Bài tập lớn học phần Đại số tuyến tính Đề tài phân tích lu

Điều kiện phân tích PLU……… PHẦN III ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP LU/PLU VÀO GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH [3] 5.. LỜI MỞ ĐẦU Đại số tuyến tính là một trong những học phần bắt buộc và quan trọ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÀI TẬP LỚN HỌC PHẦN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

ĐỀ TÀI

PHÂN TÍCH LU LỚP L04 – NHÓM 12 – HK241

NGÀY NỘP : GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN : Ths NGUYỄN XUÂN MỸ SINH VIÊN THỰC HIỆN MÃ SỐ SINH VIÊN ĐIỂM SỐ CHỮ KÝ

Trương Vĩnh Phát 2412613

Trần Nguyễn Ý Nhi 2412516

Trần Trung Thảo 2413212

Trương Hoàng Đạt 2410736

Trương Hồng Hưng 2411389

Trương Lê Đăng Khoa 2411668

Trương Minh Phú 2412691

Trương Triệu Mẫn 2412026

Trương Vĩ Nguyên 2412383

MỤC LỤC

MỤC LỤC……….1

LỜI MỞ ĐẦU………2

PHẦN I PHÂN TÍCH LU [1] 1 Cơ sở lý thuyết……….3

2 Phương pháp phân tích LU……… 4

PHẦN II ĐIỀU KIỆN PHÂN TÍCH LU VÀ PHÂN TÍCH PLU [2] 3 Điều kiện phân tích LU………

4 Điều kiện phân tích PLU………

PHẦN III ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP LU/PLU VÀO GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH [3] 5 Phương pháp LU………

5.1 Cơ sở lý thuyết………

5.2 Nội dung phương pháp………

6 Phương pháp PLU………

6.1 Phân biệt LU và PLU………

6.2 Ứng dụng vào giải hệ phương trình tuyến tính…………

PHẦN IV PHÂN TÍCH ĐÁNH GIÁ PHƯƠNG PHÁP LU/PLU VÀ

PHƯƠNG PHÁP GAUSS [4]

7 Nhắc lại phương pháp Gauss………

8 Phân tích đánh giá phương pháp Gauss và phương pháp LU/PLU……… 8.1 Đối với bài toán giải hệ PTTT thông qua Ax=b……… 8.2 Đối với bài toán giải nhiều hệ PTTT Ax=b có A cố định b thay đổi………

LỜI MỞ ĐẦU

Đại số tuyến tính là một trong những học phần bắt buộc và quan

trọng của tất cả sinh viên Trường Đại học Bách Khoa – Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh, vì nó được ứng dụng rất nhiều trong các lĩnh vực khoa học, và là nền tảng quan trọng cho các kỹ sư tương lai Cũng vì lí do đó, chúng em – các sinh viên khóa K24, bằng những kiến thức và hiểu biết của mình, chúng em xin được phép giới thiệu đến quý độc giả bài báo cáo về chủ đề Phân tích LU

Bài báo cáo nhằm để độc giả hiểu rõ hơn về Phân tích LU, cũng như biết được thêm những ứng dụng của nó trong việc Giải hệ phương trình tuyến tính, Tính định thức của ma trận,…

Chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ths Nguyễn Xuân

Mỹ, đã tận tình giúp đỡ, chia sẻ những kiến thức chuyên sâu cũng như

đã dành những góp ý quan trọng cho chúng em, nhằm để bài báo cáo

có thể hoàn thiện một cách tốt nhất Chúng em rất mong nhận được sự góp ý và nhận xét của các Thầy, Cô, các độc giả để giúp nhóm chúng em cải thiện những thiếu sót

Chân thành cảm ơn quý độc giả đã dành thời gian đọc bài báo cáo của chúng em

L04 – Nhóm 12 – HK241

TP.Hồ Chí Minh, ngày tháng 11 năm 2024

PHẦN I PHÂN TÍCH LU [1]

- Trong đại số tuyến tính, phân tích LU (LU decomposition, LU factorization) là phương pháp phân tích ma trận vuông thành tích của một ma trận tam giác dưới và một ma trận tam giác trên

- Phép phân tích ma trận đơn giản: A = LU.

- Trong đó: A là một ma trận vuông bất kỳ

L là ma trận tam giác dưới

U là ma trận tam giác trên

Ví dụ với ma trận 3x3:

-Phân tích A = LU theo phương pháp Doolitte:Dùng phương pháp khử Gauss đưa ma trận A về ma trận tam giác trên, đó chính là ma trận U Còn ma trận L là ma trận tam giác dưới với các phần tử lấy theo công

thức

lij={ 1 khii j =

k ij khi i≠ i , R i =R i −k ij R

Ở đây k à các nhân tử khử trong quá trình khử Gauss ở tại vị trí ứng ij

với các phần tử bị khử

Ví dụ: Cho ma trận kích thước 3x3

A=[ 1 5 2

3 6 4

−2 2 7][1 5 2

3 6 4

−2 2 7]r2−3 r

1

→

r3+2 r2

→ [1 5 2

0 −9 −2

0 12 11]r 3 +4

3r2

→ [1 5 2

0 − 9 −2

0 0 25

3 ]

Vậy ma trận U có kết quả là

U =[1 5 2

0 −9 −2

0 0 25

3]

Ma trận L = [1 0 0

l21 1 0

l31 l32 1]=[1 0 0

3 1 0

−2 −4

3 1]

PHẦN II ĐIỀU KIỆN PHÂN TÍCH LU VÀ PHÂN TÍCH PLU

[2]

3 Phân tích LU

- Ma trận A phải là ma trận vuông n x n

- Các phần tử trên đường chéo chính trong ma trận phải khác 0 trong quá trình phân tích

- Không phải mọi ma trận vuông đều có phân tích LU, nhưng nếu

A là ma trận vuông không có các hàng hay cột nào toàn số 0, thì thường có thể thực hiện phân tích LU sau khi sắp sếp các hàng

4 Phân tích PLU

Phân tích PLU là mở rộng của phân tích LU, trong đó ma trận A được tách thành ba ma trận P, L và U, với

- P là ma trận hoán vị

- L là ma trận tam giác dưới

-U là ma trận tam giác trên

Điều kiện thực hiện:

- Ma trận A có thể vuông hoặc không vuông

- Phân tích PLU luôn tồn tại cho bất kì ma trận nào nếu cho phép hoán vị các hàng của A trong quá trình phân tích, nghĩa là luôn có thể tìm ra ma P sao cho PA có phân tích LU

PHẦN III

ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP LU/PLU VÀO GIẢI

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH [3]

5 Phương pháp LU

5.1 Ứng dụng giải hệ phương trình:

Hệ phương trình:

AX = B Sau khi phần tích LU:

A = LU

Suy ra ta có: LUX = B

Từ đó đặt: Y = UX

Để giải phương trình này, ta chia quá trình thành hai bước:

Bước 1: Giải hệ LY = B suy ra Y = L mũ trừ 1 B

Bước 2: Giải hệ UX = Y suy ra X = U mũ trừ 1 Y

L= [1 … 0

⋮ ⋱ ⋮

ln 1 … 1] Y= [y 1

…

yn] B= [b 1

…

bn]

LY=B

=> [1 … 0

⋮ ⋱ ⋮

ln 1 … 1][y 1

…

yn]=[b1

…

bn]

=>

yn=b -n∑

k =1

n −1

lnk y

Y=U.X

[y 1

…

yn] = [u11 … u 1 n

⋮ ⋱ ⋮

0 … u nn][x1

…

x n]

Ta có

x u =yn nn n

=>xn=

yn

u nn =u1

nn (bn-∑

k =1

n −1

lnk y)

Ví dụ minh họa:

Giải hệ phương trình

y =b1 1

y =b -l y2 2 21 1

y =b -ln n n.(n-1)+ +l yn1 1

2x+3y+z=8

4x+y-2z=-2

-2x+5y+z=3

Ma trận AX=B với A= [2 3 1

4 1 − 2

−2 5 1] ;B= [8

−2

3 ]

Phân tích A=LU

L= [1 0 0

2 1 0

−1 −1,6 1] ; U= [2 3 1

0 −5 −4

0 0 − 4,4]

Ta có :

LUX=B

=>Giải lần lượt LY=B và Y=UX

Với LY=B => [1 0 0

2 1 0

−1 −1,6 1] [y1

y2

y3] = [8

−2

3]

=>

Với UX=Y => [2 3 1

0 −5 −4

0 0 − 4,4] [x1

x2

x3] = [ 8

−18

−17,8]

=>

y =81

y =-182

y =-17,83

x =1

x =2

x =3

Định thức của ma trận A có thể được tính dễ dàng sau khi thực hiện phân tích LU, bởi vì: A = LU

Suy ra: det(A)=det(L)×det(U)

Với L là ma trận tam giác dưới có các phần tử đường chéo bằng 1, nên det(L)=1 Do đó:

det(A)=det(U)=u11 u22⋅ …unn Điều này có nghĩa là định thức của A bằng tích các phần tử trên đường chéo của U, giúp tính toán nhanh chóng và đơn giản

5.3 Ứng dụng tìm ma trận nghịch đảo:

Tương tự như việc áp dụng phần tích LU để giải hệ phương trình

tuyến tính do ta có tính chất:

A.A −1=I

=>

Sau khi phân tích A=LU

Ta có: LUA-1=I

Hệ tương đương LY=I khi đặt Y=UA-1

Từ đó tìm ta ma trận Y rồi suy ra ma trận A-1

Tuy nhiên còn một cách khác khi phân tích :

A=LU =>A-1=(LU)-1

=>A =U-1 -1 L-1

Tuy nhiên cách này còn hạn chế do dài dòng hơn cách trên

A;A-1;I là ma trận vuông cấp n

A-1 tương ứng với B

I tương ứng với X

6 Phương pháp PLU

6.1 Phân biệt LU và PLU

Thực chất, đây là phép phân tích LU cộng với việc hoán đổi hàng:

A= PLU hay PA = LU với P là ma trận I được đổi vị trí các hàng nên P mũ trừ 1 = P

Ta sử dụng phương pháp này vào các trường hợp:

- TH1: Ma trận A cần phân tích có số 0 trên đường chéo

chính

- TH2: Đổi dòng để phép tính đơn giản và chính xác hơn.

6.2 Ứng dụng vào giải hệ phương trình tuyến tính

Giả sử ta có hệ phương trình tuyến tính AX = B

Khi phân tích A = LU gặp vấn đề khi rơi vào 1 trong 2 trường hợp trên, ta chuyển qua phân tích A = PLU hay PA = LU

Suy ra hệ phương trình tương đương PAX = PB

Sau bước này lại quay về tương tự giải hệ bằng phương pháp LU ở mục 1

Ví dụ minh họa

+Viết dưới dạng ma trận AX=B

A= [0 3 1

1 −1 0

−1 2 5] và B= [4

1

1]

3y+z=4 x-y=1 -x+2y+5z=1

+Xét thấy a11=0 gây khó khăn trong việc phân tích LU do đó

ta sẽ đổi vị trí hàng 1 và 2

Ma trận P= [0 1 0

1 0 0

0 0 1]

PA= [1 −1 0

0 3 1

−1 2 5] và PB= [1

4

1]

PHẦN IV PHÂN TÍCH ĐÁNH GIÁ PHƯƠNG PHÁP LU/PLU

VÀ GAUSS [4]

7 Nhắc lại phương pháp Gauss

- Bước 1: Lập ma trận mở rộng

- Bước 2 : Dùng phép biến đổi sơ cấp đối với hàng đưa ma trận

mở rộng về dạng ma trận bậc thang Kiểm tra hệ có nghiệm hay không

- Bước 3 : Viết hệ phương trình tương ứng với ma trận bậc thang

- Bước 4 : Giải hệ phương trình ngược từ dưới lên

8.Phân tích đánh giá phương pháp Gauss và phương pháp LU/PLU

8.1 Đối với bài toán giải hệ PTTT thông qua Ax=b a) Phương pháp Gauss

Ưu điểm:

- Dễ hiểu và triển khai, phù hợp cho các hệ phương trình nhỏ

- Chỉ cần một ma trận để lưu trữ hệ số và hằng số

Nhược điểm:

- Đối với các hệ phương trình lớn, việc thực hiện phép khử Gau

ss có thể không hiệu quả

- Có thể gặp vấn đề với độ chính xác khi xử lý các số rất lớn hoặc rất nhỏ

b) Phương pháp LU/PLU

Ưu điểm:

- Hiệu quả hơn khi xử lý hệ phương trình lớn, vì chỉ cần tách một lần và có thể tái sử dụng nhiều lần

- Dùng ma trận hoán vị để tăng tính ổn định và giảm thiểu lỗi P

số học.

Nhược điểm:

- Phân tích LU và giải hệ cần nhiều bước hơn so với phép khử Gauss

- Cần lưu trữ thêm các ma trận L, U, và có thể là P

Tổng kết:

- Phương pháp Gauss: Tốt cho hệ phương trình nhỏ hoặc khi kh ông cần tái sử dụng nhiều lần

- Phương pháp LU/PLU: Tốt cho hệ phương trình lớn và cần gi

ải nhiều hệ phương trình với cùng ma trận A

8.2 Đối với bài toán giải nhiều hệ PTTT Ax=b có A cố định, b thay đổi:

a) Phương pháp Gauss:

Ưu điểm:

- Không cần chuẩn bị trước hoặc phân tách ma trận

- Tiện lợi khi

giải hệ phương trình nhỏ và không có nhiều hệ cần giải Nhược điểm:

- Phải thực hiện khử Gauss cho mỗi hệ, dẫn đến lãng phí trong khi A cố định

- Dễ gặp vấn đề về độ chính xác khi xử lý nhiều hệ

b)Phương pháp LU/PLU:

Ưu điểm:

- Chỉ cần phân tích A một lần, sau đó giải hệ LUx=b nhanh chó

ng thông qua hai phép giải tam giác

- Ma trận hoán vị giúp tăng tính ổn định và giảm thiểu lỗi số P

học

Nhược điểm:

- Quá trình phân tích và giải hệ nhiều bước hơn so với phương pháp Gauss

- Cần lưu trữ thêm các ma trận L, U, và có thể là P

Tổng kết:

- Phương pháp Gauss: Phù hợp khi chỉ có một hệ phương trình hoặc số lượng hệ phương trình ít

- Phương pháp LU/PLU: Phù hợp khi phải giải nhiều hệ phương trình với A cố định, vì nó tận dụng hiệu quả phân tích

ma trận và giải hệ nhanh chóng hơn

phổ biến trong đại số tuyến tính và không được lấy trực tiếp từ bất kỳ tài liệu cụ thể nào Tài liệu tham khảo:

- "Introduction to Linear Algebra" của Gilbert Strang

- Các bài viết về Gaussian elimination và LU decomposition trên Wikipedia

- "Matrix Computations" của Gene H Golub và Charles F Van Loan