Tiểu luận môn giải tích số Đa thức chebyshev tính chất và ứng dụng trong giải tích số

Trinh Anh Ngọc — Giảng viên Khoa Toán — Tin học, trường Đại học Khoa học tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã đưa ra một đề tài khá thú vị.. Em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong ban

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TP HỒ CHÍ MINH

KHOA TOÁN - TIN HỌC

KHO,

oc S04

<RVONG

TP HO CHI MINH

Tiểu luận môn Giải tích số

DA THUC CHEBYSHEV

TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TÍCH SỐ

Giảng uiên hướng dẫn: TS Trịnh Anh Ngọc

Học uiên thực hiện: Châu Hòa Nhân - MSHV: 19C29029

Ngành: Toán ứng dụng - CN: Giáo dục toán học khóa 29

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 06 năm 2020

GVAD: TS Trinh Anh Ngoc

LOI CAM ON

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầy — TS Trinh Anh Ngọc —

Giảng viên Khoa Toán — Tin học, trường Đại học Khoa học tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh

đã đưa ra một đề tài khá thú vị Thầy đã hướng dẫn, hỗ trợ và giúp đỡ em từ những ngày đầu

thực hiện đến khi hoàn thành đẻ tài:

“Đa thức Chebyshev Tích chất và ứng dụng trong giải tích số”

Em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong ban chủ nhiệm Khoa Toán — Tin học,

trường Đại học Khoa học tự nhiên Thành phố Hỗ Chí Minh đã xây dựng một học phần bô

ích để em học tập và trao dôi kiến thức, kĩ năng

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 14 tháng 06 năm 2020

GVAD: TS Trinh Anh Ngoc MUC LUC

II ĐA THỨC CHEBYSHEV 52 2S S221 2711 111221.221122 112111 2 221212 ng 5

II CÁC TÍNH CHẤT CỦA ĐA THỨC CHEBYSHEYV 22522 2222222222111 7

IV LIÊN HỆ VỚI NHỮNG NHẬN ĐỊNH TRONG BÀI HỌC -cccccccceveecree 11

I9 v00 an 11

2 Giảm thiêu sai số trong nội suy đá thứỨc 5s t ESEE112112 2211212112 E1 rerrey 12

3 Đánh gia chan sai số của đa thức nội "2.5 15ẻ 16

4 Mở rộng ứng dụng của đa thức Chebyshev c1 1121221021111 1g tr tế, 17

TÀI LIỆU THAM KHẢO 22c c2 2222211111122222 1111111212 1 tt re 20

GVAD: TS Trinh Anh Ngoc

I DAT VAN DE

Trong thực hành, ta thường gặp các hàm số y= /(*) mà ta chỉ biết các giá trị ƒ; tại các điêm x,c[a:b| với ¡=l,2, ,MV Hoặc cũng có thê ta biết được biểu thức giải tích /(x) nhưng quá cồng kênh trong khi ta cần phải tìm đạo hàm /{x) hoặc tính tích phân của /(x) trên đoạn [4:2] Khi đó,

ta thường xấp xỉ hàm số đã cho bởi một đa thức P(x) (bởi lẻ các phép toán cộng, trừ, nhân, đạo hàm, tích phân để dàng thực hiện trên đa thức) Từ đó, ta cũng có thể để dàng tính được giá trị của hàm f tại các điểm xe [a:b] bất kì mà độ chính xác không kém bao nhiêu

Với thuật toán đơn giản, phép nội suy Lagrange cung cấp cho ta một công cụ dé tim ham xap

xi P(x) dé ti do tinh gia tri f(x) tại các điểm x không nằm trong bảng (x„/,) với i=1,2, ,.N.Ta xét bài toán nội suy: Cho trước các cặp (x,, /;) với ¡=l,2, ,M, trong đó các ƒ là giá trị của hàm ƒ(x) tại các điểm x „ / =/( ) Tìm đa thức 7, (x) sao cho 7 @œ )= /,, I<¡<N Khi đó, tôn tại duy nhất đa thức ?, (x) có bậc nhỏ hơn X nội suy hàm cho trước f(x) tại các điểm này và có dạng:

P,@)=Sf,L, &), trong đó 7@x)= [| ——:

Hơn nữa, ta cũng đã chứng mình được răng:

max| f(x)—Fy (x)|< ~ max|w, (x) max, (x), (1) 1

trong do

M,, = max xe|a 8] Me va w ye) =] [(« -x,)

Nếu hàm /(x) đã cho thì AZ„ là hoàn toàn xác định Từ công thức (1), ta suy ra sai số tuyệt

đối của phép nội suy chỉ còn phụ thuộc vào w„(x) =(x— x,)(x—x; } (x—x„)

Giả sử chúng ta có quyên chọn các mốc nội suy tùy ý, thì vấn đề đặt ra: “Có cách nào chọn các mốc nội suy dé ta có được đa thức xấp xỉ tốt nhất ?” Nói cách khác, ta phải chọn các mốc nội suy ø<x¡<x;< <x„<5 như thế nào để max |wy(x)| nhỏ nhất

Bài tiêu luận này sẽ trình bày về đa thức Chebyshev, các tinh chất và ứng dụng của nó trong

giải tích số đề từ đó giải quyết vấn đề trên.

GVAD: TS Trinh Anh Ngoc

II BA THUC CHEBYSHEV

Trước tién, ta dinh nghia da thirc Chebyshev bac n>0

Định nghĩa: Với mỗi xe [-1.1] , ta gol

T, (x)= cos[n arccosx], voi méi >0 (2)

la da thirc Chebyshev bac 7

Với định nghĩa như trên, ta thấy rằng

T,(x)=cos0=1 va 7/(x) =cos[arecos x] = x

Với mỗi ø>I, ta đặt Ø= arccosx thì đẳng thức (2) trở thành

T;(Ø()) =7,(Ø) =cos(nØ), với Ø e|0,Z |

Ta thấy rằng:

T., (@)= cos| (n+ 19]|= cosd cos(nO)— sind sin(n9), T, ,@)= cos| @— 19 |= cos cos(n )+ sinØ sinứ )

Suy ra T,,, (@) =2cosØcos(zØ)—7„ (Ø) và 7; (x)=2xcos (zarecos x)— 7 (x) (vì x= cos@,n> 1)

T1(œ)=lL7œ)=x

T,,,(%) =2xT,(x) -T, (x), Vn 21

Vay ta có: |

Với công thức truy hồi, ta có thê đễ dàng tìm được các đa thức Chebyshev bậc cao hơn là

7(œ)=2xTœ)~1(œ)=2# = 1,

T,(20) =2xT, (xe) T(x) = 40° -3x,

T(x) =2xT,(x) —T,(x) =8x*-8x?+1,

Bằng quy nạp, ta thấy rằng đa thức Chebyshev bậc ø>1 thì có hệ số bậc cao nhất là 2”! va d6 thị

cua cac da thirc Chebyshev bac tir 1 dén 4 duoc thé hién qua hinh vé sau day:

GVAD: TS Trinh Anh Ngoc

y=T,Q)

GVAD: TS Trinh Anh Ngoc

Il CAC TINH CHAT CUA DA THUC CHEBYSHEV

Trong mục này, em trình bảy các tính chất cơ bản nhất của một đa thức Chebyshev bậc ø

Tính chất 1: Đa thức Chebyshev bac ø>1 có hệ số bậc cao nhất là 271,

Chứng minh (quy nạp)

"Với ø=1,ta có 7/(x)=x nên có hệ số bậc 1 là l =2""

"_ Giả sử mệnh để đúng với ø>1, nghĩa là ta có 7/(x) có hệ số bậc cao nhất là 2”-' Ta chừng

minh, 7, ,@) co hé số bậc cao nhất là 2”

Thật vậy, do 7; (x)=2x7/(x)— 7j (x) nên hệ số bậc cao nhất của 7j„,(x) bằng 2 lần hệ số bậc cao

nhất của 7;(x) nên hệ số bậc cao nhất của 7„ ,œ) bằng 2.2”'=2”,

Từ tính chất này, ta thấy nếu chia đa thức 7;(x) cho 2”' thì ta được một họ các đa thức monic Chebyshev (da thite monic là đa thức có hệ số bậc cao nhất bằng 1), đặt là 7 (x) Khi đó,

Tya=1 va Fx) = 557.0), voi mdi n=,

Từ công thức (2), ta suy ra:

B(x) = aT) - FT (2) và Ï,„(3) =xÏ,(3)= 7, (0), với mỗi ø>2,

GVAD: TS Trinh Anh Ngoc

Tính chất 2: Đa thức 7/(x) là hàm chăn khi n chan và là hàm lẻ khi ø lẻ

Chứng minh (quy nạp)

"Với ø=l, ta có 7(x)=x là hàm số lẻ và với ø=2 thì 7(x)=2x —1 là hàm số chan

"Giả sử mệnh đề đúng đến >2, tức là ta có đa thức 7„ ,(x) là hảm lẻ và các đa thức 7 (x)

là hàm chăn, thỏa mãn 2# <z Ta chứng minh, 7; ,,(x) la hàm lẻ và 7„ „(x) là ham chan Thật vậy, ta có: 7, ,(x)= 2x7, (3)— 7, ), Vxe Suy Ta

Ty a Cx)= 2601, Cx)- Gy ¡Cx)=—(237/ (X)T 7y J(3))=—72J(x), VxeR,

Do đó 7 ,,(x) 1a ham lé va do 7, ,(-¥) = 2(-4)T, (4) -T, (4) =T, ,.«), Vx eR nén 7, (x) 1a

ham chan

Từ đây, ta có thê phân hoạch tập hợp các đa thức Chebyshev thành 2 tập hợp:

i) Tập {7;,(*) ke N} 1a tập hợp các đa chức Chebyshev là hàm chẵn

1) Tập {7 (x)ÈeN) lá tập hợp các đa chức Chebyshev là hàm lẻ

Tính chất 3: Đa thức Chebyshev T(x) bậc ø>1 có đúng ø nghiệm đơn phân biệt trong [—I,I] là

2k -1 rs ks

X, =sa| 5 ` với moi k =1,2, ,n

ms,

Hơn nữa, 7/(x) đạt cực trị tại các điểm

4 (kx \

R= coy > voi 7(%,) =(-)*, voi méi & =0,1,2 ,7

Chimg minh

Dat

% =cox{ 5 tn) với mỗi #=l,2, m

hn

thi

A

Vì các x phân biệt (với & =1,2, ,z ) và do 7j(x) là đa thức bậc ø nên 7(x)=0 chỉ tại các x,

2k-1 n)-0

2

Ta thay rang:

GVAD: TS Trinh Anh Ngoc

nsin(narccos x) VI-x ,

T()= < (60s (narccosx ) =

và do đó, với mỗi &=0,1,2, m thì

min [ NALCCOS [cos ())) #isin( &z)

rea sói,

Vì 7(x) là đa thức bậc ø nên 7/(x) là đa thức bậc z—1, và theo trên thì các ¥ (4 =1,2, ,.n—-1)

1œ) =

la tat cả cac nghiém don cha 7’(x) Cac diém khac dé 7,(x) dat cực trị chỉ có thê là các điểm tại bién [-1,1]; va đó là x; =—1 và x/ =1

Với mỗi k =0,1,2, ,7, ta co:

T;(X,)= cos [ cos cos ()}) =cos(km)=(-l*

n

Và hiển nhiên, 7/(x) đạt cực đạt tại các điểm # chăn và đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm & lẻ

Tính chất 4: Với mọi số nguyên đương ¿,7 thỏa? > 7 thì ta luôn có

7097/09 =2 (1„@0=1,,3)

2

Chứng minh

Theo dinh nghia, voi x e[-11], với ¡> 7, ta có:

T.(x)T, (x) = cos(i arccosx) cos( 7 arecosx)

= 2l eos(( + 7)arccosx) + cos((/— 7)arecosx) | = (fu)+7, ,))

Tính chất 5: Với hai số nguyên đương m,n phan biét, ta luôn có:

1

“59+ =0,

-1 WV l—x?

Chứng minh Giả sử xét 0 >?m

Với cách đặt Ø= arccosx thì 7(x) =cos(zØ),Vn >l và đ@ =—

l—x

Ta có:

GVAD: TS Trinh Anh Ngoc

ƒ FCM OD gy ƒ From) + Tr mop =5 [[eos(œ +m)6)+ cos(( =m)0) |d 0

== ;jesx0 m)Ø) + cos((n— m)0) | 8 —?m)8) |4@=| ——————+—————_—|| nt m) 2w=m) lÌ0 =0

Tính chất 6: Với ø là số nguyên đương cho trước, ta luôn có:

1 LOT go, T 2 -1 _x?

Chứng minh

Với cách đặt Ø= arccosx thì 7/(x) =cos(n), Vn 21 va dé =—- | dx

l—x

Ta có: rool | ø 2 19=[ 2 ø-lƒ it 2Ø đø= 1| „ sm(200) #_#

a có: li = J[eoser ) = J eos nO yl = 5] ( cos( )) =5 x —>— lon

GVAD: TS Trinh Anh Ngoc

IV LIÊN HỆ VỚI NHỮNG NHẬN ĐỊNH TRONG BAI HOC

Trong mục này, em sẽ trình bày lại một số định lý quan trọng gắn với phép nội suy Lagrange,

từ đó liên hệ đến một số nhận định trong bài học

1 Các định lí quan trọng

Định lí 1

Cho X điêm phân biệt {x.x;¿ x„} có một và chỉ một đa thức ?(x) bậc nhỏ hơn X nội suy

hàm cho trước ƒ(%) tại các điểm này

Chứng minh Xem [ I], trang 61

Định lí 2

Giả sử /(x) có đạo hàm đến cấp X trên khoảng 7 chứa các điểm nội suy {x}, _Néu Py(x) 1a

da thức bậc nhỏ hơn X nội suy ƒ(z) trên các dữ liệu này, thì với mỗi xe7 có điểm &el sao

cho sai số trong nội suy đa thức là

1

I()- Fy (x)= m0)

trong đó

N

wy(x)=[[(e-x,) va min(* 0 5 %).8)<& <max(¥,¥5 % y.%)

i=l

Chimg minh Xem [1], trang 64

Từ định lí 2, voi 7 =[a,b], thi ta có chặn trên của sai số nội suy là

My

may |ƒ () —P,] Sar mpax|wn

Dinh li 3

Với các da thitc monic Chebyshev 7'(x) (được xây dựng sau tinh chat 1), >1 ta luôn có

1

21 weil]

, với mọi đa thức monic P, (x)

x s1]

Hơn nữa, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ?,=7,(x)

Chứng minh

Trước tiên, ta thấy rằng

GVAD: TS Trinh Anh Ngoc

mas lf m , na) =3 Qt “A

do cách xây đựng 7 (x) và tính chat 3 (ham có giá trị cực đại là | tai cdc điểm x/)

Với P (x) là một đa thức monic bậc ø>1 thỏa mãn

“ơn = max |f,(x)|

Ta chứng minh điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi 7(x)= Ð(x) với mọi xe[-L1]

Đặt @()=7j(x)- P,&), với xe|[—LI]

Do 7 (x),P(9 đều là các đa thức monic (hệ số bậc cao nhất bằng 1) bậc ø nên @(x) là đa thức

bậc nhỏ hơn ø Hơn nữa, do 7,(x) có đúng ø điểm cực trị + (*=0,1,2, z) nên T(x) cling vay,

do do

Tuy nhiên,

với mỗi k=0,1 ,7

2m1?

Do đó ta có

OŒ,)<0 với k lẻ và Q@/)>0 với £ chăn

Mà do Q là hàm đa thức nên liên tục, theo định lí giá trị trung gian, với mỗi 7=0,1, ,z—1 thì @

phải nhận giá trị bằng 0 tại ít nhất 1 điểm nằm giữa Z va ¥, Suy ra 2 phải có ít nhất ø nghiệm

trên đoạn [_I.I] Nhưng @ là đa thức bậc nhỏ hơn ø nên @ =0 Vậy khi đó 7j(x) = P(x) va do dé

ta có điều phải chứng minh

2 Giảm thiểu sai số trong nội suy đa thức

Định lí 3 là câu trả lời cho việc đặt các mốc nội suy ở đâu đề giảm thiêu sai số trong nội suy đa thức (Lagrange) Trước tiên, ta thay sẽ đặt có mốc nội suy áp dụng cho bài toán xấp xi hàm ƒ(+)

trên đoạn |[-I,I], từ đó xây dựng công thức để đặt các mốc nội suy cho trường hợp tổng quát là trên khoảng 7 =[a,b]

GVAD: TS Trinh Anh Ngoc

Nếu x,„x;, x„ là M điểm phân biệt trong đoạn [—I,I] và / có đạo hàm đến cấp %', thi với mỗi

xe|[-LI], 3£ e(-L1) sao cho

fe € («)) F(X) — Fy 06) = (X= KH) OE Xy ) >

voi P,(x) là đa thức nội suy của f(x) tai các mốc x,

Thông thường, ta không thê kiêm soát được é, vì vậy đề giảm thiêu sai số trong nội suy ta chỉ có

thể chọn các mốc X; X;› , Ấy dé

(erm) =1, |

đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [—I.1]

Do (x—xj)(xT—x;) (x—x„) là đa thức monic bậc X, nên theo định lí 3 ta sẽ chọn sao cho

Œ&—xiXx—x;).(—x„)= 1G)

Giá trị lớn nhất của |(x— x¡ Xx —x;) ( — x„ )| trên đoạn [—I,I là nhỏ nhất khi x,( & =1,2, , ) được

chọn là W nghiệm của đa thức 7,,(x) Từ đây, ta chọn x, la

Ấy | với &k=l,2 m

2N j

vi max.) ñv(x)=2'”, và ta cũng suy ra

ser = Max (x —% Max =x,).(xxv)|< max |

v6i moi cach chon x, x,, ,xy bất kì nằm trong đoạn [-1,1]

Từ đây, ta có được bất đăng thức sau:

max |f (x) —P,(x)|S — max [f%(x)], với mọi hàm f cé dao ham dén cap NV trên [_LI] 3 Bây giờ, ta xét bài toán đặt các mốc nội suy trên khoảng 7 = [2.5] :

Băng việc đôi biên, đặt ¢ = TS ta cy, với xe[-Ll] thì từ đoạn [-1,1] ta đưa về doan [a,6) +

Khi đó các mộc nội suy Chebyshev cân chọn là

GVAD: TS Trinh Anh Ngoc

voi k=1,2, ,N

_ b+a b-a_ (2#'—-lz

Ví dụ 1 Nội suy Lagrange f(x)=sinx trên đoạn [-1;I] tại 4 điểm Chebyshev Từ đó tính sai số

của đa thức nội suy Lagrange tại các điểm x e [_1;1] không phải là mốc nội suy

Với 4 điểm Chebyshev, ta cần chọn các mốc nội suy

X= cos voi k=1,2,3,4

Do đó có 4 mốc nội suy Chebyshev la x, = 0.9238, x, =0.3826, x, =-0.3826, x, =-0.9238

Bảng dữ liệu:

* ¥, = 0.9238 ¥, = 0.3826 ¥, =-0.3826 ¥, = 0.9238

Ta co:

Fœ)= (x— 0.3826)(x+ 0.3826)(x+ 0.9238)

' (0.9238 —0.3826)(0.9238 +.0.3826)(0.9238 + 0.9238) ’

œ)= (x— 0.9238)\(x+ 0.3826)(x+ 0.9238)

"~~ (0.3826 —0.9238)(0.3826 + 0.3826)(0.3826 +0.9238) ”

)= (x— 0.9238)(x— 0.3826X(x+ 0.9238)

; (—0.3826 —0.9238)(—0.3826 — 0.3826 -0.3826 + 0.9238) ˆ

L.(x)= (x— 0.9238)(x— 0.3826)(x+ 0.3826)

‘ (0.9238 — 0.9238 (0.9238 — 0.3826)(—0.9238 + 0.3826) ˆ

Suy ra

.(x) =0.7919Ƒ,(x)+0.3734Ƒ„(x)—0.3734Ƒ„(x)—0.7979, (x)

=—0.1587x°+0.9991x

Ta có: (tính sai số)

Taco: f(x) =cosx > f"(x) =—sinx > f(x) =—-cosx > f(x) =sinx

y 4 —]SxI]

t œ] = max) sinx| <1