Khóa luận tốt nghiệp Toán tin: Toán tử Compact và ứng dụng trong việc giải phương trình vi phân

Trường Dại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí MinhKhoa Toán— Tìn Hoc Bộ môn : Giải tích Đề tài TOÁN TỬ COMPACT VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRINH VI PHAN Giáo tiên hướng dẫn : PGS.TS.. T

Trường Dại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh

Khoa Toán— Tìn Hoc

Bộ môn : Giải tích

Đề tài

TOÁN TỬ COMPACT VÀ ỨNG

DỤNG TRONG VIỆC GIẢI

PHƯƠNG TRINH VI PHAN

Giáo tiên hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hoá

Sink vién thực hiện | Lê Trường Giang

-23 Phố của toán tử compact ra

3 Ham riêng - sĩ rệt Lich ait VÀ nig đụng teas phường tink VI pháo

3.1 Ham riêng và sự phân tíh phổ , aoe ate

3.2 Hoham Logendre Ỷ =z“ ah

33 Hàm Bewcl và phương trình Bemel.

3.4 Giải các phương trình vì phân bằng cách phân tích theo họ các hàm riêng.

Sane ~

SERRE

Lời nói đầu

Giải tích phố là mot dé tài rất rộng và có nhiều ứng dung, trong đó phân giải phẻ là

mot kỳ thuật rất quan trọng Vấn dé phán giải phd được nghiên cứu rất nhiều, đó chính

là sư tổng quát hóa vấn đề phan tích phó Trong không gian các tóan tử tuyến tính liêntục toán tử compact có hình dạng phổ khá đặc biệt: hoặc là hữu hạn hoặc là một dây

tiến về 0 Hơn nữa việc xem xét vấn dé này chỉ cAn sử dung những kiến thức cơ ban của giải tích hàm.

Luân văn gôm ba chương trong đó chương 1 nêu ra các kiến thức cẩn thiết được sử

dụng trong các chứng minh ở chương sau Chương 2 phát biểu các tính chất của toán tử

compact, trong đó có tính x4p xi được bởi day toán tử hữu han chiều trong không gian

Hilbert Cũng trong chương 2 có xem xét phổ của toán tử compact và toán tử compact

tr liên hợp, cùng với phổ của một số toán tử cụ thể Quan trọng nhất trong chương 2 là

định lý về sự chéo hóa được của toán tử compact tự liên hợp, làm cơ sở cho chương 3.

Chương 3 xét vấn dé hàm riêng và sự phan tích phổ của mốt toán tử vi phân(bài toán Sturm-Liouville) và xét một số họ hàm riêng của các bài toán Sturm-Liouville cu thé: ho

da thức Legendre, và họ ham Bessel Phin cuỗi chương 3 trình bày sơ lược về việc giải

phương trình sóng bằng cách phân tích theo họ hàm riéng trong trường hợp miễn 2 bị

chan và xét hai ví dụ vé phương trình sóng: phương trình day rung và phương trình dao

dong màng chữ nhật.

Vi mục dich của luận văn là toán tứ compact và ứng dụng trong phương trình vi phân

nén luận vấn chứng minh rõ ràng một số tính chất khá đơn giản của toán tử compact

nhưng lại bỏ qua những định ly cực kỳ quan trong như định lý Lax-Milgram, định lý về

tính chất của hai không gian Sobolev //4(1), H'(/)

Em xin chân thành cảm ơn thầy Lê Hoàn Hoá đã giúp đỡ và động viên em rất nhiều

trong suốt thời gian qua.

Tp.Hồ Chí Minh tháng 5 năm 2001

Chương 1

Các kiến thức chuẩn bị

Định lý 1.0.1 (Định lý điểm bắt động Banach) Giả sử X (a thông gian metric đâu

di va S; X —+ X là ánh xạ sao cho

d( Su, Sve) <Sk-d(U, ve) Yuy,ty€CX,k<l

Khi đó S có điểm cô định duy nhất u = Su.

Xét H là không gian Hilbert với tích vô hướng (, )

Định nghĩa 1.0.1 (Tổng Hilbert) Giả sử (E„)„>ì là day các không gian con đóng của

H Ta nói rằng H là tổng Hilbert của (E„) nếu

(i) Các E„ đái mét trực giao, nghĩa là

(u,) =0, We, , WEE, m # n.

(ii) Không gan sinh kh các (Eq) trù mật trong H.

Định nghĩa 1.0.2 (Cơ sở Hilbert) Day (e„) được gọi là cơ sở Hilbert nếu

(i) Jen] = 1 Wn ; (Ems On) = 0 Ym.n, tr # n

(ii) hông gian sinh bởi các (¢,) trù mật trong H.

Định lý 1.0.2 (Phép chiếu lên không gian vectơ con đóng) G C H là không gian

vectơ con đóng, kí hiệu P„ƒ là hình chiếu vudng góc của ƒ lên Œ (ƒ € H) Khi đó

WPeh - Pehl < lí: — fall

Dinh lý 1.0.3 (Định ly Lax-Milgram) Gid sử a(u,v) là dang song tuyến tính hén

tục tử cưởng bức (tức là a(t,u) > a|t[?,Vu € HH.) Kht đó oh moto € H" tổn tài duy

nhất u € H xao cho

alu,v) = @Íp),Vu € H

Dinh nghĩa 1.0.3 Cho / = (0,1) va

Hì(1 = {u € L731) : 3g € Lˆ(I) sao cho [w - - le Vự€ cx}

' !

lulls = lJal{,z + llu ÏJ,„›

Trang 5

Dinh lý 1.0.4 H'(/) là không gian Hilbert va ||» qi là một chuẩn trên H"(1).

Dinh lý 1.0.5 Pháp nhúng tit H'(1) cào C'(1) là compact theo nghĩa toán tử compact

trang chướng 2.

Dinh nghĩa 1.0.4 //)(1) la bao dong của C}(T) trong H'(1) trong đó C}(T) fa tap hop

các hàm lién lục có giả compact.

Định lý 1.0.6 Chou € /f'(1), kho đó ဠHà(T) khi un = 0 trên 0T.

Dinh lý 1.0.7 Hj(/) la không gian Hilbert với tích v6 hướng cảm sinh từ H'(1)

Các không gian H2(f) và H*(1) được gọi là các không gian Sobolev,

Định lý 1.0.8 (Bat đẳng thức Poincare)

Helly < C-|lull,: Vu € HỆ

Chương 2

Toán tử compact

2.1 Toán tử compact

Dinh nghĩa 2.1.1 Cho E, F là hat kháng man Banach Ta nói rằng toán tứT € £(E, F)

la compact nếu T(Bg) là compact tương đất Ta kí hiệu tập hợp các toán tử compact là K(E F).

Định lý 2.1.1 Tap hợp K(E, F) là không gian vecte con dong của C(E, F) đối với chuẩn

I- et rì

Chứng minh,

Lay 7,7) € K(E, F) Lúc đó xét day (z„) C Bg, Day (T:(z„))„ có chứa day con

(Ti(z„„)), hội tụ về tị (do T, compact) Khi đó dãy (T2(z»,)), chứa dãy con (72(z,, )),hội tụ về ge Vì thế

(Ti + Taam.) hội tụ về (yi: + wp).

Vay (Tị + Tạ)(+a) có chứa day con (T; + T›)(z„„ ) hồi tụ Suy ra (7; + Tạ) compact.

Tương tự ta cũng có AT compact.

Vậy K(E, F) là không gian con của £(E, F).

Ta chứng minh K(£, F) đóng

Lay dãy (T„) C K(E, F).T € £(E F) và IT, = T|(| — 0 Vì F đầy đủ, nên ta kiểm

chứng với mọi + > 0, T(Bg) có thể được phú bởi một số hữu han quả cau Ö(ƒ,,t) trong F.

That vay với mọi ¢ > 0, có nọ : ÏT„ - TÌ| < ; với n > nọ Lúc đó, vì Ta, (Bg) compact

tương đối nên T„(Bz) C User BUS-5) với / hữu hạn.

i thế

21 TOÁN TỦ COMPACT Trang 7

MA Baer) (0.07 ||) compact (do R(T) hữu han chiều).

Nên T( Bx) compact Vay T € K(E F).

Hệ quả 2.1.1 Cho (T„) la day các toán tit hữu han chiều từ E vao F va T € C(E.F)

sao cho

7 - Ti —-90

Khi đó T € K(E, FÌ

Chứng minh 7, hữu hạn chiều suy ra 7„ compact, Do đó T compact,

Vậy giới hạn của một day toán tử hữu hạn chiều là một toán tử compact Một câu

hỏi được tự nhiên được đặt ra là phần đảo của Hệ quả trên có đúng không ? Cho trước

tột toán tử compact, tổn tại hay không một day (T„) các toán tử hữu hạn chiều sao cho

Tn — T|\c¿c,r, — 0 ?

Nói chung câu trả lời là không Tuy nhiên có những trường hợp câu trả lời là có Ta

xét ví dụ sau,

Ví dụ Xét F là không gian Hilbert và 7 € K(E, F) Khi đó K = T(Bg) compact.

Voie > Ú chủ trước, A được phú bdr Ue, BU /,,+), hữu hạn Xét G = (J+€ 1), ft

là phép chiếu liên tục lên Œ Pe là toán tử liên tục.

Dat T, = Pe oT thi R(T.) C G-hữu hạn chiéu, do đó 7; hữu han chiều Ta chứng

22_ DỊNH LÝ RIES-FREDHOLM Trang 8

Vậy ||fq 0 T(x) = Pao fill < +, way ra

Pao Tir) - full < « (2.2)

Lay day (r„) C Bg Do T compact nên tồn tại day (z„„), sao cho T{z„„) — y Ta

lại có S liên tục nên So T(z„„) —+ Sly).

Vay So T(Bg) compact tương đối , suy ra So T € K(£.G).

Giả sử T € £(E, F) và S € K(F,C).

Xét diy (#4) C Be Khi đó 12%) € By Do S compact nên

3am): § (Fe) —y

Chứng minh Giả sử £ vô hạn chiều, tổn tại dây ( E„)„ các không gian hữu hạn chiều

sao cho E„_, & E„ Theo bổ dé trên ta có thé xây dựng dãy (z„)„ với z„ € Eq, l|z„|| = 1

và đ(r„ Ea.) = g; Khi đó |x, = r„Ï| > 5 với n > m Khi đó dày (z„)„ không chứa day

con hoi tu nào, mâu thuẫn với giả thiết Be compact Vay £ hữu han chiều.

Xét không gian £(E E) và T € K(E, E) Dat

V=1-T = ï là ánh xạ đồng nhất

V*=VoVo oV = (nlần)

Dinh lý 2.2.2 (i) V~"(0) là một không gian hữu hạn chiêu

(ii) V"(E) là mới không gian vecto cơn đáng trong E vdi mọi n.

Giá sử V* = 1 ~ U, U compact Lúc đó V**! = / ~ (U + T ~ UT) Ta cùng có

(U +T -UT) compact Vay (2.3) đúng trong trường hợp n + 1 Tà có V" = 7ƒ =U với

U compact

22 DINH LÝ RIES-FREDHOLM Trang 10

Dat

E, = V0) = (1 — U)*!(0)

Khi do £; là không gian con đóng LAy r € Bg, suy ra

(! - U)(r) =( + x= U(z) + z €U(Bz,]

Vậy By, C U(Be,) Do đó Bg, C U(Be,) C D(Bạ,) Suy ra Bg, compact Do đó E;

hữu han chiều

(ii) Có định mE N, V = 1 ~ U Lẫy w„ = V2.) = tn — U(za} — y Ta chứng tỏ

ye V(E) Dat d, = đ(z„,V~®(0)) Vì V~"(0) hữu han chiều nên tổn tại z„ € V ~""(0)

sao cho d, = ||z, — zal.

Lúc đô Yn = tn — tn — U(£„ — en) (*}

Ta chứng tỏ l|z„ — ‡z„Ï bi chan That vay giả sử có day |jr,, — ‡:„„Ï| —* 00 Dat

tn ~ In

>

————-lit» = inll

Từ (+) suy ra t,, = U(ta,) — 0.

Trích ra mốt day con của (t,,) là (tn, }: U(ta,,) — tu.

Suy ra tụ — ua Vậy ue V ˆ}(0) Do đó we V ~®(0)

Mat khác d(t„,V -""(0)) = 1 Qua giới han, ta được đ(u, V ~”*{0)) = 1 mau thuần

Vay l|z„ — 2,|| bị chan và cũng vì U compact nên tổn tại day con z,, — z„„ sao cho

U(am, — %,) — |.

Tit (+) suy ra z,, —2,, —+ 0+l Dat z = y+l ta được z—U/(z) = y, tức là € V(E).

Vậy V"(E) đóng với mọi m

Dinh lý 2.2.3 Cho (E„)„ là mót dâu đơn điệu các không gian vecta con đóng của E, (Lin dee là một đâu bị chin trong ® Dat

s={ 1 nếu (Em) tăng

Giá sử (1 = ta TM Eines) C Em vdt mọi mà Lúc đó có số nguyên N sao cho E„ = En

2.2 DỊNH LÝ RIES-FREDHOLM Trang 11

Khi đó day (ny), là dãy tăng that sự và E, = E,, với mọi ¡ € [ne.nes:) En, # E,,

Vì thé ta có thé giá sứ dây ( F„„) tăng ngật

Theo bổ đề Ries 322, € Eines all = 1, dl Em) > 5,

Khi đó ||z„ — yl] > > Vụ € E,,.

Ta lại có

Im ~ t„T(z»~) EE, va t„T(w)ì € En, ve En

Suy ra

[em — (tm — tn 9) — tem T (0)|] > Alms Ea) > 5

> WaT (tm) ~ taT(0Ì| > 5» Vụ € Erm

Do đó có một day (z„)„ C B(0,1) sao cho

Ap dung định lý (2.2.3) cho f~ = 1 va E,, như trên ta được (i).

(ii) Ta chứng mình tương tự như trên, bằng cách ap dung định lý (2.2.3) cho t,, = 1

VÀ Ey = V"(E) s = ~l Vay định lý được chứng minh.

Định lý 2.2.5 (i) E= ROF

(ii) TIR)CR , TIF)CF

2.2 DINH LÝ RIES-FREDHOLM Trang 12

Chứng minh.

(i) Lay r € £, ta chứng minh r = ý + š với ,€ R2EF

Vì V*(E) = V"{E) Ym © N Suy ra VŸ(E) = V?X(£) Do đó 3: € E V(r) =

V2®{(;) Khi đó: dat y = VŸ(z) thiy € # và VŸ(r) = Về(w)

Trong trường hợp n = 1, ta có định lý Fredholm.

Dinh lý 2.2.6 (Fredholm) Cho T € K(£ E) Khi đó

(i) (1 ~ T)~!(0) hữu hạn chiêu

E,, z Eu-1 c ve $ E.

Theo Bỏ đề Riesz, tồn tại dây (u„}„ sao cho uy € Ey, all = 1 về d(te, Exes) > :

với rỗi in € N Ta có

T (tig) = T(u„) = (tig = Tein) + (Hạ, — Tt) + (Hạ — tym)

23 PHÔ CỦA TOÁN TU COMPACT Trang 13

Nêu n >m thì E„.ị C EB, C Ep và vì thé

(ty = Tuy) + (tly = Thy) + Mạ € mi

Do đó '

Tu, = Tu„|| > d(u~ E~„¡) 2 3

suy ra day {Tu} khong chứa day con hội tụ nào, mau thuẫn với 7` compact.

Vay (1 = T)(E) = E

Ngược lại, giá sử (J — T)(E) = E Khi đó

(I — Tìs(I —T(E) = (f - TME) = E

Bằng quy nap ta có được (1 ~ TYE) = EB.

Theo Định lý (2.2.4), ta có R= E.

Theo Định lý (2.2.5) : £ = Rip F Suy ra F = {0}.

Day (1 — T)-*(0} là day tang và F = (J — T)-* (0) = {0} nên (J —T)>*{0} = 0 Ta

đã chứng minh được phần đảo

Tiếp theo, ta xem xét win dé phổ của toán tử compact, toán tử compact ty liên hợp

tổng quát và một số toán tử compact cy thể.

2.3 Phổ của toán tử compact

Định nghĩa 2.3.1 Cho T € £(E), thi đó

- Tap giải là

A(T) = (A€ R | (T — Al) là song ánh từ E lên E}

~ Phổ ø(T) là phần bi của tập giải.

o(T) = R\¿(T)

= A được gọi là giả trị riêng va kí hiệu

AEVP(T) nếu (T - Al)-“'{0} #0.

(T = A1)-!{U} là không gian riêng tương từng tới À.

Từ định nghĩa, ta thấy được VP(T) C z{T).

Khi dim É < oo thì VP(T) = a(T).

Khi dim £ = 50, có thể xay ra VP(T) € ø(T)

23 PHÔ CỦA TOÁN TU COMPACT Trang 14

Mệnh dé 2.3.1 Phẩz(T) là tap compact sà ø(T) C Í ~ ||TIL.II7II ].

Chứng minh Giá xử A € R, JA] > ITY Ta chứng tỏ 7 — Al là song ánh, do vậy

ø(7) € [- ITI IITI |.

Lay ƒ € F2, ta chứng tỏ phương trình

Tu — Àu = ƒ (24)

có nghiệm duy nhất Thật vậy

Tu— Au = ƒu= xứu ~ f) = Blu) (2.5)

Khi dé

Bi = |yx- 7| - DI <1

Theo định ly điểm bất động Banach, phương trình (2.5) có nghiệm duy nhất nên

phương trình (2 1) có nghiệm duy nhất Vậy T — A/ là song ánh.

Bay gid ta chứng minh p(T) là mở, như vậy 2(T) = IR\2ð(7) là đóng

Cho A» € p(T), A € R (gẦn với Ap) và f € E, ta tìm cách giải

thi (7 — A/) là song ánh, suy ra A € Ø(T) nên p{T) là mở.

Vậy ø(T) đóng và o(T) € | ~ ||TI ||TI ] Ta có được ø(T) compact.

Dinh lý 2.3.1 Gia sử T € K(E) vdi dim E = 00 Kht đó ta có

(i) 0£ ofT)

(ii) o(T)\{0} = VP(T)\{0}

(iii) một trong cúc trường hợp sau xéy ru

23 PHO CUA TOÁN TU COMPACT Trang 15

~ hoặc ø(T) = {0}

+ hode ø(T\{0} hữu han

- hoặc o(T)\{0} là mát day tiên vé 0

Chứng minh.

(i) Giả sử 0 ¢ o(T), tức là 0 € ø(T) = T là song ánh Khi đó J = ToT là

compact Do đó Bg = ƒ(g) là compact Vậy dim E < co.

(ii) Cho A € ø(T) A #0 Ta chứng tỏ A € VP(T) Giả sử (T - A1)~*{0} = {0}

Theo định lý Fredholm, ta có (7 = Af)(E) = E.

Vay (T — AJ) vừa là đơn ánh, vita là toàn ánh nên (7 ~ AJ) là song ánh suy ra A £ p{T)

mầu thuần Vậy A € V(7).

(iii) Dé chứng minh phan (iii) ta cần Bd đề sau

Bế dé 2.3.1 Giả sử (A„)„»¡ là day số thực khác nhaw đổi một sao cho

Aw — A sms Au€2(T)(0} Vn.

Khi đó

A= 0.

Chitng minh bổ đệ :

Với A, € VP(T), chọn c„ # 0 sao cho (T = À„l)e„ = 0 Giả sử E, là không gian

vecta sinh bởi e;,e;, c„ Ta chứng minh E, G „¡ That vậy, chỉ cin kiểm chứng

các vectd ey, ,e„ độc lập tuyến tính với mọi ø Ta chứng minh qui nạp theo n

"

Giả sử e¡, e„ độc lập tuyến tính và e~„¡ = 3 aye, Khi đó

T(e„+¡) = T( Sa) = Sane) = are (2.8)

2.3 PHO CUA TOÁN TU COMPACT Trang 16

Khi đó với 2 < m < n sao cho £,,_; C E,, C Eu-¡C E, Ta có

Tuy _ Tttem |_| (Ten = Antin) (Twz—Amum) „ _ | = Fo + ty — tạ

Nếu A, — A # 0, ta có được mâu thuần vì T(u,,) chứa day con hội tu

Chứng mình (ii) Dat

A„=ø(T)n[AcR : n> +} Wen.

RO ràng A, là rỗng hoặc hữu han (nếu nó chứa vo số điểm phân biệt thì nó có một

điểm tụ vi A, C ø(T)<ompaet Suy ra có diy A, — 0, mau thuẫn vì ||À|| > 2)

Khi #(T)\{0} chứa vô số điểm phân biệt, ta có thể sắp xếp thành một dày tiến về 0.

Ngược lai, nêu cho trước diy a, — 0, ta có thể xây dung toán tit compact T sao

cho a(T) = (a„) U {0} Ta xét các ví dụ.

Ví du ! Xét E =P, Tsu = (uạ) = T{u) = (aau„) Khi đó với = (uy, uạ Hai

ta xét toán tử hữu hạn chiều Ty(u) = (cyt, ogee, , , aye, 0,0 ) thì T, — T.

23 PHÔ CỦA TOÁN TU COMPACT Trang 17

Theo hệ quả (2.1.1) ta có T compact Ta cũng có

(2.13)

Nêu day (a„) có hai số bằng nhau thì rõ ràng 0 € SP(T), Tức là 0 có thé thuộc

SP(T), cũng có thể không thuộc Mặt khác, nếu day có chứa võ số số 0 thi không gian

tiêng tướng ứng với vectơ riêng a = 0, tức là ?'~Ì{0) sẽ vô hạn chiều

T*'(0) = {w : T(u) =0}

= {w : (anu,) =0}

= ((0,0, ,1,0, ), lởvi trí thts) võ hạn chiều.

Phó 7 : o(T)\{0} = SP(T)\{0}

Vi dụ # Trong trường hợp £ là không gian Hilbert vô hạn chiều, (u,) là mot dày

vectơ trực chuẩn tối đa trong E và (a,) — 0 Xét

- ` PAY — Start u,)?

< YE suplayi*(u, a)? < sup fay iull?

23 PHÔ CỦA TOÁN TỦ COMPACT Trang 18

Vậy o(T) = (a,)U {0}

Với A € z(7)\{0} thì A € SP(T)\{0} và (7 - Àf)-!(0) # {0}.Ta có mệnh đề sau.

Mộnh đề 2.3.2 Cho 7 € K(E,E), A€ ø(T)\{0) Khi đó (T — Af)ˆ"(0) tăng thực sự đến một không gian hữu hạn chiều p sau đó ổn định.

Chứng minh Thật vậy t € K(E, E) Thay T bàng 7 + vào Định lý (2.2.4) ta sẽ được

Dinh nghĩa 2.3.2 Cho T € K(E.E) \€ o{T)\{0} cả p như trên Khi đó ta nói

+ p là cấp của trị riêng À.

+ Sá chiếu của (T = Àf)*!{(0) lá bội hình học của A

+ Số chiếu của (T = Àf)*?(0) là bội dại số của À

Bây giờ ta xét trường hợp Z là không gian Hilbert và kí hiệu E ~ // Lúc đó T € C(H)

Định nghĩa 2.3.3 Ta nói rằng toán tử T € C(H) là tự biến hợp nêu

(T(u),u) = (u, T(v)) ; Vu,t € H.

23 PHÔ CỦA TOÁN TU COMPACT Trang 19

Mệnh dé 2.3.3 Giá sử T € £(H) là toán từ tự lén hợp Dat

Ap dụng định lý Lax-Milgram cho hàm a(u,v) = (Au — T(u),v), tổn tại duy nhất

a € H sao cho a(u, 0) = (d.t), Wo € HH.

Do đó Au — T(u) = a Vay AJ — 7 là song anh, A € p(T).

Ta chứng minh M € ø(T) Lai dat a(u, 6) = (Mu = T(x), v) là dạng song tuyến tính

đối xứng và afv, v) > 0 (theo trên) Vì thế

|(Mu — T(u),u)| < (Mu — T{u).u)Ÿ - (Me —T(u).Ì VuueH = (219)

[Mu — T(u)|| < V2M - (Mu — T{w), uw)?

Lay (w„) sao cho ||u„|{ = 1 và (T(t), ts) —< M (do định nghĩa M) Ta có

(Mu, — T(u,