Khi clectron van còn tương tác Coulomb với lỗ trong sẽ tạo ra một trạng thai liên kết, trạng thái này tựa như liên kết của nguyên tử hydro va có tên là exciton [1].. thi cách này đơn giả
Hàm sóng và năng lượng của exciton trong từ trường đều
Phương trỡnh Schrửdinger cho exciton khi trong từ trường cú dạng:
(-inv, +eA,) +VE - abl =EW (1.11)
Trong đó, A là một vector, vz là tương tác Coulomb giữa electron và lỗ trống, m là khối lượng hiệu dụng của hạt i (bao gồm electron và lỗ trống), và e là điện tích nguyên tố.
Ta ghi lại phương trình (1.11) khi đặt trong từ trường đều theo phương Oz, B= (0.0.8)
Ta cũng thực hiện các biến đôi đưa vẻ hệ tọa độ khối tâm như bài toán không từ trường: ơơ - mr +mF,
Phương trinh (1.12) trở thành: ne h? ˆ
Phương trình (1.13) bao gồm hai thành phần: một thành phần không chứa biến R và một thành phần chứa biến r Đối với thành phần đầu tiên, năng lượng và hàm sóng có thể được giải tương tự như phương trình (1.5) Tuy nhiên, thành phần thứ hai phức tạp hơn và thường được giải bằng nhiều phương pháp khác nhau, chẳng hạn như phương pháp nhiễu loạn hoặc phương pháp toán tử FK.
1.1.6 Exciton trong đơn lớp TMD
TMD (Transition Metal Dichalcogenides) là các vật liệu bán dẫn mỏng, trong suốt và linh hoạt, có công thức hóa học là MX, với M là kim loại chuyển tiếp và X là nguyên tử thuộc nhóm halogenua Chúng có cấu trúc dạng đơn lớp, trong đó một lớp nguyên tử M được kẹp giữa hai lớp nguyên tử X theo hình lục giác.
Nghiên cứu exciton trong đơn lớp vật liệu TMD đang thu hút sự chú ý của nhiều nhà khoa học nhờ vào khả năng thay đổi năng lượng vùng cắm bằng cách điều chỉnh lớp điện môi xung quanh, điều này đơn giản và thuận tiện hơn so với các phương pháp như pha tạp chất hay thay đổi thành phần hóa học Hơn nữa, năng lượng liên kết của exciton trong đơn lớp TMD cao hơn nhiều so với các vật liệu thông thường như GaASe, cho phép khảo sát năng lượng liên kết của exciton qua các phép đo quang học ngay cả ở nhiệt độ phòng Bên cạnh việc quan sát exciton, nghiên cứu còn mở ra khả năng quan sát trion và biexciton, góp phần làm phong phú thêm hiểu biết về các hiện tượng này.
Trong các loại vật liệu chuyển tiếp hai chiều (TMD), đơn lớp TMD thuộc nhóm VI như MoS₂, MoSe₂, WS₂ và WSe₂ đang thu hút sự quan tâm đặc biệt từ các nhóm nghiên cứu Nhiều nghiên cứu đã tập trung vào hiện tượng phát xạ của exciton trong các đơn lớp TMD VI, kết hợp giữa lý thuyết và thực nghiệm.
Các nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm đã xác định được các hàm điện môi cho các đơn lớp như MoS, MoSe, WS2 và WSe2 Từ các hàm điện môi này, có thể tính toán độ hấp thụ tuyệt đối của các đơn lớp Nghiên cứu [21] đã đo được phổ năng lượng của exciton trong đơn lớp WS2, bao gồm các trạng thái cơ bản và các trạng thái kích thích 2s, 3s, 4s, 5s Ngoài ra, công trình [39, 41] đã ghi nhận sự dịch chuyển khác nhau của các trạng thái 1s, 2s, 3s, 4s đối với đơn lớp WSe2 và MoSe2 khi giá trị từ trường tăng lên 60T, và MoS2 khi giá trị từ trường đạt 91T.
Do exciton có cấu trúc tương tự nguyên tử hydro, các nhóm nghiên cứu đã áp dụng mô hình nguyên tử hydro với tương tác Coulomb để phân tích kết quả thực nghiệm Tuy nhiên, kết quả cho thấy số liệu lý thuyết chỉ phù hợp với số liệu thực nghiệm ở các trạng thái bậc cao như 3s, 4s, 5s, trong khi các trạng thái 1s, 2s không trùng khớp Điều này được giải thích là do tương tác Coulomb không mô tả đầy đủ sự tương tác giữa điện tử và lỗ trống trong đơn lớp TMD Khi khoảng cách giữa điện tử và lỗ trống giảm, sự tương tác không còn là Coulomb, ngược lại, khi khoảng cách tăng lên, tương tác vẫn là Coulomb Công trình đã đề xuất sử dụng một mô hình tương tác khác để cải thiện độ chính xác.
Keldysh dé thay thé cho tương tác Coulomb, khi đó các tính toán lý thuyết sẽ cho kết quả phù hợp với thực nghiệm
Trong bài nghiên cứu này, chúng tôi cũng sẽ tập trung vào đơn lớp TMD thuộc nhóm
VI, cụ thể là đơn lớp WSe2.
1.2 Tổng quan về thế Kratzer
Thế Kratzer, được đặt theo tên nhà bác học B.Adolf Kratzer, lần đầu tiên được giới thiệu vào năm 1920 để mô tả phổ dao động quay của các nguyên tử lượng cực Hiện nay, thế Kratzer được ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu thuộc lĩnh vực Vật lý và Hóa học, bao gồm vật lý hạt nhân và nhiệt động lực học Mô hình này rất hữu ích trong việc mô tả cấu trúc, nghiên cứu phổ của các nguyên tử và phân tử, cũng như sự tương tác giữa chúng.
Hình 3 So sánh dang dé thi của hỗ thể tương tác Kratzer với các tham so liệu chỉnh ồ,ạ,K
Xét biểu thức thê Kratzer:
Với A.B,C là hang số của hồ thé Trong bài toán này chúng tôi xét A = 0 B = 1/ và
C = ỗra/K trong đó x là hằng số điện môi rạ là khoảng cách chắn, ổ là hệ số hiệu chỉnh.
Hình 4 so sánh các thể Keldysh (màu tím), Coulomb (màu xanh) và Kratzer (màu đỏ) với tham số không thứ nguyên T/rạ Vùng màu xám mô tả khoảng cách nhỏ hơn hằng số mạng a = 3.28 Å của đơn lớp WSe trong hBN, với rẻ = to/K A [33]
Molas và cộng sự đã đề xuất sử dụng thế tương tác Kratzer thay cho tương tác Keldysh để nghiên cứu năng lượng của exciton trong đơn lớp TMD hai chiều Lý do cho sự lựa chọn thế Kratzer là vì nó là một trong số ít dạng thế cho phép giải phương trình Schrödinger một cách tường minh với mọi số lượng tử Nhiều nghiên cứu đã áp dụng các phương pháp khác nhau như Nikiforov-Uvarov (NU) và phương pháp asymptotic iteration (AIM) để giải chính xác phương trình Schrödinger với thế Kratzer Trong công trình của Molas, khi xem xét đơn lớp WSe2 ở điều kiện cụ thể, đã chỉ ra rằng độ chênh lệch giữa các giá trị năng lượng là rất đáng chú ý.
Kratzer và thé Keldysh nhỏ hơn 5% khi xét trong đoạn lớn hơn khoảng cách nút mạng tinh thé đã được thé hiện thông qua bình 4.
Dựa trên các lý do đã nêu, chúng tôi cho rằng tương tác Kratzer hoàn toàn có thể thay thế tương tác Keldysh để mô tả sự tương tác giữa điện tử và lỗ trong exciton, đặc biệt trong các đơn lớp TMD Việc áp dụng tương tác Kratzer sẽ mở ra nhiều hướng tiếp cận lý thuyết mới cho các nhà nghiên cứu, có ý nghĩa quan trọng trong việc nghiên cứu và trích xuất thông tin từ phổ năng lượng của exciton.
CHƯƠNG 2: EXCITON HAI CHIEU TRONG TƯƠNG TÁC KRATZER
Năng lượng giải tích của exciton hai chiều trong tương tác Kratzer
Phương trỡnh Schrửdinger khụng thử nguyờn cho exciton hai chiều cú dạng:
Trong phương trình (2.1), thứ nguyên của độ dai 1, = 4ze„"°& / ;e° trùng với bán kính
Bohr hiệu dụng, va thứ nguyên của năng lượng #ÿ = e`/16z°z¿Ù'.
Trong bải toán này chúng tôi sử dụng thé Kratzer có dang như sau:
Trong công thức d6 K, hằng số điện mụi được ký hiệu là K, khoảng cách chắn là ie, và hệ số hiệu chỉnh là ứ Để đơn giản hóa việc tính toán, chúng tôi áp dụng phép biến đổi Levi — Civita để chuyển từ không gian tọa độ (x,y) sang không gian tọa độ (z; ứ).
Khi đó Jacobian của phép biến đôi nảy lả:
Thông qua phép biến đôi Levi — Civita phương trình (2.1) trở thảnh: a? A A2 r
4n27 Gn? 4 en nt dg? - kg ôns
Do các biến ;;.œ độc lập với nhau, chúng tôi sử đụng phương pháp tách biển Hàm sóng lúc này sẽ có dạng: ự(,ứ) = Rũ).đ(0), (26)
Trong đú â (gy) =e / 2a là hàm cau chỉ phụ thuộc gúc ứ m là số lượng tử từ vả
R() là hàm bán kính Thay dang hàm sóng (2.6) vào phương trình (2.5), thu được phương trình:
Phương trình (2.7) có thê được viết lại như sau: Ẹ = ,i2 a +8En? +Š|8a0=0 (2.8) 2 2 ôn nên K
Phương trình (2.8) tương tự như phương trình Schrödinger cho dao động tử điều hòa hai chiều Phương trình này có thể được giải bằng phương pháp chính xác, và trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày phương pháp giải bằng chuỗi lũy thừa [44].
Ta chọn hàm bán kính có dạng:
Thay dạng hàm (2.10) vào phương trình (2.8), ta thu được phương trình vi phan: neg’ (0?)+(2š +1-2N-2En?) eopy(2— Ý-2E - 2-REE ]suP) =0, (2.11) â
Qua phép biến đôi p? — in?;A = 2V-2E , phương trình (2.11) trở thành:
Ham gí;?) sẽ được biểu điển đưới dạng chuỗi lũy thừa
Dem thé (2.13) vào (2.12) va đồng nhất các hệ s6 hai về của phương trình, ta thu được hệ thức truy hdi của các hệ số khai triển:
2.1 a aoe ae ae a l (/+l)(2£+l+j) ? Đề ham súng thỏa món điều kiện hữu hạn khi ứ > % , chuỗi lũy thừa Â(p?) cần phải trở thành đa thức Điều này xảy ra khi:
Trong đó 7 là số lượng tử chính Thay lại thừa số A = 2V-2E và £ = ne +25, vào F r x biêu thức (2.14), ta thu được dang của nang lượng:
Chuỗi lũy thừa trở thành đa thức bậc n-Iml-1, gọi la đa thức Laguerre: n=lw¿=l : :
2 2E _ -l)/ ¡+ 2ểZ—=D)H 2\/ gữ??)= Ee (2V-2En?) = > Dat 2g =)" at 2g (2V-2En?) „ (2,16) jo S25 + JMn- j-D!
Từ các biểu thức (2.6),(2.10).(2.16), suy ra được ham sóng có dang
Y al P) = ere VỤ aE 7% hie Cc sail -2E 1? 2Ì, (2.17)
Do ham cầu đã được chuẩn hóa từ trước, ham sóng sẽ được chuẩn hóa theo điều kiện: ÍIR, ứn|` 2d =1, (2.18) o
Từ điều kiện (2.18), suy ra:
Cu = d=———— (2-2 ĩ 2.19 “ho WT(n—lml+2£,) (2n—2lml+2É,, mì w=) eM
Xét exciton tại trang thai 1s (n=l,m=0), có:
Ham sóng: tụy, TT +1) iz +1) (228) gc eer, (20
Từ đó, chúng tôi tính toán được: l (2š, +4)
2.2 Phố năng lượng của exciton hai chiều trong tương tác Kratzer
Hình 5 Phố năng lượng của exciton trong đơn lớp WSe; trong từ trưởng ở các trạng thai 1s ( đó), 2s
(xanh lá), 3š (xanh dương), 4s (vàng) trong công trình cua Stier [39].
Từ phô năng lượng của hình 5, chúng tôi xác định giá trị năng lượng của các trạng thái ns tại B = 0:
Năng lượng của exciton ở trạng thai ns E,, tuần theo quy luật;
Trong đó £,,, là độ rộng khe năng lượng &,_,, là năng lượng liên kết của exciton được xác định bởi công thức khi m =0 n1 | ee +
Chúng tôi ghi lại biểu thức (2.28) dưới dang:
Trong đó š, là giá trị của ¿khi m =0 z x
Biểu thức E, , khi này có dang giông với chuỗi Rydberg cho nguyên từ Hydro với các hệ số #°,é,có thể hiệu chỉnh
Kết hợp biéu thức (2.27) và (2.29), năng lượng của exciton ở trạng thái ns có thé ghi lai như sau:
E., = Euw=.—————› (2.31) ea aye 2° - | | sid [ns z | Sp
Dé thuận tiện cho việc tính toán, chúng tôi ghi lại biểu thức riêng cho từng trạng thái năng lượng.
Từ các giá trị thực nghiệm, chúng tôi tiền hành xác định các giá trị K,š„.E,„ thích hợp với số liệu thực nghiệm.
Một phương pháp thường được sử dụng chính là xác định giá trị của , thông qua tỉ số
Rang tỉ số này phụ thuộc vào các yếu tố từ đô thị, từ đó chúng tôi đã tính toán và xác định giá trị đ = 0.4334679, (2.36).
Sử dung biểu thức (2.33) trừ cho (2.33), thu được biéu thức có dang:
Thế giá trị š, vừa tìm được ở (2.36) vào biểu thức (2.37) Thông qua việc giải phương trình nay, chúng tôi thu được biêu thức liên hệ giữa & và
3 l6z°6,7h? x’ =3.40298 Ms (2.38) nm w Đề xác định được giá trị E,,, , chúng tôi thay các giá trị của £,và K vào biểu thức (2.32)
„ từ đó xác định được
Trả lại các giá trị năng lượng đã tính toán, kết quả trong hệ đơn vị SI được trình bày trong bảng 1 Ngoài ra, năng lượng của exciton ở các trạng thái 2s, 3s, 4s, 5s khi ứ = 0 cũng được xác định thông qua phương trình (2.31).
Bang 1 Bang kết quả tính toán năng lượng vùng cam vả năng lượng liên kếtcủa exciton trong don lớp WSe¿.
Kết quả tính toán Tài liệu [41]
Biểu thức năng lượng của exciton tương tự như năng lượng của nguyên tử hydro khi giải phương trình Schrodinger Kết quả thu được từ phương pháp kratzer cho thấy hiệu quả cao trong việc trích xuất thông tin từ phổ năng lượng mà không cần từ trường Đặc biệt, giá trị của E,,,va £,„có thể xác định dễ dàng khi biết năng lượng của các trạng thái.
Khi lựa chọn các giá trị và ứ thỏa biểu thức (2.38), năng lượng thu được trong điều kiện không có từ trường ngoài là không đồng nhất Tuy nhiên, khi có từ trường, cặp giá trị của & và ¿ sẽ tác động đến kết quả tính toán Do đó, việc xác định cặp giá trị này sẽ được thực hiện trong chương 3.
CHƯƠNG 3: EXCITON HAI CHIẾU TRONG TƯƠNG TÁC KRATZER VỚI
3.1 Năng lượng giải tích của exciton hai chiều trong tương tác Kratzer với từ trường đều
Phương trình Schridinger không thứ nguyên cho exciton hai chiều trong từ trường đều có dạng:
(3.1) Trong phương trình (3.1), thứ nguyên của độ dai, = 464° / ze`: thứ nguyên của năng lượng E; = we* /16z”z¿h?; thứ nguyên của từ trường B, =/Ce`/16z'e,h`.
Chúng tôi cũng sử dụng lại dang thé Kratzer đã được nêu ở biéu thức (2.2)
Dưa phương trình (3.1) về tọa độ cực thông qua phép biến đôi Levi - Civita
—-——+—r?-—+ð—— |w(x.y)= Ey (x.y), (3.2 2ép 8 l KFr or? v(y)=#w(xy) G2)
Ham sóng được chọn sẽ có dang: ự(r,@) = R(r).đ(ứ), (3.3)
Trong đó, hàm cầu œ (gp) = ems /2z phụ thuộc vào góc g, với m là số lượng tử từ và RÚ?) là hàm bán kính Khi thay thế hàm sóng (3.3) vào phương trình (3.2), ta sẽ thu được phương trình cho hàm bán kính.
Trong chương 1, chúng tôi đã đề cập đến việc thé Kratzer áp dụng nhiều phương pháp tính toán giải tích khác nhau một cách linh hoạt Bài luận này sẽ trình bày phương pháp tính toán năng lượng giải tích thông qua phương pháp nhiễu loạn siêu vi.
Phương pháp HPM, được giới thiệu bởi Fernandez, dựa trên quan hệ siêu vi và định lý Hellmann-Feynman Phương pháp này có khả năng đưa ra nhiễu loạn bậc cao trong các trạng thái lượng tử bất kỳ, và được áp dụng hiệu quả cho bài toán nguyên tử hydro hai chiều phi tương đôi tính.
Trang 19 Đầu tiên, chúng tôi chọn hàm bán kính P(r) có dang
Thế dang hàm (3.5) vào phương trình (3.4), thu được phương trình: a2 3= 2 i iad Pia Eat o3 8 IRứ= ( "per, (3.6)
Thông qua phép biến đôi:
Phương trình (3.6) có thé được viết lại thành: lá? @)=ew(4.0}
\ K Theo lý thuyết nhiễu loạn, các hệ số nhiễu loạn được xác định thông qua biểu thức e(a)4", (3.12) pel
Trong biểu thức(3.12), ¢,chinh là nghiệm giải tích chính xác của giải phương trình
(3.6) khi y =0, đã được giải ở chương 2 của bài luận này.
Kế tiếp chúng tôi xét đến mối quan hệ siêu vi giữa hai toán tử
Biểu thức (3.16) sẽ luôn đúng nếu toan tử O được chọn sao cho (P| HOP) = (HP LÓP).
Toỏn tu ỉ được lựa chọn và sử dụng cú dạng:
Thay biểu thức của toán từ (3.17) và (3.8) vào phương trình (3.16), thu được hệ thức truy hôi:
Trong đó Q, sẽ được khai triển thành chuỗi lũy thừa như sau:
Thay (3.19) vào phương trình (3.18), thu được:
Xét biểu thức (3.20) khi cho j=I, thu được biểu thức:
Để tính toán hệ thức truy hồi trong phương trình (3.21), cần có một điểm khởi đầu hoặc giá trị của hệ số đầu tiên Bằng cách thay biểu thức (3.21) vào (3.20) tại j=0, chúng tôi xác định được giá trị của hệ số đầu tiên là Ó;, = 8,0 (3.22).
Trong đó & , là ham Delta — Dirac.
Mat khác, lý thuyết của Hellmann-Feynmann chi ra rằng:
Từ phương trình (3.23), thu được mối liên hệ giữa z, và Q, nhu sau: ¢ =" 0, (3.24) ỉ
Kết hợp các phương trình (3.20), (3.21) và (3.24), chúng tôi có thé tính được hệ số nhiễu loạn đến bậc bắt kỳ.
Trong bai luận này, chúng tôi trình bày biéu thức tông quát của 3 bậc nhiễu loan đầu tiên đối với trạng thái lượng tử bat kỳ.
Phương pháp nhiễu loạn chỉ áp dụng hiệu quả trong vùng từ trường yếu, trong khi ở vùng từ trường vừa và mạnh, phương pháp này không còn khả thi do chuỗi (3.12) không còn hội tụ Dù vậy, nó vẫn hữu ích trong việc tính toán phố năng lượng của exciton, đặc biệt khi vùng từ trường thấp vẫn được nghiên cứu một cách sâu sắc.
Sử dụng lại gia trị €, ở (2.36), và giá trị này là như nhau đối với các trang thái ns.
Từ đây các tinh toán liên quan đến biểu thức năng lượng ns sẽ được sử dụng giá trị này
Sử dụng phương pháp nhiễu loạn đã được giới thiệu ở phan 3.1.1, chúng tôi tính toán các hệ số nhiễu loạn và viết lại hàm Ey_„„(y) đưới dang đại số:
Chúng tôi cung cấp dịch vụ thay phô năng lượng liên kết cho các trạng thái 1s và 2s, đạt được kết quả xuất sắc khi áp dụng phương pháp này trong từ trường từ 0 đến 60T.
Khi xem xét trạng thái cao hơn của vùng hội tụ trong dãy năng lượng, phô của trạng thái 3s tương ứng với từ trường nhỏ hơn 20T, trong khi trạng thái 4s và 5s có giá trị nhỏ hơn ST Các phô năng lượng exciton thường nằm trong khoảng 60T do hạn chế trong quan sát, vì vậy các phương trình đã nêu vẫn có giá trị tham khảo.
Bang 2 Bảng kết quả tính toán thông tin từ phổ năng lượng của exciton trong đơn lớp WSe; khi áp dụng phương phán HPM
CÔ Ị KgAmMnm TT Nạn es
Chúng tôi đã áp dụng biểu thức (2.38) vào các biểu thức (3.28) và (3.29) để tính toán giá trị của „ và K, từ đó thu được các đường giải tích năng lượng ở các trạng thái as, như thể hiện trong hình 6 Kết quả trong bảng 2 cho thấy sự chênh lệch lớn về giá trị (16%) của K và rạ, trong khi sự khác biệt nhỏ (dưới 4%) giữa giá trị thực nghiệm và giá trị tham khảo là chấp nhận được (tham khảo phụ lục B).
Sự sai lệch này xuất phát từ phương pháp nhiễu loạn chỉ chính xác trong vùng tử trường yêu và vùng từ trường mạnh Đối với các giá trị khoảng 0.20 (m), vùng từ trường từ 407 đến 607 được xem là trung bình, dẫn đến sai lệch trong quá trình tính toán.
EXCITON HAI CHIẾU TRONG TƯƠNG TÁC KRATZER VỚI TÚI REUHONGĐEI .s ss 0n 0n noel 19 3.1 Năng lượng giải tích của exciton hai chiều trong tương tac Kratzer với từ
3.1 Năng lượng giải tích của exciton hai chiều trong tương tác Kratzer với từ trường đều
Phương trình Schridinger không thứ nguyên cho exciton hai chiều trong từ trường đều có dạng:
(3.1) Trong phương trình (3.1), thứ nguyên của độ dai, = 464° / ze`: thứ nguyên của năng lượng E; = we* /16z”z¿h?; thứ nguyên của từ trường B, =/Ce`/16z'e,h`.
Chúng tôi cũng sử dụng lại dang thé Kratzer đã được nêu ở biéu thức (2.2)
Dưa phương trình (3.1) về tọa độ cực thông qua phép biến đôi Levi - Civita
—-——+—r?-—+ð—— |w(x.y)= Ey (x.y), (3.2 2ép 8 l KFr or? v(y)=#w(xy) G2)
Ham sóng được chọn sẽ có dang: ự(r,@) = R(r).đ(ứ), (3.3)
Trong đó, hàm cầu œ (gp) = ems /2z chỉ phụ thuộc vào góc g, với m là số lượng tử từ và RÚ?) là hàm bán kính Khi thay hàm sóng (3.3) vào phương trình (3.2), ta sẽ thu được phương trình cho hàm bán kính.
Trong chương 1, chúng tôi đã đề cập đến thé Kratzer và sự áp dụng của nó trong nhiều phương pháp tính toán giải tích khác nhau Bài luận này sẽ trình bày phương pháp tính năng lượng giải tích thông qua phương pháp nhiễu loạn siêu vi.
Phương pháp HPM, được giới thiệu bởi Fernandez, dựa trên mối quan hệ siêu vi và định lý Hellmann-Feynman Ưu điểm của phương pháp này là khả năng đưa ra nhiễu loạn bậc cao trong các trạng thái lượng tử khác nhau Nó được áp dụng hiệu quả cho bài toán nguyên tử hydro trong không gian hai chiều phi tương đôi.
Trang 19 Đầu tiên, chúng tôi chọn hàm bán kính P(r) có dang
Thế dang hàm (3.5) vào phương trình (3.4), thu được phương trình: a2 3= 2 i iad Pia Eat o3 8 IRứ= ( "per, (3.6)
Thông qua phép biến đôi:
Phương trình (3.6) có thé được viết lại thành: lá? @)=ew(4.0}
\ K Theo lý thuyết nhiễu loạn, các hệ số nhiễu loạn được xác định thông qua biểu thức e(a)4", (3.12) pel
Trong biểu thức(3.12), ¢,chinh là nghiệm giải tích chính xác của giải phương trình
(3.6) khi y =0, đã được giải ở chương 2 của bài luận này.
Kế tiếp chúng tôi xét đến mối quan hệ siêu vi giữa hai toán tử
Biểu thức (3.16) sẽ luôn đúng nếu toan tử O được chọn sao cho (P| HOP) = (HP LÓP).
Toỏn tu ỉ được lựa chọn và sử dụng cú dạng:
Thay biểu thức của toán từ (3.17) và (3.8) vào phương trình (3.16), thu được hệ thức truy hôi:
Trong đó Q, sẽ được khai triển thành chuỗi lũy thừa như sau:
Thay (3.19) vào phương trình (3.18), thu được:
Xét biểu thức (3.20) khi cho j=I, thu được biểu thức:
Để tính toán hệ thức truy hồi (3.21), cần có một điểm khởi đầu, tức là giá trị của hệ số đầu tiên Khi thay biểu thức (3.21) vào (3.20) tại j=0, chúng tôi đã xác định được giá trị này là Ó;, = 8,0 (3.22).
Trong đó & , là ham Delta — Dirac.
Mat khác, lý thuyết của Hellmann-Feynmann chi ra rằng:
Từ phương trình (3.23), thu được mối liên hệ giữa z, và Q, nhu sau: ¢ =" 0, (3.24) ỉ
Kết hợp các phương trình (3.20), (3.21) và (3.24), chúng tôi có thé tính được hệ số nhiễu loạn đến bậc bắt kỳ.
Trong bai luận này, chúng tôi trình bày biéu thức tông quát của 3 bậc nhiễu loan đầu tiên đối với trạng thái lượng tử bat kỳ.
Phương pháp nhiễu loạn chỉ áp dụng hiệu quả trong vùng từ trường yếu, trong khi ở vùng từ trường vừa và mạnh, phương pháp này không còn khả thi do chuỗi (3.12) không hội tụ Dù vậy, phương pháp này vẫn hữu ích cho việc tính toán phố năng lượng của exciton, đặc biệt trong các vùng từ trường thấp, nơi vẫn được nghiên cứu nhiều.
Sử dụng lại gia trị €, ở (2.36), và giá trị này là như nhau đối với các trang thái ns.
Từ đây các tinh toán liên quan đến biểu thức năng lượng ns sẽ được sử dụng giá trị này
Sử dụng phương pháp nhiễu loạn đã được giới thiệu ở phan 3.1.1, chúng tôi tính toán các hệ số nhiễu loạn và viết lại hàm Ey_„„(y) đưới dang đại số:
Chúng tôi cung cấp dịch vụ thay thế phô năng lượng liên kết cho các trạng thái 1s và 2s, đạt được kết quả xuất sắc khi áp dụng phương pháp này trong từ trường từ 0 đến 60T.
Khi xem xét trạng thái cao hơn vùng hội tụ, dãy năng lượng trở nên thu hẹp, với phô của trạng thái 3s phù hợp với từ trường nhỏ hơn 20T, trong khi đó, phô của trạng thái 4s và 5s còn nhỏ hơn nữa Các phô năng lượng exciton thường dao động xung quanh 60T do hạn chế trong quan sát, vì vậy các phương trình trên vẫn có giá trị tham khảo.
Bang 2 Bảng kết quả tính toán thông tin từ phổ năng lượng của exciton trong đơn lớp WSe; khi áp dụng phương phán HPM
CÔ Ị KgAmMnm TT Nạn es
Chúng tôi đã áp dụng biểu thức (2.38) vào các biểu thức (3.28) và (3.29) để tính toán giá trị của „ và K, khớp với số liệu thu thập được Kết quả thu được cho thấy các đường giải tích năng lượng ở các trạng thái as, như được trình bày trong hình 6 Bảng 2 cho thấy có sự chênh lệch lớn về giá trị (16%) của K và rạ, trong khi sự khác biệt nhỏ (dưới 4%) có thể chấp nhận được so với giá trị tham khảo được nêu trong phụ lục B.
Sự sai lệch trong phương pháp nhiễu loạn chủ yếu xảy ra trong vùng tử trường yêu và vùng từ trường mạnh Đối với các giá trị xấp xỉ 0.20 (m), vùng từ trường từ 407 đến 607 được coi là trung bình, gây ra sai lệch trong quá trình tính toán.
Đường giải tích biểu diễn năng lượng của exciton trong các trạng thái 1s, 2s và 3s của đơn lớp WSe được nghiên cứu trong phạm vi từ 0 đến 60T.
Sau khi thực hiện các phép tính, chúng tôi nhận thấy rằng việc áp dụng thế tương tác Kratzer dẫn đến giá trị khoảng cách chắn 7 chưa được xác định chính xác do thiếu hụt hệ số hiệu chỉnh Tuy nhiên, điều thú vị là sự không xác định này không ảnh hưởng đến quá trình khảo sát phổ năng lượng exciton.
Trong luận văn này, chúng tôi đã tiến hành khảo sát và trích xuất thông tin từ đồ thị phô năng lượng của exciton trong đơn lớp WSe Kết quả thu được bao gồm các giá trị quan trọng như năng lượng vùng cam, năng lượng liên kết 1s, và năng lượng tại các trạng thái ns trong điều kiện không có từ trường Ngoài ra, chúng tôi cũng đã phân tích hàm năng lượng của exciton theo từ trường cho các trạng thái 1s, 2s và 3s, với nhiều loạt bậc 3 trong vùng từ trường thấp.
Luận văn có thể được phát triển theo các hướng sau: Sử dụng các phương pháp giải tích để đạt được kết quả trong vùng từ trường trung bình cho bài toán exciton trong từ trường đều Đồng thời, tiếp tục mở rộng khảo sát với các đơn lớp TMD thuộc nhóm VI còn lại như MoSe.
MoS2, WS¿. © Khảo sát phô năng lượng exciton với các dang thé Kratzer hiệu chinh khác.
C Kittel, Introduction to Solid State Physics, vol 8 2004.
J Frenkel, “On the Transformation of light into Heat in Solids I,” Physical Review, vol 37, no 1, pp 17-44, Jan 1931, doi: 10.1103/PhysRev.37.17.
M Palummo, M Bernardi, and J C Grossman, “Exciton radiative lifetimes in two-dimensional transition metal dichalcogenides,” Nano Lett, vol 15, no 5, pp. 2794-2800, May 2015, doi: 10,102 1/n1503799t.
E Hanamura, N Nagaosa M Kumagai, and T Takagahara “Quantum wells with enhanced exciton effects and optical non-linearity,” Materials Science and Engineering: B, vol 1, no 3-4, pp 255-258, Dec 1988, doi: 10.1016/0921- Š5107(88)90006-2.
K F Mak, J Shan, and T F Heinz, “Sceing many-body effects in single- and few-layer graphene: Observation of two-dimensional saddle-point excitons,” Phys Rev Lett, vol, 106, no 4, Jan, 2011, doi: 10.1103/PhysRevLett.106.046401.
J Hou ef al., “Synthesis of a low band gap polymer and its application in highly efficient polymer solar cells,” J Am Chem Soc, vol 131, no 43, pp 15586-15587, Nov 2009, doi: 10.102 1/ja9064975.
K S Novoselov et al., “Electric Field Effect in Atomically Thin Carbon Films,” Science (1979), vol 306, no 5696, pp 666-669, Oct 2004, doi: 10.1126/science 1102896.
Graphene is a remarkable material known for its unique properties and wide-ranging applications, particularly in polymer composites The article by J Phiri, P Gane, and T C Maloney provides a comprehensive overview of graphene, detailing its production methods, inherent characteristics, and potential uses in advanced materials Published in the journal Materials Science and Engineering B, this study highlights the significance of graphene in enhancing the performance of polymer composites, making it a critical topic for researchers and industry professionals alike.
K F Mak er ai., “Tightly bound trions in monolayer MoS 2,” Nat Mater, vol 12, no 3, pp 207-211, Mar 2013, doi: 10,1038/nmat3505,
S Dai ef al., “Tunable phonon polaritons in atomically thin van der Waals crystals of boron nitride,” Science (979), vol 343, no 6175, pp 1125-1129, 2014, doi:
X Wang ef al., “Highly anisotropic and robust excitons in monolayer black phosphorus,” Nat Nanotechnol, vol 10, no 6, pp 517-521, Jun 2015, doi: 10.1038/nnano.2015.71.
A Eftekhari, “Tungsten dichalcogenides (WS2 , WSe2 , and WTe2: materials chemistry and applications,” J Mater Chem A Mater, vol 5, no 35, pp 18299—
A Raja et al., “Coulomb engineering of the bandgap and excitons in two- dimensional materials,” Nat Commun, vol 8, 2017, doi: 10.1038/ncomms 15251.
D Jariwala, V K Sangwan, L J Lauhon, T J Marks, and M C Hersam,
“Emerging device applications for semiconducting two-dimensional transition metal dichalcogenides,” ACS Nano, vol 8, no 2 pp 1102-1120, Feb 25, 2014. doi: 10.1021/nn500064s.
K F Mak and J Shan, “Photonics and optoelectronics of 2D semiconductor transition metal dichalcogenides,” Nature Photonics, vol 10, no 4 Nature Publishing Group, pp 216-226, Apr 01, 2016 doi: 10.1038/nphoton.2015.2§2.
M Selig er al., “Excitonic linewidth and coherence lifetime in monolayer transition metal dichalcogenides,” Nat Commun, vol 7, Nov 2016, doi: 10.1038/ncomms 13279.
T C Berkelbach, M S Hybertsen, and D R Reichman, “Theory of neutral and charged excitons in monolayer transition metal dichalcogenides,” Phys Rev B Condens Matter Mater Phys, vol 88, no 4, Jul 2013, doi:
E Courtade ef al., “Charged excitons in monolayer WSe2: Experiment and theory” Phys Rev B, vol 96, no 8 Aug 2017, doi: 10.1103/PhysRevB.96.085302.
D Y Qiu, F H Da Jornada, and S G Louie, “Optical spectrum of MoS2: Many- body effects and diversity of exciton states,” Phys Rev Lett, vol 111, no 21, Nov.
M Szyniszewski, E Mostaani, N D Drummond, and V, I Fal'Ko, “Binding energies of trions and biexcitons in two-dimensional semiconductors from diffusion quantum Monte Carlo calculations,” Phys Rev B, vol, 95, no 8, Feb.
A Chernikoy er al., “Exciton binding energy and nonhydrogenic Rydberg series in monolayer WS2,” Phys Rev Lett, vol 113, no 7, Aug 2014, doi: 10.1103/PhysRevLett 1 13.076802.
C Jin et ai, “Interlayer electron-phonon coupling in WSe2/hBN heterostructures,” Nat Phys, vol 13, no 2, pp 127-131, Feb 2017, doi: 10.1038/nphys3928.
T Mueller and E Malic, “Exciton physics and device application of two- dimensional transition metal đichalcogemide semiconductors,” npj 2D Materials and Applications, vol 2, no 1 Nature Publishing Group, Dec 01, 2018 doi:
A Castellanos-Gomez, “Why all the fuss about 2D semiconductors?” Nature Photonics, vol 10, no 4 Nature Publishing Group, pp 202-204, Apr 01, 2016. doi: 10.1038/nphoton.2016.53.
W Choi, N Choudhary, G H Han, J Park, Ð Akinwande, and Y H Lee,
“Recent development of \vo-dimensional transition metal dichalcogenides and their applications,” Materials Today, vol 20, no 3 Elsevier B.V., pp 116-130, Apr 01, 2017 doi: 10, 1016/j.mattod,2016, 10.002.
B Zhu, X Chen, and X Cui, “Exciton binding energy of monolayer WS2,” Sci Rep, vol 5, Mar 2015, doi: 10.1038/srep09218.
M V Keldysh, “Coulomb interaction in thin semiconductor and semimetal films,” JETP Lett, vol 29, pp 658-660, 1979.
D A P Nguyen, D N Ly, D N Le, N T D Hoang, and V H Le, “High- accuracy energy spectra of a two-dimensional exciton screened by reduced dimensionality with the presence of a constant magnetic field,” Physica E Low
Dimens Syst Nanostruct, vol 113, pp 152-164, Sep 2019, doi: 10.1016/j.physe.2019.05.007.
A Kratzer, “Die ulưaroten Rotationsspektren der Halogenwasscrstoffc,” Zeitschrift fur Physik, vol 3, no 5, pp 289-307, Sep 1920, doi:
R J Leroy and R B Bernstein, “Dissociation energy and long-range potential of diatomic molecules from vibrational spacings of higher levels,” J Chem Phys, vol.
Y F Cheng and T Q Dai, “Exact solution of the Schrédinger equation for the modified Kratzer potential plus a ring-shaped potential by the Nikiforov-Uvarov
[40] method,” Phys Ser, vol 75, no 3, pp 274-277, Mar 2007, doi: 10.1088/0031- 8949/75/3/008.
O Bayrak, I Boztosun, and H CHtci, “Exact analytical solutions to the kratzer potential by the asymptotic iteration method,” Int J Quantum Chem, vol 107, no.
M R Molas er al., “Energy Spectrum of Two-Dimensional Excitons in a
Nonuniform Dielectric Medium,” Phys Rev Lett, vol 123, no 13, Sep 2019, doi:
M Szyniszewski, “Transition-metal dichalcogenide (TMDC) monolayers.” https://szyniszewski.weebly.com/charge-carrier-complexes.html (accessed Apr.
M A Lampert, “Mobile and Immobile Effective-Mass-Particle Complexes in Nonmetallic Solids,” Phys Rev Lett, vol 1, no 12, pp 450-453, Dec 1958, doi: 10.1103/PhysRevLett, 1.450.
G Finkelstein, H Shtrikman, and | Bar-loseph, “Negatively and positively charged excitons in quantum wells,” Phys Rev B, vol 53, no 4, pp R1709- R1712, Jan 1996, doi: 10.1103/PhysRevB.53 R1709.
G Finkelstein, H Shtrikman, and I Bar-Joseph, “Negatively and positively charged excitons in GaAs/AlxGal-xAs quantum wells,” Phys Rev B, vol 53, no.
H Zeng and X Cui, “An optical spectroscopic study on two-dimensional group-
VI transition metal dichalcogenides,” Chem Sóc Rev, vol 44, no 9, pp 2629-
A.V Suter, N P Wilson, K A Velizhanin, J Kono, X Xu, and S A Crooker,
*“Magnetooptics of Exciton Rydberg States ina Monolayer Semiconductor,” Phys
Rev Lett, vol, 120, no 5, Feb 2018, doi: 10.1 103/PhysRevLett 120,.057405,
Y Li er đi, “Measurement of the optical dielectric function of monolayer transition-metal đichalcogenides: MoS2, Mo S$ e2, WS2, and WS e2,” Phys Rev
B Condens Matter Mater Phys, vol 90 no 20, Nov 2014, doi: 10.1103/PhysRevB.90.205422.
[41] M Goryca ef ai, “Revealing exciton masses and dielectric properties of monolayer semiconductors with high magnetic fields,” Nat Commun, vol 10, no.
[42] L Fortunato and A Vitturi, “Analytically solvable potentials for y-unstable nuclei,” 2003 [Online] Available: http://iopscience.iop.org/0954-3899/29/7/302
[43] J M Romero-Enrique, A O Parry, and M J Greenall, “Interfacial structure at a two-dimensional wedge filling transition: Exact results and a renormalization group study,” Phys Rev E, vol 69, no 6, p 061604, Jun 2004, doi: 10.1103/PhysRevE.69.061604.
[44] V.H Le, Bai giảng cơ học lượng tr Đại học Sư phạm TP HCM, 2015.
[45] F.M Fernandez, “Two-dimensional hydrogen-like atom in a uniform magnetic ficld: Large-order perturbation theory,” Eur Phys J Plus, vol 133, no 12, Dec.
Tính toán biểu thức hệ số nhiễu loan bang phương pháp HPM
Hệ số nhiễu loạn bậc 1:
Dộ xỏc định hệ số ỉ,,„ chỳng tụi sử dụng biờu thức (3.20):
Từ biêu thức (A.2) chúng tôi tiến hành xác định các hệ số còn lại dựa vào hệ thức truy hồi ỉ@,¿ =1.
Sau đó thế biéu thức (A.2) vào (A.1), thu được biểu thức của ẩyš
Hệ số nhiều loạn bậc 2:
Dé xác định hệ số Q, ,, chúng tôi sử dung biéu thức (3.20): Ó,, = sc L0, +66, +80,,}, (A7) 1 3
Từ biêu thức (A.7), chúng tôi tiền hành xác định các hệ số còn lại dựa vào hệ thức truy hồi
Dộ xỏc định hệ số ỉ ,Ă› chỳng tụi sử dụng biểu thức (3.21): ỉ,;=2Ê, (A.13)
Sau đó thé biéu thức các biểu thức trên vào (A.6), ta thu được:
Hệ số nhiều loạn bậc 3: Chúng tôi thực hiện các tinh toán tương tự va thu được kết qua
So sánh kết quả và tính toán sai số của mức năng lượng 1s và 2s của phương pháp HPM với số liệu thu được từ đồ thị phổ năng lượng exciton trong đơn lớp WSe cho thấy sự tương đồng đáng kể Đặc biệt, đối với trạng thái 1s, các giá trị năng lượng được xác định có độ chính xác cao, trong khi đó, mức năng lượng 2s cũng cho kết quả gần đúng với các dữ liệu thực nghiệm Việc phân tích sai số giữa các phương pháp giúp cải thiện độ tin cậy của các tính toán lý thuyết.
Fy, thực nghiệm F,, tính toán