bài giảng cơ sở lý thuyết xác suất

Chương 1 Cơ sở lý thuy‚t x¡c su§t 1.1 BŒ túc v• gi£i t‰ch tŒ hæp 1.1.1 Quy t›c cºng Cƒn hoàn thành mºt công vi»c H, đ” hoàn thành công vi»c này chúng ta ch¿ hoàn thành mºt trong c¡c công vi»c H1 hoặc H1 · · · ; hoặc Hk: N‚u +) H1 có n1 c¡ch hoàn thành +) H2 có n2 c¡ch hoàn thành · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · +) Hk có nk c¡ch hoàn thành khi đó, sŁ c¡ch hoàn thành công vi»c H là n = n1 + n2 + · · · + nk: V‰ dụ 1.1.1. Mºt tr⁄m giŁng thực v“t cƒn lai t⁄o mºt lo⁄i giŁng c¥y trồng, dự ¡n đó ch¿ có th” thực hi»n t⁄i 3 huy»n A, B, C. N‚u chọn huy»n A th… có 3 phương ¡n đ” thực hi»n, n‚u chọ huy»n B th… có 5 phương ¡n đ” thực hi»n, n‚u chọn huy»n C th… có 7 phương ¡n đ” thực hi»n. Hỏi tr⁄m giŁng c¥y trồng có t§t c£ bao nhi¶u phương ¡n đ” thực hi»n dự ¡n cıa m…nh.

Chương Cơ sở lý thuyết xác suất 1.1 Bổ túc giải tích tổ hợp 1.1.1 Quy tắc cộng - Cần hồn thành cơng việc H, để hồn thành cơng việc hồn thành công việc H1 H1 · · · ; Hk Nếu +) H1 có n1 cách hồn thành +) H2 có n2 cách hồn thành ························ +) Hk có nk cách hồn thành đó, số cách hồn thành cơng việc H n = n1 + n2 + · · · + nk Ví dụ 1.1.1 Một trạm giống thực vật cần lai tạo loại giống trồng, dự án thực huyện A, B, C Nếu chọn huyện A có phương án để thực hiện, chọ huyện B có phương án để thực hiện, chọn huyện C có phương án để thực Hỏi trạm giống trồng có tất phương án để thực dự án Ví dụ 1.1.2 Một lớp học có 30 sinh viên nam 40 sinh viên nữ, cần chọn sinh viên làm lớp trưởng Hỏi có cách chọn lớp trưởng 1.1.2 Quy tắc nhân - Cần hồn thành cơng việc H, để hồn thành cơng việc cần hồn thành hết tất công việc H1 , H1 · · · ; Hk Nếu +) H1 có n1 cách hồn thành +) H2 có n2 cách hồn thành ························ +) Hk có nk cách hồn thành đó, số cách hồn thành cơng việc H n = n1 × n2 × · · · × nk Ví dụ 1.1.3 Có số tự nhiên có chữ số khác lập nên từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, Phân tích tốn Nếu gọi số tự nhiên có chữ số khác thỏa mãn toán abcd (a, b, c, d ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; a 6= b 6= c 6= d) Công việc H tìm số tự nhiên có chữ số khác abcd thỏa mãn yêu cầu toán Bài toán xác định có số tự nhiên đưa tốn xác định có cách thực cơng việc H Để tính số cách thực cơng việc H ta chia công việc H thành công việc H1 , H2 , H3 , H4 Trong đó, H1 chọn chữ số a, H2 chọn chữ số b,H3 chọn chữ số c,H4 chọn chữ số d Chúng ta thấy +) H1 có cách hồn thành +) H2 có cách hồn thành +) H3 có cách hồn thành +) H4 có cách hồn thành Để hồn thành cơng việc H phải hồn thành hết tất cơng việc nhỏ H1 , H2 , H3 , H4 Vậy số cách hồn thành cơng việc H 7×6×5×4 = 840 (cách) Vậy có 840 số Ví dụ 1.1.4 Có số tự nhiên chẵn có chữ sơ khác lập nên từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, (Sinh viên tự làm xem tập lớp) 1.1.3 Hoán vị - Cho mộ tập hợp n phần tử thứ tự Mỗi cách thứ tự n phần tử ta hốn vị n phần tử Ví dụ 1.1.5 Các hoán vị phần tử A, B, C ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA - Chúng ta hiểu cách thay đổi thứ tự hai phần tử tập hợp n phần tử thứ tự ta hoán vị n phần tử - Một hốn vị n phần tử song ánh từ tập hợp n phần tử vào - Số hoán vị n phần tử ký hiệu Pn xác định Pn = n! = n.(n − 1) · · · 2.1 (n giai thừa) Ví dụ 1.1.6 +) Số hốn vị phần tử P3 = 3! = × × = +) Số hoán vị 10 phần tử P1 = 10! = 10 × × × · · · × × Đây số lớn, thực tế giai thừa có ý nghĩa mặt ký hiệu, việc tính tốn giá trị cụ thể nhiều khó thực Nhận xét 1.1.7 0! = 1; 1! = 1; n! = k!(n − k + 1)(n − k + 2) · · · (n − 1)n, ∀k > 0, n > k 1.1.4 Tổ hợp - Cho tập hợp X có n phần tử Mỗi tập A có k phần tử (0 k n) tập hợp X gọi tổ hợp chập k n phần tử cho Ví dụ 1.1.8 Cho mộ tập hợp có phần tử X = {a, b, c, d, e} Khi đó, - Các tổ hợp chập phần tử a, b, c, d, e là: ∅ - Các tổ hợp chập phần tử a, b, c, d, e là: {a}; {b}; {c}; {d}; {e} - Các tổ hợp chập phần tử a, b, c, d, e là: {a, b}; {a, c}; {a, d}; {a, e}; {b, c}; {b, d}; {b, e}; {c, d}; {c, e}; {d, e} - Các tổ hợp chập phần tử a, b, c, d, e là: {a, b, c}; {a, b, d}; {a, b, e}; {a, c, d}; {a, c, e}; {a, d, e}{b, c, d}; {b, c, e}; {b, d, e}; {c, d, e} - Các tổ hợp chập phần tử a, b, c, d, e là: {a, b, c, d}; {a, b, c, e}; {a, b, d, e}; {a, c, d, e}; {b, c, d, e} - Các tổ hợp chập phần tử a, b, c, d, e là: {a, b, c, d, e} - Từ ví dụ ta thấy để có tổ hợp chập k n phần tử ta phải lấy k phần tử (không quan tâm đến thứ tự) từ n phần tử cho, nên ta hiểu tổ hợp chập k n sau: - Mỗi cách lấy k phần tử (không thứ tự) từ tập hợp n phần tử cho trước ta tổ hợp chập k n (•) Số tổ hợp chập k n số ký hiệu Cnk xác định Cnk = Ví dụ 1.1.9 C52 = 5! 2!.3! n! k!(n − k)! = 10; C12 = 12! 2!10! = 66 Ví dụ 1.1.10 Có 10 kiện tướng cờ vua thực ván đấu cờ theo quy luật xoay vòng (hai người đấu với ván cờ) Hỏi có tất ván cờ ? k−1 k Nhận xét 1.1.11 Cn0 = 1; Cnn = 1; Cnk = Cnn−k ; Cn−1 + Cn−1 = Cnk ; 1.1.5 Chỉnh hợp - Cho tập hợp n phần tử thứ tự, cách lấy k phần tử có thứ tự từ n phần tử ta chỉnh hợp chập k n Ví dụ 1.1.12 Cho tập hợp X = {1, 2, 3, 5} chỉnh hợp chập phần tử 12; 21; 13; 31; 14; 41; 23; 32; 24; 42; 34; 43 (•) Số chỉnh hợp chập k (0 k n) n số ký hiệu Akn xác định bởi: Akn = n! ; k = 0, n (n − k)! Ví dụ 1.1.13 Có số tự nhiên có chữ số khác lập nên từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, Giải Để có số tự nhiên có chữ số khác thỏa mãn yêu cầu toán phải lấy chữ số từ tập gồm chữ số thứ tự {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8} Vậy số tự nhiên thỏa mãn chỉnh hợp chập Suy số lượng số tự nhiên là: A47 = 7! = 7.6.5.4 = 840 (số) 3! Nhận xét 1.1.14 Akn = n.(n − 1) · · · (n − k + 1); Ann = n!; Akn = k!Cnk 1.2 Biến số xác suất biến cố 1.2.1 Không gian mẫu biến cố - Trong thực tế thường gặp nhiều hành động mà kết khơng thể dự báo trước ta gọi chúng phép thử ngẫu nhiên Ví dụ 1.2.1 - Khi ta gieo xúc xắc cân đối đồng chất, khẳng định trước lần gieo mặt xuất bào nhiêu chấm - Một xạ thủ bắn vào mục tiêu viên đạn, khẳng định lần anh bắn có trúng hay không Mặc dù kết phép thử ngẫu nhiên khơng đốn trước ta liệt kê tất kết xãy phép thử - Tập hợp tất kết phép thử gọi khơng gian mẫu (KGM) hay không gian biến cố sơ cấp (KGBCSC) Ký hiệu Ω Mỗi phần tử ω ∈ Ω gọi biến cố sơ cấp Ví dụ 1.2.2 - Gieo xúc xắc cân đối đồng chất, kết phép thử số chấm xuất mặt Khi đó, khơng gian biến cố sơ cấp là, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} - Một xạ thủ bắn vào mục tiêu hai viên đạn, kết phép thử trúng (T) hay trượt (F).Khi đó, khơng gian biến cố sơ cấp là, Ω = {T T, T F, F T, F F } - Xét phép thử ngẫu nhiên Biến cố (hay kiện) mà việc xảy hay khơng xảy chúng hồn toàn phụ thuộc vào kết phép thử ngẫu nhiên - Người ta dùng chũ in hoa (A, B, C, H, K, ) để đặt tên cho biến cố Các kiện xảy mô tả dấu ngoặc kép "" - Mỗi phần tử ω ∈ Ω gọi thuận lợi cho biến cố A A xảy kết phép thử ω Tập hợp tất biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A ký hiệu ΩA Ví dụ 1.2.3 - Gieo xúc xắc cân đối đồng chất, kết phép thử số chấm xuất mặt Gọi A biến cố "Số chấm xuất mặt số chẵn" Khi ΩA = {2, 4, 6} - Một xạ thủ bắn vào mục tiêu hai viên đạn, kết phép thử trúng (T) hay trượt (F) B biến cố "Có lần bắn trượt" Khi ΩB = {T F, F T, F F } - Biến cố không thể: Là biến cố không bao gờ xảy với kết phép thử Ký hiệu ∅ - Biến cố chắn: Là biến cố xảy với kết phép thử Ký hiệu Ω - Biến cố kéo theo: Biến cố A gọi kéo theo biến cố B A xảy B xảy Ký hiệu A ⊂ B - Biến cố đối: Biến cố đối biến cố A biến cố ký hiệu A mà xảy A không xảy ra, A = Ω\A - Hợp hai biến cố: Hợp hai biến cố A B biến cố mà xảy hai biến cố xảy Ký hiệu A ∪ B ΩA∪B = {ω ∈ Ω| ω ∈ ΩA ω ∈ ΩB } -Hợp biến cố: Hợp biến cố A1 , A2 , , An biến cố mà xãy biến cố xãy Ký hiệu ∪ni=1 Ai Ω∪ni=1 Ai = {ω ∈ Ω|Tồn i để ω ∈ ΩAi } - Giao hai biến cố: Giao hai biến cố A B biến cố mà xảy hai biến cố xảy Ký hiệu A ∩ B AB ΩA∩B = {ω ∈ Ω| ω ∈ ΩA ω ∈ ΩB } -Giao biến cố: Giao biến cố A1 , A2 , , An biến cố mà xãy tất biến cố A1 , A2 , , An xãy Ký hiệu ∩ni=1 Ai Πni=1 Ai Ω∩ni=1 Ai = {ω ∈ Ω|ω ∈ ΩAi ∀ i ∈ {1, 2, , n}} - Hai biến cố xung khắc: Hai biến cố A B gọi xung khắc nấu A B không đồng thời xảy A B xung khắc ⇔ ΩA∩B = ∅ 1.2.2 Định nghĩa xác suất biến cố - Xác suất biến cố số p ∈ [0, 1] đo khả xuất biến cố phép thử thực Xác suất biến cố A ký hiệu P(A) (Probability) Định nghĩa 1.2.4 (Dạng cổ điển) Giả sử phép thử có hữu hạn kết Hơn kết đồng khả xuất Xác suất biến cố A tỉ số số biến cố sơ cấp thuận lợi cho A số biến cố sơ cấp không gian biến cố sơ cấp P(A) = |ΩA | Số BCSC thuận lợi cho A = |Ω| Số BCSC Ω Ví dụ 1.2.5 a) Gieo xúc xắc cân đối đồng chất, kết phép thử số chấm xuất mặt Tính xác suất để chấm xuất số chẵn b) Một xạ thủ bắn vào mục tiêu hai viên đạn, kết phép thử trúng (T) hay trượt (F) Tính xác suất có lần bắn trượt Giải a) Thực giao xúc xắc cân đối đồng chất, kết phép thử số chấm xuất mặt Khi khơng gian biến cố sơ cấp là: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} =⇒ |Ω| = Gọi A biến cố "Số chấm xuất mặt số chẵn" Khi số biến cố sơ cấp thuận lợi cho A ΩA = {2, 4, 6} =⇒ |ΩA | = Chúng ta thấy kết đồng khả xuất nên xác suất A là: P(A) = |ΩA | = = 0, |Ω| Ví dụ 1.2.6 Một lớp học có 100 sinh viên gồm 40 nữ 60 nam Lấy ngẫu nhiên sinh viên để làm cán lơp Tính xác suất để a) Cả sinh viên chọn nữ b) Cả sinh viên chọn nam c) sinh viên chọn có nam nữ d) sinh viên chọn có nam Giải Lấy ngẫu nhiên sinh viên từ lớp học nên số phần tử Không gian mẫu : C100 +) Gọi A biến cố "Cả sinh viên lấy nữ " Khi đó, số BCSC thuận lợi cho A là: C40 Vậy xác suất A là: P(A) = C40 C100 +) Gọi B biến cố "Cả sinh viên lấy nam" Khi đó, số BCSC thuận lợi cho B là: C60 Vậy xác suất B là: P(B) = C60 C100 +) Gọi C biến cố " sinh viên lấy có nam nữ " Khi đó, × C40 số BCSC thuận lợi cho C là: C60 Vậy xác suất C là: P(C) = C60 ×C40 C100 +) Gọi D biến cố " sinh viên lấy có nam" Khi đó, 3 số BCSC thuận lợi cho D là: C100 − C40 Vậy xác suất D là: P(D) = 3 C100 −C40 C100 Nhận xét 1.2.7 Nếu số kết có vơ hạn hữu hạn khơng đồng khả ta khơng thể tính xác suất theo Định nghĩa 1.2.4 Trong số trường hợp, người ta thường định nghĩa xác suất theo kiểu khác Sau định nghĩa xác suất phương pháp tần suất 10 X P p q Khi EX = 0.q + 1.p = p Suy DX = (0 − p)2 q + (1 − p)2 = p2 q + q p = pq Giả sử X đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ   0 x ∈ [0, 2] P(x) =   x ∈ [0, 2] Khi EX = Suy Z +∞ DX = (x − 1)2 P(x)dx −∞ Z = 2 (x − 1)2 (x − 1)3 1 dx = = + = 6 Ý nghĩa: |X −EX| độ lệch giá trị đại lượng ngẫu nhiên X khỏi EX Do phương sai DX = E(X − EX)2 trung bình bình phương độ lệch X quanh EX Phương sai cho biết mức độ phân tán giá trị đại lượng ngẫu nhiên X quanh kỳ vọng Tuy nhiên, phương sai DX có hạn chế không thứ nguyên với √ X Do đó, với DX, người ta cịn dùng DX để nghiên cứu mức độ √ phân tán đại lượng ngẫu nhiên X quanh EX DX = σX gọi độ lệch chuẩn X σX có thứ nguyên với X Tính chất 1.6.8 Phương sai có tính chất sau đây: DX = EX − (EX)2 38 DX > DX = X = EX = số h.c.c D(CX) = C DX Nếu X, Y độc lập D(X ± Y ) = DX + DY Tổng quát: Nếu (Xi )i=1,n họ đơi độc lập D(X1 + · · · + Xn ) = DX1 + · · · + DXn Chứng minh DX = E(X − EX)2 = E(X − 2X.EX + (EX)2 ) = EX − 2EX.EX + (EX)2 = EX − (EX)2 (X − EX)2 > ⇒ DX = E(X − EX)2 > DX = ⇐⇒ E(X − EX)2 = ⇐⇒ (X − EX)2 = ⇐⇒ P(X = EX) = ⇐⇒ X = EX h.c.c D(CX) = E(CX − ECX) = E(CX − CEX)2 = E(C (X − EX)2 ) = C E(X − EX)2 = C DX D(X + Y ) = E(X + Y )2 − (E(X + Y ))2 = E(X + 2XY + Y ) − (EX + EY )2 = (EX − (EX)2 ) + (EY − (EY )2 ) + 2(E(XY ) − EXEY ) = DX + DY + 2(E(XY ) − EXEY ) = DX + DY (vì E(XY ) = EX.EY ( Do X Y độc lập)) Kết hợp với tính chất ta D(X − Y ) = D(X + (−Y )) = DX + D(−Y ) = DX + DY Bây giả sử (Xi )i=1,n họ độc lập đơi Vậy n n n n X X X X 2 D( Xi ) = E( Xi ) − (E( Xi )) = E( Xi2 i=1 +2 X 16i 1, < p < 1), X(Ω) = {0, 1, 2, , n} pk = P(X = k) = Cnk pk q n−k , q = − p Ví dụ 1.7.2 Trong thành phố 75% gia đình có tivi màu Chọn ngẫu nhiên 12 gia đình gọi X số gia đình có tivi màu a Gọi tên phân phối xác suất X b Tính xác suất để có gia đình có tivi màu c Tính xác suất để mẫu có gia đình có tivi màu Giải a X có phân phối nhị thức với tham số n = 12, p = 0, 75 42 b P(X = 5) = C12 (0, 75)5 (0, 75)7 = 0, 0591 c P(X > 2) = 1−P (X = 0)−P (X = 1) = 1−(0, 25)12 −12(0, 75)(0, 25)11 Tìm kỳ vọng, phương sai mode phân bố nhị thức Định lý 1.7.3 Nếu X ∼ B(n; p) i) EX = np, ii) DX = npq, iii) mod (X) =   [np − q + 1] np − q không nguyên,  np − q np − q + np − q nguyên Chứng minh i) Ta có EX = n X kCnk pk q n−k = k=0 =n n X k=1 n X k=0 k n! pk q n−k k!(n − k)! n X (n − 1)! k n−k k−1 k n−k p q = np Cn−1 p q (k − 1)!(n − k)! k=1 = np n−1 X i−1 i n−1−i Cn−1 pq = np(p + q)n−1 = np i=0 ii) EX = = = n X k=0 n X k=1 n X k=1 k Cnk pk q n−k k n! pk q n−k k!(n − k)! n k(k − 1)n! k n−k X kn! p q + pk q n−k k!(n − k)! k!(n − k)! k=1 = S1 + S2 43 Ta có P S1 = nk=2 n! pk q n−k = n(n − 1)p2 , (k − 2)!(n − k)! S2 = np (đã tính trên) Thành thử DX = EX − (EX)2 = n2 p2 − np2 + np − n2 p2 = nP(1 − p) = npq Để chứng minh iii) ta cần nhận xét mod X số có khả Ví dụ 1.7.4 Tỉ lệ cử tri ủng hộ ứng cử viên A bầu cử tổng thống 60% Người ta hỏi ý kiến 20 cử tri chọn cách ngẫu nhiên Gọi X số người bỏ phiếu cho ứng cử viên A 20 người a Tìm giá trị trung bình, độ lệch tiêu chuẩn X mod X b Tính P(X 10) Giải a X có phân phối nhị thức B(20; 0, 6) Vậy EX = 20.(0, 6) = 12; √ DX = 20.(0, 6).(0, 4) = 4, 8; σX = 4, ≈ 2, 2; mod X = [21.0, 6] = [12, 6] = 12 b P(X 10) = 1.7.2 P10 k 20−k k k=0 C20 (0, 6) (0, 4) Phân phối Poisson Định nghĩa 1.7.5 Ta nói đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với tham số λ kí hiệu X ∼ P(λ) X(Ω) = {0, 1, 2, } P(X = k) = e−λ λ số dương cho trước 44 λk , k! Người ta lập bảng để tính sẵn P(X k) = Pk −λ i=1 e λi với i! giá trị λ khác Ví dụ 1.7.6 Một gara cho th ơtơ thấy số người đến thuê ôtô vào ngày thứ Bảy cuối tuần đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với tham số λ = Giả sử gara có ơtơ Hãy tìm xác suất để a Không phải tất thuê b Tất ôtô thuê c Gara khơng đáp ứng u cầu d Trung bình có ơtơ th e Gara cần có ôtô để xác suất không đáp ứng nhu cầu thuê bé 2% Giải a P(X 3) = 0, 857 b P(X > 4) = − P(X 3) = − 0, 857 = 0, 143 c P(X > 4) = − P(X 4) = − 0, 947 = 0, 053 d Gọi Y số ôtô thuê Khi P(Y = 0) = P(X = 0) = 0, 135; P(Y = 1) = P(X 1) − P(X = 0) = 0, 406 − 0, 135 = 0, 271; P(Y = 2) = P(X = 2) = P(X 2) − P(X 1) = 0, 677 − 0, 406 = 0, 271; P(Y = 3) = P(X = 3) = P(X 3) − P(X 2) = 0, 857 − 0, 677 = 0, 18; P(Y = 4) = P(X > 4) = − P(X 3) = − 0, 857 = 0, 143 Từ EY = 1, 925 e Ta cần xác định n nhỏ để P(X > n) < 0, 02 ⇔ P(X n) > 0, 98 Vì P(X 4) = 0, 947; P(X 5) = 0, 983 Do n = 45 Ta tìm kỳ vọng, phương sai mode phân phối Poisson Định lý 1.7.7 Giả sử X ∼ P(λ) Khi EX = λ, DX = λ, mod (X) = [λ] Trong [x] phần nguyên x Chứng minh Ta có EX = ∞ X ke EX = ∞ X k −λ λ k e k=0 −λ k=1 k=0 ∞ X λk−1 =e λ = e−λ λeλ = λ k! (k − 1)! k −λ λ k! −λ =e λ =e ∞ X k=2 −λ ∞ X k(k − 1)λk k=2 k! −λ +e ∞ X λk k k! k=0 λk−2 + λ = λ2 + λ (k − 2)! Vậy DX = EX − (EX)2 = λ Để tìm modX ta xét λ P(X = k) = > ⇔ λ > k P(X = k − 1) k Vậy P(X = k) lớn k số nguyên lớn bé λ Nói cách khác modX = [λ] Ví dụ 1.7.8 Ở tổng đài bưu điện, cú điện thoại gọi đến xuất ngẫu nhiên, độc lập với tốc độ trung bình gọi phút Tìm xác suất để: a Có cú điện thoại phút b Khơng có cú điện thoại khoảng thời gian 30 giây c Có cú điện thoại khoảng thời gian 10 giây Giải a Số cú điện thoại xuất khoảng thời gian phút đại lượng ngẫu nhiên X ∼ P(4) Vậy P(X = 5) = e 46 −4 5! = P(X 5) − P(X 4) = 0, 785 − 0, 629 = 0, 156 b Số cú điện thoại xuất khoảng thời gian 30 giây đại lượng ngẫu nhiên X ∼ P(1) Vậy P(X = 0) = e−1 = 0, 3679 c Số cú điện thoại xuất khoảng thời gian 10 giây đại lượng ngẫu nhiên X ∼ P ( ) Vậy P(X > 1) = − P(X = 0) = − e = 0, 2835 − Định lý 1.7.9 Nếu X ∼ P(µ), Y ∼ P(λ) X, Y độc lập Z = (X + Y ) ∼ P(λ + µ) Chứng minh Ta có P(Z = k) = P(X + Y = k) = k X P(X = i, Y = k − i) i=0 = k X P(X = i)P(Y = k − i) = i=0 k X i=0 i −λ k−i −µ µ e λ e i! (k − i)! k e−(λ+µ) X i i k−i e−(λ+µ) (λ + µ)k = C µλ = k! i=0 k k! Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 1.7.10 Một cửa hàng bán đồ điện tử gồm hai mặt hàng: tivi radio Số tivi radio bán ngày có phân phối Poisson chúng độc lập với Trung bình ngày bán tivi radio Tìm xác suất để ngày cửa hàng bán (radio tivi) Giải Gọi X Y tương ứng số tivi số radio bán ngày 47 Ta có X ∼ P(1) Y ∼ P (2), X Y độc lập Theo định lý (X + Y ) ∼ P (3) Vậy P(X + Y > 3) = − P(X + Y 3) = − 0, 647 = 0, 353 1.7.3 Phân phối chuẩn Định nghĩa 1.7.11 (Phân phối chuẩn tắc) Đại lượng ngẫu nhiên liên tục Z gọi đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc hàm mật độ −π2 p(x) = ϕ(x) = √ e , 2π ∀x ∈ R Đồ thị hàm mật độ Z có dạng Đồ thị ϕ(x) Đó đường cong đối xứng qua trục tung, có điểm cực đại x = Các điểm uốn đồ thị x = ±1 Hàm phân phối Z, kí hiệu Φ(x), Z x Φ(x) = P(t)dt = √ 2π −∞ Z x t2 e− dt −∞ Rất tiếc Φ(x) không biểu diễn qua hàm sơ cấp biết Người ta lập bảng tính sẵn giá trị Φ(x) 48