Luận văn thạc sĩ Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán: Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh Trung học phổ thông trong dạy học chủ đề thể tích

NLTDVLLTH là một thành tố quan trọng của NL toán học của HS, thể hiện qua việc thực hiện các TTTD, so sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hóa, tượng tự, quy nạp, diễn dịch

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG

VŨ THỊ CHÂM

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ THỂ TÍCH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

HẢI PHÒNG - 2019

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG

VŨ THỊ CHÂM

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ THỂ TÍCH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

CHUYÊN NGÀNH: LL & PP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN

MÃ SỐ 8.14.01.11

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thị Thanh Vân

HẢI PHÒNG - 2019

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục với đề tài “Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh Trung học phổ thông trong dạy học chủ đề thể tích” là kết quả học tập, nghiên cứu của

riêng tác giả

Các kết quả nghiên cứu, các số liệu trong luận văn hoàn toàn trung thực

và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào khác trước đó

LỜI CẢM ƠN

Tác giả luận văn xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Thị Thanh Vân, giảng viên Khoa Toán và Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hải Phòng Là người hướng dẫn khoa học cho đề tài, Cô đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu để hoàn thành luận văn này

Tác giả trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Hải Phòng, Trường THPT Hàng Hải, THPT Lê Chân, THPT Ngô Quyền, Thành phố Hải Phòng đã cho phép, tạo điều kiện và hỗ trợ tác giả trong thời gian nghiên cứu, điều tra, phỏng vấn và thực nghiệm sư phạm

Tác giả trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán và Khoa học Tự nhiên và các Thầy cô giáo trong Khoa đã giảng dạy, giúp đỡ, hỗ trợ tác giả trong quá trình nghiên cứu đề tài

Tác giả trân trọng cảm ơn phòng Quản lý Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành các thủ tục để bảo vệ luận văn này

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

DANH MỤC VIẾT TẮT v

CÁC DANH MỤC BẢNG vi

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Tổng quan vấn đề nghiên cứu 3

3 Mục tiêu nghiên cứu 4

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 5

5 Phương pháp nghiên cứu 5

6 Cấu trúc luận văn 5

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 7

1.1 Tư duy 7

1.1.1 Khái niệm tư duy 7

1.1.2 Đặc điểm của tư duy 7

1.2 Các giai đoạn và các thao tác tư duy cơ bản 10

1.2.1 Các giai đoạn của tư duy 10

1.2.2 Các thao tác tư duy cơ bản 11

1.3 Năng lực tư duy và lập luận toán học 18

1.3.1 Năng lực 18

1.3.2 Các thành tố của năng lực tư duy và lập luận toán học 19

1.3.3 Đánh giá mức độ của năng lực tư duy và lập luận toán học 25

1.4 Vai trò của các thao tác tư duy trong phát triển NLTDVLLTH 26

1.5 Nội dung chủ đề thể tích trong Chương trình THPT 26

1.6 Thực trạng dạy học chủ đề thể tích ở trường THPT theo hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh 28

1.7 Kết luận chương 1 33

Chương 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƯ DUY NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC

CHO HỌC SINH THPT TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ THỂ TÍCH 34

2.1 Định hướng xây dựng và thực hiện biện pháp 34

2.2 Một số biện pháp sư phạm góp phần rèn luyện các TTTD cho HS nhằm phát triển NLTDVLLTH trong dạy học chủ đề thể tích 34

2.2.1 Biện pháp 1: Tạo tình huống để học sinh rèn luyện các thao tác tư duy trong dạy học chủ đề thể tích 34

2.2.2 Biện pháp 2: Tạo điều kiện để học sinh nắm được các dạng toán cơ bản về chủ đề thể tích 35

2.2.3 Biện pháp 3: Rèn luyện cho học sinh kỹ năng phát hiện và sửa chữa sai lầm khi học chủ đề thể tích 39

2.2.4 Biện pháp 4: Thiết kế hệ thông bài tập về nhà theo định hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh 44

2.2.5 Hệ thống bài tập tính thể tích khối chóp 45

2.3 Kết luận chương 2 48

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 49

3.1 Mục đích thực nghiệm 49

3.2 Nội dung thực nghiệm 49

3.3 Tổ chức thực nghiệm 49

3.4 Giáo án thực nghiệm 50

3.4.1 Giáo án 1: Khái niệm thể tích khối đa diện 50

3.4.2 Giáo án 2: Khái niệm về thể tích khối chóp 58

3.5 Kết quả thực nghiệm 67

3.5.1 Đánh giá định tính 67

3.5.2 Đánh giá định lượng 68

3.6 Kết luận chương 3 72

KẾT LUẬN 73

TÀI LIỆU THAM KHẢO 74

NLTDVLLTH Năng lực tư duy và lập luận toán học

CÁC DANH MỤC BẢNG

3.2 Số liệu thống kê bài kiểm tra số 1 68

3.4 Số liệu thống kê bài kiểm tra số 2 70

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Để tìm hiểu và lĩnh hội tri thức nhân loại con người cần phải tư duy Mỗi sự vật và hiện tượng đều có những đặc điểm, dấu hiệu bản chất và thuộc tính khác nhau Do đó, con người cần phải biết suy nghĩ, phân tích, so sánh và tổng hợp để tìm ra được các đặc điểm, dấu hiệu bản chất, thuộc tính của các

sự vật và hiện tượng hướng tới mục đích nhận thức

Theo: “Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04 tháng 11 năm 2013 của Hội nghị lần thứ VIII Ban chấp hành Trung ương Đảng khóa XI đã thông qua Đề án

“Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa

và hội nhập quốc tế [2]” Cần đổi mới toàn diện PPDH, chuyển dạy học từ chủ yếu trang bị kiến thức, kỹ năng sang dạy học theo hướng phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học

Thông tư số 32 của Bộ Giáo dục và Đào tạo (12/2018) chỉ rõ NL toán

học bao gồm các thành tố cốt lõi sau: Năng lực tư duy và lập luận toán học;

năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện toán học

NLTDVLLTH là một thành tố quan trọng của NL toán học của HS, thể hiện qua việc thực hiện các TTTD, so sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hóa, tượng tự, quy nạp, diễn dịch,… NLTDVLLTH giúp HS sử dụng được các PP lập luận, quy nạp, suy diễn để tìm ra những cách thức khác nhau trong việc GQVĐ, giải thích, chứng minh, điều chỉnh được giải pháp thực hiện về phương diện toán học Do đó, có thể phát triển NL toán học cho

HS, nhất thiết phải phát triển NLTDVLLTH

Chủ đề thể tích trong chương trình THPT gồm hai Chương với các khái niệm, định lý, công thức, bài tập khá đa dạng, tạo điều kiện cho giáo viên có thể tổ chức các tình huống dạy học để phát triển NL cho học sinh, đặc biệt là NLTDVLLTH

Tuy nhiên, hiện nay việc phát triển năng lực cho học sinh thông qua dạy học toán còn gặp một số khó khăn:

- Về phía giáo viên: Đội ngũ giáo viên còn chịu ảnh hưởng rất nhiều của phương pháp dạy học truyền thống, một số giáo viên còn mơ hồ, lúng túng trong việc áp dụng những PPDH hiện đại để phát triển NL học sinh Một

số giáo viên chưa thực đầu tư cho các tiết dạy theo hướng phát triển NL học sinh theo đúng nghĩa và chưa chọn lọc được mức độ và lượng kiến thức phù hợp với NL của học sinh

- Về phía học sinh: Hiện nay, học sinh có nhiều kênh thông tin đa dạng, phong phú với các loại sách giải bài tập có sẵn Điều này dẫn đến học sinh ỷ lại, lười tư duy suy nghĩ Học sinh chưa thực sự muốn tự chiếm lĩnh tri thức hạn chế Mặt khác, SGK còn nhiều phần kiến thức được trình bày nặng, thực

sự đòi hỏi cao ở học sinh

Do đó, giáo viên cần quan tâm nghiên cứu các biện pháp DH theo hướng phát triển NL nói chung, NLTDVLLTH nói riêng, giúp học sinh khắc phục những vấn đề nêu trên

Các hoạt động DH môn Toán không chỉ đơn thuần trang bị cho học sinh những kiến thức và kỹ năng của môn học mà hướng tới, rèn luyện và phát triển các hoạt động trí tuệ cơ bản như: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa,…Đây là một số thành tố cơ bản của việc phát triển NLTDVLLTH Hơn thế nữa, việc giáo viên đưa các hoạt động toán học theo hướng phát triển NL giúp học sinh tiếp cận bài học một cách tự nhiên, chủ động, tạo cơ hội cho học sinh thể hiện bản thân, hình thành thái độ học tập tích cực, chủ động và yêu thích môn học trong quá trình học toán nói chung

và học hình học nói riêng Từ đó góp phần nâng cao chất lượng dạy và học đáp ứng như cầu DH hiện nay

Từ lí do kể trên, tôi chọn vấn đề “Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh Trung học phổ thông trong dạy học chủ đề thể tích” để làm đề tài nghiên cứu luận văn

2 Tổng quan vấn đề nghiên cứu

Đã có nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu NL nói chung, NLTDVLLTH nói riêng của học sinh THPT và các biện pháp hình thành và phát triển NL đó cho học sinh trong quá trình DH

Chương trình PISA – là chương trình đánh giá học sinh quốc tế (The Programme for International Student Asessment) được xây dựng bởi tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế (OECD), đã chỉ ra các NL mà học sinh 15 tuổi cần đạt được là: nhận biết ý nghĩa, vai trò của kiến thức toán học trong cuộc sống; vận dụng và phát triển tư duy toán học để giải quyết các vấn đề thực tiễn, đáp ứng nhu cầu đời sống hiện tại và tương lai một cách linh hoạt; phân tích, suy luận, lập luận, khái quát hóa, trao đổi thông tin hiệu quả thông qua việc đặt ra, hình thành và giải quyết vấn đề toán học trong các tình huống, hoàn cảnh khác nhau Mặt khác, PISA còn chú ý đến nội dung kiến thức mà học sinh tiếp thu được và chú trọng đánh giá những NL, quá trình hình thành

các kỹ năng (processes skills) cho học sinh Theo [10], điều PISA muốn nhấn

mạnh đó là: “ Kiến thức toán học được chọn lọc, vận dụng và phát triển như thế nào để tăng cường khả năng phân tích, suy luận, lập luận, khái quát hóa và phát hiện được những tri thức toán học tiềm ẩn bên trong các tình huống, các

sự kiện” Các NL (literacy) của học sinh mà PISA đề cập đến là: NL đọc hiểu;

NL toán học; NL khoa học; NL giải quyết vấn đề; NL tài chính; NL sáng tạo;

phần NL này không tách rời nhau, mà theo những tổ hợp NL nhất định Vì vậy, tác giả muốn thảo luận và trả lời hai câu hỏi: “NL cần được tập trung phát triển trong giáo dục toán học nên được mô tả như thế nào?” và “PPDH như thế nào cho phù hợp với chương trình toán học tập trung vào phát triển NL?”

- Tác giả Lê Văn Cường[3], cho rằng bồi dưỡng cho học sinh NL dự đoán trong DH môn toán là hết sức cần thiết, nó giúp học sinh vượt qua khó khăn, tháo gỡ bế tắc trong việc tìm lời giải cho bài toán Vì trong quá trình mò mẫm dự đoán kết quả của bài toán, học sinh sẽ thực hiện rất nhiều hoạt động

và các TTTD từ đó sẽ dần hình thành và phát triển các NL dự đoán nói riêng

và phát triển NL tư duy toán học nói chung

- Tác giả Ngô Thị Tú Quyên [27], cho rằng tích hợp liên môn toán – tin vừa ôn tập hệ thống kiến thức Hình học lớp 10 vừa rèn luyện, phát triển tư duy thuật giải trong quá trình DH môn Tin học cho học sinh THPT, như thế

sẽ giúp đạt mục tiêu kép trong DH

- Tác giả Hồ Thị Mai Phương[26], cho rằng: “Môn toán có nhiều tiềm năng và là môi trường tốt nhất để phát triển tư duy người học” Do vậy, trong quá trình DH toán, việc giải bài tập dưới sự hướng dẫn của giáo viên, sẽ giúp học sinh biết cách tìm tòi lời giải, biết tư duy để giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau, khai thác bài toán theo nhiều hướng, nhìn bài toán dưới nhiều góc

độ Chính những hoạt động này sẽ thúc đẩy việc rèn luyện và phát triển tư duy

ở học sinh

Tuy nhiên, chưa tác giả nào nghiên cứu một cách có hệ thống, đầy đủ về việc DH chủ đề thể tích cho học sinh lớp 12 theo hướng phát triển NLTDVLLTH

3 Mục tiêu nghiên cứu

- Những vấn đề gồm cả lý luận và thực tiễn về NLTDVLLTH

- Khảo sát vấn đề phát triển NLTDVLLTH của học sinh lớp 12 hiện nay trong dạy học chủ đề thể tích ở một số trường THPT

- Tìm hiểu khả năng dạy hoc chủ đề thể tích ở trường THPT theo hướng phát triển NLTDVLLTH cho học sinh

- Đề xuất các biện pháp cần thiết để phát triển NLTDVLLTH cho học sinh THPT thông qua DH chủ đề thể tích

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

4.1 Đối tượng nghiên cứu

5 Phương pháp nghiên cứu

a) Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Thu thập các thông tin mang tính lý luận từ những nghiên cứu có liên

quan đến nội dung nghiên cứu của đề tài

b) Phương pháp nghiên cứu thực tiễn

- Dự giờ, phỏng vấn trực tiếp, quan sát, sử dụng phiếu hỏi đối với một

số giáo viên

- Sử dụng phiếu hỏi để khảo sát NLTDVLLTH của học sinh

- Dạy TN một số tiết học theo hướng phát triển NLTDVLLTH cho học sinh

c) Phương pháp thống kê toán học

- Thu thập, xử lí số liệu thu được bằng công cụ thống kê toán học, sử dụng các PP thống kê toán học để đánh giá định tính và đánh giá định lượng

6 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, phụ lục, kết luận, tài liệu tham khảo, đề tài luận văn gồm có 3 chương:

Chương 1 Cơ sở lý luận

Chương 2 Một số biện pháp rèn luyện các thao tác tư duy nhằm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học của học sinh trung học phổ thông trong dạy học chủ đề thể tích

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Tư duy

1.1.1 Khái niệm tư duy

Theo [30], tư duy là quá trình tâm lý thuộc nhận thức lý tính, là một mức độ nhận thức mới về chất so với cảm giác và tri giác Nó phản ánh những thuộc tính bản chất, bên trong, những mối liên hệ có tính quy luật của những

sự vật, hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó chưa ai biết

Tác giả [34], lại cho rằng: “Tư duy là một quá trình phản ánh tâm lý liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ Là quá trình tìm tòi sáng tạo cái chính yếu, phản ánh một cách từng phần hay khái quát thực tế trong khi phân tích và tổng hợp nó”

Trong luận văn này, chúng tôi thống nhất với quan điểm của Nguyễn Quang Uẩn [31] thì: “ Tư duy là quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ có tính quy luật của sự vật hiện tượng bằng những hình thức như cảm giác, tri giác, biểu tượng, phán đoán, suy luận”

Như vậy, nhờ có tư duy giúp con người mới hiểu rõ và nắm được bản chất và quy luật vận động của tự nhiên, xã hội và con người; Cũng nhờ có tư duy mà con người mới cải tạo được thông tin nhận thức cảm tính làm cho chúng có ý nghĩa hơn trong cuộc sống Tư duy dựa trên những cái đã biết để

đề ra cách thức, giải pháp giải quyết những cái tương tự, do đó tiết kiệm được thời gian và công sức

1.1.2 Đặc điểm của tư duy

a) Tính có vấn đề của tư duy

- Tình huống “có vấn đề” là tình huống chứa đựng một mục đích, một vấn đề mà bằng vốn kiến thức cũ, những PP hành động cũ đã có, con người không đủ để giải quyết “Tình huống có vấn đề” phải được chủ thể tư duy nhận thức đầy đủ và muốn GQVĐ mới đó con người phải tìm cách thức giải quyết mới, chuyển thành nhiệm vụ tư duy

- Như vậy, “Tình huống có vấn đề” phải vừa sức, tức là không được

quá dễ hay quá khó đối với chủ thể nhận thức

Chẳng hạn, sau khi dạy xong bài tính thể tích khối chóp có cạnh bên

SA vuông góc với đáy, giáo viên yêu cầu học sinh tính thể tích của hình chóp sau:

Ví dụ 1.1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh

a, mặt bên SAB là một tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính thể tích của khối chóp S.ABCD

Giải:

- Bài tập này là tình huống có vấn đề với học sinh tại thời điểm đó, bởi các em sẽ không biết cách tìm đường cao của khối chóp Học sinh phải suy nghĩ để tìm được đường cao, rồi mới tính được thể tích Tuy nhiên, trong tình huống này, có em có thể kẻ được đường cao SH nhưng không xác định được

vị trí của H Sau khi giáo viên giúp học sinh củng cố kiến thức về hai mặt phẳng vuông góc (SAB)(ABCD) thì học sinh đã xác định được chiều cao

SH của chóp Khi đó, sẽ đưa được về bài toán đã biết tính thể tích

b) Tính trừu tượng và khái quát của tư duy

- Tính trừu tượng của tư duy: là khả năng tách khỏi đối tượng những thuộc tính, những dấu hiệu cụ thể, cá biệt không quan trọng đối với nhiệm vụ

và chỉ để lại những thuộc tính bản chất, quy luật quan trọng, liên quan tới quá trình tư duy

- Tính khái quát của tư duy: Tư duy có khả năng cho phép con người bao quát chung những thuộc tính bản chất, quy luật, đặc điểm,…của một loại

a a

H

D

C B

(đvtt)Hình 1.1

đối tượng Từ đó mà khái quát được những sự vật, hiện tượng riêng lẻ thành một nhóm, một loại, một lĩnh vực có phạm trù nhất định

Ví dụ 1.2: Công thức tính thể tích khối chóp trong không gian là:

nào, các cạnh có độ dài ra sao mà chỉ giữ lại hai yếu tố bản chất nhất đó là

diện tích đa giác đáy và độ dài đường cao

c) Tính gián tiếp của tư duy

- Con người sử dụng ngôn ngữ để biểu đạt các kết quả nhận thức (khái niệm, công thức, quy tắc, quy luật,…)và kinh nghiệm của bản thân vào quá trình tư duy (so sánh, phân tích, tổng hợp, tương tự, khái quát…) vào quá trình nhận thức Thể hiện ở việc trong quá trình tư duy con người cũng sử dụng ngôn ngữ, những công cụ, phương tiện đi kèm như thước, máy móc,…để nhận thức những đối tượng khi không thể quan sát trực tiếp được

d) Tư duy gắn liền với ngôn ngữ

- Quá trình con người tư duy luôn gắn liền với ngôn ngữ và chúng thống nhất với nhau không thể tách rời

- Ngôn ngữ có vai trò vô cùng quan trọng trong quá trình chủ thể thực hiện các TTTD, vì:

+ Có ngôn ngữ ở trong đầu thì chủ thể mới có ý thức và nhận thức được các tình huống có vấn đề

+ Trong quá trình tư duy, con người cần sử dụng ngôn ngữ để tiến hành các thao tác: Phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa, ngôn ngữ tham đã gia vào quá trình tư duy và nó còn được biểu đạt kết quả của quá trình tư duy Sản phẩm mà tư duy mang lại là những khái niệm, quy luật và ngôn ngữ sẽ làm khách quan hóa, vật chất hóa nó ra khỏi bộ não để nhận thức

nó bằng tìm tòi những từ, những mệnh đề biểu đạt nó

Nói tóm lại, tư duy và ngôn ngữ có mối liên hệ chặt chẽ với nhau và ngôn ngữ chỉ là phương tiện để tư duy

e) Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính

Thường khi bắt đầu quá trình tư duy bao giờ cũng dựa trên nhận thức cảm tính mà nảy sinh “tình huống có vấn đề” Thành phần cảm tính của tư duy(cảm giác, tri giác, hình tượng trực quan, ) có khái quát và trừu tượng đến đâu thì bên trong của tư duy vẫn bao hàm những thành phần cảm tính trên Nhà tâm lý học X L Rubinstein đã viết: "Nội dung cảm tính bao giờ cũng có trong tư duy trừu tượng, giống như làm điểm tựa cho tư duy"

Tư duy là một quá trình tâm lý, tức là tư duy có nảy sinh, diễn biến và kết thúc nên trong học tập toán học, để tìm hiểu nội dung hay chứng minh một bài toán trước hết dựa vào nhận thức cảm tính, về yêu cầu hay giả thiết đi đến nhận xét, kiểm tra bằng những hoạt động tư duy rồi đi đến kết quả

1.2 Các giai đoạn và các thao tác tư duy cơ bản

1.2.1 Các giai đoạn của tư duy

Theo [8], quá trình tư duy gồm các giai đoạn sau:

- Giai đoạn nhận thức vấn đề: Khi gặp tình huống hay hoàn cảnh có

vấn đề, chủ thể cần nhận thức nó và đặt ra vấn đề tư duy cần giải quyết, để đề

ra nhiệm vụ của quá trình tư duy

- Giai đoạn xuất hiện các liên tưởng: Giai đoạn này, chủ thể cần huy

động vốn tri thức, kinh nghiệm sẵn có để làm xuất hiện những mối liên tưởng xung quanh vấn đề cần giải quyết

- Giai đoạn sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết: Giai đoạn

này, chủ thể tư duy lược bỏ những liên tưởng không cần thiết, đưa ra những phương án giải quyết tốt nhất có thể có đối với nhiệm vụ tư duy

- Giai đoạn kiểm tra giả thuyết: Việc kiểm tra sẽ giúp chủ thể khẳng

định, phủ định hay chính xác hóa giả thuyết Quá trình tư duy mới lại bắt đầu nếu tất cả các giả thuyết đề bị phủ định

- Giai đoạn giải quyết nhiệm vụ: Khi đã khẳng định được giả thuyết

(tức là cách giải quyết nhiệm vụ có thể có) thì vấn đề đặt ra sẽ có câu trả lời

1.2.2 Các thao tác tư duy cơ bản

Quá trình chủ thể thực hiện các TTTD nhất định, thực chất là chủ thể đang thực hiện các thao tác trí tuệ để giải quyết vấn đề đặt ra Chủ thể có tư duy hay không chính là ở chỗ họ có tiến hành các thao tác này ở trong đầu của mình hay không Do đó, các thao tác này còn gọi là những quy luật bên trong của tư duy Việc rèn luyện các TTTD cuối cùng cũng nhằm mục đích chung là phát triển tư duy cho học sinh, đó là một trong những mục tiêu chính của việc dạy học

Theo [34], tư duy được thực hiện và phát triển theo những hình thái riêng của nó như: Phân tích, tổng hợp và so sánh; trừu tượng hóa, khái quát hóa và cụ thể hóa; quy nạp, diễn dịch và tương tự; phát hiện những mối liên

hệ và quan hệ; hình thành những khái niệm, phân loại và hệ thống hóa chúng

Theo [16], các TTTD gồm: Phân tích, tương tự hóa, khái quát hóa, tổng hợp, so sánh, đặc biệt hóa Tác giả Nguyễn Bá Kim[18] còn gọi các TTTD là:

“Các hoạt động trí tuệ cơ bản, bao gồm: Phân tích, so sánh, tổng hợp, tương

tự hóa, trừu tượng hóa khái quát hóa, đặc biệt hóa”

Từ các ý kiến nêu trên, có thể hiểu rằng các TTTD là những hành động

tư duy rút gọn, có thể rèn luyện ở một mức độ nhất định Việc rèn luyện các TTTD cho học sinh chính là việc rèn luyện các hành động tư duy Trong luận văn này, chỉ tập chung nghiên cứu các TTTD cơ bản sau: Phân tích, tổng hợp,

so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa

a) Phân tích - tổng hợp

* Phân tích:

Để nhận thức các sự vật hiện tượng của thế giới, đòi hỏi chủ thể phải phân tích các dấu hiệu, bản chất, thuộc tính của chúng Nếu chủ thể phân tích càng cụ thể và chi tiết bao nhiêu thì càng nhận thức sâu sắc bấy nhiêu Phân tích là làm việc theo một định hướng có mục đích nhất định Từ đó, chủ thể chắc chắn sẽ xác định được phương hướng và nội dung cần nghiên cứu

Chẳng hạn, để chứng minh một định lý, ta tiến hành phân tích cấu trúc logic của định lý, giả thiết, kết luận, các PP chứng minh một định lý

Đã có rất nhiều định nghĩa khác nhau về phân tích như: “Phân tích là quá trình dùng trí óc để tách các đối tượng nhận thức thành những bộ phận, những thuộc tính, những mối liên hệ và quan hệ giữa chúng để nhận thức đối tượng sâu sắc hơn” “Phân tích là tách một hệ thống thành những vật, tách một vật thành những bộ phận nhỏ hơn” “Phân tích là một quá trình tách các

bộ phận với mục đích là phân ra được các dấu hiệu, bản chất và thuộc tính của chúng, cũng như các mối liên hệ và quan hệ giữa chúng theo một hướng nhất định Vì vậy, quá trình nghiên cứu sẽ sâu sắc và đầy đủ hơn Nhờ đó mà chủ thể mới nhận thức được trọn vẹn bản chất của các sự vật hiện tượng”

Có thể nói, phân tích là quá trình dùng trí óc tách cái toàn thể ra từng bộ phận theo các dấu hiệu và thuộc tính của chúng nhằm mục đích nghiên cứu chúng đầy đủ và sâu sắc hơn Có thể chia thành hai hình thức phân tích như sau:

- Hình thức thứ nhất: Tách cái toàn thể thành các bộ phận theo các tiêu

chí nhất định Chẳng hạn như: Tách một định lý thành hai phần là giả thiết và kết luận; Phương trình đường tròn chia thành hai bộ phận tâm và bán kính, Còn tách như thế nào tùy vào các đặc điểm, yêu cầu, mục đích của bài toán

- Hình thức phân tích thứ hai: Tách ra một thành phần, tập trung

nghiên cứu vào thành phần đó, thu thập và xử lí thông tin từ kết quả của các thành phần trên

* Tổng hợp:

Các nhà khoa học, triết học đã đưa ra nhiều định nghĩa khác nhau về tổng hợp:“Tổng hợp là quá trình dùng trí óc để hợp nhất các bộ phận, những thuộc tính, những thành phần đã được phân tách nhờ phân tích thành một chỉnh thể” “Tổng hợp là kết hợp các thành phần riêng lẻ lại, khái quát các dấu hiệu, tạo lập nên một cái hoàn chỉnh” Hay “Tổng hợp là nhìn bao quát

lên một chỉnh thể gồm nhiều bộ phận, nhiều bức tranh được mô tả toàn cảnh của chỉnh thể và của chỉnh thể với thế giới xung quanh”

Từ các cách hiểu trên, chúng tôi đồng ý với quan niệm: “Tổng hợp là

quá trình dùng trí óc liên kết những bộ phận, những thuộc tính, những thành phần đã được tách nhờ phân tích thành một chỉnh thể theo một mục đích xác định nhằm đem lại một kết quả mới, một sự hiểu biết mới nào đó về hiện thực” Ta cũng có thể chia tổng hợp thành hai hình thức như sau:

- Hình thức tổng hợp thứ nhất: Đó là kết hợp các đối tượng vừa phân

tích được, chẳng hạn như: kết hợp giả thiếu và kết luận ta được khái niệm định lý

- Hình thức tổng hợp thứ hai: là kết hợp một thông tin vừa thu thập

được từ một bộ phận vừa được tách ra nghiên cứu với cái toàn thể Chẳng hạn như: Từ việc đưa ra thông tin , kết luận về một vế của bất đẳng thức ta có thể đưa ra kết luận, thông tin, đánh giá vế còn lại của bất đẳng thức ấy

- Ngoài ra, còn có hình thức tổng hợp khác đó là: Nhìn nhận sự vật

hiện tượng trong sự toàn vẹn của nó là một cách bao quát để định hướng cho

sự phân tích

Ví dụ 1.3: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC, ΔABC có

AB a , AC = 2a, BAC 600, góc giữa cạnh SB và mặt phẳng đáy (ABC)

bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC

Phân tích bài toán: Để tính thể tích khối chóp S.ABC ta cần tính chiều

cao hạ từ S xuống đáy ABC của hình chóp và diện tích đáy ABC Đầu tiên ta cần xác định chiều cao của hình chóp Theo đề bài, hình chóp S.ABC có

SA SB SC nên chân đường cao hình chóp S.ABC trùng với tâm đường

tròn ngoại tiếp ABC (1) Hơn nữa, ΔABC có AB a , AC = 2a, BAC 600

theo định lý Côsin suy ra 0

90

B nên tâm đường tròn ngoại tiếp ABC là

trung điểm H của cạnh AB (2) Từ (1) và (2) suy ra SH là chiều cao của hình chóp S.ABC Và có SHB 600 Để tính SH ta dựa vào SBH vuông tại H có

60

SHB , cần biết thêm độ dài cạnh SB hoặc BH của SBH Dễ thấy cạnh

2

AC

a nên

tích ABC vuông tại B được tính theo công thức 1

2

ABC

S AB BC , mà AB = a,

BC tính được theo định lý Pytago

Tổng hợp các phân tích ở trên, lời giải cụ thể như sau:

Theo bài ra, hình chóp S.ABC có SA SB SC nên chân đường cao

hình chóp S.ABC trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp ABC (1)

Lại có: ABC có AB a, BAC 600, AC = 2a theo định lý Cosin

có BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC.cos BAC = 3a2 hay BC a 3

Ta có AB2 + BC2 = AC2 nên theo định lý Pitago đảo suy ra ABC vuông

tại B nên tâm đường tròn ngoại tiếp ABC là trung điểm H của cạnh AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra SH là chiều cao của hình chóp S.ABC Và có

hệ thống hơn về các sự vật hiện tượng xung quanh Do đó, so sánh góp phần quan trọng vào hoạt động học tập lĩnh hội tri thức hay nói cách khác so sánh

là cơ sở của mọi sự hiểu biết và tư duy Vì vậy, trong DH toán việc rèn luyện TTTD so sánh là rất cần thiết, có như vậy HS mới tìm hiểu được các dấu hiệu, thuộc tính, bản chất, đặc trưng của các sự vật hiện tượng đó

Trên cơ sở định nghĩa và luận điểm vừa nêu, có thể thống nhất với

quan niệm rằng: So sánh là xác định sự giống nhau và khác nhau giữa các sự

vật và hiện tượng trong tất cả các mối quan hệ có thể có nhằm một mục đích nhận thức nào đó

Theo M.N Sácđacôp [34], [35] có hai hình thức so sánh như sau:

- So sánh liên tiếp: Là sự so sánh thể hiện ở chỗ đối tượng hoặc khái

niệm mới đang nghiên cứu được đem so sánh với những đối tượng hoặc khái niệm đã được học từ trước, theo sự giống nhau hoặc khác nhau nào đấy

- So sánh đối chứng: Là sự so sánh thể hiện ở chỗ nghiên cứu hai đối

tượng hoặc hiện tượng cùng loại xen kẽ nhau Việc áp dụng sự so sánh dưới hình thức đối chứng tạo điều kiện học tập có kết quả cùng một lúc các cặp khái niệm có nội dung liên quan với nhau

Chẳng hạn, khi DH chủ đề thể tích khối đa diện cho hai lớp 12 Một lớp

áp dụng PP dạy học tích cực, một lớp dạy theo PP không tích cực Khi kiểm

tra, ta lấy lớp không dạy theo PP tích cực làm lớp đối chứng Như vậy sẽ có

sự so sánh kết quả học tập của hai lớp 12 khi dạy học cùng một chủ đề

Bằng cách so sánh, học sinh đã hình thành được những hình tượng phong phú, trong sáng, trực quan về những điều đã học, từ đó củng cố trí nhớ của học sinh

c) Tương tự hóa

Theo G Polya[12], tương tự là sự giống nhau theo một trình tự nhất định

và trình tự đó được phản ánh ở mức độ xác định hơn, đó là bằng khái niệm

Theo Đ P Goocki [10], cho rằng: "Tương tự là phép suy luận trong đó

từ chỗ hai đối tượng giống nhau ở một số dấu hiệu, từ đó, có thể suy ra các đối

tượng ấy còn giống nhau ở các dấu hiệu khác” Nếu đối tượng A có dấu hiệu là a a a a1, 2, 3, 4 và đối tượng B cũng có các dấu hiệu a a a1, 2, 3 thì ta rút ra kết luận giả định rằng đối tượng B cũng có tính chất a4 Có thể vẽ sơ đồ của phép suy luận tương tự như sau: A có tính chất a a a a1, 2, 3, 4 ; B có tính chất

1 , 2 , 3

a a a ; Kết luận B cũng có tính chất a4"

Trên cơ sở các định nghĩa và các luận điểm vừa nêu, có thể thống nhất

rằng Tương tự hóa là quá trình dùng trí óc để kết luận về sự giống nhau

của các đối tượng ở một số dấu hiệu, thuộc tính khác từ sự giống nhau của các đối tượng ở một số dấu hiệu, thuộc tính nào đó nhằm mục đích tạo ra một kết quả mới, vượt qua một trở ngại

Ví dụ 1.4: Khi dạy cho học sinh công thức tính thể tích khối nón

d) Trừu tượng hóa – Khái quát hóa

- Theo Nguyễn Bá Kim[18,Tr.33]: “Trừu tượng hóa là tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất Khái quát hóa là chuyển

từ một tập hợp các đối tượng thành một tập lớn hơn chứa tập hợp các đối tượng ban đầu, bằng cách nêu ra được một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp ban đầu Có thể thấy ngay rằng, trừu tượng hóa là điều kiện cần của khái quát hóa”

Theo [6, tr 23]: "Khái quát hóa là dùng trí óc tách ra cái chung trong

các đối tượng, sự kiện hoặc hiện tượng Muốn khái quát hóa, thường phải so sánh nhiều đối tượng, hiện tượng, sự kiện với nhau" "Quá trình thực hiện thao tác khái quát hóa, ta nên phân chia cái chung trong các đối tượng nghiên

cứu, chỉ khảo sát cái chung này, bỏ qua và không cần phải để ý tới một vài cái riêng đó Chẳng hạn, khi nghiên cứu bề ngoài của các vật, ta bỏ qua một bên màu sắc, chất liệu, kích thước, công dụng, …của các vật đó Đó là trừu tượng hóa" [6, tr 27].

Trên cơ sở các định nghĩa vừa nêu, có thể cho rằng: “ Trừu tượng

hóa là quá trình dùng trí óc tách (trừu xuất) những đặc điểm bản chất ra khỏi đối tượng, đưa những đặc điểm đó vào quá trình tư duy nhằm giải quyết vấn đề Khái quát hóa quá trình dùng trí óc chuyển một tập đối tượng vào một tập đối tượng lớn hơn chứa tập ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm bản chất của các phần từ trong tập hợp ban đầu”

e) Đặc biệt hóa

Đặc biệt hóa là chuyển từ khái niệm có ngoại diên rộng sang khái

niệm có ngoại diên hẹp (còn gọi là giới hạn khái niệm).[7, Tr.73]

Đặc biệt hóa có thể hiểu là việc nghiên cứu chuyển một tập hợp

đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập nhỏ hơn chứa trong tập hợp đó.[7, Tr.19]

Các tác giả cho rằng: Nếu bằng đặc biệt hóa ta tìm được một mệnh đề đúng thì càng thêm tin tưởng vào giả thuyết là đúng, còn nếu qua đặc biệt hóa

ta nhận được mệnh đề sai thì ta có thể hoàn toàn bác bỏ dự đoán

Có thể quan niệm về đặc biệt hóa như sau: Đặc biệt hóa là quá trình

dùng trí óc chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho nhằm mục đích kiểm nghiệm lại tính đúng đắn của khái quát hóa, giải quyết một vấn đề

Ví dụ 1.5a: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC biết chiều cao SO = h

Tính thể tích khối chóp S.ABC biết cạnh SO hợp với mặt bên góc 

Dễ thấy, đó là OSH Theo bài ra, ta có: OSH = 

Ví dụ 1.5b: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, biết chiều cao SO = h

Tính thể tích khối chóp S.ABC biết rằng SO hợp với mặt bên một góc 450

Dễ dàng tính được thể tích của khối chóp S.ABC là V S.ABC = 3.h3

1.3 Năng lực tư duy và lập luận toán học

1.3.1 Năng lực

Tác giả Trần Trọng Thủy và Nguyễn Quang Uẩn (1998)[41]: “Năng lực

là tổng hợp những thuộc tính độc đáo của cá nhân phù hợp với những yêu cầu đặc trưng của một hoạt động nhất định, nhằm đảm bảo việc hoàn thành có kết quả tốt trong lĩnh vực hoạt động ấy.”

Lời giải:

Gọi H là trung điểm của BC Ta có AH  BC

và SO  BC nên BC  (SAH) Mà BC 

vuông góc của SO trên mặt phẳng (SBC) là

SH hay góc tạo bởi SO và mặt bên (SBC) là

góc giữa hai đường thẳng SO và SH

Hình 1.2

Theo Đặng Thành Hưng [16], NL là thuộc tính cá nhân cho phép cá nhân

đó thực hiện hành động hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong các điều kiện cụ thể”

Thông thường, một người được gọi là có NL nếu người đó nắm vững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo của một loại hoạt động nào đó và đạt được kết quả tốt hơn, cao hơn so với trình độ trung bình của những người khác cùng tiến hành hoạt động đó trong những điều kiện và hoàn cảnh tương đương

Người ta thường phân biệt ba trình độ NL:

- Năng lực là tổng hòa các kỹ năng, kỹ xảo

- Tài năng là tập hợp tất cả các NL của chủ thể, các NL này tạo thành nền móng hoạt động cho kết quả như mong muốn, các kết quả này vẫn nằm trong những thành tựu của xã hội loài người đã đạt được

- Thiên tài là tập hợp các NL, nhờ có các NL này mà họ có thể đạt được những thành tựu sáng tạo mà có ý nghĩa lịch sử và thậm chí là thay đổi cả thế giới Nói đến NL là phải nói tới NL trong một loại hoạt động nhất định của con người NL chỉ nảy sinh và quan sát được trong hoạt động giải quyết yêu cầu đặt

ra

Trong luận văn này, tôi đồng nhất với khái niệm của Nguyễn Quang Uẩn

là: “NL là tổng hợp các đặc điểm, thuộc tính tâm lí của cá nhân phù hợp với

yêu cầu đặc trưng của một hoạt động nhất định đảm bảo cho hoạt động đó đạt hiệu quả cao”

1.3.2 Các thành tố của năng lực tư duy và lập luận toán học

Theo [1], NLTDVLLTH được thể hiê ̣n qua các thành tố cơ bản sau:

Theo [1], TTTD là các hoạt động trí tuệ cơ bản, bao gồm: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, đặc biệt hóa, khái quát hóa, trừu tượng hóa

Khi học sinh thực hiện tốt các TTTD thì trí tuệ phát triển, kỹ năng GQVĐ toán học phát triển Từ đó NLTDVLLTH phát triển

Theo[1], trong giai đoạn THPT, mức độ cần đạt được của NLTDVLLTH là: Thực hiện được tương đối thành thạo các TTTD, đặc biệt phát hiện được sự tương đồng, sự khác biệt trong những tình huống tương đối phức tạp và lí giải được kết quả của việc khảo sát

Trong quá trình học tập môn Toán, thường xuyên diễn ra các TTTD trong mỗi cá nhân học sinh Chẳng ha ̣n, TTTD các cặp: phân tích – tổng hợp, khái quát hó a – đă ̣c biê ̣t hóa, trừu tượng hóa – cu ̣ thể hóa, ; các hoạt động tư duy phức hợp: Quy nạp – suy diễn, chứng minh trực tiếp – chứng minh gián tiếp, ; các con đường xây dựng hệ thống khái niệm: tích hợp – phân lập; các hoạt động nhận dạng và thể hiện kiến thức; giải bài toán có nội dung thực tiễn

và xây dựng các bài toán gần với thực tiễn dựa trên kiến thức toán; chứng minh điều kiện cần, điều kiện đủ trong các bài toán có dạng chứng minh cần và đủ, Điều quan trọng là nếu học sinh nhận thức và khai thác được mối quan hệ nói trên thì sẽ tạo ra những thuận lợi trong nhận thức và GQVĐ khi học tập môn Toán

Chẳng hạn, thao tác phân tích thường được sử dụng để tìm hiểu đề bài, nhận diện bài toán thuộc dạng nào, phân tích mối liên hệ, thuật ngữ, câu hỏi, yêu cầu, tình huống của bài toán,…; sau đó dùng suy luận, lập luận tổng hợp các yếu

tố, điều kiện vừa phân tích trong bài toán để đưa ra căn cứ, lí lẽ, dẫn chứng phù hợp, để đi đến điều kiện mới, kết luận mới

Giáo viên cần có một số lưu ý khi rèn luyện cho học sinh các TTTD này: + Làm cho học sinh có ý thức sử dụng các suy đoán như xét tương tự, khái quát hóa, quy lạ về quen,…

+ Những suy đoán cần táo bạo, có căn cứ dựa trên các quy tắc, kinh nghiệm nhất định chứ không phải đoán mò, nghĩ liều

+ Luyện tập cho học sinh kỹ năng suy nghĩ về những đối đối tượng cần nghiên cứu, chúng có quan hệ trong không gian như thế nào Khi làm việc với chúng thì sử dụng các phương tiện, công cụ gì Từ đó, có thể hình thành, sáng

tạo ra các đặc điểm, bản chất của đối tượng chưa biết hoặc không có trong thực

tế

Ví dụ 1.6: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a Mặt

bên có góc ở đáy là  Gọi O là tâm của đáy Mặt phẳng qua SB vuông góc với

AC cắt AC tại M, D là trung điểm của SA Tính thể tích khói chóp D.SBM

GV có thể hướng dẫn HS phân tích bài toán theo hệ thống câu hỏi sau:

- Bài toán yêu cầu điều gì? (Tính thể tích khối chóp D.SBM)

- Vậy ta có thể tính diện tích tam giác SBM và chiều cao của chóp D.SBM như thế nào?( HS có thể đưa ra cách tính như sau: dựa vào SAB cân,

SAB  ta tính được AB, AN, AO rồi suy ra SO; Dựng DH // AC(HSM) h DH

- Đề bài đã cho những giải thiết nào ? (hình chóp đều S.ABC, mặt phẳng qua SB vuông góc với AC nên DH DHSM và SO (ABC)

- Từ những giả thiết đó, ta kết luận được điều gì? (tính được DH, diện tích SMB)

- Ta cần nhớ thêm kiến thức nào về hệ thức lượng để tính được diện tích đáy SBM và chiều cao DH?

Giáo viên chốt lại ý tưởng bài toán : Để tính thể tích khối chóp D.SBM

ta tính diện tích đáy SBM và chiều cao DH rồi lắp vào công thức tính thể tích khối chóp

Sau đó, giáo viên hướng dẫn học sinh giải theo hướng tổng hợp như sau:

S

Hình 1.3

Theo gt cho SO (ABC) AC (SBM)

lí trước khi kết luận

Theo [5], trong giai đoạn THPT, mức độ cần đạt được của NLTDVLLTH thể hiện ở khả năng sử dụng được các PP suy luận, quy nạp và suy diễn để nhìn ra những cách thức khác nhau trong việc GQVĐ

Học sinh không chỉ biết giải bài toán mà còn nắm được con đường tìm

ra lời giải; tìm được lí do để có cách giải; biết định hướng tìm tòi lời giải; độc lập suy nghĩ và suy nghĩ có hệ thống để tìm cách GQVĐ Đặc biệt, học sinh còn biết sử dụng chính xác các quy tắc suy luận: tam đoạn luận, suy luận diễn dịch, suy luận quy nạp, chứng minh trong giải toán

Ví dụ 1.7: Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA

vuông góc với đáy và ACB60o , BC = a, SA = a 3 Gọi M là trung điểm

SB Tính thể tích khối chóp M.ABC

- HS nắm được con đường tìm ra lời giải

Để tính thể tích khối chóp M.ABC ta cần tính chiều cao và diện tích đáy

của hình chóp

đi qua M và song song với SA cắt AB tại H thì MH là đường cao của hình chóp S.ABC Mặt khác, xét SAB có M là trung điểm của AB, MH SA// nên

a

MH SA ; từ đó ta tính được thể tích khối chóp S.ABC

- HS biết sử dung các quy tắc suy luận để lập luận hợp lí trước khi đi

đến kết luận bài toán

Cụ thể như sau: Gọi H là trung điểm của AB

diện tích ABC là S ABC =

Hình 1.4

- Vì M là trung điểm của AB nên ta biết tỉ lệ SM

SB , sử dụng công thức tỉ

lệ thể tích ta tính được thể tích khối chóp S.AMC theo thể tích khối chóp

S.ABC; từ đó suy ra thể tích khối chóp M.ABC

Lời giải như sau:

Theo công thức tỉ lệ thể tích ta có .

.

12

4

M ABC

a V

giải quyết vấn đề về phương diện toán học

Trong quá trình học môn Toán, học sinh có thể đào sâu lời giải, tìm cách

làm tối ưu cho một bài toán Áp dụng toán học vào GQVĐ thực tiễn hay liên

môn một cách phù hợp và hơn thế là điều chỉnh cách giải trong trường hợp

cần thiết

Học sinh có thể nêu và trả lời được các câu hỏi khi lập luận, GQVĐ Khả năng giải thích được, chứng minh được, điều chỉnh được giải pháp thực hiện về phương diện toán học

Ví dụ 1.8:

Một bình chứa nước sinh hoạt gia đình được công ty

Tân Á thiết kế gồm một hình trụ và hai nửa hình cầu

với các kích thước cho trên hình bên, kích thước

chiếu cao AA'  2,83m; bán kính mặt cầu là x Gọi

'

OO h là chiều cao của phần hình trụ Để bình

chứa được nhiều nước nhất thì tổng x h  bằng

bao nhiêu?

1.3.3 Đánh giá mức độ của năng lực tư duy và lập luận toán học

Theo [5], mức độ cần đạt được của NLTDVLLTH của học sinh THPT là: Học sinh nêu và trả lời được các câu hỏi lập luận, GQVĐ về phương diện toán học Giải thích, chứng minh, điều chỉnh được các giải pháp thực hiện về phương diện toán học

Tương ứng với thang cấp độ tư duy của Bloom thì một số dạng bài tập

ở từng mức độ cần đưa ra cho học sinh là:

- Biết: Nhắc lại các khái niệm, kiến thức, thông tin đã học một

cách máy móc

- Hiểu: Không đơn thuần là nhắc lại cái gì đó mà yêu cầu HS cần phải

có khả năng diễn đạt khái niệm theo ý của họ

- Vận dụng: Đây là bước đầu của mức tư duy sáng tạo, tức là vận

dụng những gì đã học vào đời sống hoặc một tình huống mới

- Phân tích: Mức độ này đòi hỏi HS có khả năng phân nhỏ các đối

tượng thành các hợp phần cấu thành để hiểu rõ hơn cấu trúc của nó

- Đánh giá: HS phải có khả năng giải thích tại sao sử dụng những lập

luận giá trị để bảo vệ quan điểm

1.4 Vai trò của các thao tác tư duy trong phát triển NLTDVLLTH

Theo sự phân tích trên, các TTTD là thành tố quan trọng của NLTDVLLTH nên nếu trong qúa trình dạy học giáo viên quan tâm rèn luyện các TTTD cho học sinh thì NLTDVLLTH sẽ hình thành và phát triển

1.5 Nội dung chủ đề thể tích trong Chương trình THPT

a) Tri thức khoa học

Theo [42], Đầu thế thứ IV trước công nguyên, nhà triết học duy vật đầu tiên Democritos (Đề-mô-cơ-rít, 460-370TCN) xuất phát từ quan niệm cấu tạo nguyên tử của vật chất, đã tìm ra cách tính thể tích mà sau này xuất phát điểm cho Archimedes (Ác-Si-mét) trong PP cực vị: Khi giải bài toán tìm diện tích,

thể tích, Archimedes đã đưa ra phương pháp: “tát cạn”- là PP dựa trên việc

phân chia nhỏ đối tượng (hình, khối), tính từng phần rồi cộng lại,… mà về sau làm cơ sở cho phép tính vi- tích phân ở thế kỉ XVI- XVII

Sau đó Kepler - Nhà bác học đã phát minh ra định luật chuyển động

của các hành tinh (1615) đã giải quyết bài toán tính thể tích thùng rượu vang

bằng cách chia nhỏ rồi lấy tổng (năm 1612) Có thể xem đây là sự kế tục PP

”vét cạn” của Archimedes và là tiền thân cho PP chia nhỏ vô hạn ở phép tính

vi- tích phân

Nhà Toán học Weyl(1885-1955) xây dựng hình học Eclid dựa trên hệ tiền đề Weyl(1918) với nề là không gian vecto-Eclid, tức là một không gian vecto mà trên đó định nghĩa một tích vô hướng Ông đã tính được thể tích của một hình hộp m chiều với cơ sở là hệ vecto e e1, 2, e m dựa trên Định thức Gram:

Khi đó thể tích hình hộp m chiều có các vecto cơ sở là IA IA1, 2, ,IA m là

b) Chương trình sách giáo khoa về chủ đề thể tích

Ngoài ra, SGK còn đưa ra “Thể tích” là một chủ đề rất quan trọng trong chương trình Toán THPT vì đó là một trong các vấn đề cơ bản của Hình học Các khái niệm về thể tích rất mới và trừu tượng, cách tiếp cận của học sinh cũng khác với cách tiếp cận các khái niệm Toán học trước đây Do đó, học

sinh gặp không ít khó khăn khi tiếp cận chủ đề này Chủ đề thể tích gồm

Chương I và II, trong đó nội dung chương I nghiên cứu về khái niệm thể tích khối đa diện, khối đa diện đều và đưa ra công thức tính thể tích của một số khối đa diện quen thuộc SGK không chứng minh cho học sinh về sự tồn tại

và duy nhất của hàm thể tích Vì vậy, hai nội dung này được trình bày là định nghĩa thể tích và công thức tính thể tích các khối đa diện Mặt khác, SGK chỉ trình bày công thức tính thể tích khối hộp chữ nhật với kích thước là số nguyên dương, sau đó thừa nhận công thức tính thể tích khối lăng trụ và khối chóp bất kì Tổng quát hơn, người ta có thể tính thể tích của khối đa diện lồi bất kì bằng cách phân chia nó thành các khối chóp

Chương II, SGK đã chứng minh công thức tìm thể tích các khối tròn xoay bằng cách dùng PP tích phân, sách thừa nhận thể tích khối trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao Công thức tính thể tích khối cầu cũng được thừa nhận Khái niệm về thể tích khối trụ, khối nón, khối cầu sẽ được nghiên cứu trong phần Giải tích nên ở đây không đề cập tới

Thể hiện ở Chủ đề “Thể tích”- Hình học 12(Ban cơ bản) chứa đựng tiềm năng to lớn trong việc bồi dưỡng và phát triển tư duy logic, NLTDVLLTH cho học sinh Do đặc thù của chủ đề, số lượng bài tập chiếm

đa số trong cả hai chương I, II (chỉ riêng trong SGK với 5 nội dung của chương có tới 24 bài tập trong các ví dụ và các hoạt động), các dạng bài tập rất đa dạng và phong phú, tạo điều kiện thuận lợi cho giáo viên trong việc khai thác và xây dựng hệ thống bài tập theo hướng phát triển NLTDVLLTH cho học sinh Đặc biệt, trong hệ thống bài tập cơ bản của SGK, có rất nhiều bài tập mà ta có thể lựa chọn, sắp xếp, bổ sung để bồi dưỡng, rèn luyện các TTTD cho sinh Cụ thể: Phân tích - tổng hợp; so sánh; trừu tượng hóa – khái quát hóa Ngoài ra, các bài tập mở rộng và nâng cao về thể tích cũng rất nhiều, nó được xem như là một dạng toán khó ở bậc phổ thông Vì vậy, nếu giáo viên chuẩn bị bài giảng một cách công phu, sử dụng PP dạy học thích hợp sẽ giúp cho học sinh không chỉ tiếp cận với kiến thức mới một cách dễ dàng hơn mà còn phát triển NLTDVLLTH

Như vậy, tiềm năng của chủ đề “Thể tích”- Hình học 12(Ban cơ bản) trong việc rèn luyện các TTTD và phát triển NLTDVLLTH cho HS là rất lớn

1.6 Thực trạng dạy học chủ đề thể tích ở trường THPT theo hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh

a) Mục đích khảo sát

Mục đích của việc khảo sát thực trạng nhằm tìm hiểu những vấn đề sau:

- Nhận thức của giáo viên về vai trò của việc rèn luyện các TTTD cho học sinh;

- Nhận thức của học sinh trong việc rèn luyện các TTTD;

- Thực tế thực hiện các TTTD của học sinh trong khi học chủ đề thể tích

- Thực trạng phát triển NLTDVLLTH cho học sinh khi DH chủ đề thể tích

b) Đối tượng khảo sát

Đối tượng khảo sát là 27 giáo viên Toán và 176 HS THPT ở các trường THPT Hàng Hải, THPT Lê Chân, THPT Ngô Quyền trên địa bàn Thành phố Hải Phòng

c) Hình thức khảo sát

Khảo sát thực trạng được thực hiện theo các hình thức sau:

- Dự giờ một số tiết dạy chủ đề thể tích ở các lớp THPT

- Phỏng vấn một số học sinh Toán THPT, có đối chiếu với kinh nghiệm của bản thân qua việc trực tiếp giảng dạy ở trường phổ thông

- Sử dụng phiếu hỏi giáo viên (Phụ lục 1) và phiếu điều tra học sinh (Phụ lục 3)

d) Kết quả khảo sát

* Phân tích kết quả khảo sát học sinh

Theo kết quả điều tra, chúng tôi nhận thấy: Một số học sinh nhầm lẫn giữa dấu hiệu bản chất, dấu hiệu chung và dấu hiệu đặc trưng của các đối tượng, chưa thấy mối liên hệ giữa các khái niệm Một số học sinh chưa biết cách sử dụng khái niệm, định lí trong các tình huống Một số đã biến đổi thiếu chính xác dẫn đến kết luận sai học sinh chưa biết tách cái hệ thống thành những vật, những bộ phận riêng lẻ Học sinh còn chưa nắm rõ các bước lập luận trong chứng minh định lý, chưa thấy được mối quan hệ giữa các định

lý, hiểu định lý chưa cặn kẽ nên vận dụng định lý trong giải bài tập chưa linh hoạt Một số học sinh chưa biết phân chia trường hợp bài toán Chẳng hạn, với bài tập sau các em lúng túng vì chưa biết phân tích để tìm được tâm

và bán kính của khối cầu,…

Theo giả thiết, ΔSAC vuông tại A và ΔSBC vuông tại B có cạnh huyền chung SC nên dựa theo kiến thức cũ (đường trung tuyến trong tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền), ta gọi I là trung điểm của SC Từ đó suy ra được tâm

tròn ngoại tiếp đa giác đáy,…sẽ đưa đến bài toán trở nên phức tạp

Do đó, Giáo viên hướng dẫn học sinh giải như sau:

a 2

2a

I S

cảm tính nghĩ rằng tâm ở giữa SC sẽ cách đều các điểm A, B, C, và S rồi đến đây không biết tính SC,

AC thế nào; 14 em cứ đi tìm diện tích đáy khối đa diện (sai phương hướng); 10 em không biết làm

Với bài 2, còn có một số học sinh chưa áp dụng được ngay công thức tính tỉ số thể tích của hai khối chóp và

tỉ số thể tích khối chóp với khối lăng trụ tương ứng Điều này chứng tỏ các thao tác so sánh của học sinh còn hạn chế

Bài 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích V Gọi M là điểm thuộc

cạnh CC’ sao cho CM = 3C’M Tính thể tích khối chóp M.ABC theo V

Lời giải:

Cách 1: Thể tích của khối chóp M.ABC là: .

' ' '

1 ( ; ( )).S 3

( '; ( )).S

ABC

ABC

M ABC ABC A B C

d M ABC V

A B C ABC C ABC A B C ABC

.

1 4

Muốn khái quát hóa tốt, điều quan trọng nhất là học sinh phải biết tìm ra dấu hiệu chung và bản chất của các đối tượng riêng lẻ, phải hiểu sâu sắc kiến thức, mối liên hệ giữa giả thiết và kết luận Tuy nhiên, khi thực hiện khái quát học sinh vẫn mắc sai lầm, đó chính là không tìm được dấu hiệu bản chất, không chuyển được một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn

hơn, ngộ nhận giữa dấu hiệu chung và dấu hiệu bản chất (trừu tượng hoá sai); không tiên lượng được một số trường hợp suy biến của cái tổng quát,…

Bài 3: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có

cạnh đáy bằng 2 và cạnh bên bằng 2 3 Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Học sinh đã giải bài toán bằng cách tìm tâm và bán kính của mặt cầu và kết quả là:

I K

O

C

B A

S

Hình 1.7

27 6 8

V   (đvtt) Sau khi giải bài 3, chúng tôi yêu cầu học sinh khái quát hóa bài toán Hầu hết học sinh đã có kết quả như sau: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC

có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Nhưng chỉ có một số ít học sinh tính được chính xác thể tích của khối

b a





 (đvtt) Qua khảo sát, chúng tôi nhận thấy kỹ năng thực hiện các TTTD của học sinh trong giải toán về thể tích còn một số hạn chế Mức độ kỹ năng thực hiện các TTTD của đa số học sinh chỉ mới đạt ở cấp độ 1, một số ít ở cấp độ

2, rất ít học sinh đạt cấp độ 3 Việc này sẽ ảnh hưởng đến hiệu quả học tập của các em, dẫn đến hạn chế NL toán học của học sinh

*Phân tích kết quả khảo sát giáo viên

Chúng tôi đã trò chuyện, phỏng vấn giáo viên dạy Toán ở các trường THPT để tìm hiểu về thực trạng nhận thức và thực hiện rèn luyện các TTTD cho học sinh (hệ thống câu hỏi đã thể hiện trong phụ lục 1, bảng số liệu và kết quả xử lý số liệu được thể hiện (trong phụ lục 2) Chúng tôi có nhận xét chung như sau:

- Hầu hết giáo viên đã nắm được các TTTD cơ bản và đã nắm được NLTDVLLTH Tuy nhiên, trong quá trình giảng dạy cả khái niệm, định lí và bài tập thì mức độ quan tâm đến việc rèn luyện các TTTD đó cho học sinh còn hạn chế Có thể chỉ ra một số nguyên nhân như sau:

+ Giáo viên đã có ý thức trong việc bồi dưỡng các TTTD cho học sinh, tuy nhiên vẫn chưa nhận thức đầy đủ về tầm quan trọng, mục đích của các thao tác, chưa có một cách thức dạy học phù hợp

+ Nhiều giáo viên ra bài tập làm thêm cho học sinh phụ thuộc khá nhiều vào sách tham khảo mà không vận dụng các thao tác tương tự, khái quát hóa, Hình 1.9