Đối với học viên cao học chuyên ngành Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toáncủa Trường Đại học Hải Phòng, để phù hợp với đặc thù của học viên,chúng tôi biên soạn giáo trình "Cơ sở lý
KHÔNG GIAN XÁC SUẤT RỜI RẠC
Mô hình xác suất của phép thử có hữu hạn kết quả
Xét phép thử ngẫu nhiên với hữu hạn kết quả được liệt kê bởi:ω 1 ,ω 2 , ,ωN. Khi đó,
• ω 1 ,ω 2 , ,ωN được gọi là các biến cố sơ cấp.
• Tập hữu hạnΩ={ω 1 ,ω 2 , ,ωN}được gọi là không gian các biến cố sơ cấp (hay không gian mẫu).
• Mỗi tập con của Ωđược gọi là một biến cố.
Việc mô tả không gian mẫu là bước đầu tiên trong việc xây dựng một mô hình xác suất Ta xét các ví dụ sau:
Trong ví dụ 1.1, chúng ta có một hộp chứa N quả cầu được đánh số từ 1 đến N Quá trình rút quả cầu diễn ra nlần, với mỗi lần rút một quả cầu, sau đó trả lại vào hộp trước khi rút quả mới Không gian mẫu của thí nghiệm này bao gồm tất cả các chuỗi rút quả cầu có thể xảy ra Biến cố A xảy ra khi các quả cầu được rút ra đều khác nhau, tức là không có quả nào bị rút hai lần trong cùng một chuỗi.
Kết quả của phép thử được xác định qua nlần rút, trong đó mỗi số được đánh dấu trên quả rút ở lần thứ i được gọi là ai Mỗi biến cố sơ cấp có thể được mô tả dưới dạng ω = (a1, a2, , an), với ai thuộc tập {1, 2, , N}.
Nhận xét Dạng đặc biệt của bài toán trên
• Lên cầu thang Bảy người lên cầu thang máy của một ngôi nhà 10 tầng chuyển động từ tầng 1 Số cách để mỗi người ra ở một tầng là A 7 9
• Ngày sinh Cónhọc sinh, ngày sinh nhật là một trong 365 ngày Số trường hợp để hai học sinh bất kỳ có ngày sinh nhật khác nhau làA n 365
Trong một hộp có M quả cầu đen và N−M quả cầu trắng, khi chọn ngẫu nhiên n quả cầu, không gian mẫu sẽ bao gồm tất cả các tổ hợp có thể của n quả cầu được chọn từ tổng số N quả cầu Biến cố A được định nghĩa là "trong n quả lấy ra có đúng m quả đen" Trong trường hợp lấy đồng thời, số cách chọn m quả cầu đen từ M quả cầu đen và n−m quả cầu trắng từ N−M quả cầu trắng sẽ được tính bằng công thức tổ hợp Trong trường hợp lấy lần lượt có hoàn lại, xác suất của biến cố A sẽ phụ thuộc vào khả năng chọn từng quả cầu đen trong mỗi lần rút.
Giải.Để mô hình hoá, đánh số các quả cầu đen từ 1đến M, cầu trắng từM+1 đếnN.
Khi đó các quả chọn ra có số khác nhau từng đôi, không phân biệt thứ tự.
• Lấy lần lượt có hoàn lại
Khi đó các quả được chọn có thể có số trùng nhau.
Trong ví dụ 1.3, chúng ta xếp n quả cầu phân biệt vào n cái hộp phân biệt Cụ thể, biến cố A được định nghĩa là "Hộp thứ i có ni quả" với i = 1, 2, , n và tổng số quả cầu là ∑ni = n Biến cố B được mô tả là "Hộp thứ k có đúng m quả".
Giải.Gọiai là số thứ tự của hộp mà ta xếp quả thứi vào (i=1, ,n).
Xác suất của mỗi biến cố sơ cấp ωi trong phép thử được biểu thị bằng P(ω i ), với điều kiện 0≤P(ω i )≤1 cho mọi i từ 1 đến N Đồng thời, tổng xác suất của tất cả các biến cố sơ cấp phải bằng 1, tức là ∑ N i=1 P(ω i ) =1.
Khi đó, xác suất của biến cố A được xác định là tổng các xác suất của các biến cố sơ cấp lập nên nó
P(ωi). Định nghĩa 1.1 Cặp(Ω,P) được gọi là mô hình xác suất của phép thử có hữu hạn kết quả nếu
• Ω={ω 1 , ,ωN}là không gian các biến cố sơ cấpωi.
• P ={P(ω 1 ), ,P(ω N )} là tập các xác suất của các biến cố sơ cấp của phép thử.
Nhận xét Nếu (Ω,P) là mô hình xác suất của phép thử mà |Ω|=n và tập các xác suấtP=1 n,1 n, ,1 n thì ta có mô hình xác suất cổ điển.
Khi thực hiện phép thử tung một đồng tiền xu cân đối đồng chất, có hai kết quả có thể xảy ra: mặt sấp (S) và mặt ngửa (N) Mô hình xác suất cho phép thử này được biểu diễn bởi tập hợp Ω.
Mô hình xác suất của phép thử có đếm được kết quả
Trong trường hợp tổng quát, các kết quả của phép thử có thể được đếm, ví dụ như việc tung đồng xu liên tục cho đến khi xuất hiện mặt sấp, hoặc bắn liên tiếp vào bia cho đến khi trúng mục tiêu.
Khi đó, ta vẫn đánh số được các kết quả của phép thử:ω 1 ,ω 2 , , và không gian mẫu lúc này làΩ={ω 1 ,ω 2 , }.
Tương tự, mỗiωiđược gán với một xác suất P(ω i )thỏa mãn i) 0≤P(ω i )≤1,i=1, ii) ∑i≥1P(ω i ) =1.
Khi đó, cặp(Ω,P), vớiP={P(ω 1 ),P(ω 2 ), }được gọi là mô hình xác suất của phép thử có đếm được kết quả.
Ví dụ 1.5 Tung một đồng tiền xu liên tục đến khi được mặt sấp S Khi đó, các kết quả là:S,NS,NNS, với xác suất tương ứng 1
KHÔNG GIAN XÁC SUẤT TỔNG QUÁT
Định nghĩa xác suất theo tiên đề
Việc xây dựng mô hình xác suất cho các phép thử có số kết quả không đếm được khác với trường hợp rời rạc, vì ta không thể xem xét từng biến cố riêng lẻ Thay vào đó, trong mô hình xác suất không đếm được, chúng ta tập trung vào xác suất mà kết quả rơi vào một tập hợp các biến cố Do đó, để hình thành không gian xác suất tổng quát, người ta bắt đầu từ một họ các tập con của không gian mẫu.
Xét tập Ω6= /0,F ⊆P(Ω), với P(Ω) là họ các tập con của Ω Định nghĩa 1.2 cho biết rằng họ các tập con F được gọi là một σ-đại số nếu thỏa mãn các điều kiện sau: đầu tiên, Ω phải thuộc F; thứ hai, nếu A thuộc F thì bổ sung của A, ký hiệu là A c = Ω\A, cũng phải thuộc F; cuối cùng, với mọi chỉ số i=1,2, , nếu Ai thuộc F thì hợp của tất cả Ai từ i=1 đến vô cùng, ký hiệu là ∪ ∞ i=1 Ai, cũng phải thuộc F.
Khi đó (Ω,F) được gọi là một không gian đo và mỗi phần tửA∈ F được gọi là một biến cố.
Họ F được gọi là một đại số các tập con của Ωnếu điều kiệniii) ở trên chỉ thỏa mãn với hữu hạn tập con, tức là
Nếu ∀i=1,2, n: A_i ∈ F, thì ∪_{i=1}^n A_i ∈ F Định nghĩa 1.3 nêu rõ rằng F ⊆ P(Ω) là một σ-đại số Hàm tập hợp P xác định trên F được gọi là độ đo xác suất σ-cộng tính nếu thỏa mãn các điều kiện sau: i P(A) ≥ 0, ∀A ∈ F ii P(Ω) = 1 iii Nếu A_i ∈ F, ∀i=1,2, và ∀i ≠ j: A_i ∩ A_j = ∅.
Khi đó,P còn được gọi là độ đo xác suất (xác suất). Định nghĩa 1.4 (Hệ tiên đề Kolmogorov) Bộ ba (Ω,F,P) được gọi là một không gian xác suất nếu
• Ωlà tập hợp tuỳ ý, gồm các phần tử ω.
• F làσ−đại số các tập con của Ω.
• P là độ đo xác suất σ- cộng tính trênF.
Khi đó, người ta gọi
• Ωlà không gian các biến cố sơ cấp, ω ∈Ωlà biến cố sơ cấp.
• A∈F là biến cố ngẫu nhiên (biến cố).
• P là xác suất trên F, P(A) là xác suất của biến cốA.
Nhận xét Dễ thấy không gian xác suất rời rạc là trường hợp cụ thể của không gian xác suất tổng quát.
Xét một trường hợp đặc biệt, trong đó phép thử có vô hạn kết quả, mỗi kết quả được thể hiện bằng một "điểm" trên tập Sđo với độ đo m(.) nhất định, và mỗi biến cố tương ứng với những điểm này.
Ađược mô tả bởi một tập con đo được của S, có độ đom(A) Hàm tập xác suất
Trong lý thuyết xác suất, P xác định trên F là tập hợp các tập con đo được của S, với công thức P(A) = m(A) m(S) Khi đó, bộ ba (Ω,F,P) được gọi là không gian xác suất, hay còn được biết đến như mô hình xác suất hình học.
Hình 1.1: Biểu diễn các biến cốΩ, A.
Ví dụ 1.6 Lấy ngẫu nhiên hai số dương không lớn hơn 1 Tìm xác suất sao cho tổng của chúng không quá 1 và tích của chúng không lớn hơn 2/9.
Gọi hai số đó là x,y Khi đó không gian mẫu Ω và biến cố A= "Tổng của chúng không quá 1 và tích của chúng không lớn hơn 2/9" được mô tả
Không gian mẫuΩvà biến cố Ađược biểu diễn trên Hình 1.1.
Quan hệ giữa các biến cố
Để hiểu các tính chất của xác suất, cần xem xét mối quan hệ giữa các biến cố, được định nghĩa là tập hợp con của không gian mẫu, bao gồm các biến cố sơ cấp Do đó, các biến cố có mối quan hệ tương tự như các tập hợp trong toán học.
• Kéo theo Biến cốAđược gọi là kéo theo biến cốB, ký hiệu là A⊂B, nếu khiA xảy ra thìB cũng xảy ra, tức là, nếuω ∈A thìω ∈B.
• Tổng của hai biến cố A,B, ký hiệu A+B, là biến cố xảy ra khi A hoặc B xảy ra
Tổng của nbiến cố A 1 ,A 2 , ,An, kí hiệu∑ n i=1 Ai, là biến cố xảy ra khi có ít nhất một biến cố A i nào đó xảy ra
• Tích của hai biến cố A,B, kí hiệuA.B, là biến cố xảy ra khi cảAvàB đều xảy ra
Nếu A.B= /0 thìAvà Bđược gọi là xung khắc.
Tích của n biến cố A 1 ,A 2 , ,A n , kí hiệu A 1 A n , là biến cố xảy ra khi mọi biến cốAi đều xảy ra
• Hiệu của hai biến cố A, B, ký hiệu làA−B, là biến cố xảy ra khiA xảy ra vàB không xảy ra
Hiệu của hai biến cố Ωvà Blà biến cố đối củaB, ký hiệu làB,
Nhận xét. i) A.A= /0. ii) A=A. iii) A 1 + .+An=A 1 An. iv) A 1 A n =A 1 + .+A n
Trong ví dụ 1.7, chúng ta thực hiện kiểm tra ngẫu nhiên không hoàn lại 3 sản phẩm từ lô hàng, với ký hiệu A k = "sản phẩm kiểm tra thứ k đạt tiêu chuẩn" Đối với các biến cố, ta có: a) Chỉ có sản phẩm kiểm tra thứ nhất đạt tiêu chuẩn, ký hiệu là A1 và A2, A3 không đạt tiêu chuẩn b) Có đúng 1 sản phẩm đạt tiêu chuẩn, ký hiệu là (A1 và A2 không đạt) hoặc (A1 và A3 không đạt) hoặc (A2 và A3 không đạt) c) Có ít nhất 1 sản phẩm đạt tiêu chuẩn, ký hiệu là A1 hoặc A2 hoặc A3 đạt tiêu chuẩn.
Giải.Các biến cố được mô tả a) A 1 A 2 A 3 b) A 1 A 2 A 3 +A 1 A 2 A 3 +A 1 A 2 A 3 c) A 1 +A 2 +A 3 =A 1 A 2 A 3
Tính chất của xác suất
Với A,B và cácA i ∈F, ta có
Từ đó, nếu AB= /0thìP(A+B) =P(A) +P(B).
Chứng minh Tính chất 1,2) dễ dàng suy từ định nghĩa và cách phân hoạch
Tính chất 3) suy ra từΩ=A+A.
Tính chất 4) suy từB=A+B.A vàB.A∈F.
Tính chất 5) suy từA∪B=A+B.Avà B=B.A+B.A
Tính chất 6) được chứng minh bằng qui nạp.
CÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT
Xác suất có điều kiện
Trước hết, xét phép thử tung con xúc xắc hai lần, với các biến cố
A=" lần thứ nhất xuất hiện mặt 1 chấm".
B=" tổng số chấm hai lần gieo không vượt quá 3".
Giả sử biết B đã xảy ra, tức là đã có kết quả là 1 trong 3 trường hợp củaB xuất hiện, thì xác suất đểA xảy ra là 2
Xác suất có điều kiện của biến cố A khi biến cố B đã xảy ra được tính theo công thức P(A|B) = P(AB) / P(B) Đây là định nghĩa quan trọng trong lý thuyết xác suất, giúp xác định mối quan hệ giữa hai biến cố.
Tính chất. i) P(A/B)≥0. ii) P(Ω/B) =P(B/B) =1. iii) P(∑iA i /B) =∑iP(A i /B)nếu các A i xung khắc từng đôi.
Công thức nhân xác suất
Từ định nghĩa của xác suất điều kiện: Nếu P(A).P(B)>0thì
Từ đó, bằng quy nạp
Một cuộc điều tra về sở thích xem TV của các cặp vợ chồng cho thấy rằng 60% các ông chồng thường xem chương trình thể thao, trong khi tỷ lệ này ở các bà vợ chỉ là 30% Đặc biệt, nếu vợ đang xem, có đến 80% chồng sẽ cùng xem Khi lấy ngẫu nhiên một cặp vợ chồng, ta cần xác định xác suất cho các trường hợp sau: a) Có ít nhất một người thường xem; b) Nếu chồng xem thì vợ cũng xem; c) Nếu chồng không xem thì vợ vẫn có thể xem; d) Biết rằng có ít nhất một người xem, tìm xác suất để chồng không xem.
Giải Gọi các biến cố
V: "vợ thường xem chương trình thể thao",
C= "chồng thường xem chương trình thể thao".
Công thức xác suất đầy đủ và Bayes
Định nghĩa 1.6 Hệ biến cố{B 1 ,B 2 , ,Bn}được gọi là đầy đủ nếu cácBi xung khắc từng đôi và∑iB i =Ω.
Nhận xét.Hệ biến cố đầy đủ là một phân hoạch của không gian mẫu. a Công thức xác suất đầy đủ
Giả sử{B 1 ,B 2 , ,Bn}là hệ biến cố đầy đủ Khi đó, với biến cố A bất kỳ có thể xảy ra cùng với mộtB i nào đó, ta có
Chứng minh Thật vậy, vì A = AB 1 +AB 2 + +AB n và AB i xung khắc từng đôi nên
Xác suất của biến cố C, khi biết biến cố A đã xảy ra, có thể được tính toán dựa trên hệ biến cố đầy đủ {B1/A, B2/A, , Bn/A} Điều này đặc biệt quan trọng khi các biến cố A và C có khả năng xảy ra cùng với hệ biến cố đầy đủ {B1, B2, , Bn}.
Giả sử {B 1 ,B 2 , ,B n }là hệ biến cố đầy đủ, vớiP(B k )>0,∀k,vàP(A)>0. Khi đó,
∑ n k=1 P(B k ).P(A/B k ). Tương tự, ta có công thức Bayes có điều kiện
Ví dụ 1.9 Lô hàng xuất khẩu gồm hai kiện hàng, kiện 1 do máy 1 sản xuất, chiếm 60% số sản phẩm, kiện 2 do máy 2 sản xuất, chiếm 40% số sản phẩm.
Tỷ lệ phế phẩm của máy 1 là 10% và máy 2 là 12% Khi lấy ngẫu nhiên một kiện hàng và một sản phẩm, nếu sản phẩm đầu tiên là chính phẩm, xác suất sản phẩm đó do máy 1 sản xuất cần được tính toán Nếu sản phẩm đầu tiên là chính phẩm và tiếp tục lấy thêm một sản phẩm nữa, xác suất để sản phẩm thứ hai cũng là chính phẩm cũng cần được xác định Cuối cùng, nếu cả hai sản phẩm đều là chính phẩm, ta có thể dự đoán kiện hàng đó do máy nào sản xuất dựa trên các xác suất đã tính.
Giải GọiB i ="sản phẩm lấy ra từ kiện hàng thứi", i=1,2”.
A i ="sản phẩm lấy lần thứilà chính phẩm", i=1,2.
Ta cóP(B 1 ) =0,6;P(B 2 ) =0,4;P(A 1 /B 1 ) =0,9;P(A 1 /B 2 ) =0,88. a) Áp dụng công thức Bayes với hệ biến cố đầy đủ{B 1 ,B 2 }
0,892 =0,6054. b) Theo công thức xác suất đầy đủ với hệ biến cố đầy đủ{B 1 /A 1 ;B 2 /A 1 }
=0,9.0,6054+0,88.(1−0,6054) =0,8921. c) Ta cần so sánhP(B 1 /A 1 A 2 )với P(B 2 /A 1 A 2 ) Ta có
Do đó nên dự báo kiện hàng đó do máy 1 sản xuất
Sự độc lập
Định nghĩa 1.7 Hai biến cố A,B được gọi là độc lập nếuP(AB) =P(A)P(B).
Hệ A 1 ,A 2 , ,An được gọi là độc lập (độc lập toàn thể) nếu với mọi bộk chỉ số 16i 1 0bất kỳ, n→∞lim P(|X n −X| ≥ε) =0. Điều kiện này tương đương với lim n→∞P(|X n −X|0bất kỳ,
Ví dụ 3.1 Cho dãy biến ngẫu nhiên {X n }xác định bởi
Giải.Với mọiε >0, ta có
Dãy biến ngẫu nhiên {X n } được gọi là hội tụ hầu chắc chắn (h.c.c) đến biến ngẫu nhiên X, ký hiệu X n −→ h.c.c X, nếu tồn tại một tập hợp A thuộc F sao cho xác suất P(A) = 0.
Dãy {X n }gọi là dãy cơ bản h.c.c nếu
|X n −X m | ≥ε) k→∞ −→0. c Hội tụ theo trung bình Định nghĩa 3.3 Dãy biến ngẫu nhiên {X n } được gọi là hội tụ theo trung bình bậc p,(p>0)đến biến ngẫu nhiênX, ký hiệu Xn
−→X nếuE|X n −X| p n −→ → ∞ 0. Dãy {X n }gọi là dãy cơ bản theo trung bình bậc pnếu
Trong trường hợp p= 2 thì hội tụ theo L 2 được gọi là hội tụ theo trung bình bình phương.
Ví dụ 3.2 Cho dãy biến ngẫu nhiên {X n }xác định bởi
Giải.Ta có khẳng định trên vì
E(X n −2) 2 = (1−2) 2 1 n = 1 n →0. d Hội tụ theo phân bố Định nghĩa 3.4 Dãy biến ngẫu nhiên {X n }được gọi là hội tụ theo phân bố đến
X nếu n→∞lim P(X n 0 sao cho ∀ω ∈ A :
Do đó, tồn tạiε >0sao cho
A⊂[Y n ≥ε] nênP(Y n ≥ε)≥P(A)>δ. Điều này mâu thuẫn vớiYn
(⇐) Giả sửY n ↓0, Y n h.c.c → 0 Ta sẽ chứng minhY n → P 0.
9P 0 Khi đó, tồn tạiε >0sao cholim n P(|Yn| ≥ ε)90. Tức là,
∃ε >0,∃δ >0 :P(|Y n | ≥ε)>δ,∀n. hayP(Y n 90) >δ, điều này mâu thuẫn với giả thiết.
Nhận xét Xét dãy{X n }cơ bản theo xác suất, khi đó
|X n −Xm|, thì {Z k }là dãy giảm vàZ k −→ P 0nênZ k −→ h.c.c 0hay sup m,n≥k
|X n (ω)−X m (ω)| m,n≥k −→ 0 với xác suất 1 hayXn(ω)là dãy cơ bản trong Rvới xác suất 1. Định lý 3.7 X n h.c.c → X khi và chỉ khi, với ε >0bất kỳ
Khi đó,{Z n }là dãy giảm Hơn nữa,X k h.c.c → X, nênZn h.c.c.
Theo định lí trên, điều này xảy ra khi và chỉ khi
Thực vậy, từ hệ thức:
|X k −X| ≥ε), áp dụng định lý trên, ta được:
Hệ quả 3.8.Nếu chuỗi∑ ∞ n=1 P(|X n −X| ≥ε)hội tụ vớiε >0tuỳ ý thìXn h.c.c.
Chứng minh Thực vậy, với mọiε >0, ta có:
Bổ đề 3.9, hay còn gọi là Bổ đề Borel-Cantelli, trình bày hai điều kiện quan trọng liên quan đến dãy biến cố A_n Đầu tiên, nếu tổng xác suất của dãy biến cố này là hữu hạn, tức là ∑ ∞ n=1 P(A_n) < ∞, thì xác suất của lim sup A_n bằng 0, tức là P(lim sup A_n) = 0 Thứ hai, nếu tổng xác suất là vô hạn, ∑ ∞ n=1 P(A_n) = ∞, và các biến cố A_n là độc lập, thì xác suất của lim sup A_n bằng 1, tức là P(lim sup A_n) = 1.
P(A n ) =0. ii.Ta có: lim supA n =∩ ∞ k=1 ∪ ∞ n=k A n
Mặt khác, {∩ ∞ n=k An} tăng theo k, và sử dụng bất đẳng thức 1−x≤ e −x ,∀x ∈
Hệ quả 3.10 Giả sử εn >0, ∑nεn0cho trước
1+Y n 2 Chon→∞hai vế thì VP→0nên VT →0.
Hệ quả 3.20 Nếu dãy biến ngẫu nhiên thoả mãn điều kiện V(X (n) ) →0 khi n→∞ thì{X n }tuân theo LYSL.
Chứng minh ĐặtY n = ∑ n i=1 (X i −EX i ) n thì
LUẬT MẠNH SỐ LỚN
3.3.1 Định nghĩa Định nghĩa 3.21 Dãy biến ngẫu nhiên X 1 ,X 2 , ,Xn có kỳ vọng hữu hạn được gọi là tuân theo luật mạnh số lớn (LMSL) nếu
→ 0. Điều này tương đương với:X (n) −E(X (n) ) h.c.c → 0.
Giả sửX 1 ,X 2 , ,Xn là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, khi đó với ε >0 tuỳ ý:
Chứng minh ĐặtS k =∑ k j=1 (X j −EXj) ⇒ES k =0và n
(X k −EX k )) =V S n =ES 2 n ĐặtA={max k 6 n |S k | ≥ε}Ta cần chứng minh:P(A)6 V S n ε 2 Đặt
Hơn nữa, doSn−S k vàS k 1 A k độc lập vớik0, tồn tại n 0 sao cho với|i− j| ≥ n 0 : |ρ(X i ,Xj)