Khóa luận tốt nghiệp Sư phạm Vật lý: Giải số phương trình Schrodinger một chiều bằng thuật toán numerov để tìm trạng thái liên kết đơn hạt

13 Hàm sóng bán kính của electron trong nguyên tử hydrogen ứng với các mức năng lượng ø = 1.2, 3 trong trường hợp £ = 0 được so sánh với nghiệm hàm sóng bán kính giải ích.... Trị riêng n

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

` ^ +

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

KHOA VẬT LÍ

NGUYÊN KIỀU VIỆT ĐỨC

KHÓA LUẬN TOT NGHIỆP

GIẢI SO PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER MOT CHIEU

Chuyên ngành: Sư phạm Vật lí

Thành phố Hỗ Chí Minh — 2023

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SU PHAM TP HO CHÍ MINH

KHOA VẬT LÍ

GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER MỘT CHIEU

BẰNG THUẬT TOÁN NUMEROV ĐỂ TÌM

TRẠNG THÁI LIÊN KẾT ĐƠN HẠT

Người thực hiện: Nguyễn Kiểu Việt Đức

Người hướng dẫn khoa học: ThS Nguyễn Lê Anh

Thành phô Hỗ Chí Minh — 2023

Lời cảm ơn

Khóa luân tốt nghiệp là tiền dé cho em trang bị những kỹ năng nghiên cứu kiến

thức quý giá Nhờ đó mà em có một nẻn tảng vững chắc phục vụ cho công việc tương

lai sau này Và cũng qua đó, em có thể phát triển vốn kiên thức cho bản thân mình

Để hoàn thành được khóa luận này, em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc

đến thay Nguyễn Lê Anh - là người đã trực tiếp hướng dẫn em trong suốt quá trìnhnghiên cứu Thay luôn tận tình giúp đỡ, chi dẫn tận tình mỗi khi em gặp phải nhữngkhó khăn trong công việc, từ đó thay động viên, khích lệ để em có thé hoàn thiệnmột cách tốt nhất Không những thể, em còn học được từ thay tính cẩn thân chin

chu trong mọi việc và những kinh nghiệm sống Tuy không phải kiến thức từ sách vởnhưng những điều ấy giúp em trở thành một phiên bản tốt hon, hoàn thiên hơn từngchút một.

Và em cũng xin gửi lời cảm ơn đến các Quý thay, cô khoa Vật lí của trường đại học

Sư phạm Thanh pho Hỗ Chí Minh đã giảng dạy và truyền đạt cho em những kiến thứccần thiết cho công việc sau này cũng như các kiến thức cơ bản cần thiết để thực hiện

khóa luận Cảm ơn các Quý thay, cô trong hội đồng phan biện đã dành thời gian đọc

và nhân xét góp ý cho dé tài khóa luận của em

Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã luôn chia sẻ, động viên em

trong quá trình học tập tại ngôi trường đại học cũng như trong những tháng ngày thực

hiện đẻ tài khóa luận

Một lần nữa, em xin cảm ơn mọi người rất nhiều !!!

Thành phố Hỗ Chí Minh, tháng 4, năm 2023

Nguyễn Kiều Việt Đức

Danh mục viết tắt

HF Hartree-Fock

t2

0,1,2,3 được so sánh với nghiệm ham sóng giải tích 12

Tỉ số giá trị hàm sóng dao động tử điều hòa giải số so với giá trị hàm

sóng giải tích ứng với các mức năng lượng n =0,1.2,3 13

Hàm sóng bán kính của electron trong nguyên tử hydrogen ứng với các mức năng lượng ø = 1.2, 3 trong trường hợp £ = 0 được so sánh

với nghiệm hàm sóng bán kính giải ích 15

Ti số giá tri hàm sóng bán kính giải số so với giá trị giải tích ứng với

các mức năng lượng n0 = 0, 1,2,3 trong trường hợp =0 16

Hàm thé nang Morse ứng Vif =O 2 ee 17Hàm sóng của hat trong hỗ thé Morse ứng với các mức năng lượng

n=0,1 trong trường hợp =Ú Ặ 0000 050- 18

Dạng hỗ thé cham lượng tử ứng với =0 - 19

Hàm sóng của cham lương tử ứng với các mức nang lượng n = 4,6,8, 10, 12

trong trường hợp =0Ú Ặ QẶ Q Q Q 2 ee 20

Hàm sóng proton va neutron của hạt nhân “He trong tính toán HF với

tương tác SLy4 ẶẶ eee 28

Phân bố mật đô proton và neutron của hạt nhân *He trong tính toán HF 29

Ham sóng proton và neutron của hạt nhân !?C trong tính toán HF với

to

Phân bó mật đô proton và neutron của hạt nhân !?C trong tính toán HE 30

Ham sóng proton và neutron của hạt nhân ! O trong tính toán HF với

tương tác SUY4 Q QC Q Q Q LH HQ HH ung kia 31

Phân bố mật đô proton và neutron của hạt nhân '°O trong tính toán HE 32

Trị riêng năng lượng tìm thấy bằng thuật toán Numerov so với giá trị

giải tích của electron trong nguyên tử hydrogen ở các mức năng lượng

¡ñ = 1,2,3 trong trường hợp =0

Trị riêng năng lượng tìm thay bằng thuật toán Numerov so với giá

trị giải tích của hạt chuyển động trong hỗ thé Morse ở các mức năng

lượng n = 0,1 trong trường hợp “=Ú co.

Trị riêng năng lượng tìm thấy bằng thuật toán Numerov so với giá trị

giải tích của cham lượng tử ở các mức năng lượng = 4,6, 8, 10, 12

trong trường hợp ˆ=0 Ặ.ẶẶ.ẶẶ

Các trạng thái đơn hạt của một số hạt nhân với tham số SLy4 Nănglượng đơn hat được tính theo đởnviMeV

Các trang thái đơn hạt của một số hạt nhân với tham số SLy5 Nang

lượng đơn hạt được tính theo đơn vịMeV

10

Mục lục

Lời cảm ơn

Danh mục viết tắt

Danh sách hình vẽ

Danh sách bảng

Mục lục

Mở đầu

Chương 1: Thuật toán Numeroy cho phương trình Schrödinger thường

1.1 Trạng thái liên kết: Phương pháp

Numecrov -1.2 Các bước giải số phương trình Schrédinger thujng

1.3 Kétquavathdoluan

13.1 Daođộngtửđiuhòa

1.3.2 Nguyêntửhydrogen 2. 13.3 HỗthÊMorsc

13.4 Chấm lượngtử

Chương 2: Thuật toán Numeroy cho phương trình Skyrme Hartree-Fock 2.1 Phương trình Skyrme Hartree-FocK

2.2 Đổi biên hàm sóng và thuật toán Numerov

243.1 Hạt nhân *He

2.3.2 Hatnhân 2C 2.33 Hatnhân '“O

Mở đầu

Gần day, việc dạy các kĩ thuật tính toán rat can thiết cho sự phát triển của người

học từ nhiều lĩnh vực: kinh tế, tài chính, thống kê, khoa học dữ liêu, và ngay cá

trong day học vật lí cũng không phải là ngoại lê.

Nhiều mô hình toán học được áp dụng cho các lý thuyết vật lí cung cấp cho ta

những tiên đoán chính xác cho hệ vật lí Tuy nhiên, không phải lúc nào ta cũng có thể

giải quyết các bài toán bang con đường giải tích Chang hạn, su chuyển động của dao

động tự do trong môi trường có lực cản tỉ lệ với bình phương vận tốc vẫn được nhiễunhà khoa học trên thé giới quan tâm đến lời giải chính xác Với những trường hợp như

thế, việc giải số các phương trình phức tạp là một điều rat cần thiết Chính vì vậy màvật lí tính toán được phát triển mạnh mẽ cho đến ngày nay với những phương pháp

giải số đa dạng

Trong thé giới vật lí lượng tử, việc giải phương trình Schrédinger là một bước rat cơ

bản trong các nghiên cứu hệ vi mô Các bài toán đơn giản như chuyển đông của mộthạt trong hỗ thé sâu vô hạn, sâu hữu hạn, dao đông tử điều hòa hay bài toán nguyên

tử hydrogen có thể đưa ra nghiệm giải tích chính xác (Griffiths & Schroeter, 2018)

Van dé là ta sẽ gặp phải khó khăn đến từ những bài toán hệ nhiều hạt và tương tácphức tạp giữa các hạt với nhau Khi đó, việc tìm nghiệm giải tích đỗi với các bài toánnày là điều rất khó khăn và gan như không thể Lúc nay, ta can phải sử dụng các môhình gan đúng như mẫu đơn hạt độc lập (independent model), mẫu liên kết chat (tightbinding mode]), kết hợp với các phương pháp gan đúng đưa trên giải tích bién phânhay lý thuyết nhiễu loạn để tìm ra lời giải chính xác với mục tiêu là so sánh số liệuthực nghiệm đo được.

Trong vật lí lượng tử cho nguyên tử, phân tử hay hạt nhân, việc xây dựng mẫu đơn

hạt hay mẫu vỏ cho các trạng thái đơn hạt của hệ là việc làm cần thiết Trong đó, ta

chuyển bài toán hệ nhiều hạt vẻ bài toán một hạt chuyển động trong trường thé xuyên

tâm tự hợp hay còn được biết đến là lý thuyết trường trung bình Các phương trình

Schrödinger cho từng các trang thái đơn hạt thông thường có dang là một phương

trình vi phân cap hai, những ki thuật giải phương trình loại này hay được sử dụng

là phương pháp Runge-Kutta hoặc phương pháp Numeroy Trong đó, phương pháp

Numerov mang độ chính xác cao hơn phương pháp Runge-Kutta trong việc sử dụng

để giải số phương trình Schrödinger không có thành phan vi phân bậc nhất (Sloan,

1968; Fang & Wu, 2008) Vì thé, việc sử dụng phương pháp Numerov giúp ta định

lượng tốt được các tính chất của hệ hạt vi mô khi giảm thiểu được sai số trong quá

trình tính toán nhiều vòng lặp hội tụ (Sloan, 1968).

Trong bài toán hệ nhiều hạt, việc xây dựng thế năng từ tương tác các hạt với nhau

đóng một vai trò quan trọng Bên cạnh việc sử dụng the nang từ các hàm toán hoc,

ta có thể xây dựng thé năng bằng tương tác giữa các hạt Một trong những phương

pháp được sử dụng phổ biến trong vật lí lương tử là gần đúng Hartree-Fock Day là

phương pháp được xây dựng dựa trên giải tích biển phân Hàm sóng và trị riêng đơn

hạt được xác định sau khi bài toán thỏa mãn sự hội tụ được yêu cau Do đó, phương

pháp Hartree-Fock còn được gọi là phương pháp trường tự hợp Khi số hạt tăng lên,

số vòng lặp khi giải phương trình Schrödinger cũng tăng lên Nếu không có các công

cụ máy tính và thuật toán, việc giải sẽ trở nên khó khăn Phương pháp này có ứng

dụng phổ biến trong tìm nghiệm của phương trình Schrödinger cho nguyên tử, phân

tử, cầu trúc nano và cả trong vật lí hat nhân

Trong khóa luận này, tôi sử dụng phương pháp giải số được phát triển bởi nhà vật

lí người Nga, Boris Vasilévich Numerov (Numerov, 1924, 1927) để giải các phương

trình Schrödinger dừng một chiều (Blatt, 1967; Allison, 1970; Caruso, Oguri, &

Sil-veira, 2022).

* Chương | trình bày vẻ thuật toán Numerov cho việc giải số phương trình Schrödinger

2

dừng một chiều không chứa thành phần vi phân bậc nhất cho một số phương trình

Schrödinger có nghiệm chính xác (nghiệm giải tích) Chương trình tính toán được

xây dựng dựa trên ngôn ngữ lập trình Fortran (Press, Vetterling, Teukolsky, &

Flannery, 1988).

* Từ đó, tôi sẽ phát triển việc sử dụng thuật toán Numerov cho việc giải số phương

trình Skyrme Hatree-Fock được trình bày ở Chương 2 một phương trình được

sử dụng phổ biến trong nghiên cứu cấu trúc hạt nhân (Langanke, Maruhn, &

Koonin, 1991).

thực hiện giải số phương trình Schrédinger sử dụng phương pháp Numerov; ket quả

tính toán vẻ năng lượng và hình dang hàm sóng của dao động tử điều hòa, nguyên tửhydrogen, hạt chuyển động trong hỗ thé Morse và cham lượng tử

1.1 Trạng thái liên kết: Phương pháp Numerov

Một hạt có khối lượng m chuyển động trong một hỗ thé V(x) có tọa độ x € [a,b]cho trước, với mức năng lượng liên kết E, phương trình Schrodinger đừng một chiềucủa hạt có dạng tổng quát

w(x) + P(x) w(x) = 0, (1.1)

trong đó, ta đặt

\/ 2m |E — V(3)] (1.2)

k(x) = i

với h ~ 1.055 x 10°34 J s là hằng số Planck rút gọn

Phương pháp giải số Numerov cho phép ta xác định được hàm sóng w(x) ứng với

các mức nang lượng liên kết E của hạt

Để tính toán giá trị hàm sóng tại mỗi tọa độ ban dau can hai giá trị hàm sóng cho

trước: w(x — ở) và w(x), với ð là con số nhỏ tùy ý hay được gọi là bước nhảy trong

chương trình tính toán Việc ta cần làm là tim được giá trị hàm số tại điểm tiếp theo

với yw!” (x) là đạo ham bậc thứ ø của ham sóng y(x).

Công về theo về hai phương trình (1.3) và (1.4), các thành phan hàm sóng dao ham

bậc lẻ sẽ triệt tiêu, ta được

&4w(x — 5) + w(x t 5) = 2y(x) + Py?) (x) + Ta) + 6(6°),

Từ phương trình (1.1), tác động toán tử ( 1+ aa) dé dua vé dang phuong trinh

thuận tiện hơn cho việc lập biểu thức

điểm tiếp theo {x + 5) với sai số @(ð5)

gy 2(1— FER) w(x) — (1+ BEM (x— ð)) w(x—ổ) - „4

W+-ö)= 1+ p87 (x+ 5) +}

(1.11)

1.2 Các bước giải sô phương trình Schrödinger thường

Van dé ta cần giải quyết chính là tim được giá trị năng lượng E và từ đó tìm ra hàmsóng ⁄{x) tại mức năng lượng đó Việc chọn giá trị nang lượng dau vào trong chươngtrình tính toán Ej, mang tính ngẫu nhiên, nhưng ta luôn biết rằng năng lượng liên kết

của hạt luôn mang giá trị lớn hơn giá trị nhỏ nhất của hàm thé V(x) Vì thé ta sẽ chọnEin = Vinin + AE với AE là một số dương nhỏ

lượng của hạt có giá trị bằng với năng lượng hồ thế (hình 1.1) Hạt sẽ chỉ chuyển động

trong vùng thé có tọa độ x € [Xterts Xright | „ nơi ma mức nang lượng hat lớn hơn hoặc

bằng mức năng lượng hồ thế Ở vùng ngoài x < xXjeq và x > Xrighi được gọi là vùngcâm cổ điển, nơi mà hàm sóng tại đó w(x) = 0

Phương trình Schrödinger ứng với mỗi giá trị năng lượng sẽ cho ra một hàm riêngw(x) tương ứng, nhưng sẽ không thỏa được các điểu kiện khác của hàm sóng như

điều kiện chuẩn hóa hàm sóng và điều kiện biên Chính vì vậy, ở đây ta cần chọn một

điểm khớp Xmach (matching point) chia [x x„i;p(| thành hai miễn: miễn bên trái

(từ jon đến xm„¡cạ) và miền bên phải (từ Xmarch đến xyighe) Việc giải số phương trình

Schrödinger dừng một chiều sẽ được thực hiện theo các bước như sau

Chọn giá trị năng lượng đầu vào Ej, = Vinin + AE (AE < Vina), cho trước hai giá

trị hàm sóng tại hai điểm liền kẻ, bắt đầu ten,

yich (Xieq) —0.

wh xen +6) " @kt (set 4 1) ‹

sau đó sử dụng biểu thức (1.11) để tìm ra các giá trị hàm sóng tiếp theo cho đến

WF (Ymaen).

« Giải số cho miễn bên phải (x € [xmwn.Xaghi, )

Tương tự như miễn bên trái, cho trước hai giá trị hàm sóng tại hai điểm liên kẻ,

nen (Xnght) =0,

yee xung _ 5) = ôn‡ht (net < 1) ‹

sau đó sử dụng biểu thức (1.11) để tìm ra các giá trị hàm sóng tiếp theo cho đến

yreht (Xmatch ) k

Như vậy, với cách cho trước giá trị yw!" (jen) = ## (xu; +) = O thì hàm sóng thỏa

mãn được điều kiện biên Tuy nhiên, tính liên tục của hàm sóng chưa được thỏa nêu

VỀ (ven) và WE (ach) có giá trị không trùng khớp nhau Vì thé để đảm bảo

tính liên tục của hàm sóng, ta điều chỉnh các giá trị hàm sóng ở miền bên trái !°(x)

bằng cách

yrent (Xmatch )

VER(xaaen) ARS < Xmatch) (1.12)

ự'°“(x) _> ự!°(y)

Cuối cùng ta cần kiểm tra tính liên tục về đạo hàm bậc nhất của hàm sóng w#!#P!( y)

và hàm sóng w⁄**#(x) vừa được điều chính lại bởi công thức (1.12) Sử dụng khai triển

Taylor dén đạo ham bậc 1, ta được

4 etic ach) = Wl (ven ¿ i= yl Xnueh 1)

- -“tmatch) = ————””””” TQ

tì eh ae yrieh(, (1.13)

— right (x ) = y Amatch+1 match 1 ;

Nếu sự sai lệch vẻ hai giá trị này nhỏ hơn mức sai số £ tự cho trước (£ thông thường

là từ 0.001) thì hàm sóng tìm được ứng với mức nang lượng E đó sẽ được nhân, với

các giá trị hàm sóng tương ứng

wiley), (Xtet € X < Xmatch}.

#Eh(v), ÍXmatch SX €

Xright)-Nếu như điều kiện liên tục (1.13) không được thỏa man, quá trình lặp lại các bước

giải từ đầu sẽ được thực hiện, với mỗi lan lặp thì mức năng lượng đầu vào sẽ tăng dẫn

E = Ej, + dE, cho đến khi tìm được giá trị năng lượng phù hợp và cho ra hàm sóng

tương ứng tại mức năng lượng ấy.

1.3 Kết quả và thảo luận

Trong phan này sẽ trình bày các kết quả tính toán được về mức năng lượng hạt vàhàm sóng ở từng loại hỗ thế, các giá trị đầu vào được thay đổi tương ứng được thể hiện

ở mỗi phan Chương trình tính toán đều thực hiện giải số các mức năng lượng va dang

“right — Fett

hàm sóng trong vùng (x¿r.x„¡gur| với N = 6000 điểm chia, tức rang 5 = m

1.3.1 Dao động tử điều hòa

Dao động tử điều hòa là một bài toán trọng tâm trong cơ học lương tử Đây là mộtbài toán về chuyển động của một hạt trong hỗ thể có hình dạng parabol và nằm trong

số ít các bài toán có nghiệm giải tích chính xác Phương trình Schrödinger dừng không

thứ nguyên cho dao động tử điều hòa có dang

với w là mức năng lượng của hat.

Hàm sóng với mức năng lượng thứ ø của dao động tử điều hòa được biểu diễn dưới

Do ham thé nang có dang là một parabol đỗi xứng, nên ta chọn khoảng tọa độ xét

sé là Xí = —5 Xnghi = 5 fe) day ta chọn £;,, > 0 do ham the nang của dao động tử

điều hòa có Vinin = 0, với sai số £ tự chọn là 0.0001 và độ tăng giá trị năng lượng saumỗi vòng lip dE = 0.05, khi đó kết quả tính toán vẻ năng lượng thu được được thể

hiện ở bảng 1.1 Ta thay rang, giá trị năng lượng liên kết được tim thay trùng khớp với

giá trị năng lượng như ở biểu thức (1.15).

Ứng với các mức năng lượng được tìm thấy, hàm sóng (đã được chuẩn hóa) trong

đao động tử điều hòa được thể hiện ở hình 1.2 được so sánh với nghiệm hàm sóng giải

tích ở biểu thức (1.16).

Để kiểm chứng sự sai lệch vé giá trị hàm sóng giải số so với giá tri hàm sóng giải

tích, hình 1.3 được thể hiện với trục hoành là giá trị hàm sóng giải tích, trục tung là

giá trị hàm sóng giải số Đường thẳng vẻ tỉ số trùng khớp với đường thẳng có dạng

y =x cho ta thay rang không có sự chênh lệch ve giá trị giữa việc giải số hay giải tích

Qua đó ta thấy rằng việc giải số phương trình Schrodinger đừng một chiều mang tính

khả thi trong việc giải quyết những dang hỗ thé khác

1.3.2 Nguyên tử hydrogen

Bài toán khảo sát nguyên tử hydrogen cũng nằm trong số ít các bài toán cơ học

lượng tử có nghiệm giải tích Ở đây, ta chỉ xét trường hợp của electron chuyển động

Il

Hình 1.2 Ham sóng dao đông tử điều hòa ứng với các mức năng lượng n = 0,1,2,3

được so sánh với nghiệm hàm sóng giải tích.

trong nguyên tử hydrogen Phương trình Schrödinger dừng không thứ nguyên của hàm

Hình 1.3 Tí số giá trị ham sóng dao động tử điều hòa giải số so với giá tri hàm sóng

giải tích ứng với các mức nang lượng nm = 0 1.2, 3.

chuyển động trong nguyên tử hydrogen được biểu diễn dưới dạng giải tích

Dua vào ham thé năng hiệu dụng với £ = 0 (1.19), ta thay khi x > 0 thì Vgg(x) —>

—% và khi x > œ thì Via(v) > 0, chính vì vậy ta sẽ chon Xen, > 0 gan 0 và giá trị

Ein < 0 Ở đây, ta chọn khoảng tọa độ xét sẽ là x}en = 0.001, Xrigh = 60.001, với sai

số £ tự chon là 0.00011, giá trí năng lượng dau vào Ej, = —1.6 và độ tăng giá trị

13