cong liên hợp là một cách tổng quát hơn so với phương pháp tham số bằng các đường thẳng, cho phép tham số hóa mọi đường cong bất khả quy mà không giống bằng 0 Định nghĩa 4.5.1 nêu rõ rằng một hệ tuyến tính các đường cong H được gọi là tham số được C nếu
(9) Giao điểm của phần tử tổng quát trong H va C là khác hằng uới thành phần toa độ phụ thuộc theo tham số tự do trong #4 va
(3) C không phái là mot đường cong trong 14.
Khi đó ta còn nói € được tham số hóa bởi H.
Do có tham số £ nén, khi xem xét đa thức G € K (x,y, 2] [t], ta ký hiệu pp(G) là thành phần nguyên thủy của G, tức là G được chia cho ước chung lớn nhất của các hệ số.
Dinh lí 4.5.2 xác định rằng F(x,y,z) là hàm số định nghĩa cho một đường cong C, trong khi H(t,z,ụ.z) là hàm số định nghĩa cho hệ tuyến tính của các đường cong H(t) tham số hóa C Điều này nhấn mạnh tầm quan trọng của việc tham số hóa chính xác trong lĩnh vực toán học và tin học.
CHUONG ÿ THAM SỐ HÓA DUONG CONG HỮU TI
P(t) sinh bởi H(t) là nghiệm trong P* (K (t)} của hệ phương trình đại số pp, (res, (F, H)) = 0 lu (res, (F, H)) = 0.
Dinh lí 4.5.3 Cho H là một hệ tuyến tính các đường cong bậc k tà B là tập hợp các điểm cơ sở của 1 Nếu
(2) À ` multp (C.€') = dk — 1 uớt hau hết các đường cong C’ € H, va
(3) € không phai là mét đường cong trong H. thà M tham số được C.
Đường cong liên hợp là một khái niệm quan trọng trong toán học, trong đó mỗi điểm P thuộc tập hợp Sing(C) được ký hiệu là Negrp(C), đại diện cho cây lân của P với P là gốc Đồng thời, NOSing(C) là tập hợp các điểm kỳ dị lân cận của tất cả các điểm kỳ dị bất thường trong không gian.
Với mỗi P thuộc Ngr (€), chúng ta định nghĩa Op là dãy các phép biến đổi bậc hai và phép biến đổi tọa độ tạo ra lân cận chứa P Đối với mỗi đường cong xa ảnh C’, ký hiệu Qp(C’) là biến đổi bậc hai của C’ do Op sinh ra.
Đường cong liên hợp 4.5.4 được định nghĩa là một đường cong va ảnh Cl, gọt lại từ một đường cong sa ảnh bất khả quy C Điều này xảy ra khi một hàm số Qp (C) thỏa mãn điều kiện multp (Qp (C)) = 1 với một P thuộc Ner (C).
Ta nói C’ là đường cong liên hợp bậc k của € nếu €' là đường cong liên hợp của C tà deg (C’) = k.
Nhận xét 4.5.5: Nếu € chỉ có các điểm kỳ dị bình thường, thì tập hợp các đường cong liên hợp bậc k của € sẽ tạo thành một hệ tuyến tính gồm các đường cong sinh bởi u có độ tích cực.
Giả sử P có các điểm Ki dị bất thường và NOSing (C) = {MI M,} Ngoài các điều kiện cho điểm ki dị bình thường, cần bổ sung điều kiện multay, (Ởay, (C’)) > multay, (ỉay, (C)) — 1, với Wi = 1, ,Ỉ.
Hệ các đường cong liên hợp bậc k của một đường cong C được định nghĩa là tập hợp tất cả các đường cong liên hợp bậc k của C, ký hiệu là Ap(C).
Doin Lê Minh Trang 51 Khoa Toán - Tin hạc
Chương ÿ: Tham số hóa đường cong hữu ti Định lý tiếp theo khẳng định sự tồn tại của hệ các đường cong liên hợp cho một đường cong có giống bằng 0 Theo Định lý 4.5.7, nếu € là một đường cong xa ảnh bậc d và có giống bằng 0, thì khi k > 2, Ap(C) không bằng ỉ.
Ta còn có thé tìm ra số chiéu của hệ này, thông qua định lí sau:
Dinh lí 4.5.8 Cho € là một đường cong xa ảnh bậc d va có giống bằng 0 Khi đó néu k> 2 thi k(k+3) (d-1)(¢-2)
Hai định lý trung tâm của chương này giúp xác định tham số hóa của một đường cong bậc khả quy có giống bằng 0.
Dinh lí 4.5.9 Cho € là một đường cong ra ảnh bậc d va có giống bằng 0, vdi k € {4— 1.d— 2}, va %5 C €\ Sing (C) có lực lượng bằng kd — (d— 1)}{d — 3) — 1 Khi đó
Dinh lí 4.5.10 Cho C là một đường cong ra ảnh bậc d va có giống bằng 0 Với Q £ € vit Sy CC \ Sing (C} có lực lượng bằng 3d — 1 Khi đó
Từ day ta thu được kết quả nối tiếng:
Dinh lí 4.5.11 Mét đường cong € là hữu tí khi tà chỉ khi nó có giống bằng 0.
Ta kết thúc nội dung lí thuyết của luận văn bằng Thuật toán tham số bằng các đường cong liên hợp.
Cho F (x,y, z) là đa thức định nghĩa cho một đường cong xa ảnh bat khả quy € có bậc d và giỗng bằng 0 Thuật toán tham số được cho trong bảng sau:
Doin Lê Minh Trang 52 Khoa Toán - Tin hạc
CHUONG § THAM SO HÓA DUONG CONG HỮU TI
Bước 2 | Chon È € {d— 2,d—1,d} va xác định da thức định nghĩa H (2, y,z) của pew) Ac (C) với điều kiên trong nhận xét
Chọn một tập hợp $ C C\Sing (C) có lực lượng bằng kd—(d = 1) (d = 3)=1.
Bước 4 | Nếu & < d thì xác định đa thức định nghĩa H của
Ngược lại nếu k = d thi chọn một điểm Q ¢ € và xác định đa thức định nghĩa H của
Bước 5 | Cho một tham số trong H bằng 1 và dat ¢ là tham số còn lai Khi đó xác định nghiệm trong Ê?(K (£)) của hé phương trình pp, (res, (F` H)) = 0
PP; (resx (F, H)) = 0 là tham số hóa của C.
Bảng 4.3: Thuật toán tham số đường cong xa ảnh bằng cúc đường cong liên hợp
Ví dụ 15 Cho € là đường cong xa ảnh bậc 4 trên trường số phúc C dink nghĩa bởi đa thúc z + ay = Gy! + 48y72? + 6r!.
Ta sé ap dung thuat toán [4.4 để tham số C.
Dau tiên, ta xác định được tập hợp các điểm ki dị của C là
Sing (C} = {(0:0:1),(2:2:1),(_-2:2:1)}, đều là các điểm kép bình thường, áp dụng định lí ta được genus (C) = 0 Do đó € là hữu tỉ.
Tiếp theo ta chọn k= d— 2= 2, da thức định nghĩa H cúa Ag (C) có dang
H (x,y,z) = aaozŸ + apiyz+ agay? + aygrz + ayyry + azz. Đoàn Lê Minh Trang 53 Khoa Toán - Tin hoc
CHUONG § THAM SO HÓA DUONG CONG HỮU TI
Theo nhận zét[4.5 3] điều kiến ở đây là các điểm kép trên C có bậc lớn hơn hoặc bằng I trên Az (C) Khi đó xét hệ phương trình
H {-2,2,1) =0 ta thu được biểu điển của H là
H (x,y,z) = (—2ag2 — 2a) yz + awaWˆ — 2œnt#z + ay xy + agox?.
Kế Hiếp, ta chon một tập S C C\Sing (C) có lực lượng là 2.4— (4 — 1) (4 — 3)— 1 — 1, nghĩa là một điểm đơn trén C Ta chọn S = {(3:0:1)}.
Xác định da thức định nghĩa cho hệ tuyển tính các đường cong
Pes uới P =(3:0:1) là điểm duy nhất trong S Giải phương trình
H(3:0:1) =0, ta thu được biểu diễn của H lúc nay là
H (x,y, z) = (—2ao2 — 2a2n} yz + any" — 3nqap+z + 3207 + apr’.
Cho tụy =1 va agg = £ ta thu được da thức
H (t,2,y,z) = (—2 — 3f}z + y* — 3tzz + sty + tz? là tham số của hệ.
Cuối cùng, rét hệ phương trình pp; (resy (F H)) = 0 là (res, (#` H)) = 0 va tìm nghiệm ta thu được tham số hóa của đường cong afin hiến kết uới € là g_— 9É+-5lẺtt+8 _ _ Ý (162/3 — 459/2 + 145¢ + 136)
Vay tham số hóa của € là
Doin Lê Minh Trang 54 Khoa Toán - Tin hạc
CHUONG § THAM SO HÓA DUONG CONG HỮU TI
Ví du 16 Cho € là đường cong xa ảnh bậc 5 trên trường số phúc C dink nghĩa bởi da thức F (x,y,z) = y?z3 - 2°.
Ta tiếp tục áp dung thuật toán |j.3] để tham số C. Ó vi du[rd ta da rác định được đồ thi cay của € là
Py = (0:1: 0) (bậc # bat thường) —> Pi (bậc 2 bat thường, lân cận dau tiên)
—> P\¿ (điểm đơn, lân cận thứ hai)
P; = (0:0:1) (bậc # bắt thường) —> P2) (bậc 2 bắt thường, lin cận đầu tiên)
— Pa¿ (điểm đơn, lần cận thứ hai)
Trong dé day phép biến đổi bậc hai va biến đổi toa độ sinh ra lân cân chứa Py, tà Po) lần lượt là
Tiếp theo ta chọn k = d— 2 = 3, đa thức định nghĩa H của Á4s(C) có dang
H (x,y, 2} = agaz)+aatU2z?+agyW°z+aqsUŸ+ap£z?+ai£Wz+ais+°®+asa+z®z+as+zÊ+aap#.
Theo nhận xét [4.5.5 điều kiện ở đây là multp, (C’) > 2, multp, (C’) > 1 vdi C’ là đường cong định nghĩa bai phần tử tổng quát H (x,y,z) Khi đó xét hệ phương trình
H(P;) =0 ta thu được biểu diễn của H là
H (x,y, 2) = ag yz? + ayor2? + aiizWz + aap+Êz + agyx*y + aapz.
Điều kiện để xác định các điểm kỳ dị gần kề trên C là multp(Qp(C')) > multp(Qp(C)) - 1 và multp(Qp(C')) > multp(Op(C)) - 1.
Doin Lê Minh Trang 55 Khoa Tain - Tin hoe
CHUONG § THAM SỐ HOA DUONG CONG HỮU TI
Hai điều kiện trên trở thành multp,, (Qp,, (C’)) >2—1=1 va multp, , (Qp,, (C’)) = 2-1=1.
Xét hệ phương trình oe (H) (Pia) =0
Qp,, (H) (P21) = 0 ta the được biểu diễn của H là
Kế tiếp, ta chon một tập S C C\Sing (C) có lực lượng là 3.5 = (5 = 1) (5 = 3)= 1 = 3, nghĩa là hai điểm don trên C Ta chon Š = {Q› = (1:1:1),Q2 = (1: =1:1)}.
Xác định da thức định nghĩa cho hệ tuyến tính các đường cong
H(1:1:1)=0 H{(I:—1:1)=0. ta thu được biểu diễn của H lúc nay là
Cho ay, =1 va agg =£ ta Uru được da thức
H (t,x, y, 2) = —yz” + xụz — 2? zt + tx là tham sé của hệ.
Cuỗi cùng, xét hệ phương trình ll (res, (F, H)) = 0 pp; (res, (F, H)) = 0 va tìm nghiệm, ta thu được tham số hóa C là
Doin Lê Minh Trang 56 Khoa Toán - Tin hạc
Chương ð ỨNG DỤNG CỦA THAM SỐ HÓA
Tham số hóa đường cong hữu tỉ có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và thực tiễn, bao gồm lý thuyết số, phương trình vi phân, thiết kế kiến trúc, hình dạng sinh học và thuật toán mật mã Bài viết này sẽ trình bày một số ứng dụng trực tiếp của tham số hóa đường cong hữu tỉ trong lĩnh vực toán học.
Sinh một họ các điểm trên đường cong|
Cho một đường cong afin C với đa thức định nghĩa f(x,y) thuộc KÍz,wÌ, để lấy một số điểm trên C, ta có thể dễ dàng thực hiện bằng cách cho Œ cắt một đường thang Điều này được thực hiện bằng cách giải phương trình g(t) - f(at + b, e† + đ) = 0 để tìm các giá trị f = a;,2 thuộc J là nghiệm Các điểm (aa; + b, co; + đ) sau đó sẽ nằm trên đường cong C.
Điều này đạt được nhờ K là trường đồng dai số, tuy nhiên khi chỉ xét trường con L thực sự, các nghiệm a sẽ bị giảm và đôi khi phương trình g(t) = 0 có thể vô nghiệm Ví dụ, cho đường cong afin C trên trường số phức C với đa thức định nghĩa ƒ(x,y) = ry + a² + 741 Nếu xét trường con là trường các số hữu tỉ Q và giải phương trình g(t) = ƒ(1.9) = 0, ta sẽ nhận được j = 1.
Trong bốn độ hữu tỉ, nếu có tham số hóa của C, bài toán sẽ được giải quyết một cách hiệu quả Do đó, chúng ta không cần tìm giao điểm với đường đang xét mà có thể xác định tọa độ một cách dễ dàng.
That vay, Œ là một conic afin bat khả quy, bằng thuật toán [1.1] ta nhận được một tham số hóa của € là
CHUONG 5 UNG DUNG CUA THAM SỐ HOA DUONG CONG HỮU TI
Chú ý rằng P(t) là một tham số hóa tốt, do đó với mỗi 4 € Q\ {0} ta xác định được một điểm trên € có toa độ hữu ti.
Trong tài liệu tham khảo BỊ, các tác giả chỉ ra rằng nếu đường cong hữu tỉ Œ có một điểm đơn tọa độ hữu tỉ, thì nó sẽ có tham số hóa với hệ số thuộc Q Điều này dẫn đến việc đường cong này có thể sinh ra vô hạn các điểm có tọa độ hữu tỉ.
Giải các phương trình Diophantinel
Phương trình Diophantine là các phương trình đa thức với ít nhất hai biến, có hệ số và nghiệm là các số nguyên Trong bài viết này, chúng tôi tập trung vào các phương trình Diophantine hai biến bậc ít nhất là 3, được biểu diễn dưới dạng f(x,y) = 0 Nếu hàm ƒ không khả quy trên Z, chúng ta có thể chuyển đổi về các phương trình bậc thấp hơn Do đó, chúng ta chỉ xem xét trường hợp ƒ không khả quy, với € là đường cong afin được định nghĩa bởi ƒ Giả sử rằng C là hữu hạn và có ít nhất 3 điểm vô tận, chúng ta có thể áp dụng tham số hóa để giải phương trình Diophantine này Chi tiết về thuật toán có thể tham khảo trong tài liệu Dưới đây là một ví dụ minh họa cho quá trình này.
Ví dụ 17 Với mỗi số nguyên dương n, gọi C„ là đường cong afin định nghĩa bởi đa thức fạ (#,w) = 28 — (n — 1) 2?y — (n + 3) tụ” — ` — 2nụ (+ +).
Ta thay Ca là các cubic bậc khả quy với một điểm kép tại (0,0), cho thấy rằng nó là hữu ti Áp dụng thuật toán |j.3, ta có được tham số hóa của C,,.
P, (t) = Qnt? + 2nt 2nt + 2n me’ NB = (n— 1)? - (n+ 2)t- 1/2 — (n— 1)2?—(n+2)t— 1ˆ Xét cái thuần nhất hóa của tử va mẫu hai (hành phan trong Pp, (t) là
U (n,t,s) = 2nt?s+2nts* ; V{n,t,s) = 2nts? + 2ns? tả
Ta nhận được cái thuần nhất hóa của Dạ (t) là me 2nt?s + Its? 2w†?s + 2nts? Py, (t.s) = ( : t3 — (n — 1)t2s — (n + 2) ts? — s3” 83 — (n — 1)t2s — (n + 2) ts? — s3
Kết thúc của U(n,t†,1) và W(n,t,1) theo biến t được xác định bởi Ry = §n2, với ude chung lớn nhất ðy của đồng hệ số trong hàng và cột đầu tiên của ma trận Sylvester Thông tin này được trình bày trong nghiên cứu của Đoàn Lé Minh trên Trang 58 của Khoa Toán - Tin học.
CHUONG 5 UNG DUNG CUA THAM SỐ HOA DUONG CONG HỮU TI
W (n,t,1) là 4n® Tương tự ta cũng thu được Ry = —8n*, dg = 4n? Do đó bội chung lớn
, ằ Ry Rị „. nhất của — va = là 2m. ở àạ
Giải phương trình W (n,t,s) =k tới k chia hết 2n va gcd (t,s) — L ta nhận được
Điểm kỳ dị duy nhất của hàm C là (0,0), với phương trình fy(x,y) = 0 có nghiệm tại (0,0) và (0,-2n), trong đó n là số nguyên dương.