Khóa luận tốt nghiệp Sư phạm Vật lý: Giải một số bài toán cơ học vật rắn

Trong đó, cơ học vật rấn là một phân nhánh của cơ học, nghiên cứu về chuyển động và biến dang của vật rắn đưới tác dung của lực, sự thay đổi nhiệt độ và các tác nhân khác từ bén ngoài ho

TRƯỜNG DAI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHO HO CHÍ MINH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD: PGS TS PHAM NGUYEN THANH VINH

Thanh phố Hồ Chi Minh - 2022

Lời cám ơn

Trong quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp này tôi đã nhận được

rất nhiều sự giúp đỡ.

Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến:

e PGS TS Pham Nguyễn Thanh Vinh - người thầy kính mến Thay

đã luôn đồng hành giúp đỡ, động viên mỗi khi tôi có ý định dừng lại,

chỉ dan hết sức tận tâm khi tôi gặp van để khó hiểu và thay thật bao

dung mỗi khi tôi mắc lỗi.

e Quý thay cô Khoa Vật lý đã tận tình chỉ day và trang bị cho tôi những

kiến thức quý báu trong suốt quãng thời gian còn ngồi trên ghế giảng

đường, và đó là nền tang vững chắc, là những viên gạch đầu tiên giúp

toi hoàn thành khóa luận này.

e Anh chị cùng các bạn trong nhóm nghiên cứu AMO - Trường Đại học

Sư phạm Thành phó Hồ Chí Minh Mọi người đã luôn chia sẻ, quan

tâm, giúp đỡ, động viên tôi trong học tập cũng như trong cuộc sống.

e Gia đình - nơi bình yên Mặc cho có bat cứ chuyện gì xảy ra thì ấy vẫn

là nơi bình yên nhất, là nơi tiếp thêm động lực, giúp tôi vượt qua áp lực trong học tập, trong cuộc sống nói chung và trong suốt quá trình

làm khóa luận nói riêng.

Tp HCM, tháng 06 năm 2022

Nguyễn Thi Huệ

il

2.3 Chương trình giải sỗố Ặ.ẶẶ ee 17

ili

3 Kết quả nghiên cứu

3.1 Con lacdon

3.2 Con lắc vatly 3.3 Con lắc vật lý đặt trong môi trường chat long

3.4 Con lắc vật lý dưới tác dụng của gió

Kết luận và định hướng

A Chương trình giải số RK4

Tài liệu tham khảo

1V

Danh sách bảng

1.1 So sánh chuyển động tịnh tiến và chuyển đồng quay.

1.2 Moment quán tinh của một số vat the đồng chất có trục

quay đi qua khối tâm .

Minh hoa định lý Steiner-Huygens

Minh họa con lắc đơn và hệ tọa độ của nó .

Mô phỏng phương trình chuyển động của con lắc đơn

Minh họa con lắc vật lý và hệ tọa độ của nó .

Minh họa thanh thang dao động và hệ tọa độ của né

Mo phỏng dao động của con lắc vật lý gồm thanh thang

khối lượng m = 1 kg, chiều dài d = 1 m được thả không vận tốc dau tại biên độ góc Ú, co.

Minh hoa mô hình antenna đưới đại đương [i]

M6 tả chuyển động antenna trong thời gian 1 phút

(a) Minh họa chuyển động của con lắc (b) Phân tích lực

cho con lắc [1| ::.: :‹

M6 tả chuyển đông của con lắc dao động khi không có gió

với các vận tốc góc kích thích ban dau ¿max khác nhau trong

20 giãy đầu tiên kể từ lúc bat đầu dao động

Mô tả chuyển động của con lắc đao động khi có gió thốitheo phương ngang có vận tốc không đổi up = 20 m/s

So sánh các trường hợp của con lắc dao động khi không gió

và có gió với các kích thích ¿max = 4 rad/s và 8 rad/s.

vì

24

33

36

3.12 So sánh các trường hợp của con lắc dao đông có gió với

(may = 8 rad/s khi có gió thối đều u(t) = 20 m/s, gió thổi

điều hòa với các chu kì T = ð svà lŨs

vi

Kí hiệu viết tắt

e em: khối tam (center of mass)

vi

Giới thiệu

Trong các phân môn của vật lý hoc, cơ học được xuất hiện dau tiên nhằm

cung cấp những nghiên cứu về sự chuyển động của các vật (1 Trong đó,

cơ học vật rấn là một phân nhánh của cơ học, nghiên cứu về chuyển động

và biến dang của vật rắn đưới tác dung của lực, sự thay đổi nhiệt độ và các

tác nhân khác từ bén ngoài hoặc bên trong cơ hệ Lĩnh vực ứng dụng của

cơ học vật ran rất da dang, không chỉ trong khoa học cơ bản mà còn trong

các ngành khoa học ứng dụng như cơ khí, kết cấu công trinh, [2] Do

đó, từ Galileo Galilei, Robert Hooke qua Charles-Augustin de Coulomb,

James Clerk Maxwell hay ca John von Neumann va Albert Einstein, cohọc vat ran vẫn luén là chủ dé thu hút các nhà nghiên cứu trong suốt 400

năm qua [3].

Phương pháp truyền thống để giải quyết những bài toán liên quan đến

cơ học vật rắn là sử dụng công cụ giải tích toán học như: đạo hàm, tích

phân, phương trình vi phân, Khi đó, mối liên hệ giữa các đại lượng vật lý

của cơ hệ có thể được biểu điễn một cách tường minh bằng các công thức

toán học Tuy nhiên, khi gắn những diéu kiên thực tế vào bài toán như con lắc dao động tắt dẫn dưới tác dụng của lực cản tỉ lệ với bình phương vận

tốc hay trường hợp gió thối thì việc xử lý giải tích sẽ võ cùng khó khăn

Khi này, cách tiếp cận hiện quả hơn là giải số dựa trên lập trình tính toán

bằng một ngôn ngữ lập trình như: Fortran, Python, Matlab, C, Trong

phương pháp giải số, mối liên hệ giữa các đại lượng vật lý được thể hiện

thông qua những con số, đồ thị Ví dụ: vào năm 1961, khi nhà vật lý nồi tiếng Richard Feynman giới thiệu về sự chuyển đông của hành tinh trong

bài giảng kinh điển của 6ng tại Học viên Công nghệ California (CalTech)

ong đã sử dụng một đồ thị số đơn giản để tính toán chuyển động của các

hành tỉnh đó [1].

Khóa luận này được thực hiện với mục đích giải số một số bài toắn cơ

học vật rắn, trong đó lưu ý đến những yếu tổ thực tế để phân tích được

mối liên hệ và quy luật của những đại lượng vật lý liên quan đến cơ hệ

Chúng tôi sử dụng ngôn ngữ Fortran [1] để tính toán giải số các dai lượng

vật lý như tọa độ, vân tốc và gia tốc liên quan đến chuyển động của cơ

hệ bang phương pháp Runge-Kutta Các kết quả này được phan tích và

thảo luận trong khóa luận Khóa luận giới hạn các bài toán cơ học vật rắn

ở mức độ cd bản liên quan đến các bài toán đao động thường gặp trongchương trình vật lý đại cương.

Cau trúc của khóa luận tốt nghiệp gồm 3 chương:

e Chương 1: Lý thuyết cơ học vật ran

e Chương 2: Phương pháp tính toán.

e Chương 3: Kết quả nghiên cứu

Chương 1

Lý thuyết cơ học vat rắn

Trong chương này, khóa luận sẽ trình bày tóm tất vẻ lý thuyết cơ học

“at rắn Dau tiên, các đại lượng động học và trang thái chuyển động trongchuyển động quay của một chat điểm được trình bày ngắn gon Chuyểnđộng quay và chuyển động tịnh tiến có những tính chat và cách tiếp cận

tương tự nhau De tiếp cân một bài toán cơ học vật rắn, ta thường tiếpcận bằng phương pháp phân tích lực hoặc phương pháp năng lượng Ngoài

ra, ta cũng có thể tiếp cận đưa trên cơ học Lagrange hay Hamilton Tuy

nhiên, trong giới hạn của khóa luận này, chúng tôi không trình bay phan

cơ học Lagrange và Hamilton ở đây Nội dung chương này được tham khảo

từ các tài liệu [1-3].

1.1 Chuyển động quay

Ta có thể làm một vật rắn chuyển động bằng cách tịnh tiến hoặc quay

nó Ta đã biết chuyển động tinh tiến của một chất điểm thường được m6

tả bởi vector tọa độ F trong không gian Cartesian Trong khi đó, chuyểnđộng quay của vật rắn được mô tả bởi góc Ø(£) Cu thể, trong không gian

—.

2 chiều, nó được mô tả bởi góc Ø, điểm quay O và hướng trục quay k

Trong suốt quá trình quay, góc 8{£) biến đổi theo thời gian Vận tốc góc

Bang 1.1 thể hiện su so sánh (tương ứng) giữa hai loại chuyển động quay

và chuyển động tinh tiến

Để giải các bài toán chuyển động quay thì tương tự như trong chuyển

động tịnh tiến, ta cần giải phương trình vi phân cấp hai

d°0

72 +, 6,w), (1.4)

với điều kiên đầu: @(tg) = A và w{tp) = wo.

Khi gia tốc góc + = +(f) là hàm phụ thuộc tường minh vào thời gian ¢

Bảng 1.1: So sánh chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay.

Chuyển động Tinh tiến Quay

Vị trí x{t) A(t)

Vân tốc v(t) = dx/dt w(t) = d8/di

Gia tốc a(t) = du/dt = dx/dt? — +(t) = dw/dt = d6/dt?

thì ta có thể giải phương trình vi phân bằng tích phân trưc tiếp

w(t) = w(to) + / +() dt, (1.5)

A(t) = A(tg) + [ w(t) dt (1.6)

Trong trường hợp đặc biệt, với chuyển đông có vận tốc góc không đối,

ta có:

A(t) = A{tg) + wit — tạ) (1.7)

Nếu chuyển động có gia tốc góc không đổi, ta có:

w(t) = œ(fo) + +(t — to), (1.8)

A(t) = f(ta) + w(to)(t = to) + sit = tạ)” (1.9)

Tong quát, chuyển động quay xảy ra quanh một trục được cho bởi vector

vận tốc góc & Khi đó, vận tốc của một điểm trên vật quay tại vị trí F là

V=UxXT (1.10)

Gia téc tai mét diém trén vat quay tại vị trí £ là

8=3x7?+ởx (ở xr) (1.11)

1.2 Chuyển động quay của vật rắn

Một vật rắn có thể chuyển động tịnh tiến hoặc chuyển động quay nhưng

khoảng cách giữa hai điểm bất kì trên vật rắn không thay đối.

Đại lượng đặc trưng cho quán tính trong chuyển động quay là moment

or

quán tính Moment quán tính của một hệ quanh một truc là

Các moment quán tính được cộng theo nguyên lý chồng chat: Moment

quan tính của hai hệ A và quanh trục O là tổng của các moment quan

tính của mỗi hệ

lo An = lo.A + lon (1.14)

Khi thay đổi truc quay, moment quán tính được xác định thông qua

định lý Steiner-Huygens (định lý trục song song hay đình lý đời trục).

Định ly Steiner-Huygens: Moment quan tính To của một vật quanh trục

O có thể được xác định từ moment quán tinh của vật quanh một trục songsong đi qua khối tam J, của vat

lo = Tem + ma, (1.15)

trong đó d là khoảng cách giữa trục O va khối tam (hình 1.1)

Bang 1.2 đưa ra các công thức moment quán tính đỗi với trục quay đi qua khối tam của một số vật rắn thường gặp có hình dang đặc biết.

Tương tu như trong chuyển động tịnh tiến, chuyển động quay cũng có

cơ năng bao gồm động năng quay và thế năng

Hình 1.1 Minh họa định lý Steiner-Huygens.

Động năng của một vật rắn quay quanh một trục Ở cố định là

Bang 1.2: Moment quán tính của một số vật thể đồng chất có trục quay

đi qua khối tâm

trong đó z là vị trí theo phương thắng đứng của khối tâm hệ so với mốc

trong đó 7) = Tom X Fj là moment lực 7 tác dung tại điểm Fem ¡ 80 VỚI

khối tâm, và J, là moment quán tính của vật quanh trục Oz đi qua khối

tâm.

Moment động lượng của một chat điểm với động lượng (tinh tiến) p tai

vị trí đối với điểm O là

1 Nhận dang: Xác đình góc Ø(£) (chọn hệ quy chiếu) Tìm các điều kiện

dau (ta) và w(t).

2 M6 hình: Tim các lực tác dụng lên vật ran Xác định moment lực cho

mỗi lực Áp dụng định luật hai Newton cho chuyển động quay để tìm

Chương 2

Phương pháp tính toán

Chương này sẽ trình bày cách giải một phương trình vi phân với cácđiều kiện ban đầu Với các phương trình đơn giản, ta có thể dé dang tìmđược nghiệm giải tích của chúng Tuy nhiên một số phương trình vi phân

không thể hoặc chưa có lời giải chính xác, khi đó ta cần đến sự tính toán

của máy tính với các phương pháp khác nhau nhằm đưa ra nghiệm giải số.

Từ đó, các đại lượng vat lý trong hệ vật rắn có thể được biểu dién bằng đồthi Trong khóa luận này, phương pháp Runge-Kutta bậc 4 được sử dụng

để đưa ra nghiệm giải số Nội dung chương này được tham khảo từ tài liêu(4, 3].

2.1 Bai toán Cauchy

Một phương trình vi phan bac hai có thể được viết dưới dang

y(t) = f(t, y(t), y'(), (2.1)

trong đó ta có thể tìm được ham y(t) từ các dao hàm của nó

Một phương trình vi phân có vô số nghiệm riêng cau thành nên nghiêm

tổng quát, chúng khác nhau bởi một hằng số Với các hằng số được xác

11

định, ta thu được nghiêm riêng từ nghiêm tổng quát Khi cho trước giá

trị ban dau yo của ham y(t) tai tp ta sẽ nhận được một nghiệm riêng của

phương trình.

Bài toán Cauchy còn được gọi là bài toán giá trị ban đầu Xét phương

trình vi phân cap hai thỏa 2 điều kiên được biểu dién như sau

y"(t) = ƒ/(.w0).w(!)

y(a) = 1u ,a<t<b, (2::to bo —

y'(a) =ưn

trong đó = y(t) là hàm can tìm cũng chính là nghiệm của phương trình

vi phan; giả sử hàm này khả vi trên đoạn [œ,bÌ: yo là giá trị ban đầu chotrước của y(t) tại t = a; yf là giá trị ban đầu cho trước của dao hàm y’(t)

tại É =a.

Bat kì một phương trình vi phan bac cao luôn có thé đưa được về hệphương trình vi phân bậc nhất Phương trình vi phân cap hai (2.2) có thểđưa vẻ phương trình vi phân cấp 1 bằng cách biến đổi sau

y(t) = 7,(t), (2.3)

y'(t) = z:(Ð, (2.4)

y(t) = ay(t) = f(t, x1, x2), (2.5)

với điều kiện dau của phương trình (2.5) la z¡(a) = (a) và x2(a) = (a).

Với bat kì một phương pháp giải số nào, ta luôn phải rời rac hóa các

thành phan trong phương trình Dé tìm nghiệm gan đúng của bài toán

2.2) ta chia đoạn [a,b] thành ø đoạn nhỏ bằng nhau với khoảng chia

At =h = (b— a)jn Khi đó các điểm chia là ty = a, th = to +k- h với

k= 0,1,2, ,n, fạ = b Giá trị gan đúng cần tìm của hàm tại điểm tp,

được kí hiệu là yp.

12

2.2 Phương pháp Runge-Kutta

Trong kĩ thuật giải số, phương pháp Runge-Kutta được sử dung dé gan

đúng nghiệm của các phương trình vi phân tuyến tính Phương pháp này

được phát triển từ những năm đầu của thế kỉ trước bởi hai nhà toán học

người Dức Carl Runge và Wilhelm Kutta.

Phương pháp Euler là phương pháp giải số bậc nhất cho phương trình

vi phân toàn phan với một điều kiện dau Nó thuộc nhóm phương pháp

Runge-Kutta đơn giản với bac thấp nhất [6] Ở các bac cao hơn, ta có

các phương pháp Runge-Kutta bac 2 và bac 4 So sánh giữa phương pháp

Euler và phương pháp Runge-Kutta trong việc giải phương trình vi phân

bac 2 và bậc 4 được trình bày cu thé và chỉ tiết trong tài liệu [7]

2.2.1 Phương pháp Runge-Kutta bac 2

Nếu nghiệm là một hàm liên tục và kha vi thì nó có thể được biếu diễn

dưới dang khai triển chuỗi Taylor với giá trị xuất phat là yf = f(t;, 0,) như

sau

|

Yer =ytyAt oh peep TỦ hh+ Oh"), (2.6)

trong đó phan du O(h") được viết dưới dang phan du Peano, khoảng chia

đều h = t;,¡ — ty.

Do y,; là nghiệm của phương trình y' = f(f.) nên ta hoàn toàn có thể

13

xác đình các giá trì đao hàm bậc cao như sau

tị = [(h vò: (2.7) U¡ = (k0) (2.8)

Nếu ta ngắt chuỗi (2.10) ở bậc nhất, ;,¡ = #;+ ƒ(f;, yh, ta có gần đúng

tuyến tính Day là gan đúng đơn giản nhất và được biết đến là phươngpháp Euler khi giải phương trình vi phan.

Trong phương pháp Runge-Kutta bậc hai, ta ngắt chuỗi Taylor ở bậc

hai, ta được;

vier = 9í + ((E,ị)h + mí (t;,,)h? + O(n’) (2.11)

Phương pháp Runge-Kutta vẫn đạt độ chính xác của chuỗi Taylor mà

không can tính toán các đạo hàm bac cao Ta có thể sử dụng

i+ì = Mi + ÓÍt;, yi, h)h, (2.12)

trong đó ó(f;, tị, h) được gọi là ham gia, cho biết độ đốc của khoảng Ham

gia này có thể được viết đưới dạng tổng quát

Ó = ayky + aaŠa + - - - + duy, (2.13)

14

trong đó các hệ số k được xác định như sau

ky = f(t, yi),

kạ = f(t + pìh, tị + quikih),

kạ = f(t; + poh, tị + qaikih + qookeh),

ky = ft + Da—th, yi + đa—t#|h + qu—i skah ose Qn-1n-thn-1h),

với p; và qi; là các hằng số và các hệ số kj có mỗi liên hệ truy hỏi với nhau Tức là đề xác định È, ta cần xác định k, ¡.

Phương pháp Runge-Kutta bac 2 với 2 giá trị ky và ky cần xác định

Yin = Yi + (arky + aaka)h,

trong đó

kị = ƒ(t;¡):

và

ko = f(ti + pik, tị + qui“nh).

Từ (2.11), ta xác định thành phan dao ham như sau

Ta khai triển ky từ phương trình (2.16)

ky = ƒ(L./).

ko = f(tit+ pik, yi + auikih),

ky = f(ti + poh, yi + gaikih + qookoh),

ky = f(t; + pah yi + qaikih + qaakah + qaakah).

Khai triển và đồng nhất thức tương tự như phương pháp Runge-Kutta

bậc 2 Cudi cùng ta thu được công thức Runge-Kutta bậc 4 như sau [4]:

Ta sử dụng phương pháp được trình bày ở trên để xây dựng chương

trình tính toán dựa trên ngôn ngữ lập trình Fortran Chương trình con

rk4 được tham khảo và sử dụng thư viện trong tài liệu [1] Chương trình giải số Runge-Kutta bậc 4 được trình bày ở phụ lục A.

Chương trình này được sử dụng cho việc giải phương trình vi phân bậchai với 2 điều kiện đầu Các biến y(1) và y(2) lần lượt là các điều kiện

dau vẻ tọa độ dau y{t = 0) và vận tốc (đạo hàm) dau {‡ = 0).

17

Trong chương trình hàm DERIV dé xác đình đạo hàm, phương trình vi

phân cấp 2 (N = 2) được đưa vẻ 2 phương trình vi phân cắp 1 Do đó ở

day chúng toi sử dung 2 hàm DERIV Ham DERIV thứ nhất biểu diễn dao

ham ? tương ứng với biến temp(2) (phương trình (2.4)), trong khi đó hàm

thứ hai được biểu diễn theo các biến temp(1) và temp(2) tương ứng với

y và ' (phương trình (2.5)) Với mỗi bài toán cu thé ở chương 3, chúng

tôi sẽ viết tường minh ham DERIV Day được xem là đầu vào quan trọng

nhất của tính toán

Chương trình giải số này có thể được mở rông cho việc giải các phương trình bậc cao hơn bằng cách thay đối các giá trị N, các diéu kiện dau y(1), y(2) y(3) đồng thời thêm các phương trình đạo hàm cắp 1 ở phan

hàm DERIV với i.eq.1, i.eq.2, i.eq.3, Trong khóa luận này, chúng tôikhông trình bày các phương trình vi phân bậc cao mà tập trung chủ yếuvào các phương trình vi phân bậc hai.

18

Chương 3

Kết quả nghiên cứu

Chương này trình bày các kết quả nghiên cứu của khóa luận Các phương

trình đao động được tiếp cận chính bằng phương pháp giải số Ở đây chúng

tôi xét 3 van dé liên quan đến dao động Dau tiên chúng tõi xét bài toán

quen thuộc vé con lắc đơn Các kết quả giải số được so sánh với các kết quả giải tích trong một số trường hợp đặc biệt Sau đó dao động của con

lắc đơn được mở rộng cho bài toán của con lắc vật lý Khi đó, con lắc đượcnhúng vào một môi trường khác không khí như con lắc vật lý trong mô

hình antenna dưới nước Cuỗi cùng, bài toán con lắc đơn cũng được khảo

sát trong môi trường có lực can không khí và bị ảnh hưởng bởi gió Luccản ở đây được xét có dạng tỉ lệ bậc hai theo vận tốc Một số ví dụ thực

tiễn trong chương này được tham khảo từ tài liệu [1].