Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: Tách khối tâm cho bài toán nguyên tử tương tác với từ trường đều = The center-of-mass seperation for the problem of an atom in a uniform magnetic field

Vẫn dé đặt ra ở đây đó chính là tại sao đối với exciton không trung hòa thì Hamiltonian của nó trong hệ quy chiếu khối tâm không thẻ đưa về dạng phân ly biến số một cách dễ dàng như các

TRƯỞNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHO HỖ CHÍ MINH

roller

TEN DE TAL

TÁCH KHOI TAM CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ TƯƠNG TÁC VỚI TỪ

TRƯỜNG ĐỀU

THE CENTER-OF-MASS SEPERATION FOR THE PROBLEM OF AN

ATOM IN A UNIFORM MAGNETIC FIELD

GVHD: GS.TSKH LE VAN HOANG

SVTH: NGUYEN ANH TUẦN - K40.102.105

Thành phố Hồ Chi Minh, nam 2018

TRƯỞNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHO HO CHÍ MINH

THE CENTER-OF-MASS SEPERATION FOR THE PROBLEM OF AN

ATOM IN A UNIFORM MAGNETIC FIELD

GVHD: GS.TSKH LE VAN HOANG

SVTH: NGUYEN ANH TUẦN - K40.102.105

Thanh phố Hồ Chi Minh, nam 2018

nN

LỜI CẢM ƠN

Việc thực hiện dé tài này không thé không ké đến sự đóng góp của GS Lê Văn

Hoàng đã đề nghị đề tài này và luôn theo sát em trong suốt quá trình làm khóa luận Hơn

nữa, thông qua việc giảng day, Thay Hoàng cũng đã là người truyền cảm hứng cho em

trong việc nghiên cửu các van dé liên quan đến Cơ Học Lượng Tử, giúp em có khả năng

và hứng thú tìm tòi các tài liệu liên quan đến bộ môn và dé tài này Sự thành công của

khóa luận cũng nhờ vào công ơn rất lớn của Thay

Ngoài ra, em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến thay Lê Dai Nam, người đãgóp ý cho em sửa chữa và hoàn chỉnh khóa luận Khóa luận của em sẽ không thé hoàn

thiện nếu không có sự hướng dan và giúp đỡ của thay

Em xin cảm ơn đến các thay cô trong tô Vật Lý Lý Thuyết vi đã tạo điều kiện cho

em thực hiện đề tài này, tạo điều kiện cho em có cơ hội được nghiên cứu một vấn đề khoa

học Mặc dù kĩ nang phân tích van dé và trình bay van dé của em còn có rất nhiều thiếusót nhưng các thầy cô đã rất nhiệt tình chi bảo va hướng dan em Day là một điều mayman rat lớn đôi với em.

Lời cudi cùng, em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè, những người đã luôn

động viên và khích lệ tinh thần em trong suốt thời gian qua dé em có thé tập trung hoàn

thành khóa luận.

TPHCM, ngày 26 tháng 04 năm 2018

Nguyễn Anh Tuan

CHUONG I: KHÓI TÂM TRONG CÁC BÀI TOÁN NGUYEN TU TRUNG HÒA KHI

GHƯA DAT TRONG TU TRUONG vv sissscissssicessssscsessesssieasassissoinsesssessesisincisscsnsaincnesaisesies 9

1.1 Tach khối tâm cho bài toán nguyên tir hydro khi chưa đặt trong từ trường 9 1.2 Tach khối tâm cho bài toán nguyên tử heli khi chưa đặt trong từ trường 13

CHUONG 2: TÁCH KHOI TÂM TRONG CÁC BAI TOÁN NGUYEN TỪ TRUNG

HOA TRONG TỪ TRƯỜNG sccsiscsssssssesisessssssissasscssoninsaasessvisssicssiscsseasnseaivasvsassiccanioaseainees 18

2.1 Anh hưởng của từ trường lên một hat mang điện chuyên HỘ E lit2ins2i2ii23i05414240522 182.2 Tach khối tâm cho bài toán nguyên tử hydro trung hòa trong từ trudng 20

2.3 Tach khối tâm cho bài toán nguyên tử heli trung hòa trong từ trường 26

CHUONG 3: DIEU KIEN DE TACH CHUYEN DONG KHOI TAM TRONG

HAMILTONIAN CUA MOT NGUYEN TỪ TRONG TU TRƯỜNG 34

CHƯƠNG 4: KET LUẬN VA HƯỚNG PHAT TRIÉN - 2222222222232 32222252 37

KET LUẬN 2-22 ©.sS+<Sk<S4EEEEEEEEEEEEEE.ECHCEHEEEEEXEEEEE7Ae AE CEECEEErErrerrrerrkee 37

HƯỚNG PHAT TRIỆN, 22-222 S2E255E555211211111211211111 2111211 211 21122012112 012 112cc 37

PHU LUC A 38

A Toán tử động lượng suy rộng của một hệ N hat mang điện 38

ee a ar de 39

TIETETIPTHIAMEHAO -.- -.ê-.êễẽêễ.ê ẽễêẽễêẽsẽs.s ẽ.e 41

"ra 7a 41

¡"rẽ 4 41

DANH MỤC CÁC HÌNH

Chương |

Hình 1: Nguyên tử hydro trong hệ tọa độ Descartes óc SH sHsHhsHisey 7

Hình 2: Nguyên tử heli trong hệ tọa độ Descartes - co -SĂeseeseeseee 12

Chương 2

Hình 3: Nguyên tử hydro khi dat trong từ trường trong tọa độ Descartes 19

Hình 4: Nguyên tử heli khi đặt trong từ trường trong tọa độ IDescartes 25

MỞ ĐÀU

1 Đối với cơ học lượng tử, khi khảo sát chuyền động của các đối tượng vi mô

(như các hạt cơ bản hay một hệ hạt chăng hạn như nguyên tử), ta sẽ viết Hamiltonian cho

hệ rồi đưa Hamiltonian vào phương trình sóng Schrodinger dé giải ra nghiệm là hàm

sóng t{r) va năng lượng Hàm sóng bản thân nó không có ý nghĩa vật lí Tuy nhiên theo

Max Born, bình phương module hàm sóng lại cho ta biết xác suất tìm thấy một hạt trongmột vi phân thê tích [1] Tuy nhiên đối với những bài toán nguyên tử (hệ gồm hai hoặc

nhiều hạt), việc giải phương trình Schrodinger sẽ khá phức tạp đo số bậc tự do trong bài

toán nhiều Giả sử khi xét chuyên động của một nguyên tử hydro trong từ trường, ta phải

xét vector bán kính hạt nhân r„ và vector bán kính electron ?« Trong không gian

Descartes, mỗi vector sẽ có ba thành phân, do đó Hamiltonian của hệ sẽ có đến sáu bậc tự

do [18] Điều này sẽ gây khó khăn khi giải phương trình Schrodinger

Đề giảm số bậc tự do, ta sẽ đưa bai toán về hệ quy chiều khối tâm Lúc này thay

vì xét các vector bán kính hạt nhân ?„ và các electron ?, ta sẽ đưa vẻ các vector bán kính

của khối tâm và của chuyển động tương đổi giữa hạt nhân và electron (đối với các bài

toán có nhiều electron sẽ xét thêm vector bán kính chuyên động tương đối giữa các

electron) Sau đó, Hamiltonian sẽ được biến đôi qua hệ khối tâm Lúc này bằng các phépbiến đôi giải tích, ta sẽ đưa Hamiltonian trong hệ khối tâm về dang phân ly biến số tức làchuyên động của khối tâm và chuyên động tương đối của các hạt nhân và electron trongnguyên tử được tách ra một cách rõ rệt Việc giải phương trình Schrodinger lúc này sẽ

đơn giản hơn do hai biến số hoàn toàn độc lập với nhau Do đó khi khảo sát chuyên động

của các nguyên tử, ta luôn tìm cách đưa Hamiltonian của nguyên tử về hệ quy chiếu khối

tâm và biểu dién Hamiltonian dưới dang phân ly biến số, từ đó việc giải phương trình

Schrodinger đề tìm hàm sóng sẽ đơn gián hơn rất nhiều

2 Chưa xét đến việc giải phương trình Schrodinger, hiện nay, việc tách khối tâm

trong bài toán nguyên tử khi không có điện từ trường đã được giải quyết và trình bày

điển hình là bài toán nguyên tử hydro khí không có điện từ trường [1] Tiếp sau đó là bài

toán nguyên tử heli với cách giải gần như tương tự ma dé tài này sẽ giải quyết Còn đối

6

với nguyên tử trong từ trường, lời giải cho bài toán nguyên tử hydro, heli cũng đã được

công bố [4, 5, 13, 14] Tất cả sẽ được trình bày lại một cách hệ thống nhất trong đẻ tài

này.

Sau khí đạt được thành công trong việc tách khối tâm trong bài toán nguyên tửtrung hòa khi không có điện từ trưởng và trong từ trường các nhà khoa học bắt đầuchuyền đối tượng nghiên cứu các exciton không trung hòa trong bán dẫn, nghĩa là sốelectron và số lỗ trỗng không bang nhau Lúc này họ đã gặp phải một số khó khăn nhất

định trong việc dua Hamiltonian về dang phân ly biến số [15, 16] Vẫn dé đặt ra ở đây đó

chính là tại sao đối với exciton không trung hòa thì Hamiltonian của nó trong hệ quy

chiếu khối tâm không thẻ đưa về dạng phân ly biến số một cách dễ dàng như các nguyên

tử trung hòa Và liệu có một điều kiện, hay một phép gần đúng nào giúp ta làm được điều

nay? Đây van còn là một van đề khá nan giải mà các bài báo khoa học đang đặt ra.

3 Dé tài này sẽ nghiên cứu kĩ về các bước dé có thẻ tách khối tâm cho bài toánnguyên từ Đối tượng nghiên cửu ban đầu là nguyên tử hydro và heli khi chưa có từ

trường Khi đặt nguyên tử trung hòa trong từ trường, do có sự xuất hiện của the vector

nên toán tử xung lượng của các hạt sẽ bị biến đồi [1] Lúc này việc tách khối tâm sẽ phức

tạp hơn Đề tài này sẽ chỉ ra sự khác biệt giữa Hamiltonian của một nguyên tử trong từ

trường với Hamiltonian của một nguyên tử khi không có từ trưởng cũng như trình bảy

từng bước cách dé tách khối tâm trong bài toán nguyên tử trong từ trường Ban dau, dé

đơn giản, ta cũng sẽ chọn đối tượng là nguyên tử hydro trong từ trường Sau đó là heli và

mở rộng ra đối với một ion có hạt nhân Z và một electron, kiểm chứng xem với các cáchlàm của các bài toán trên thì có thé tách khối tâm cho bài toán ion được không

Mặc dù phạm vi của dé tài chỉ đến bước thiết lập Hamiltonian của nguyên tử ởdạng phân ly biến số giữa chuyển động khối tâm và chuyên động tương đối của hạt nhân

va electron, nhưng kết qua này sẽ làm tiền dé cho các nghiên cứu sâu hơn, nhất là excitonkhông trung hòa trong bán dan hai chiẻu

4 Ngoài phần Mở đầu và Kết luận và hướng phát triển, khóa luận sẽ gồm có hai

chương:

Chương 1: Khối tâm trong các bài toán nguyên tử trung hòa khi chưa đặt trong từ

trường.

Chương này sẽ trình bày chỉ tiết các bước tách khối tâm cho nguyên tử trung hòa

khi chưa đặt trong từ trường Đối tượng nghiên cứu ở đây chính là nguyên tử hydro và

heli Chương | bao gồm hai phần, mỗi nguyên tử sẽ được trình bày trong một phan

Chương 2: Khối tâm trong các bài toán nguyên tử trung hòa trong từ trường

Chương này cũng sẽ trình bày chỉ tiết các bước tách khối tâm cho nguyên từ trung

hòa trong từ trường Chương 2 bao gồm ba phân Hai phần đầu sẽ trình bày việc táchkhối tâm cho hydro và heli Phần thứ ba, tôi sẽ chuyển đối tượng nghiên cứu sang ion vớihạt nhân Z và một electron với Z # 1 để kiểm chứng với các bước tách khối tâm đã thựchiện trong bài toán hydro và heli thì đối với ion có thành công hay không

CHƯƠNG 1: KHOI TAM TRONG CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN TU TRUNG

HOA KHI CHUA DAT TRONG TU TRUONG

1.1 Tach khối tâm cho bài toán nguyên tir hydro khi chưa đặt trong tir trường

Nguyên tử hydro trung hòa bao gồm hạt nhân là một proton và một electronchuyên động xung quanh hạt nhân Trong nguyên tử hydro khi chưa đặt trong từ trường

thi lực tac dụng giữa proton va electron chính là lực Coulomb.

Gọi Tp = (Xạ, Vạ,Za) Và Me = (Xes y¿, Ze) lần lượt là vector tọa độ của hạt nhân và

electron, mạ và mg lần lượt là khối lượng của hạt nhân va electron.

Hình 1: Nguyên tử hydro trong hệ toa độ Descartes.

Hamiltonian của nguyên tử hydro được viết như sau

Cac biêu thức đạo ham riêng phan cũng sé được bien đôi sang hệ quy chiêu khôi tâm cụ

thẻ là đôi với hạt nhân, ta có

Bây giờ, ta sẽ lần lượt đưa các toán tử động lượng của hat nhân và electron vẻ hệ

quy chiếu khối tâm Viết toán từ xung lượng của hạt nhân dưới dang tường minh ta thu

trong do p = —ihVW, là toán tử xung lượng đặc trưng cho chuyên động tương đỗi giữa

electron và hạt nhân ứng với toa độ (x,y,z); Pp, = —ihVp là toán tử xung lượng đặc trưng

cho chuyên động khối tâm của hệ ứng với tọa độ (X,Y,Z)

Thực hiện tương tự các bước biến đôi trên với toán tử động lượng của electron, ta cũngthu được

1 1 _¿ ¬ +( nụ )ø.| + 1 [o : ( Me )p.|

Im, Pm + oy, Pe = 2m), P m,+m,/"*} ` 2m, P mạ +m,/° °J°

Thực hiện các phép biến đôi toán học, ta thu được

1 1 pat = 5 (A) pe + s( 1 \p2 1.14

Im, Ph Tm, Pe ~ 2\ mam, PT? Mp, + mẹ Pe lun,

Đến đây, ta đặt như sau

MypMe

nm =—————, BEMp, + Me (LS)

M =n, + mm„, (1.16)

với M là khối lượng của khôi tâm, m là khối lượng rút gọn của chuyên động tương đôi

giữa hạt nhân va electron.

Khi đó, ta có Hamiltonian của nguyên tử hydro trong hệ quy chiếu khối tâm như sau

—h? —h? 1 e?

—— 2 D2 —

H VR + v2 — Tacs; ri 2M 2m eM1.1

Như vậy từ (1.17), ta thay chuyên động của nguyên tử hydro khi chưa có từ trường

có thé tách ra làm hai chuyên động: một là chuyên động của một hạt có khối lượng rútgọn m, hai là chuyên động của khối tâm có khỗi lượng M [1]

Từ đây, Hamiltonian được tách thành hai thành phần như sau

Việc giải phương trình Schrodinger lúc này sẽ đơn giản hơn rất nhiều do hai biến

số đã phân ly hoàn toản Do khối lượng hạt nhân là proton lớn hơn nhiều (1836 lần) sovới khối lượng của electron nên m ~ m,, tuy nhiên trong các tính toán chính xác hon, ta

can tính thêm hiệu ứng khói lượng hạt nhân Phương trình (1.19) mô tả chuyên động tự

do của hạt có khối lượng M Vì có sự tách biển giữa hai chuyên động này, khi khảo sát

nguyên tử hydro, ta có thé xem như nó đứng yên và chi dé lại thành phan chuyên động

tương đỗi giữa electron và hạt nhân trong Hamiltonian [1].

1.2 Tách khối tâm cho bài toán nguyên tử heli khi chưa đặt trong từ trường

Nguyên tử heli bao gồm hạt nhân là hai proton mang điện tích dương và haielectron mang điện tích âm chuyên động xung quanh hạt nhân Lực tác dụng giữa proton

và electron và giữa các electron với nhau chính là lực điện (lực Coulomb).

Gọi Tp = (XY ne Zn) và Tự, = (Xe Ye,sZe,)T«, = (Xe,Ye„„Ze„) lần lượt là vector

tọa độ của hạt nhân và electron thứ nhất, thứ hai; zn„ và zn„ lần lượt là khối lượng của hạt

nhân và electron.

13

Hamiltonian của nguyên tử heli được việt như sau

nhau được viết như sau

ye 1 ( 2e? 2e? F e? i29)

4neeo |r«, ~ r| Ire, ~ ral Ire, ~ re,| c

Ph: Pe, Pe, lần lượt là toán tử xung lượng của hạt nhân và từng electron

Dé đưa bài toán về hệ tọa độ khối tâm, ta sẽ sử dụng các vector mới như sau

Trong bài toán hydro, do chỉ có một hạt nhân và một electron nên khi chuyên về hệ khối

tâm, ta chi xét hai vector (một thành phân chuyên động tương đối giữa electron với hạt

nhân và một thành phan chuyên động của khối tâm) Đối với bai toán heli, do cũng có

một hạt nhân nhưng có đến hai electron nên việc chuyên về hệ khối tâm sẽ phức tạp hơn,

nghĩa la ta phải xét đến ba vector bao gồm

r = (x,y,Z) là vector mô tả chuyên động tương đối của hai electron so với hạt nhân,

To = (Xo, Yo Zo) là vector mô tả chuyên động tương đối của hai electron so với nhau,

R = (X,Y,Z) là vector mô tả chuyên động của khối tâm

Sau đó, từ (1.23) (1.24) và (1.25) ta cũng sẽ tiền hành biến đôi từ hệ tọa độ Descartessang hệ tọa độ khối tâm tương tự như bai toán hydro Cụ thé ta có

ô _ ô aro Ô ôr 0 OR _ LAN lui m — ở l2

Ore, Ôrạôr, ôrôr, ôRôr, Arg 2ôr ty +2m,2R uhz0)

ar, Orgdr, Ordr, ORA@r, Or mp, +2m, OR

Từ kết quả trên ta sẽ biến đồi toán tử động lượng từ hệ toa độ Descartes qua hệ toa độ

khôi tâm như sau

Pe, = Í or Po+7P TT om, Pe (1.31)

trong đó p = —íhV, là toán từ xung lượng đặc trưng cho chuyên động tương d6i giữa hai

electron với nhau trong tọa độ (x,y,z),

15

Po = —ihV,, là toán từ xung lượng đặc trưng cho chuyên động tương đổi giữa hai

electron với hạt nhân trong tọa độ (xø,Yø,z2),

p = —ihVp là toán tử xung lượng đặc trưng cho chuyên động khối tâm của hệ ứng với

+ 1 2e? 2e? + e? lung

Ange, Bee] ie +rị Iral Ƒ

Đến đây, ta đặt như sau

2m?

m= 2m + Mp (1.33)

M =m, + 2m, (1.34) Khi do, thay (1.31), (1.32) và (1.20) vào (1.30), Hamiltonian cua bai toán nguyên tử heli trung hoa trong trường xuyên tâm co dạng như sau

page uy ey I ze 2C, Ì, (14s

2M 'RT Me 2m AMEE, |-2+r| l#+r| lral 22)

16

Khác với bài toán hydro, do nguyên tử heli có 2 electron tương tác với hạt nhân và

còn tương tác với nhau nên ngoài hai chuyên động của một khối tâm có khối lượng M,

một hạt có khối lượng rút gọn ? đặc trưng cho chuyên động tương đổi của electron với

hạt nhân, Hamiltonian còn xuất hiện một toán tử đặc trưng cho chuyển động tương đối

của 2 clectron với nhau.

Từ đây, Hamiltonian được tách thành hai thành phần như sau

Tương tự như nguyên tử hydro, sau khi thé vào phương trình Schrodinger, ta cũng thu

được hai phương trình như sau

Everb(1,1o)-Do m, > m, nên có thé xem m = m, Tuy nhiên trong một số tinh toán khác, đặc

biệt là trong bai toán exciton trong bán dẫn hai chiều, ta vẫn phải xét đến hiệu ứng khốilượng lỗ trồng do lúc này khối lượng của lỗ trống xap xi bằng khối lượng của electron

17

CHƯƠNG 2: TÁCH KHOI TÂM TRONG CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ

TRUNG HÒA TRONG TỪ TRƯỜNG

2.1 Ánh hưởng của từ trường lên một hạt mang điện chuyển động

Đề mô tả từ trường, người ta dùng vector từ trường B Y nghĩa vật lý của vectornày liên quan đến lực Lorentz tác dụng lên điện tích q khi nó đặt trong từ trường Khimột điện tích chuyên động trong vùng không gian có từ trường, điện tích đó sẽ bị chịu tác

dụng bởi lực Lorentz có dạng [1]

F = q( xB) (2.1)

Ngoài cách mô ta từ trường theo cách tiếp cận lực như trên, người ta còn sử dung cách

mô tả theo tiếp cận năng lượng bằng cách sử dụng thé điện động lực bao gồm thé vector

A (ngoài ra còn có thé vô hướng ø nhưng trong trường hợp này ta chỉ xét từ trường mà

không có điện trường nên không xét đến thé vô hướng) Hai cách tiếp cận đều tươngđương nhau Điều đó được thê hiện qua hệ thức

B=VXxA (2.2)

Như vậy, nếu biết thé vector A thì ta có thé suy ra vector B Tuy nhiên, từ vector từ

trường ta không thé suy ra thé vector một cách đơn trị do phương trình B = x A thuộc

dạng vi phân Khi xây dựng phương trình ngược, thuộc dạng tích phân, sẽ xuất hiện các

hằng số tùy ý Do vậy, ta cần chọn một định chuẩn đẻ áp đặt lên thế điện động Theo

Avron et al (1978), sử dụng định chuẩn Lorentz [3], thé vector có dang

1

Xét một hat mang điện q chuyên động trong từ trường Dé xem xét anh hưởng của

từ trường lên hạt này, ta sẽ viết Hamiltonian của nó trong từ trường dé xem có gì khác

biệt so với khi không có từ trường hay không Thật vậy, trước tiên ta sẽ viết Hamiltonian

18

cho hệ, sau đó chuyên thành Hamiltonian theo tiên đề tương ứng giữa toán tử và đại

Dem ham Lagrange với kí hiệu như trên thé vào phương trình chuyên động Lagrange

(2.5), ta để đàng thu được (2.1) Từ đây ta sẽ sử dụng hàm Lagrange cho các tính toán

Biêu thức (2.7) cho ta ý nghĩa vật lý của thé vector A Nó chính là phần xung lượng của

từ trưởng đỏng góp vào xung lượng của một đơn vị điện tích chuyển động trong từtrường Đây chính là sự khác biệt về toán tử xung lượng của hạt mang điện khi ở trong từ

trường so với khi không có từ trưởng.

Ham Hamilton của hệ được tính từ công thức

19

dé giải va đưa Hamiltonian về hệ khôi tam.

2.2 Tách khối tâm cho bài toán nguyên tử hydro trung hòa trong từ trường

Gọi r„=(x,,y,„,z„)và r =(x,y.,z,) lần lượt là vector tọa độ của hạt nhân và

electron, m,, và m, lần lượt là khôi lượng của hạt nhân và electron.

20

Hình 3: Nguyên tứ hydro khi dat trong từ trường trong hệ toa độ Descartes.

Hamiltonian của nguyên tử hydro trong từ trường được viết như sau

A là thế vector Nó liên quan đến sự ảnh hưởng của trường điện từ lên xung lượng của hạt

mang điện Nó chính là phần xung lượng của trường điện từ đóng góp vào xung lượngcủa một đơn vị điện tích chuyền động trong từ trường [1]

Khai triển (2.13), ta được