Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: Mô hình tuyến tính cho tương tác Electron-phonon

Bogolubov; “Phương pháp tính toán mới cho polaron N chiều trong giới han liên kết mạnh” của nhóm nhà Vật lý Trung Quốcđăng trên J.Phys,Condens.Matter 8 _16.09.1996] Mô hình Polaron là mộ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRUONG ĐẠI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHO HO CHÍ MINH

KHOA VAT LY

*wuww

LUẬN VĂN TOT NGHIỆP

DE TÀI:

MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH CHO

TƯƠNG TÁC ELECTRON - PHONON

| LOFT CAM OH

Trong thời gian trừ khi bất dau chon dé tài va hoan thinh lagu

vdn nay, tôi da thuận được rất nhieu tự giúp dé, động niên từ thay

«6, gia dink oa ban hè Dde Biệt cho phép tai bay tả ling biết ou

chan thanh dén:

© Phd Gido Sa_ Fién si Hguyén “Khác Hap, người dé giip

thé dink hating bhi liga chon dé tai.

© Fién si khoe lrọc Le Odn Hoang da tan tinh hutéugddn téi

trong tuổi thời gian lam (tận oan.

Shan đâu tôi củng xin gửi lời cain on đến Ban Ai Whigm

khoa Ogl Ly trường “Đại he Sa Dham TFP.FOOM, các Thay €À trong khoa, các ban sink ciên khda 2ó 2000 -

2004 đã tạo mei điều kiện cũng nu: gián đờ tải trong thời

giam lam lugu oan.

Khi thực higu luận oan tàu, ban than đã cố gdag lam thal

tất trong gidi han kiểm thite của minh nà trong trink bag of tinh

thue chde chan tằm khdng tranh khả? mgt oài thiếu lót, Kink

mong nhan cược uluing ÿ kiến ding gdp từ phia qui thay cả

gido, gido vién phan biện, các han sink vién để luận van

dee hoan thiện hon.

GVHD: PGS.TS Nguyễn Khắc Nhap- TSKH Lê Van Hoàng - LUẬN VAN TOT NGHIỆP

I Như đã biết trong mạng tinh thê chat rắn, các ion tại các nút mang tỉnh the

khong nằm =~ tai vj tri can bing ma chúng luôn dao động quanh vị trí cân bằng.

Lý thuyết vẻ đạo động mạng cô điển có thé giải thích được rất nhiều hiện tượng

vặt lý trong chat ran, ví dụ như: sự dan nở vì nhiệt, sự xuất hiện điện trờ trong kim

loại, định luật Joule-Lentz, định luật Ohm, hiệu ứng Hall

Tuy nhiên có một loạt các hiệu ứng rit quan trọng, có ý nghĩa lớn về ứng dụng

thực tiễn sé không thẻ giải thích được néu không sử dụng lý thuyết lượng tử,

+ Trong những hiện tượng nêu ra đó tác giả muốn nhắn mạnh đến hiện tượng

siêu ‘in| dow giải thưởng Nobel năm 1972 cho công trinh lý thuyết BSC vẻ hiện

tượng siêu dẫn của 3 nhà khoa học J.Bardeen, L.N.Cooper và J.R.Sehrieffer], hiện

tượng siêu lỏng[đã dem lại nhiều giải Nobel cho nhiều nhà vật lý: Onnes(ndm 1913), P.Kapotza(nim 1930), F.Landaw(năm 1962), D.M.Lee và

H.Koermerligh-R.C.Richardson(năm 1996)], hiệu ứng Hall lượng tử [công trinh của nhà khoa học

Klaus von Klitzing đoạt giải Nobel năm 1985]

Ban chất sâu xa của các hiện tượng đó nằm trong việc hình thành các chuẩn

hat trong mang tinh thé và sự tương tác giữa điện tử với chuẩn hạt này cũng như tương tic giữa các chuẩn hạt với nhau Trong giới hạn của luận văn nay, tác giả

chú ý đến tương tác điện tử với chuẩn hạt phonon - lượng tử của dao động mạng,

có năng lượng øs=#œ và xung lượng p=hK xác định, ở đây K lả vectơ sóng

đao động lan truyền trong mạng tỉnh thẻ

3 Việc nghiên cứu tương tác điện tử - phonon phát triển theo nhiều lo

khác nhau, đến năm 1933, Landaw đã đưa ra một cách nhìn khác đó là sự x

hiện ý tưởng “ty làm bẩy của electron”.

Trong mạng tinh thé ion, khi electron tương tắc Coulomb với ion mạng tỉnh

thé dang dao dong chúng sinh ra sy phân cực trong tinh thé Sy phân cực này tạo

ra một "hồ thế” bao quanh electron.

Nang lượng của electron giảm và nó bị mắc vào hế thế ma nó tự *đào” Vì

thé nang lượng toàn phân tức là lượng tông cộng của electron va năng lượng

dao động mạng giảm do cỏ sự xuất hiện của hố thé, thực thể phức tạp nảy có

"quyền tổn tại”, gọi là polaron.

SVTH: Ngô Thị Phương 3

GVHD: PGS.TS Nguyễn Khắc Nhạp- TSKH Lê Van Hoàng - LUẬN VĂN TOT NGHIỆP

Cho đến nay mô hinh này được nghiên cứu rộng rãi, được viết trong nhiều

sách chuyên ngành, được để cập đến trong rất nhiều sách giáo khoa[lntroduction

to solide states physics của Charles Kitel, Lý thuyết chất rắn của Davudov, ] và

cho đến thời điểm hiện nay day vẫn la một trong những hướng được nghiên cửu mạnh mé[tac phẩm “Some Aspects of Polaron theory” của N.N Bogolubov;

“Phương pháp tính toán mới cho polaron N chiều trong giới han liên kết mạnh”

của nhóm nhà Vật lý Trung Quốc(đăng trên J.Phys,Condens.Matter 8

_16.09.1996)]

Mô hình Polaron là một mô hình rat thuận tiện dé thử nghiệm nhiều phương

pháp giải gần đúng trong cơ học lượng tử cũng như lý thuyết trường lượng tử; đặc

biệt nó được dùng để nghiên cửu các vấn để vẻ tương tác giữa hạt và trường

lượng tu Vi vậy việc giải phương trình Schrodinger cho bai toán polaron đã được

thực hiện và phát triển bởi hdu như tất cả các phương pháp của cơ học lượng

tử(nhương pháp nhiễu loạn, phương pháp biến điệu, ).

4 Mục tiêu của Luận văn là:

©_ Tim hiểu sâu về mô hinh tương tác điện tử - phonon : nâng cao hơn những

kiến thức đã học trong học phần Vật lý chất rắn

e© Tiếp cận với một trong những phương pháp hiện đại để giải phương trình

Schrodinger cho mẫu polaron: điều này giúp củng cế và phát triển thêm

kiến thức của học phần Cơ học lượng tử.

e Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học thông qua một bài toán

polaron cụ thé, Hoan thiện những kĩ năng co bản phục vụ cho việc nghiên

cứu khoa học sau này như: cách tìm tài liệu, cách tiếp cận kiến thức bằngnhiều phương tiện khác nhau, cách trình bày một vấn dé khoa học cùng

với việc sử dụng các kiến thức toán học cao cấp cũng như các chương trình

hỗ trợ tính toán dựa trên các ngôn ngữ lập trình dành riêng cho sinh viên

ngành Vật lý như Mathematica.

SVTH: Ngé Thị Phương 4

GVHD: PGS.TS Nguyễn Khắc Nhap- TSẤH Lê Văn Hoàng LUẬN VĂN TÓT NGHIỆP

Luận văn này gồm có 3 chương chính:

_Chương I: khái quát hóa lại kiến thức về chuẩn hạt phonon để cho thấy rằng có thê hiểu nó như là một lượng tử của dao động mang Nó có những tinh chất của một hạt lượng tử và quan trọng nhất là nó có sự tương tác.

_ Chương II: trình bay về tương tac electron - phonon trong mạng tinh thé ion với

cách biểu diễn toán tử Hamilton khác.

Thông thường thì trong các sách khi viết về tương tác electron — phonon ,

cúc tác giá thường viết biểu thức của toán tứ Hamilton trong biểu diễn se sé lip

day cho cả thành phan electron va phonon, thực tế trong những công trình nghiên

cứu gắn đây, người ta vẫn giữ nguyên dạng ban đầu thành phần Hamilton của clectron ma không viết trong biểu diễn số lắp đây.

Theo hướng đó, trong chương này sẻ trình bày cách viết toán tử Hamilton cho tương tác electron - phonon trong mạng tinh thé ion Van dé này có thé tim

thấy trong tác phẩm Lý thuyết chat rắn của Davudov, sách tuyển tập các van dé vẻ

polaron

_ Chương II: để tiếp cận với một trong những phương pháp nghiên cửu hiện đại, tác giả làm quen với mô hình tuyến tính của giáo sư Komarov(số

539.I2_ 03 07.1995) dựa trên những cơ sở lý thuyết của mẫu Bogolubov

Thường thì đối với các mô hình trường, phần tương tác giữa electron và

trường lượng tử luôn có thừa số có dạng €“” và trong các tính toán cụ thể, người

ta pee cho gan đúng bang | hoặc bằng 1+ikr Điểm khác biệt hẳn trong mô

hình tuyên tinh là phép gần đúng được sử dụng một cách hoan hảo hơn va giữ lại

“0?

được thành phan phụ thuộc vào năng lượng phonon theo dạng e *“ Ngoài ra,

mỏ hình gần đúng này cho lời giải chính xác và cho phép diễn giái các thành phần

của Hamilton một cách rõ rang.

Trong chương này, tác giả làm quen, tìm hiểu kĩ hơn một số tính toản cụ thể tuân

thu theo trình tự xây dựng mô hình của giáo su Komarov; phát triển kết quá với

việc sử dụng ngôn ngữ lập trình Mathematica, phân tích và về đô thị.

SVTH: Ngô Thị Phương 5

GVHD: PGS.TS Nguyén Khắc Nhạp- TSKH Lê Van Hoàng LUẬN VĂN TOT NGHIỆP

Với những kiến thức tìm hiểu được từ mô hình nay, chúng ta có thé phát triển tiếp

lên cho bai toán polaron trong điện từ trường, tính các mức năng lượng của polaronở trang thai kich thích.

ỷF——————————ễ=

SVTH: /Vẹô Thị Phương 6

GVHD: PGS.TS Nguyễn Khắc Nhạp- TSKH Lê Văn Hoàng LUẠN VAN TOT NGHIỆP

Chương |:

PHONON - LƯỢNG TU CUA DAO DONG MẠNG

Chương nay mục đích để chi rõ chuẩn hạt phonon là lượng tử của dao động

mạng, đây là sản phẩm thuần tủy của lý thuyết lượng tử Vi vậy phan này sẽ trình bảy lại đao động mạng tính thể một chiều đơn nguyên tử để thấy rõ quy luật tán sắc

trong dao động ,mạng Thêm nữa la phan trình bay dao động mạng một chiều hai

nguyên tử dé thấy rd sự khác biệt giữa nhánh quang học va nhánh âm học.

Và bang việc đưa vảo khái niệm phương thức chuẩn dé để dang hơn trong

việc thực hiện quá trình lượng tử hóa dao động mạng Tiện ích khi đưa vào khái

niệm nay là ta đã xét dao động mạng như một tập thẻ dao động ma không xét đến

đao động của từng nút mạng Nói khác đi dao động mạng được xét như một tập hợp

của các mode dao động khác nhau Khi lượng tử hóa lên, cứ một mode đao động

tương ứng với một dao động tử điêu hòa và mỗi kích thích của nó xem như một

chuẩn hạt, gọi là phonon.

Tat cả các kiến thức trên được trình bày khá day đủ trong các giáo trình vật

lý chất rắn dùng để giảng dạy cho sình viên khoa Vật lý của nhiều trường Đại họcnhư: sách “Vat lý chất rắn” _ Nguyễn Thế Khôi, Nguyễn Hữu Mình NXB Giáo Dục

1992, sách “Vat lý chất rắn” Lê Khắc Bình, Nguyễn Nhật Khanh_NXB Đại học

quốc gia TP Hồ Chí Minh “2002; “Giáo trình vat lý chất rin” ' Nguyễn Văn

Hùng Đại học quốc gia Hà Nội

Do vậy, trong chương này, tác giả chỉ khái quát lại kiến thức và chỉ dừng lại

ở dao động một chiêu, riêng phần phương thức chuẩn đưa ra dưới dạng tông quát

nên khảo sát ở dang ba chiều

§1 DAO DONG CUA MẠNG TINH THE MOT CHIEU

1) Thể nào là mạng tinh thé một chiều ?

Đó là một dãy hay chuỗi các nguyên tử giống nhau, đặt cách đều nhau trên

một đường thăng.

Các nguyên tử hay phan tử chuyển động đao động quanh vị trí cân bằng Do

sự tương tác giữa các hạt các nguyên tử chuyên động « bám chặt » lây các nguyễn

tử lần cận, chúng tạo ra chuyển động tập thẻ giống như sự lan truyền của sóng dan

hỏi trong mạng tinh thẻ.

———.—>=TTyyễTễTễTễïẮÐFẮẪ—è—ừ—èễèèễèễèèễèễèễ—èễèễèễừèễèừèèFừFèFỄFEFỄFE TZzr-mTBTTTT-T-T-—TBASESBSESEE-Z-i

SVTH: Ngô Thị Phương 7

GVHD: PGS.TS Nguyễn Khắc Nhạp- TSKH Lẻ Văn Hoàng LUẬN VĂN TOT NGHIỆP

Tùy vào phương dao động cua các nguyên tử mà người ta phân ra làm hai

3) _ Trường hợp mạng tỉnh thé một chiéu đơn nguyên tử :

_ Xét dao động vuông góc với dãy nguyên tử gồm các nguyên tử giống nhau,

khỏi lượng M, cách nhau khoảng a.

Vị trí của các nguyên tử có thé được xác định bằng vectơ tịnh tiến : R, =na,

n la sở nguyên chỉ vị trí cân bằng của các nguyên tử trong chuỗi

Giả sử lúc t = 0, nguyên tử thứ n = 0 dịch chuyển đoạn u, ra khỏi vị trí

cânbằng ; w„( £) là độ dịch chuyên ở thời điểm t của nguyên tử thứ n ra khói vị trí

cân bằng của nó tại điểm có toa độ x„= na.

Nếu độ dịch chuyển của các nguyên tử ra khỏi vị trí cân bằng là rất nhỏ sovới rf Resta cách a giữa hai nguyên tử kẻ nhau thi lực tương tác giữa các nguyên tử

có thể xem gần như là đàn hồi Theo định luật Hooke, các lực đàn hồi này có độ lớn

tỉ lệ với độ dịch chuyền

_ Các nguyên tử của chuỗi xem như liên kết với nhau bằng các lò xo nhỏ có

hing số dan hồi là e Lúc nảy độ dịch chuyển u, mô tả dao động của nguyên tử thứ

n trong vùng lân cận quanh vị trí cân băng.

Do đó vị trí của nó được xác định như sau:

GVHD: PGS.TS Nguyễn Khắc Nhap- TSKH Lê Van Hoàng LUẬN VAN TOT NGHIỆP

Suy ra

Xét sóng truyền đọc theo chuỗi nguyên tử „ tim nghiệm cúa phương trình

dưới dạng một ,sóng lan truyền tuần tự theo thời gian theo quy luật hàm số mũ

exp(-Iú)1).với cùng tân số góc 0o.

Nghiệm của (1.IL l ) có dạng:

u„ =u, eXpÍ( Kna = @fÌ; (I.1.2)

với „ xác định độ lệch của nguyên tử thứ n = 0 ra khỏi vị tri cân băng ở thời

điểm t=0.

3

K= ¬ là số sóng , K là vectơ sóng, cỏ cùng phương chiều với hưởng lan

truyền của sóng

Bang cách thay nghiệm trên vào phương trình (1.2.1), ta cỏ :

Mo’ = ~C[exp(iKa)+ exp(~Ka}~ 2] ‘ (1.1.3)

Sử dụng công thức Euler : e“* =cos Ka + isin Ka,

@=|— | |sin—].

M 2

(1.1.5)

Đây là hệ thức tán sắc của dao động trên chuỗi tuyến tính một chiêu Sự tán

sắc là tính chất thể hiện sự lệch khỏi quy luật tuyến tính ở đây hệ thức tán sắc diễn

tả moi liên hệ giữa tan số góc œ với độ lớn của vectơ sỏng K.

—_——————ễ——>

SVTH: Ngô Thị Phương 9

GVHD: PGS.TS Nguyễn Khắc Nhạp- TSKH Lê Van Hoàng LUẬN VĂN TOT NGHIỆP

Nhu vậy vecto sóng K,X* đều mô tả cùng một trang thái dao động nghĩa là

chúng tương đương nhau vẻ tinh chat vật lý Chọn khoảng —< K <” là khoảng

GVHD: PGS.TS Nguyễn Khắc Nhạp- TSKH Lê Van Hoàng LUẬN VĂN TOT NGHIỆP

a

> Van tắc nhóm : là vận tốc lan truyền năng lượng dao động mạng

dw

Taco: Y= aK ' , hay Ve = grad, (K \.

° Với những giá trị K nhỏ, nghĩa là Ka<<l,K có giá trị gan tâm ving

Bnillouin :

!

Ka Ka “ Cl] ss £ `

SH alr ï lúc đó @= = K : œ phụ thuộc tuyến tính vào K

Trường hợp này giống như trường hợp cúa sợi dây dan hỏi liên tục có mật

độ khôilượng là ø.

|

cy M

Van tốc nhóm là : ¥, = >> *| — %

Trong trường hợp nay ta thấy các dao động có tin số nhỏ ing với

bước sóng lớn Những kích thích dao động tương ứng với sự lan truyền song âm

trong tinh thé, nên ta gọi nhánh dao động này là nhánh âm học.

° Với những giá trị của K lon, K thuộc vùng biên của vùng Brillouin

ĐEN: eae Pe

° Với K=+ (K có giá trị tại biên của vùng Brillouin) thì v„=0.

a

e Điều kiện giới han :

Dé thuận lợi cho việc giải bai toán dao đông mang, Born var Karman đưa ra

1 điều kiện vẻ tính tuần hoàn của chuỗi tuyến tính : trạng thái dao động tại nút mạng

thứ n giống như trạng thai dao động ở nút mạng (n+N)

N là số nguyên tử trong chuỗi tuyến tính đang xét

Ta có u, =u, ©Xp Í( Kna = @f} ,

Huy = tụ expi(K(n + N)a - at) 7 u,e*%

SVTH: Ngé Thị Phương HH

GVHD: PGS.TS Nguyễn Khắc Nhạp- TSKH Lê Van Hoàng LUẬN VĂN TOT NGHIỆP

Nếu e“**“ =1 thiu,= u„«x „ suy ra KNa =2nz hay K-—

PB Ro thay ring vùng (1.11.6) trùng với vùng Brillouin của vecto sóng của

dao động Sử dụng điều kiện tuần hoàn như trên ta thấy giá trị chấp nhận được vaphủ hợp của K là N, bằng với số nguyên tử trong mạng đang xét Mỗi giả trị riêng

của K ứng với ham riêng của nó đưới dạng nghiệm u,, Chính vì thẻ số ham riêng nay hay số nghiệm tuyên tính của phương trình không vượt quả N Trong phô

@[ K}, một giá trị œ ứng với N giá trị của vectơ sóng

_ Ta có gid trị của K giới hạn trong v ung Brillouin thứ nhất và œ có giá trị

nhật định :

atl -oaiaa,_

Na 2

nên nghiệm u„ mô tả dao động của nguyên tử tại nút mạng tinh thé thứ n thay

đôi theo giá trị vectơ sóng K là:

u, -1yÈ4()se|: KR.~ø()¿|Ì

(1.1.7)

A(K) là biểu thức đặc trưng cho biên độ dao động của nguyên tử, nó là một

ham phụ thuộc vào K

3) Trường hợp mang tinh thé một chiều hai nguyên tứ :

a Dao động của m iu gồm 2 n tử :

Để giải bai toán dao động mạng của 2 nguyên tử người ta có thể xây dựng

hai mô hình như sau :

SVTH: Ngô Thị Phương 12

GVHD: PGS.TS Nguyễn Khắc Nhạp- TSKH Lê Van Hoàng 1.UAN VAN TOT NGHIỆP

v Mẫu thứ nhất : là một chuỗi tuyến tính gồm 2 nguyên tử déng nhất

gin két nhau bing những lò xo nho có độ cứng lần lượt là G vả K

v Mẫu thứ hai : là một chuỗi tuyển tính gồm 2 2 nguyên tử có khôi lượng

lần lượt là My, M; cách nhau khoảng a được sắp xếp luân phiên nhau trên chuỗi

này Lúc này lực tương tác giữa các cặp nguyên tử gan nhau là đồng nhất(xem nhưcác nguyên tử được liên kết với nhau bởi các lò xo nhỏ có cùng độ cứng)

Trong phan nay sử dụng mẫu thử hai

Phương trinh dao động của 6 mạng thứ n gồm 2 nguyên tử M;, Mz cỏ dạng :

Gọi Un, #2„-, lan lượt là độ dich chuyển của nguyên tử khối lượng M,, M; ra

khỏi vị trí cân băng của nó.

Nghiệm của các phương trình trên 1a:

ly„ =U, exp| i(2nKa -at) |

i =e exp| i((2n - I)Ka~er) |

Thay các nghiệm vào phương trình (1.11.7) ta thu được nghỉ ệm sau:

GVHD: PGS.TS Nguyễn Khắc Nhạp- TSKH Lê Van Hoàng LUẬN VĂN TOT NGHIỆP

Ham @,(K) trùng với các hàm mô tả tần số sóng ấm của tinh thé một chiều

đơn nguyên tử có khôi lượng là (M;*+M;) Do đó nhánh dao động ứng với tan số gÓC

(K) được gọi là nhánh âm h oc.

ion khi có đao động ứng với nhánh này, nó để đàng bị kích thích bởi ánh sáng Do

vậy nhánh dao động này gọi là nhánh quang học.

© — Khi K=+^,, với giả thiết (M, < M,), tại biên của vùng Brillouin thử

GVHD: PGS.TS Nguyễn Khắc Nhạp- TSKH Lê Văn Hoàng LUAN VĂN TOT NGHIỆP

b Nhánh am học và nhánh quang học trong phổ đao động của mạng

tinh thẻ ma trong 6 mạng sơ cấp chứa trên hai loại nguyên tử :

Trong mạng tinh thể chứa N 6 mạng sơ cap, mỗi 6 có | nguyên tử ứng

với N giá trị của vectơ sóng K trong ving Brillouin thứ nhất Mỗi giả trị của vecta

song K tương ứng với 3 thức dao động(3 modes dao động) : | thức đọc và 2 thức

ngang Mỗi nguyên tử có 3 bậc tự do, sô thức dao động có the bằng với số bậc tự do

của các nguyẻn tử trong mạng tỉnh thẻ.

Đối với tính thể gồm N ô mạng sơ cấp, mỗi 6 chửa p nguyên tử Sẻ

nguyẻn tứ lập nén tỉnh thẻ là pN do đó tỉnh thể có 3pN bậc tự do ứng với 3pN

modes dao động, trong đó :

“ 3N nhánh âm học : I nhánh doc âm học(LA) và 2 nhánh ngang

am học(TA) ;

3(p-1)N còn lại gôm :

* (p-1)N modes dọc quang hoc(LO), gồm (p-1) nhánh dọc quang học

v 2(p-!)N modes ngang quang học trong đó có 2(p-l) nhánh ngang

quang học(TO)

— -————ễễ -SVTH: Ngô Thị Phương 15

GVHD: PGS.TS Nguyễn Khắc Nhạp- TSKH Lê Van Hoàng LUẬN VĂN TOT NGHIỆP

§2 PHƯƠNG THỨC CHUAN

Từ cách biểu diễn nghiệm của phương trình dao động của mạng tinh

thê như (1.1.7), ta đưa ra một hệ tọa độ mới đặc trưng cho tính chuyên động tập thẻ

của mạng tỉnh thẻ, g oi là hệ toa độ chuẩn hay phương thức chuẩn

GVHD: PGS.TS Nguyễn Khắc Nhap- TSKH Lẻ Văn Hoàng LUẬN VĂN TOT NGHIỆP

B(K | gọi là tọa độ chuẩn, nó mô tả dao động của một mode đao động đặc

trưng cho tính dao động tập thể của các nguyên tử trong mạng tính thể.

Bây giờ xác định năng lượng dao động mạng tinh thé biêu diễn trong phương

ở đây ta có : A4ø`(K)= Mø(~K}= 4Csin’ =

Nang lượng dao động mang của mạng tinh thé:

E=E,+E,

E= >w}|2(K)ã(-#)-ø(£)2(£)ø(-#)|

¬—————————————>————ssssssssnnmsszazzmn

SVTH: Ngô Thị Phương 17

GVHD: PGS.TS Nguyễn Khắc Nhap- TSKH Lê Van Hoàng LUAN VAN TOT NGHIỆP

——————_—_—_—_—_—_——

a(n) «e'(#|a(#} |

Từ biểu thức B(K) = A(K)e“ử ta lấy đạo ham hai về theo thời gian

ñ(K)=-ø'(K)a(R).

đây là phương trình dao động của | mode dao động trong tọa độ chuẩn nd có

dạng phương trình dao động của | đao động tử điều hòa dao động với tin số w(K )

và nang lượng của mỗi dao động tử là :

E(K) -‡wi(£| +ø'(#Js(Ÿ |

Bằng cách chuyển sang hệ tọa độ chuẩn ta cũng có được ring bài toán dao

động mạng được xem nh ư là bai toán tông hợp các dao động tử điều hoa.

Cần phải lưu ý rằng việc đưa ra tọa độ chuẩn chi là cách biểu dién khác vẻdao động mạng chứ không hề làm thay đôi bản chất vật lý của vấn đề Trong hệ tọa

độ biểu dién theo u, hoặc biểu diễn trong tọa độ chuẩn, dao động mạng déu được

xét như tông hợp các dao động điêu hòa, do đó khi lượng tử hóa dao động mạng ta

thực hiện một cách bình thường xem như lương tử hóa nhiều đao động tử điều hòa

Câu hỏi đặt ra là vậy thì tại sao người ta lại đưa ra một khái niệm mới 1a tọa

độ chuẩn ma không sử dụng tọa độ cũ trong khi tọa độ cũ vin bảo đảm giải quyếtđược vấn đề ? ;

Việc đưa ra tọa độ chuan chi làm đơn giản hon qua trình lượng tử hóa dao

động mạng Khi thực hiện quá trình lượng tử hóa thi tính chất dao động tập thé của

mạng thẻ hiện ngày càng rõ nét vả tính độc lập, tính phân biệt được của các dao

động tập the nay theo các giả trị vectơ song khác nhau cảng cao Do do dùng tọa độ

chuẩn mô tả một mode dao động(dao động tập thé của tất ca các nguyễn tử trong mạng) có lợi thê hơn so với việc đùng tọa độ u„ để mô tả dao động của từng nguyên

tử sau đỏ tổng hợp tất cả các dao động thảnh phan thành dao động tổng hợp củamang Tiếp đó phải khảo sát xem dao động tống hợp này thay đổi như thé nào theo

từng giá trị của vectơ sóng RO thay rằng sử dụng phương thức chuân sẽ làm cho bàitoán dao động mạng đơn giản và để tiếp cận hơn.

SVTH: Ngõ Thị Phương 18

GVHD: PGS.TS Nguyễn Khắc Nhạp- TSKH Lê Lăn Hoàng LUẬN VĂN TOT NGHIỆP

§3 LƯỢNG TU HOÁ DAO DONG MẠNG - PHONON

{_ Toán từ Hamilton cho dao động tử điều hòa

m khỏi lượng của dao động tử, œ là tần số dao động của dao động tử

Trị riêng va hàm riêng của toán tử Hamilton

ay, = ny, say, = Vn+ÌW,„;.

Goi | kích thích lượng tứ ứng với n=! là sự kích thích | phonon

Hay mỗi một Í tủ ông của dao động tử gọi là phonon, n xúc định số phonon trong trang thái tương ứng Mỗi phonon có nang lượng là ho.

Như vậy toán tử @ làm giảm số phonon xuống | đơn vị, gọi là toán tử hủy

GVHD: PGS.TS Nguyễn Khắc Nhạp- TSKH Lê Van Hoàng LUẬN VĂN TOT NGHIỆP

2 Lượng từ hóa dao động mang:

Sau khi viết phương trình dao động của mang tỉnh thé ta thấy rằng nó có

dạng giống như phương, trình của các dao động tử điều hòa.

Do đó bài toán về dao động mạng tỉnh thé có thể giải như bải toán của các

dao động tử điều hòa ;

Năng lượng toàn phân của dao động mang bằng tổng các năng lượng của

các đao động tử điều hỏa:

Tương tự với cách biến đổi trên nhưng đổi các toán tira’ , đ thành a, và

a; lần lượt là các toán tử sinh, hủy các kích thích nguyên tố mô tả các dao động

như vay năng lượng của dao động mạng tinh thé bi lượng tử hóa Mỗi kích

thích lượng tử dao động mạng có năng lượng hw gọi là phonon Nghĩa là có thé hiểu

phonon chính là lượng tửa dao động mạng.

SVTH: Ngé Thị Phương 20

GVHD: PGS.TS Nguyễn Khắc Nhạp- TSKH Lê Văn Hoàng LUẬN VAN TOT NGHIỆP

Kích thích phonon trong tỉnh thể là biểu hiện tính chất tập thể của các

nguyên tử tương tác với nhau trong vật răn.

3 Mộ! vài tính chất của Phonon :

a) Ham sóng Phonon :

Khi phonon ở trạng thải cơ bản năng lượng của nó có giá trị:

= : » ho,

Ta gọi trang thái đó là trang thái chân không, kí hiệu là : |0)

Trạng thái ứng với n phonon cùng loại được xác định bởi hàm :

|n„) =(n, )*(az) I9) (0)

ứng với năng lượng các phonon là a,ha,

Giả sử trong mạng có n phonon, nang lượng của đao động mạng được xem

như tông năng lượng của các phonon, nó được tính bởi :

E=nho(K).

b) Phan bỗ của Phonon :

Trong mạng tỉnh thẻ, ứng với một giá trị vectơ sóng, các phonon có trạng

thai lượng tử là như nhau Nếu ta xem tập hợp tất cả các phonon trong mạng giongnhư một chất khí phonon lí tưởng thì chất khi phonon này tuân theo thống kê Bose

~ Einstein.

l

(n) = or 1 (xem phụ lục A0.2)

c) Chuẩn xung lượng của phonon :

Phonon được xem là chuẩn hạt nên xung lượng của phonon gọi là chuẩn

xung lượng

p=hK.

Về mặt nào đó chuẩn xung lượng gần giống như xung lượng binh thường

nhưng chúng cũng có sự khác nhau Khi hai hay nhiêu phonon va chạm nhau, năng

———

SVTH: Ngô Thi Phương 21

GVHD: PGS.TS Nguyễn Khắc Nhạp- TSKH Lê Văn Hoàng LUAN VĂN TOT NGHIỆP

lượng to an phản của nó được bảo toàn còn chuẩn xung lượng bảo toàn sai khác

nhau một vectơ tịnh tiền mạng đảo:

SVTH: Ngé Thị Phương 22

GVHD: PGS.TS Nguyễn Khắc Nhạp- TSKH Lê Văn H LUẬN VĂN TÓT NGHIỆP

TƯƠNG TÁC ELECTRON - PHONON

§1 GIỚI THI EU CHUNG

Trong mang tinh thé chat ran electron chịu tác dụng của lực bên trong sinh ra

từ trường tuân hoàn của mạng tỉnh thé Do vậy chuyên động của electron trong mạng

trnh thẻ phức tạp hơn so với chuyên động của electron tự do.

Vận tốc chuyên động của electron liên hệ với tần số góc của sóng electron là:

v= ie vag =< với là năng lượng của electron.

Phương trình chuyển động của electron:

an wid (te) 1 d'e\dk

dt

dt hdi\dk) (hát

i? dk ` ;

Dinh nghia om = Teak và có a =F là ngoại lực tác dung lên electron, thi

phương trình chuyển động của electron với khối lượng hiệu dụng m” có dạng đúng với

dang của phương trình định luật IT Newton:

pot de

d*e/ dt? dt `

m` gọi là khối lượng hiệu đụng của electron.

Việc đưa ra khái niệm nay giúp chúng ta giải bai toán chuyển động của

electron trong trường tuân hoàn của mạng giống như trường hợp giải cho bài toán

chuyên động của electron tự do có khôi lượng là

SVTH: Ngô Thị Phương 23

GVHD: PGS.TS Nguyễn Khắc Nhap- TSKH Lê Van Hoà LUẬN VAN TOT NGHIỆP

Như vậy dao động trong mang tinh thé là cỏ tính tập thẻ nên ta chí có thé khao sát tương tác giữa electron với dao động tập thé của các nút mạng trong tinh thé Nhìn

nhận ở khia cạnh lương tử, đó chính là tương tác của electron với phonon - lượng tử

của dao động mạng.

Cac nguyên tử tại vị trí các nút mạng dịch chuyển khỏi vị trí định sản của nó đã

được xác định trong câu trúc mạng tỉnh thé Sự thay đổi vị tri này tác động đến electron

va vi thé các electron bị ảnh hướng din đến sự lệch hướng và chạy tan loạn khỏi « lộ

trinh » thường lệ của chúng, điều này làm phá vỡ cấu sự tuần hoàn của trường tỉnh thẻ

Ngược lại, chính sự thay đổi trạng thái của electron gây ra một sự biển đổi nhất định

của các lực tác dụng lên nguyên tử Sự xuất hiện các hiện tượng này cho phép ta kết

luận rằng tổn tai sự tương tác qua lại giữa electron và phonon, gọi tắt là tương tác

electron - phonon Tương tác này xuất hiện ở nhiệt độ không tuyệt đối và giữ vai trò

ngày cảng quan trọng khi nhiệt độ tăng lên Có thể nói tương tac electron — phonon lả

một bài toán cơ bản trong vật lý chất rắn Bắt đầu từ những năm 1930 đến nay, người

ta vẫn tiếp tục tìm kiếm những phương pháp tối ưu nhất dé giải bai toán này và theothời gian thi con người đã nhìn nhận bài toán này trong những điều kiện rất khác nhau

như:

> Xét tương tác electron-phonon trong giếng đơn dang dng carbon( Tobias Hertel

và Gunnar Moos Viện Max-Planck-Gesellshaft, Faraday 4-6, 14195 Berlin,

Đức),

> Tương tác clectron - phonon với phonon mềm trong siêu dẫn RNi,B,C của

nhóm nha nghiên cứu I.K Yanson, V.V.Fison thuộc khoa Vật lý trường đại

học Warwick nước Anh.

> Tương tác electron - phonon trong Bl(III) của Christan R.Ast và Hartmut

Hochst (trường Đại học Wisconsin-Madison)

> Hiệu ứng tương tác electron - phonon trên phé electron của chất bán dẫn hap

thụ yếu của A.N Kocharyan_Viện Vật lý Yerevan - Liên Xô.

và rắt nhiều công trình khác.

Geen

SVTH: Ngé Thị Phương 24

Dé dac trưng cho độ mạnh yếu của tương tác electron với trường phonon tan số

«© người ta định nghĩa:

gọi là hằng số tương tac electron — phonon;

trong đó e„, e lần lượt là giá trị của hằng số điện môi ứng với tần số cao hơn tan số dao động của các ion vả ở điêu kiện thường.

Tương tác electron - phonon ứng với một chuỗi các hiện tượng vật lý riêng biệt trong tinh thé như :

1) Chuyén động của các electron đi kèm với chuyển động của một trường

biến dang trong tỉnh thé ( hiệu ứng polaron).

2) Các electron hap thụ và phát ra các phonon va chúng chuyên từ trạng thái

này sang ai thai khác.

3) Trong một số trường hợp đặc biệt của tương tac giữa các electron với

phonon lam xuất hiện hiện tượng siêu dẫn và những hiện tượng khác

trong chất rắn.

SVTH: Ngô Thị Phương 25

GVHD: PGS.TS Nguyễn Khắc Nhap- TSKH Lê Van Hoà LUẬN VAN TOT NGHIỆP

Trong phan này ta xét tương tắc của electron với dao động mang tinh thé nhánh

quang học hay tương tắc của electron với phonon quang trong tinh thẻ ion.

Xét electron chuyên động và tương tác với các ion dao động lệch khoi vị trí can

bang của nd, Giá sử chuyên động của electron được giới hạn trong một vùng rất nhỏ có

thé tích nguyên tổ V.

Khi electron chuyển động tương tác Coulomb với ion mạng tinh thé, chỉnh trường

Coulomb này sinh ra sự phân cực, đặc trưng bằng vecto momen phân cực P(r) Nếu

Xét trong một đơn vị thé tích thi vectơ momen phân cực này gọi là vectơ momen phân

cực riêng, nó tay đổi theo thời gian với tần số góc œ và được định nghĩa bảng hiệu số:

P(z\=#s(z)~-(7).

Nếu không tinh đến phan cực tĩnh của mạng nghĩa là phản cực giữa các ion trái

dấu trong tỉnh the j ion mà không tính đến dao động mạng, thì phân cực nói trên gọi là

phân cực đọc Bảng phép biểu điển gần đúng ta có thé xem phân cực dọc được tính nhu

là một nghiệm của phương trình:

P(r)+@P(r)=0, (IL1.1)

với điều kiện curl P(7) =0.

Vectơ phân cực này liên hệ với vectơ cám ứng điện của mội trường đang xét bằng hệ

Ha= =P p, : động năng của electron với khôi lượng hiệu dụng mm’.

H„= 2“ |? (r rÌ+œ`P(r | r: năng lượng phân cực đọc của tinh thẻ,

› 4c

và có /,„=———,

o

SVTH: Ngõ Thị Phương 27

Hw = eg(r) : thé năng tương tác electron-phonon.

Nghiệm của phương trình (1.1.1) P(r) được viết lại sau khi sử dung các điều kiện

biên tuẫn hoàn K = É "VY =7} (là thể tích nguyên tổ của ving không gian mạng

tinh thé ion đang khảo sát) là :

P(z.+] = „8 Px(t)e*’, K là số sóng của dao động mang.

GVHD: PGS.TS Nguyễn Khắc Nhap- TSKH Lê Văn Hoà LUẬN VĂN TÓT NGHIỆP

Vectơ momen phản cực riêng P(r | và thé vô hướng e(r) được viết lại theo các toán

từ Bose như sau:

e(r= MT | are" +axeX |,

Cuối cùng ta chuyển ham Hamilton của hệ electron phonon sang dang của phương

trình không có thư nguyên.

t

Wu? 2m'@

DB, —~ “ ne Anêo hi =ho hay u=|——"

x=ur, ;S=uV iia

GVHD: PGS.TS Nguyễn Khắc Nhap- TSKH Lé Văn Hoà LUẬN VĂN TOT NGHIỆP

\

H= 2P + aidi +2⁄(] “Tp lae" +aie #\

trong đó ta chọn hing số A, khối lượng hiệu dung electron m” và tin số góc w của

phonon quang học cho bằng đơn vị do; a là hằng so tương tác electron-phonon không

có thử nguy én.

Nhận xét rằng thành phan động năng của electron được giữ, nguyên dạng mà không viết

theo dang toan tử sinh hủy electron trong biểu diễn số lắp day.

Toán tử Hamilton này được sử dung cho việc tính toán trong chương tiếp theo

— -SVTH: Ngô Thị Phương 30

GVHD: PGS.TS Nguyễn Khắc Nhạp- TSKH Lê Van Hoàng WAN VĂN TOT NGHIỆP

Chương III;

MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH CHO TƯƠNG TÁC

ELECTRON - PHONON

Nhu da biết, tương tác electron — phonon đã được xét ở nhiều khía cạnh khác

nhau Xét vẻ mật liên kết của tương tác giữa electron va phonon, người ta đã khảo

sat cho trưởng hợp liên kết yếu liên kết trung bình và đặc biệt lả trường hợp liên kết

mạnh Trong các trường hợp liên kết, khi xét tương tác này người ta đã công nhận

sự xuất hiện của một chuẩn hạt mới gọi là polaron Khái niệm Polaron được dùng

dé mô ta nhiều hiện tượng khác nhau tong vật lý chat rin Ngoài ra bài toánPolaron cùng là một mô hình rất thuận tiện dé thứ nghiệm nhiều phương phip giải

gan đúng trong cơ học lượng tử cũng như lý thuyết trường lượng tử.

Bài toán về polaron thường được xét ở 2 phép gan đúng khác nhau vẻ bin

kinh của polaron như sau:

° Mẫu của Frø hlich cho polaron có bán kính lớn: khi đó kích thước đặc

trưng của polaron lớn hơn nhiều so với khoảng cach a giữa hai nguyên tử trong tinh thê(r¿>> a).

° Mẫu polaron có bán kính nhỏ rp << a va lúc nay electron định xứ bên

trong ô mạng đơn vị của tỉnh thể

Có rất nhiều phương pháp khác nhau để giải bài toán tương tác

electron — phonon và các phương pháp này được thay đổi và hoàn thiện liền tục như:

¥ Phương pháp nhiễu loạn

Phương pháp biến điệu

Phương pháp phân tích theo hệ số ngược,

song song với việc tìm ra nhiều phương pháp mới.

Một trong những phương pháp đẻ giải bai toán tương tác trong trường hợp

liên kết mạnh là phương pháp mô hình Năm 1995, Kamavor đã xây dựng một mô

hình dé giải bai toán polaron với liên kết mạnh Trong công trình này Kamavor đã

đưa ra một phương pháp gân đúng đẻ phan tích bai toán liền kết mạnh điện tử

-phonon Vẻ thực chất phương pháp này cho phép đưa vẻ hính thức luận Hamilton

các kết quả của Feynman nhận được khi giải bai toán polaron cho trạng thai cơ ban bằng cách sử dụng phương pháp biến điệu để đánh giá tích phân biến hàm Vị vậy

có thể nói công trình của Kamavor đã đưa ra những kha năng mới cho phép phân

tích bai toán chuyê én động của hạt có liên kết mạnh với trường lượng tử

———— —————E—E———=—=

SVTH: Ngô Thị Phương 31

GVHD: PGS.TS Nguyễn Khắc Nhạp- TSKH Lé Van Hoàng LAN VĂN TOT NGHIỆP

Theo cách đó, Kamavor không những đưa ra kết quả đúng cho bài toán

polaron ở trạng thái cơ bản mà còn xây dựng được một mô hình tuyến tính chuẩn

xác nhằm phát triển rộng hơn bai toán polaron Can chú ý rằng khi xét bài toán cho

trường hợp liên kết mạnh và liên kết trong vùng trung bình phan lớn các phương

pháp được sử dụng đều dựa trên nguyên lý biển điệu và như vậy kết quả chỉ đáng

tin cậy cho trạng thái cơ bản của polaron.

Trong chương này tác giả trình bảy tuần thủ theo những bước đi cơ bản của

nhóm Kamarov và thêm vao phan các công thức trung gian ở Phụ lục

a

SVTH: Ngé Thị Phương 32

§1.MO HÌNH TUYẾN TÍNH CUA POLARON VỚI LIÊN KET

re” ar+e' ai); (HI.1.1)

ởđây r và p là toán tử toạ độ va xung lượng của hạt

ax và ai là toán tử hủy và sinh phonon với xung lượng £ ( các toán tử nay

la toán tử Bose và vi vậy thoả mãn quy tắc giao hoán của hạt bose),

V=@ - thể tích chuẩn hod:

: : h a

Hang sô Plank chia cho 27 , apm

electron và tan số góc œ của phonon quang học cho bằng đơn vị đo.

khối lượng hiệu dụng của

Trong biểu thức (III,1.1), œ là hằng số tương tác electron phonon không

Từ quan điểm đối xứng sự bảo toàn xung lượng toàn phan tương ứửng với

việc toán tử Hamilton (III 1.1) không đổi qua phép biến đổi:

= on _ & -~+

r—r+R,ar —>e **fr, ai > ef az (III.1.3)

Cần chủ ý rằng trong toán tử (II1.1.1) cá ba thành phần của nó đều bắt biển

qua phép biển đổi (ILL I 3) Chính điều đặc biệt này cho phép chúng ta xây dựng

một toán tử Hamilton gần đúng so với (III.1.1) trong trường hợp liên kết mạnh, tức

là trường hợp a cực lớn Toán tử Hamilton gần đúng này có thé chéo hoá và cho ra

nghiệm chính xác.

SVTH: Ngô Thị Phương 33