19 Ứng dụng Matlab trong khảo sát tính ổn định của hệ thống .... Từ hệ phương trình tìm được ở câu a tìm hàm truyền mô tả động cơ với tín hiệu vào là điện áp cung cấp và tín hiệu ra là t
Ứng dụng Matlab trong mô tả toán học hệ thống
Yêu cầu thực hiện: a Hãy tìm hàm truyền của hệ thống có sơ đồ ở Hình 0.1 b Sử dụng các hàm trong matlab
Hình 0.1 Sơ đồ khối 1 a Hàm truyền của hệ thống b Sử dụng các hàm trong matlab
Nhận xét: Kết quả mô phỏng đúng với tính toán trên lí thuyết c Biến đổi hàm truyền trên về hệ phương trình biến trạng thái bằng lý thuyết :
Dùng các hàm trong matlab để thực hiện hiểm nghiệm biến đổi trên
Chạy code của hình 1.1 ở bài 1.3.1a sau đó gõ lệnh ở dưới
Kết quả trên matlab khác so với kết quả thu được từ tính toán trên
Do kết quả từ Matlab không khớp với tính toán lý thuyết, chúng ta sẽ chuyển đổi số liệu từ hệ phương trình biến trạng thái về dạng hàm truyền để kiểm tra tính chính xác của kết quả lý thuyết.
Kết quả mô phỏng bằng MATLAB có thể khác biệt so với kết quả tính toán lý thuyết Để xác minh tính chính xác của kết quả, chúng ta cần thực hiện phép biến đổi ngược và kiểm tra xem kết quả thu được có trở về dữ liệu ban đầu hay không.
Sử dụng các hàm trong matlab
Các hàm truyền được định nghĩa như sau:
𝑠 a Giải bài toán trên giấy :
=> 𝐺(𝑠) = 𝑠 4 +4.65𝑠 𝑠 4 +4.25𝑠 3 +4.45𝑠 3 +3𝑠 2 +1.55𝑠+0.15 2 +0.5𝑠 b Sử dụng các hàm trong matlab
Nhận xét: phương pháp giải tay gần đúng với kết quả trên Matlab c Biến đổi hàm truyền trên về hệ phương trình biến trạng thái bằng lý thuyết
Hệ phương trình trạng thái là:
Chạy code của hình 1.1 ở bài 1.3.1a sau đó gõ lệnh HPT1
HPT1=ss(G);%chuyển đổi dạng hệ thống mô hình thành đối tượng hệ thống trạng thái
Kết quả trên matlab khác so với kết quả thu được từ tính toán
Kiểm tra kết quả hình 1.2
Kết quả tính toán bằng MATLAB có thể khác với kết quả lý thuyết Để kiểm tra tính chính xác, chúng ta cần thực hiện biến đổi ngược và xác định xem kết quả thu được có khớp với hàm truyền đã cho hay không.
Khi hàm truyền của hệ thống ở Hình 0.3 được tính toán theo các hàm Matlab như sau:
Hình 0.3 Sơ đồ khối 3 Các hàm truyền con được cho như sau:
Hàm truyền được tính như sau:
Nhận xét: Kết quả mô phỏng đúng
Hãy giải thích các hàm matlab trong quá trình tính toán trên
▪ Cú pháp G1=tf(ts,ms) : là tạo ra hệ thống có hàm tryền G1 có tử số là đa thức ts và mẫu số là đa thức ms
▪ Cú pháp T=append(G1,G2,G3 ) :là kết hợp các phần tử đầu vào G1 G2 G3 với các phần tử đó có thể là mảng hoặc chuỗi
▪ Cú pháp Inputs là chỉ định phần tử thứ 10 là đầu vào
▪ Cú pháp ouputs=5 là chỉ định phần tử thứ 5 là đầu ra
Cú pháp Ts=connect(T1,Q,inputs,outputs); được sử dụng để kết nối các thành phần trong sơ đồ khối bằng cách khớp các tín hiệu đầu vào và đầu ra đã được xác định.
▪ Cú pháp T=tf(Ts) là tạo ra hệ thống mô tả bởi hàm truyền
1 Tại sao phải đơn giản hàm truyền của hệ thống?
Khi hệ thống có nhiều thành phần phức tạp, việc giữ nguyên tất cả các hàm truyền sẽ làm cho quá trình phân tích trở nên khó khăn và dễ gây nhầm lẫn Sử dụng một hàm truyền đơn giản giúp làm rõ mối quan hệ giữa đầu vào và đầu ra của hệ thống tổng thể.
2 Khi chuyển đổi phương trình vi phân hay phương trình biến trạng thái về hàm truyển thì điều kiện nào là cần thiết?
Hệ thống cần phải có tính tuyến tính với các tham số không thay đổi theo thời gian Đồng thời, phương trình vi phân phải là tuyến tính và chỉ có các nghiệm hữu hạn, đảm bảo rằng hệ thống không chứa các điểm kỳ dị có thể dẫn đến nghiệm vô hạn.
3 Ý nghĩa của việc mô tả mô hình của hệ thống là gì?
Mô hình này giúp chúng ta hiểu rõ cách thức hoạt động của hệ thống, đồng thời cho phép đánh giá các tiêu chí quan trọng như ổn định, độ chính xác và tốc độ phản hồi.
Ứng dụng Matlab trong khảo sát tính ổn định của hệ thống
Để phân tích hàm truyền G, sử dụng lệnh G = tf([10], conv([0 1 0.2], [1 8 20])); và vẽ biểu đồ Bode của G trong khoảng tần số từ 0.1 đến 100 rad/s bằng lệnh bode(G, {0.1, 100}); Tiếp theo, áp dụng margin(G) để tìm tần số cắt biên, pha dự trữ, tần số cắt pha và biên dự trữ Sau khi hoàn tất, lưu biểu đồ Bode dưới định dạng file *.bmp và chèn vào file Word để viết báo cáo, đồng thời cần chỉ rõ các giá trị tìm được trong biểu đồ Bode.
- Tần số cắt pha : -4.66 rad/s
- Độ dự trữ pha: 103 deg
- Tần số cắt biên : 0.455 rad/s
- Độ dự trữ biên: 24.8 dB c xét tính ổn định của hệ thống kín, giải thích:
Hệ kín được coi là ổn định khi hệ hở có độ dự trữ biên và độ dự trữ pha đều dương Trong trường hợp này, độ dự trữ biên Gm đạt 24.8 dB và độ dự trữ pha Pm là 103 độ, cả hai đều lớn hơn 0, xác nhận rằng hệ kín ổn định Để minh họa cho kết luận này, cần vẽ đáp ứng quá độ của hệ thống với đầu vào là hàm nấc đơn vị trong khoảng thời gian từ t=0 đến 10 giây.
Gkedback(10*G,1);%với K step(G,10); e Với K@0 thực hiện lại các yêu cầu từ câu a→d
1 Với K@0, hãy vẽ biểu đồ Bode biên độ và pha của hệ hở trong khoảng tần số (0.1, 100)
G = tf([400], conv([0 1 0.2], [1 8 20])); % nhập hàm truyền G bode(G, {0.1, 100}); % vẽ biểu đồ Bode của G trong khoảng tần số từ 0.1 đến 100 rad/s margin (G);grid on
2 Tìm tần số cắt biên, pha dự trữ, tần số cắt pha, biên dự trữ Lưu biểu đồ Bode thành file
*.bmp, chèn vào file word để viết báo cáo Chú ý phải chỉ rõ các giá trị tìm được trong biểu đồ Bode
- Tần số cắt biên: 6.73 rad/s
- Độ dự trữ pha : -23.4 deg
- Tần số cắt pha: 4.65 rad/s
- Độ dự trữ biên: -7.27 dB
3 Xét tính ổn định của hệ thống kín và giải thích :
Theo tiêu chuẩn Bode, một hệ kín được coi là ổn định khi hệ hở có độ dự trữ biên và độ dự trữ pha đều âm Trong trường hợp này, độ dự trữ pha Pm là -23.4 độ và độ dự trữ biên Gm là -7.27 dB, cả hai đều âm Do đó, hệ kín không ổn định theo tiêu chuẩn Bode.
4 Vẽ đáp ứng quá độ của hệ thống trên với đầu vào là hàm nấc đơn vị trong khoảng thời gian t=0÷10s để minh họa kết luận ở câu 3
Lệnh vẽ đáp ứng quá độ của hệ thống trong Matlab:
Gkedback(400*G,1);%400 là hệ số K step(Gk,10)
Khảo sát hệ thống dùng biểu đồ Nyquist
Yêu cầu thực hiện
Khảo sát hệ thống hồi tiếp âm đơn vị có hàm truyền vòng hở là G(s)
(𝑠+0.2)(𝑠 2 +8𝑠+20) , K ≥ 0 a Hãy vẽ quĩ đạo nghiệm số (QĐNS) của hệ thống Dựa vào QĐNS tìm Kgh của hệ, chỉ rõ giá trị này trên hình
G=tf([1],conv([0 1 0.2],[1 8 20])); rlocus(G); grid on;
Giá trị độ lợi K tại vị trí bằng là Kgh = 172
Để tính toán giá trị K cho hệ thống có tần số dao động tự nhiên ωn = 4 rad/s, cần xác định K ở mức 8.04 và 8.08 Ngoài ra, để đạt được hệ số giảm chấn ξ = 0.7, cần tìm giá trị K phù hợp.
Khi giá trị K đạt 23, hệ thống có hệ số giảm chấn 𝜀 là 0.7 Để đạt độ vọt lố σmax% là 25%, giá trị K phù hợp là 43.6 Đối với thời gian xác lập (tiêu chuẩn 2%) txl = 4s, giá trị K thích hợp cần đạt là KS.2.
Thực hiện khảo sát hệ thông điều khiển bằng QĐNS với hàm truyền
Để vẽ quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) của hệ thống với hàm truyền 𝑠(𝑠 + 5)(𝑠² + 3𝑠 + 9), trước tiên cần xác định giá trị Kgh của hệ thống và chỉ rõ giá trị này trên hình Sau đó, tìm giá trị K để hệ thống đạt tần số dao động tự nhiên ωn = 4 Tiếp theo, xác định K để hệ thống có hệ số giảm chấn ξ = 0.7 Để đạt độ vọt lố σmax% = 25%, cần tìm giá trị K phù hợp Cuối cùng, tìm K để hệ thống có thời gian xác lập (tiêu chuẩn 2%) txl = 4s.
Khảo sát hệ thống trên bằng biều đồ bode và Nyquist khi 𝐾 = 𝐾 𝑔ℎ
2 a Hãy vẽ quĩ đạo nghiệm số (QĐNS) của hệ thống Dựa vào QĐNS tìm Kgh của hệ, chỉ rõ giá trị này trên hình
G=tf([1 1],conv([1 5 0],[1 3 9])); rlocus(G); grid on;
Ta tìm được K3 b Tìm K để hệ thống có tần số dao động tự nhiên ωn = 4
Ta dựa vào QDNS tìm được K c Tìm K để hệ thống có hệ số giảm chấn ξ = 0.7
Không có K nào thỏa mãn điều kiện d Tìm K để hệ thống có độ vọt lố σmax% = 25%
Dựa vào QDNS ta tìm được K=9.2 e Tìm K để hệ thống có thời gian xác lập (tiêu chuẩn 2%) txl = 4s
Dựa vào QDNS ta tìm được K.3
1 So sánh các phương pháp khảo sát hệ thống điều khiển
2 Khi nào sử dụng các phương pháp khảo sát hệ thống điều khiển?
3 Chỉ ra mối liên hệ giữa biểu đồ Bode và Nyquist
Câu 1 So sánh các phương pháp khảo sát hệ thống điều khiển?
Phương pháp ổn định tần số bằng biểu đồ Bode yêu cầu xem xét độ dự biên và độ dự trữ pha Nếu cả hai chỉ số này đều dương, hệ thống sẽ được coi là ổn định.
Phương pháp ổn định tần số bằng biểu đồ Nyquist yêu cầu xác định các cực của hệ hở nằm bên trái Để đảm bảo hệ kín ổn định, đường Nyquist cần không bao điểm (-1,0).
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số phức tạp hơn hai phương pháp trước đó, yêu cầu xác định các giá trị cực, zero và các điểm tách nhập Từ những giá trị này, ta có thể xác định giá trị K giới hạn, qua đó đánh giá tính ổn định của hệ thống.
Câu 2 Khi nào sử dụng các phương pháp khảo sát hệ thống điều khiển?
- Biểu đồ Bode: Phù hợp cho hệ thống cần tối ưu hóa hiệu suất tần số và cần thông tin về băng thông hoặc đáp ứng ổn định
- Biểu đồ Nyquist: Thường dùng trong các hệ thống điều khiển phức tạp, nơi yêu cầu kiểm tra nhanh về khả năng ổn định
- PP QĐNS : Phù hợp cho thiết kế và tinh chỉnh các hệ thống điều khiển mà ảnh hưởng của cực và zero đến ổn định là quan trọng
Câu 3 Chỉ ra mối liên hệ giữa biểu đồ Bode và Nyquist?
Biểu đồ Bode và Nyquist là hai công cụ quan trọng trong phân tích hệ thống điều khiển trong miền tần số Chúng cung cấp thông tin cần thiết về ổn định và đáp ứng tần số của hệ thống, giúp kỹ sư thiết kế và tối ưu hóa hiệu suất điều khiển.
Biểu đồ Nyquist được xây dựng từ thông tin của biểu đồ Bode, sử dụng độ lớn và pha để tạo ra quỹ đạo Nyquist Cả hai phương pháp đều dựa vào hàm truyền vòng hở của hệ thống, nhưng biểu đồ Nyquist cung cấp cái nhìn toàn diện về ổn định, trong khi biểu đồ Bode tập trung vào phân tích độ lợi và pha.
Khi cần kiểm tra ổn định của hệ thống điều khiển, biểu đồ Nyquist thường được sử dụng để đánh giá trực quan, trong khi biểu đồ Bode lại hữu ích hơn cho việc tinh chỉnh và tối ưu hóa hệ thống.
Khảo sát hệ thống hồi tiếp âm đơn vị có hàm truyền vòng hở là G(s)
Với giá trị Kgh đã xác định, hãy vẽ đáp ứng quá độ cho đầu vào là hàm nấc đơn vị Kiểm tra xem ngõ ra có xảy ra dao động hay không?
Dựa vào hình vẽ, ta nhận thấy ngõ ra của dao ổn định Với giá trị K đã xác định ở câu 3.3 d của bài thí nghiệm số 2, hãy vẽ đáp ứng quá độ của hệ thống kín với đầu vào hàm nấc đơn vị trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 giây Cần tìm độ vọt lố và sai số xác lập của hệ thống Đồng thời, kiểm chứng xem hệ thống có đạt σmax% = 25% hay không.
- Từ đồ thị trên ta thấy giá trị xác lập là 0.913
- Sai số xác lập của hệ thống: Exl= 1-0.913=0.087
- Độ vọt lố của hệ thống là : 21.8 %
Theo kết quả, ta thấy rằng 21.8%Kgh thì hệ sẽ mất ổn định
- Khâu tích phân I: làm giảm mạnh sai số xác lập, đáp ứng chậm lại, tăng độ vọt lố
- Khâu vi phân D: giảm độ vọt lố, giảm thời gian xác lập
Khảo sát mô hình điều khiển tốc độ động cơ
Động cơ một chiều được sử dụng khá phổ biến trong các hệ điều khiển nhờ đặc tính cơ là tuyến tính, tầm điều chỉnh vận tốc rộng
Sơ đồ nguyên lý của động cơ một chiều như sau:
Hình 0.2 Mô hình động cơ một chiều
Trong động cơ điện, các yếu tố quan trọng bao gồm điện cảm (L) của cuộn dây stato, điện trở (R) của cuộn dây, dòng điện (i) chạy trong cuộn dây, và điện áp (U) cung cấp cho động cơ Momen quay (T) và vận tốc góc (𝜔) cũng là những chỉ số cần thiết để đánh giá hiệu suất hoạt động Hệ số ma sát (𝐾𝑓), hằng số momen (𝐾𝑚), và hằng số suất điện động (𝐾𝑏) đóng vai trò quan trọng trong việc xác định khả năng hoạt động của động cơ Cuối cùng, momen quán tính (J) của các phần chuyển động ảnh hưởng đến sự ổn định và hiệu suất của hệ thống.
Cho R=2Ω, L=0.5H, Km=0.015, Kb=0.015Vs/rad, Kf=0.2, J=0.02kgm/s² a Tìm hệ phương trình biến trạng thái với hai biến trạng thái x1=i và x2=ω b Dựa vào hệ phương trình ở câu a, xác định hàm truyền mô tả động cơ với tín hiệu vào là điện áp cung cấp và tín hiệu ra là tốc độ quay của động cơ (𝜔), giả thiết bỏ qua momen tải (chạy không tải) c Từ hàm truyền ở câu b, thiết kế bộ điều khiển PI theo tiêu chuẩn modun tối ưu d Xây dựng mô hình điều khiển tốc độ động cơ như hướng dẫn trong các tài liệu tham khảo.
Hình 0.3 Sơ đồ mô phỏng của động cơ một chiều Trong đó:
- Tín hiệu đặt đầu vào là hàm nấc đơn vị r(t) 0 tương ứng tốc độ mong muốn là 200
- Bộ điều khiển PID có các thông số đã tính toán ở câu c (kD=0)
- Động cơ có hàm truyền đã tính toán ở câu b
- Thời gian mô phỏng Stop Time = 10s a Tìm hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ với hai biến trạng thái x1=i và x2= ω
Ta có phương trình cân bằng cơ:
𝐽 ω(𝑡) Thế x1=i và x2=ω vào (1) (2) ta được:
Ta viết lại dưới dạng ma trận, giả sử bỏ qua momen tải Mt=0
] 𝑢(𝑡) Đáp ứng của hệ thống:
Hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống:
Để tìm hàm truyền mô tả động cơ, chúng ta sử dụng hệ phương trình đã xác định ở câu a, trong đó tín hiệu vào là điện áp cung cấp và tín hiệu ra là tốc độ quay của động cơ (𝜔) Giả thiết là bỏ qua momen tải, tức là động cơ hoạt động trong trạng thái không tải.
Ta có hệ PT trạng thái
𝑠 2 + 14𝑠 + 40 (s+4)(s+10)=s 2 +14s+40 c Từ hàm truyền tìm được ở câu b, hãy thiết kế bộ điều khiển PI theo tiêu chuẩn modun tối ưu
Do đối tượng có hàm truyền kiểu:
(1 + 𝑇1𝑠)(1 + 𝑇2𝑠) 𝑇𝑟𝑜𝑛𝑔 đó 𝑇1 < 𝑇2 Theo tiêu chuẩn Module tối ưu thì bộ điều khiển PI có dạng là:
2𝐾𝑇1𝑠 Vậy: thay T1=0.1, T2=0.25, K=0.0375 vào hàm truyền PI
3 +400 3𝑠 d.1 Thực hiện khảo sát hệ thống với bộ điều khiển P ( kI = 0, kD = 0 )
Để trình bày đáp ứng ngõ ra của hệ thống, cần thể hiện rõ ràng từng thông số bộ điều khiển trên một đồ thị Việc này giúp người đọc dễ dàng theo dõi và phân tích mối quan hệ giữa các thông số và hiệu suất của hệ thống (Tham khảo thêm từ các tài liệu liên quan).
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày sai số ngõ ra của hệ thống tương ứng với từng thông số của bộ điều khiển thông qua các đồ thị minh họa Để hiểu rõ hơn về mối quan hệ này, vui lòng tham khảo các liên kết 3 và 4 trong tài liệu tham khảo.
• Tìm độ vọt lố, sai số xác lập và thời gian quá độ theo bảng sau
• Nhận xét chất lượng của hệ thống thay đổi như thế nào khi kp thay đổi Giải thích
Xây dựng mô hình bộ điều khiển động cơ:
Theo đề cho R=2Ω, L=0.5H, Km = 0.015, Kb = 0.015Vs/rad, Kf = 0.2, J = 0.02kgm/s 2
Kết quả thu được: đáp ứng mong muốn 200, thời gian mô phỏng 10s
Biểu đồ đáp ứng ngõ ra của hệ thống khi Kp thay đổi
Biểu đồ sai số đáp ứng ngõ ra khi thay đổi Kp Bảng 0.1 Khảo sát chất lượng của hệ thống khi kp thay đổi kp 1 10 20 30 50
Khi hệ số Kp tăng, sai số xác lập giảm nhưng đồng thời gây ra dao động trong hệ thống, dẫn đến độ vọt lố tăng cao Để khảo sát hệ thống, bộ điều khiển PI được thực hiện với các tham số kp = 33.323 và kD = 0.
Hệ thống được trình bày với các đáp ứng ngõ ra tương ứng cho từng thông số bộ điều khiển, thể hiện rõ ràng trên một đồ thị (Xem thêm thông tin chi tiết tại link 3 và 4 trong tài liệu tham khảo.)
Hệ thống điều khiển cho thấy sai số ngõ ra tương ứng với từng thông số bộ điều khiển được trình bày rõ ràng trên đồ thị (Tham khảo thêm tại link 3 và 4 trong tài liệu.)
• Tìm độ vọt lố, sai số xác lập và thời gian quá độ theo bảng sau
• Nhận xét chất lượng của hệ thống thay đổi như thế nào khi kI thay đổi Giải thích
Biểu đồ đáp ứng ngõ ra của hệ thống khi thay đổi Ki
Khi tăng giá trị Ki trong hệ thống, hiện tượng dao động mạnh dần xuất hiện, dẫn đến sự gia tăng vọt lố Mặc dù sai số xác lập không thay đổi, nhưng thời gian xác lập lại được rút ngắn.
Bảng Khảo sát chất lượng của hệ thống khi kI thay đổi
Yêu cầu thực hiện
Khảo sát mô hình điều khiển nhiệt độ
Cho đặc tính lò nhiệt hình 4.5
Hình 0.5 Đặc tính lò nhiệt a Hãy xác định hàm truyền gần đúng của lò nhiệt
Hàm truyền của lò nhiệt: 𝑊 𝑑𝑡 = 𝐾
Giả sử nếu điểm uống có tọa là (t,T) = (30,35)
2000𝑠 2 + 120𝑠 + 1 b Dùng Simulink xây dựng mô hình điều khiển vòng hở lò nhiệt :
Xây dựng sơ đồ mô phỏng lò nhiệt trong Simulink
Thiết lập thông số hàm truyền của lò nhiệt tìm được ở câu a vào khối Tranfer Fcn
Thời gian mô phỏng là 600s
Tiến hành mô phỏng ta được đặc tính của lò nhiệt như sau:
Dùng lệnh plot tạo figure của Scope đã mô phỏng ở trên và vẽ tiếp tuyến tại điểm uốn để tính T1,T2
>> plot(out.data.time,out.data.signals.values);
>> grid on c Hãy thiết kế bộ điều khiển PID cho lò nhiệt dùng phương pháp Zeigler-Nichols
Tính toán các tham số PID :
Hàm truyền của bộ điều khiển PID :
𝑠 + 0.24𝑠 d Xây dựng mô hình điều khiển tốc độ động cơ :