Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: Tương tác Electron - Phonon và ứng dụng trong lý thuyết siêu dẫn

Nội dung và cách thức tiến hành luận văn:Trong luận văn này tôi không có tham vọng trình bày về hiện tượng siêu dẫn như luận văn tốt nghiệp khoá 1997-2001 Lê Thị Thu Hà- hiện tượng siêu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SU PHAM THÀNH PHO HỒ CHÍ MINH

KHOA VẬT LÝ

GVHD : PGS_TS Mgaydin Hhdle Nha

SVTH : £6 24» Tas Dey KHOA: 1998

LÙI CAM ON

Le cé thé hoan thank duce (uậm vin lil nghiéf

nay, Ubi dé nhiin diter set hetdng din se ding wién va Gif: dé dl nhida cia thdy cé gite nà ban be.

-Vhan day le win tay L4 ling hiél om sdu ốc dén:

PLI-TP Nguyin Khile Nhap dữ đệm link hung din let (cầm think lain nàn él nghtép.

Th Fean Heng Ké, người da có nhing “ thuyén chin thanh nể phuang plidp lim đt (êu tham hhde.

_ Ban chit nhiémn hoa Vil $y càng đàn thé’ gay

đệm (luận la cho Wei có thot gian cÁsyêm lim hein

Mac da cế ging ral nhieu hong quad tinh đầm cũng nhit binh bay sẻ tinh nhing chde chain còn nhibu sab sl, kinh mong nệm dupe sự ding góú ý

hién chin hanh ota các “ây CÔ git, giác iin phan

hin mà các ban sinh riêm dé lit có thé vil va nhitng

kinh nghiim 4ý trà ludn van (4c hean chinh hin

FP Hé Ché Minh Ming 3 nam L200,

Sinh wién

LE TRAN THE DUY

I.Nhu đã biết, trong tinh thể, các ion ở nút mạng luôn đao động (dao động nhiệt) còn các electron thì chuyển động quanh các ion trong tinh thể.

Mô hình này cho phép ta lý giải nhiều hiện tượng, tính chất của vật rắn

như điện trở của vật rắn (do sự chuyển động của dòng electron bị can trở

bởi các nút mạng), sự dẫn nhiệt của vật rấn, sự nóng chảy

Khi một nút mạng nào đó đao động, ngay lập tức dao động này truyền

đi trong tinh thể tương tự như sóng, và ta gọi đó la sóng dao động Sóng thì

phải có tần số œ, khi đó ta đã biết, ứng với một giá trị (@ thì sóng đó có

năng lượng là A@, hay có thể xem nó như là một hạt có năng lượng

E = J0 có xung lượng p= Ak (lưỡng tính sóng hạt) Hạt này là giả hạt hay

còn gọi là chuẩn hạt Tên gọi của nó là phonon Như vậy phonon sẽ đặttrưng cho vật rắn về mức độ dao động mạng, nó chính là các lượng tử của

sự dao động mạng.

2 Năm 1911, nhà vật lý người Hà Lan H.K.Onnes đã làm cho cả thế

giới bắt đầu chú ý đến một hiện tượng mới Phát minh của ông là làm cho

điện trở của Hg bằng 0 Đó có thể là phát minh tình cờ (ông đang tiến

hành nghiên cứu sự phụ thuộc vào nhiệt độ của điện trở của Hg thì đột

nhiên phát hiện ở 4,2°K điện trở của Hg đột nhiên biến mất) Đó la phái

mình đầu tiên về hiện tượng siêu dẫn

Sau phát minh đó, nhiều nguyên tố khác trong bảng tuần hoàn cũng lầnlượt được phát hiện là có hiện tượng siêu dẫn Giá trị của nhiệt độ mà ở đó

điện trở bắt đầu bằng 0 (gọi là nhiệt độ tới hạn 'Tc) được cho bởi bảng dưới

(bằng 1).

Den năm 1933, hai nhà vật lý người Đức là Meissner và Ochsenfeld đã

phát minh ra một hiệu ứng mà ngày nay duge gọi là hiệu ứng Meissner.

Theo đó, khi hiện tượng siêu dẫn xảy ra, nếu đặt vật siêu dẫn trong từ

trường thì các đường sức từ lập tức bị đẩy bậc ra ngoài, điều đó có nghĩa là

vật siêu dẫn là chất nghịch từ lf tưởng Va khi có từ trừơng ngòai đủ lớn,vật siêu dẫn không thể đẩy ra nỗi nữa thì trạng thái siêu dẫn bị phá vỡ, gidtrị từ trường cực tiểu có thể phá vỡ trạng thái siêu dẫn gọi là av rường tới

han He.

ers NGUVEN KHÍ HÁC NHA 1 =e,

ID: P.GS_ TS NGUS ` R2 SeyEE tui 3

Liên sau đó năm 1935, hai nhà vật lý H.London và F.London đã xây

dựng lý thuyết đầu tiên về hiện tượng siêu dẫn gọi là phương trình London

theo quan điểm cổ điển (điện động lực học) Lý thuyết này đã lý giải khá

rõ ràng hiệu ứng Meissner, và thêm vào đó còn đưa ra hệ thức:

2

H c~mn=np]

Tổ

với Hạ là từ trường tới hạn tại T=0°K.

Cũng ngay sau đó, F.London lại xây dựng phương trình London theo cơ

học lượng tử Tuy khác quan điểm với lần trước nhưng kết quả hoàn toàn

trùng nhau Công trình này được đăng trên tạp chí Phys.Rev Vol 74 (1948), trước đó năm 1935 đã được đăng trên một tạp chí ở London (Anh).

Năm 1950, trên Vol 78, E.Maxwell, Reynolds, Serin, Wright và Nesbitt

công hố một công trình mới về hiện tượng siêu dẫn Đó là hiệu ứng đồng

vị, hoàn toàn bằng thực nghiệm:

Các nhà bác học vào lúc đó đang tập trung nghiên cứu hiện tượng ký bí

này, nhiều phát minh mới lần lượt ra đời xung quanh hiện tượng này hoàntoàn bằng thực nghiệm, ngoại trừ phát minh phương trình London Tuynhiên cho đến lúc này hoàn toàn chưa có lý thuyết nào giải thích được tất

cả các kết quả thực nghiệm đã tìm được.

Vấn dé dần được tháo gở khi Fr ö hlích để nghị rằng aang tác hiệu dung

giữa các electron thông qua do động mạng có thể ảnh hưởng đến hiện tượng

siêu dẫn (H.Fr ö hlich , Phys.Rev, 79, (1950)) Từ ý tưởng này mà 7 năm sau,

một lý thuyết mới về hiện tượng siêu dẫn ra đời mà sau này gọi là lf thuyét

BCS Vào năm 1972 lý thuyết này được trao giải Nobel-đó là lý thuyết của

J.BARDEEN, L.N.COOPER và J.R.SCHRIEFFER được hoàn thành vào

ngày 8/7/1957, được công bố vào tháng 12 cùng năm đó trên tạp chí

PHYSICAL REVIEW (J.BARDEEN, L.N.COOPER , J.R.SCHRIEFFER.

Phys.Rev.108 1175 (1957))

Lý thuyết BCS đã sử dụng ý tưởng của Fr ö hlich, tuy nhiên trong đó

đưa ra ý kiến là những cặp electron có spin và xung lượng ngược chiêu tương

tác hút với nhau tạo thành cặp Đó là cặp cooper Ở trạng thái cơ bản (0°K)

chỉ tổn tại toàn các cặp cooper 6 trạng thái kích tổn tại cả cặp cooper

như ở trạng thái cơ bản, các cặp cooper ở trạng thái kích thích và các hạt

electron không tạo thành cặp.

Nội dung và cách thức tiến hành luận văn:

Trong luận văn này tôi không có tham vọng trình bày về hiện tượng

siêu dẫn như luận văn tốt nghiệp khoá 1997-2001 (Lê Thị Thu Hà- hiện

tượng siêu dẫn), mà chỉ trình bày về tương (ác electron-phonon cùng với ứng

dụng của tương tác này vào hiện tượng siêu dẫn, cụ thể hơn là tìm lại hiệu ứng đồng vị, tìm lại nhiệt độ tới hạn theo quan điểm của lý thuyết BCS

năm 1957,

Vấn dé này ngày nay được trình bày khá nhiều trong các tác phẩm về

vật lý chất rắn Tuy nhiên mỗi tác phẩm sẽ trình bày theo mỗi cách khác nhau, mặt dd cùng một nội dung, kết quả.

Có những tác phẩm trình bày lý thuyết BCS và tương tác

electron_phonon theo phương pháp hàm Green (chủ yếu là sách ngoại vănnhư: Introduction to solide states physics của Charles Kittel, Many particle

physics của Gerald D.Mahan, ) cũng có tác phẩm trình bày lý thuyết theo

các biến đổi thuần tuý để thu được kết quả (Nguyễn Thế Khôi, Nguyễn

Hữu Minb- Vật lý chất rắn NXBGD, 1992) Nhưng có một điểm chung là

trình bày khác so với cách làm của các tác giả lý thuyết BCS.

Ngoài ra trong phần lượng tử hoá dao động động mạng, thông thường

sẽ được đơn giản hoá không tiến hành cho trường hợp tổng quát,

Chính vì vậy, trong luận văn này với mục đích là không cần dùng

phương pháp hàm Green , trung thành theo cách làm của tác giả, tôi trình

bày các vấn để trên theo quan điểm sau:

_ Chương 1, Chương 2 là phương pháp bổ trợ để nghiên cứu Đó là một

chút kiến thức về hệ nhiều hạt, biểu diễn các số lấp đẩy và phương pháp

lượng tử hoá thứ cấp cho hệ boson và hệ fermion.

_ Chương 4 trình bày về tương tác electron_phonon trong kim loại.

Trong phần này, tiến hành tính toán ti mỉ, cụ thể theo cách dễ tiếp nhận

nhất khi chưa có kiến thức về phương pháp hàm Green.

— Chương 5 trình bày về lý thuyết BCS Ở chương này, chỉ trình bày

hoàn chỉnh quá trình tìm được Tc và hiệu ứng đồng vị theo đúng cách

trình bày của các tác giả lý thuyết này Tuy nhiên, các tác giả sử dụng

phương pháp Hatree_Like để xây dựng hàm sóng mà tôi không tìm thấy

tài liệu về phương pháp này nên đã mạnh dạn chuyển cách xây đựng hàm

sóng khác, đó là cách tổ hợp tuyến tính các trạng thái khả di của hệ như

chúng ta đã quen biết

Xét hệ gồm có N hạt đồng nhất, không phân biệt được, hàm sóng của

hạt thứ ¡ ở trạng thái k, là:

,,€,)= (6,|k,)

Ễ, là đại lượng xác định toa trong không gian và cả biến số spin hạt thif i

N

Hamilton của hệ là H= x fi, , trong đó AA, là hamilton của hạt thứ i.

Giả sử hạt thứ ¡ ở trạng thái k, lúc đó ,(E, |k,) =e, 46 kỳ

Xét: Wien 3 ods [1% lk,)

Lúc đó:

Ay, , €, vob )= SA] & |k,) " Yell &, \k,)

= EY, 4 €, )

Như vậy, Wy, , (É, Š„,) là hàm sóng của hệ hạt trên Ta có thể viết

tường mỉnh hàm sóng này như sau:

Xa (-4.-~$,-.)=- |k,)=,|k,)5- (1.1.1)Nếu hoán vị hạt thứ i và hạt thứ j ta có hàm sóng:

Wisc (-š,~$,~)= ~4E,|k,) 4E,|k je (1.1.2)

Vì là hệ hạt đồng nhất nên hai hàm sóng trên phải mô tả cùng một trạng

thái, do đó;

mdi trạng thái có thể tùy ý, tuân theo thống kê Bose- Einstein.

Còn với C=-1 thì hàm sóng có tính phản đối xứng, và hệ hạt được gọi là

hệ fermion Thực tế cho thấy, các hạt fermion là các hạt có spin bán

nguyên, số hạt ở mỗi trạng thái chỉ có thể là 0 hay 1, các hạt này tuân theo

thống kê Fermi-Dirac, và nguyên lý loại trừ Pauli.

Đến đây ta có nhận xét rằng, trong phép hoán vị trên thay vì hoán vị các tọa độ của hạt ta có thể hoán vị các trạng thái k,,k, kết quả vẫn

không đổi Dé đó có thể kết luận rằng hàm sóng của hệ sẽ được tạo thành

bằng cách tổ hợp tuyến tính tất cả hoán vị có thể của các chỉ số trạng thái

của hàm sóng (1.1.1).

Vậy hàm sóng của hệ boson là:

Weis, 6 <&Jƒ4v2 KE, i) LE, |) (11.5)

trong đó >A là phép lấy tổng theo tất cả các hoán vị của các chỉ số k,.

Gọi n, là số chỉ số trạng thái nhận giá trị i, lúc đó số số hạng trong tổng

trên là số hoán vị có thể của các chỉ số k,: N' Khi chuẩn hóa, nhờ

iwtính trực giao chuẩn hóa của các hàm sóng (€,|k,) ta suy được:

Wang (cỀ LÊ S}PÀilisesxee

Khi nghiên cứu hệ hạt đồng nhất người ta thường đồng nhất nó với một

trường lượng tử mà trong đó mỗi hạt sẽ là mỗi lượng tử của trường (cũng

như trường điện từ, các photon là các lượng tử) Do đó, để tiện lợi hơn

người ta sử dụng một biểu diễn mới thay cho biểu diễn tọa độ, đó là biểu diễn dựa theo biến số là số hạt ở mỗi trạng thái, gọi là biểu diễn các số lấp

Lúc đó C( m,„ „1„ ;f) có đặc điểm là nhận số hat n, làm biến số, nó

chính là hàm sóng trong biểu diễn các số lấp đầy

Từ đây về sau một cách tiện lợi ta ký hiệu:

Thay (1.2.1) vào phương trình schrodi nger tổng quát ñÑ®=¡n oe Ta

thu được:

SF ® C(n„,n,z.;t(( , È, |n,;n; ».)

he Aj

Vi Hamilton của hệ H bằng tổng các hamilton của từng hạt thành phần

R, nên ta có thể viết lại (1.3.1) như sau:

¬ Wy : =

P3) 3 Cín,,n,„ ;©( Š , Š, |n,,n,„ ) =0 (1.3.2)

(1.3.1)

Nhân (1.3.2) với li An Nhu): chú ý rằng biến số chạy khi lấy

tổng là n,,n;, và tính trực giao của các hàm sóng ta thu được:

(w5- D4] > eo lenin Š , =0" a nạn

hay [»à-Š®] YC’ 1 yest) = 0 (1.3.3)

Một cách tổng quát, ta bỏ dấu “phẩy() ” đi:

| ine Da, | 3 C(n,,n, g§;() = 0 (13.4)

La đa

Như đã nói ở phần trước, ta có thể thay C(n,,n,„ ;t) thành |n,,n;ø« ),

lúc đó ta thu được phương trình schrodinger trong biểu diễn các số lấp

đây:

PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG TỪ HÓA THỨ CẤP

CHO HỆ BOSON VÀ HỆ FERMION.

§1 TOÁN TU SINH VÀ TOÁN TU HUY HAT BOSON.

Trong phương pháp lượng tử hóa thứ cấp người ta đưa hai toán tử làm

cơ sở cho phương pháp này, hai toán tử này tác dụng trong không gian các

số lấp đầy gọi là toán tử sinh hạt và toán tử hủy hạt Đối với các hạt boson

người ta định nghĩa:

"Toán tử sinh hạt boson và toán tử hủy hạt boson ở trang thái k được ký

hiệu 4}, 4, sao cho:

ii> |â, ,â, J=|a* ,â; |=0 (11.1.4)

ta dễ dang chứng kiến các hệ thức giao hoán này, ngoài ra ta cũng có thể

chấp nhận các hệ thức trên với lý do là sự sinh và hủy các hạt ở mỗi trạng

thái hoàn toàn độc lập nhau.

Chú ý rằng, khi định nghĩa các toán tử sinh và hủy người ta không cần

biết chính xác dang tường minh của chúng chỉ cần biết các tính chất của

chúng như (II.1.1), (H.1.2), (H.1.3), (11.1.4), và biết rằng nó tác dụng lên

biến số là số hạt ở mỗi trạng thái.

Đâu tiên với các toán tử có dạng A= bà Â,(,) tức là toán tử của hệ

i=}

bằng tổng các toán tử của từng hạt trong hệ.

Phin tử ma trận của Â,&,) là:

Khi thay (11.2.2) và (11.2.3) vào (11.2.2) tính tích phân ta sẽ nhận được

kết quả Trong đó, tích phân theo biến số Š, có dang:

(,4 chess, sep gs) = ~( stent) sa (E, |kc, 48, |Ik)

Từ kết quả này, ta có thể viết toán tử Â,(Š, ) như sau:

Â,&)= VDA Gara, (128

bởi vì phần tử ma trận hoàn toàn trùng nhau

Do tính đồng nhất và không phân biệt được của các hạt nên một điều

chắc chắn rằng phẩn tử ma trận của các toán tử A,(E,) hoàn toàn giống

HÀ TT G: Mes gees ‘AC NHÀ

như toán tử của một toa độ còn lại, ta thu được kết quả như (11.2.9) một

lần nữa, do đó:

B= ®' (.p|Ê(,š ]a,k)â?â;â,â, (112.10)

với (b;p|8(,ÿ}a›k)= [(|6)(p|š)Ê(,š XE |a)(E|k)dšdE

Như vậy ta đã biểu diễn toán tử Â, theo các toán tử sinh hủy hạt

boson, tức là ta đã chuyển từ biểu diễn tọa độ sang biểu diễn các số lấp

đầy Vecter trạng thái lúc này là |n,„n;› ;t) Người ta gọi sự biểu diễn đó

là biểu diễn lượng tử hóa lần hai

ô =[#'€M'€ BEE WE W€daE' đa»

Thuật ngữ lượng tử hóa lần hai có thể được lý giải như sau:

Hàm sóng Wy, (,) là kết quả của quá trình thay thế đại lượng vật lý

thành toán tử, nó gắn liên với tính sóng của hạt Đây có thể được gọi

là quá trình lượng tử hóa lần thứ nhất.

Đây giờ ta lại chuyển nó thành toán tử \ỳ(Š) tác dung trong không

gian các số lấp đây cho phép ta nghiên cứu về số hạt ở mỗi trạng thái,

thể hiện tính hạt của vật chất Như vậy rõ ràng có sự chuyển đổi hàm sóng sang toán tit Do đó người ta gọi là sự lượng tử hóa lần hai hay

còn gọi là sự lượng tử hóa thứ cấp (lượng từ hóa thêm một lân nữa)

Các toán tử \ÿ(É), WE) được gọi là toán tử trường.

Ta có thể thu được các hệ thức giao hoán sau cho các toán tử trường

nhờ vào các hệ thức giao hoán của các toán tử sinh và hủy các hạt boson:

Cuối cùng, ta có thể biểu diễn Hamilton của hệ boson tương tác

trong phép lượng tử hóa lần hai như sau:

f= fo" ©, Eve + fw EWE WEE WÉ eases

(H.2.15)

trong đó ñ,€), WEE) lần lượt là tóan tử Hamilton của từng hat

khi không có tương tác lẫn nhau và toán tử thế năng tương tác giữa hai hạt

Bằng lý luận tương tự ta cũng có thể nhận được kết quả tương tự

(H.2.7) cho hệ fermion Tuy nhiên chú ý rằng số hạt ở mỗi trạng thái chỉ

có thể là 0 hoặc 1 nên sự dịch chuyển trạng thái chỉ có thể xảy ra khi

n, =l,n, =0, do đó, đối với hệ fermion ta có thể có biểu thức tương tự

như (11.2.7) là:

(n, +1,n, —1 A,€, ]n,,n,)= yeh (3.0

Do đó để có thể biểu diễn giống như (11.2.8) ta chỉ cần định nghĩa lại

các toán tử sinh,hủy hat fermion C?,C, sao cho phù hợp với (H.3.1), lúc

đó :

Â.&)=„ DAL crc, (11.3.2)

và tương ứng ta cũng có :

Â=Š lÂ@J re, (11.3.3)

Việc còn lại cho chúng ta lúc này là tìm định nghĩa cho C?,C,

Người ta định nghĩa:

Ê,| n, › )= (—1)*t*Đn, | n, — Lyons) (11.3.4)

È | n,›- )=(—1)***Đ(1—n, } n, +1„.) — (13.5)

Sự xuất hiện của (1 —n, ) và n, thể hiện sự tuân thủ nguyên lý Pauli

cud hệ hat fermion Thừa số (—1)w@®-Đ xuất hiện do tính phản đối xứng

của hệ fermion, trong đó (—1)"wx-0 =¥n, là tổng số hạt ở trạng thái

ala 0

=CiC, = (11.3.9)

Với việc định nghĩa các toán tử Èt 5 cổ như vậy ta dễ dàng thấy việc

biểu diễn (H.3.2) hoàn toàn phù hợp với các yếu tố ma trận (1.3.1)

Ngoài ra ta cũng có thể kết luận rằng các hệ thức (II.2.10), (11.2.11),

(11.2.12), (H.2.13), (11.2.1), (H.2.16), (H.2.17) vẫn đúng đối với hệ fermion

nếu ta thay tương ứng toán tử sinh hủy hạt boson thành toán tử sinh, hủy

hạt fermion Và ta cũng có thể xây dựng được các hệ thức tương tự như

(H.2.14) cho các toán tử trường nhưng bây giờ sẽ là các hệ thức phản giao hoán.

Cuối cùng để kết thúc phần này, ta viết lại hamilton của hệ fermion

tương tác theo các toán tử Ê*,Ê, :

ñ=>E, Cte += 3 I,p|W(.š }q,k)ʆÊ*Ê,Ê, 13.10)

2m

’ `

Ts eee CS?#S: eM e6

Nai Xã.

>¬_— `» _—_‹

CHƯƠNG 3:

LUGNG TỪ HÓA DAO ĐỘNG MẠNG-PHONON.

§1 LƯỢNG TỬ HÓA DAO ĐỘNG TỬ DIEU HÒA TUYẾN TÍNH.

Truéc khi tiến hành lượng tử hóa dao động mang tinh thể tổng quát, ta

hãy xét dao động tử điều hòa tuyến tính

Như đã biết, Hamilton của dao động tử điều hòa tuyến tính có dang:

với

N=A‘A (I11.1.7)

(HI.1.6) là dang cực kỳ dep của Hamilton của dao động tử điều hòa tuyến

tính, việc còn lại là hiểu ý nghĩa, hàm riêng, trị riêng của N,A*,A

Ñ|n) = n|n),Yne |N

Và do đó:

n)=(m}? Â*} |0) (111.1.16)

Đến đây ta dé dàng thu được trị riêng của A là E, = naj n+ Kết

quả này trùng hoàn toàn trùng với kết quả thu được thông qua việc giải phương trình sóng (Cơ học lượng tử- Nguyễn Khắc Nhạp, ĐHSP HCM

1996, trang 102).

Với n=0 ta có E,= ho là năng lượng ở trạng thái cớ bản |0) Kết

quả này cho ta một cách hiểu ý nghĩa của số n: đó là số phần tử năng lượng

he mà dao động tử nhận được để chuyển từ trạng thái cơ bản |0) lên

trạng thái kích thích có năng lượng E, = Fal +2 | tương ứng với

trạng thái |n) Chính lý do này, mỗi phần tử năng lượng h@ được xem như

một hạt, hay chính xác hơn là một chuẩn hạt có năng lượng ñ@ Vì n cóthể lớn tùy ý nên các hạt này tuân theo thống kê Bose-Einstein, xem như

nó có spin bằng 0 Chuẩn hạt này gọi là phonon

Ti (HI.1 6) ta viết lại Hamilton của đao động tử điều hòa tuyến tính

i= TA^A +AA") (HI.1.22)

Dễ thấy rằng nếu ta thay A thành A và A” thành A* thỏa hệ thức giao

hoán (HI.1.8) thì ta đã chuyển H„¿ thành H = ñœ{Â* + >

Xét mạng tỉnh thể mà mỗi ô nguyên tố có A nguyên tử, có 3 vecter cơ

sở là ä,,ã,„ä, Tọa độ của mỗi nguyên tử được xác định bằng vecter Ä,.

3

trong đó R, = Yin, là tọa độ 6 sơ cấp, còn œ là số thứ tự của nguyên tử

i=l

trong 6 nguyên tố.

Gọi u,,, là thành phần dịch chuyển thứ i của nguyên tử thứ œ của 6

nguyên tố n khỏi vị trí cân bằng(i=1,2,3)

Lúc đó thế năng của hệ U(i,, Xtrong đó Ï,, là tọa độ của nguyên tử )

sẽ được khai triển thành chuỗi Taylo:

-0+§W(ðUÌ„ „1! @ (_2?U_

Trong đó, Ì „„ là thành phần thứ ¡ của I

Nếu chọn gốc thế năng tại Ủạ, và nhớ rằng | = 0 vì thế năng

0

tại vị tri cang bằng cực tiểu thì ta có thể viết lại biểu thức của U như sau:

1 3U

U=- ————— |Uu 11.2.12 Pal ) a) Be | salle

Ở đây ta chỉ giới han ở khai triển gần đúng bậc hai, tương ứng với việc xem

đao động mạng là điều hòa

Từ (111.2,2) va (HI.2.3) ta suy ra phương trình chuyển động cổ điển của hạt(n,œ) là:

M, ú =—3 U,|R -R lu, (IIIL2.4)

mB)

Do tính đối xứng của mạng tinh thể nên có thể tìm nghiệm của phương

trình trên đưới dang:

ñ,.(q)=€,(q)exp§(qR, „+ oxq)t)} (11.2.5)

với 0X) là tần số tương ứng với vecter sóng q của dao động mạng.

Thay vào (IH.2.4) chú ý M_ =M, ta thu được phương trình sau:

M,0*(qXC„(q)= 3 U,|R „ —R, |C,,expfq(R„-R,} amz5

mB)

(111.2.5) là hệ phương trình voi 3A ẩn C_ (a =1 A, i=1 3), diéu kiện để có

nghiệm là định các hệ số phải triệt tiêu Định thức này là định thức cấp3^

nên ta sẽ thu được phương trình theo ẩn @ˆ(q) cấp 3A, ta thu được 3A

nghiệm, tương ứng ta sẽ thu được 3A giá trị dươngcủa œ (q) được ký hiệu

là: œ* (q) (k=1 3A)

Tương ứng với các giá trị của @*(q) ta thu được các giá trị của C*(q) khác nhau mà các thành phần của nó C}(q) thỏa phương trình (HI.2.5).

Viết lại (HL2.5) dưới dang sau:

2, Ula HẠ R, lexpfiq(R, => R, ich, @)= Mw (qyc* (q) (111.2.6)

=ø°(\/M,€‡(4)

(IH.2.7)

Đặt G*°(q)= Tim, Re R_lexpfiq(R, -R, } dễ thấy khi

hoán vị cặp chỉ số (n œ) và (mB) giá trị của Gis (q) không đổi, diéu này

chứng tỏ rằng Gis (q) là ma trận Hermique.

Viết lại (11.2.7) theo G24 (q) ta được:

yes 2 (q)/M,€;(q)=œ*”(q)/M €) (q)

Từ phương trình này ta suy ra rằng hệ hàm /M M_C* *(q) là hàm riêng

của ma trận G"Ê (q) ứng với trị riêng là 6È (Q) (trạng thái k).

Như vậy ta có thể thu được os i dưới dang tổ hợp tuyến tinh:

Da a =ấu a5 với ay là ký hiệu được dùng một cách tiện

lợi và ta sẽ xét ý nghĩa sau.

Ya a, wae G5, (111.2,14)

Vi a* (q) nên yêu cầu C phải là đại lượng thực, do đó các biểu thức vừa

thu được trên vẫn đúng trong trường hợp bỏ hoặc thêm dấu '”', tức là:

Daa a sa ed 5 (II12.15)

Da Ấn máu a3 (HI.215)

Một hệ thức khác thu được bằng cách lấy đạo hàm (IIL2.16) theo thời

lis, @)f = 7 »ý w* q)o* (q barat, "`

Thay vào biểu thức tính T, ta rút gọn được M, Sau đó lấy tổng theo n,chú ý rằng:

Cũng xuất phát từ (IH.2.12) và sử dụng (1112.17) ta suy ra:

‘EL ar “al tơ" Gage cơ age]

Như vậy,

U-SM | øQ)| beet +0" (by e*tb

3 rên fa ite" +0" @ is “e*TM }

IN on eka’

fi: eth a aa

“By

(HI.2.20)

V Năng lượng của hệ Hamilton cổ điển

Từ (1112.18) và (IHHL2.22) ta suy ra năng lượng của hệ các nguyên tử

(năng lượng đao động) cũng chính là Hamilton cổ điển:

H=T+U= 3 GIÁ 4, +ã„ã„)} — đ11223

+

VI Dao động tử điều hòa Sự lượng tử hóa

Đối với dao động tử diéu hòa thì có thể xem như tinh thể có A=1, N=l,

n=1 1, @ zl.l, i=l.l, kzl.il, và qzcons, M,=const=m,

C* (q)= const = A : biên độ dao động Lúc đó, từ (IIL.2.10) ta suy ra

ay =a {3} A(cosú)t + isinwt)

h | ~~

Các kết quả trên hoàn toàn phù hợp vối (HI.1.20),(HI.1.21),(H1.1.22).

Nhớ rằng ä = A;ã” =A° do chỉ có 1 chiéu dao dộng.

Như vậy có thể xem năng lượng của tỉnh thể bằng tổng tất cả các

hamilton của tất cả các dao động tử điều hòa có tần số œ* (q).

Và đo đó, khi lượng tử hóa dao động mạng tỉnh thể, một cách phù hợp

với kết quả của § 1, chúng cũng là tổng các Hamilton của tất cả các dao

động tử điều hòa tần số œ* (q)

Nghĩa là

^ hœ”(Q)/ -„ sò sợ

H= = no fa) aa t Â*sâ„ ) (HL2.24)

trong đó dy ;┄ là toán tử hủy và toán tử sinh phonon loại q,k (ho (q))

Va di nhiên các toán tử sinh , hủy phonon trên phải thỏa các hệ thức

giao hoán sau:

las =0 (II1.2.28)

lã„.â*+ | =8 (112.26)

và i, =a ˆ la rên tử số phonon loại q,k

Nếu trạng thái nào đó không có phonon nào cả ta ký hiệu hàm sóng là

Vậy, khi xét dao động mang, ta có thể xét một cách tương ứng nó với

hệ phonon Như đã nói ở phần §1, hệ phonon được xét như một hệ hạt

Boson không có spin Hệ Boson này di nhiên tuân theo thống kê

Bosc-Einstein.

$1 TƯƠNG TÁC GIỮA ELECTRON VÀ PHONON TRONG TINH

i, = > |——_| fe" +a,e""" (IV.1.1)

Khi lượng tử hóa, 4,4, trở thành â ,;”, tương ứng với sư biến đổi

này OU, trở thành Ù gọi là toán tử dịch chuyển:

a, = Sacto! fie +ate*TM} — ava.g)

Khi không có dao động mạng, thế năng tương tác giữa elecron và mang

tinh thể có dạng: U(f)= *U,Œ~R,) và Hamilton của hệ electron có

vì ta phải tính với tất cả các electron Ta ghỉ nhận điều này để cuối cùng

bổ chính lại kết quả tìm được

Trước hết ta biểu diễn Á thơng qua tốn tử â „âu nhờ (1.1.2), tức

là:

Tiếp theo biểu diễn: U,(—Đ,)= 3 U,„e®*“#2 trong đĩ, A làmột

*

vecter cĩ tính chất như q; U,, là hằng số phân tích Lúc đĩ:

VUE -R,) = F U„iAe®#-&o (IV.1.5)

Thay (IV.1.5) vào (IV.1.4) ta được:

x >>>»? [mem Vinee + ava

+83,U,,iae%e"orTM }

N

Thực hiện tổng theo n chú ý: Am =Nơ,, ta được:

Quan sát các biểu thức đánh nghĩa â „T,Â}„TƑ, ta thấy chúng khơng

phụ thuộc vào fF; kết hợp với việc chon hàm sĩng là ham Block

W, (F)=u, (FeTM ta cĩ thể biến đổi (k |AƠ|k ) như sau:

(k |Á|k )= Ju (Œ)3 „1e +âyT11e*W, (dF dv.L9)

thay W2 (F)=u, (FeTM vào biểu tide trên:

trong đó & là vecter mạng của tinh thé, uw (F),u, (F) là các hàm tuần

hoàn theo chu kỳ á

Từ đẳng thức trên suy ra: ©'®**#=1 =k =k+qtg với g là

vecter mạng đảo (nhớ rằng g là một vecter mặc dù không ghi ký hiệu

vecter, tương tự q, A, k cũng là các vecter)

Vậy:

fetus Pu, (Pdi #0 khi k =q+ktg (IV.L.11)

Hoàn toàn tương ty ta cũng có: fet sur (F)u, (F)df #0 khi

+451; [ e““u; „.Œu, (Œ)dFÊ; „„.Ê, }

Các biểu thức (IV.1.11) và (IV.1.12) cho ta một kết quả quan trọng, đó

là: khi electron k hấp thụ (hay phát xa) một phonon q không trở thành

electron k+q (hay k-q) mà thành k=k+qeg (hay k=k-qsg ) Khi g=0 thì

electron đó vẫn nằm trong vùng BZ thứ nhất, còn ngược lại electron sẽ ra

khỏi vùng nay’ Với g=0: quá trình này là quá trình chuẩn, gọi làquá trình

N Với g#0,quá trình được gọi là quá trình Umklapp (quá trình U).

Ta chỉ giới hạn xét quá trình chuẩn

Đặt Vy =1, ful @u, (E)dF (IV.1.14)

= V_,=T, fu’, (f)u, dF = Tạ ful, @u, (Pde

Với cách đặt K vậy (IV.1 vệ trở baer

¥- SÂN, C+eV_C 6} (IV.1.15)

Như đã nói đến ở abe mục này, ta chi xét trường hợp a=1 nên j=1,2,3.

Giả sử rằng các phonon chỉ phân cực ngang hoặc đọc (vuông góc hoặcsong song với q) Nhìn vào biểu thức (HI.2.16) ta thấy a,, là 3 thành phần

tương ứng của 4 Nhìn vào biểu thức của T,, ta thấy T„, là vee tơ có

‘Thee Giáo trình vat lý chất rắn (NGUYEN VAN HÙNG