ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNGTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMHUỲNH THU PHƯƠNG MỘT VÀI MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG CỦA NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO BANACH Chuyên ngành: Sư phạm Toán KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Giảng viên hướng dẫn TS..
Không gian metric
Định nghĩa 1.1 (Xem [1]) Cho X là một tập hợp tùy ý (X ̸= ∅) Một khoảng cách hay một metric trong X là một ánh xạ: d : X ×X → R (x, y) 7→ d(x, y) thỏa mãn các điều kiện sau:
Ví dụ 1.1 Gọi C[a, b] là không gian tất cả các hàm liên tục trên [a, b] Đặt d(x(t), y(t)) = max a≤t≤b|x(t)−y(t)| với mọi x(t), y(t) ∈ C[a, b] Khi đó (C[a;b], d) là không gian metric.
Thật vậy x(t), y(t) ∈ C[a, b] ta có |x(t)−y(t)| ≥ 0 với mọi t∈ [a, b] suy ra max a≤t≤b|x(t)−y(t)| ⩾ 0 hay d(x, y)y ⩾ 0
Mà ta có |x(t)−z(t)| ≤ max a≤t≤b|x(t)−z(t)| = d(x(t), z(t)) với mọi t ∈ [a, b],
⇒d(x(t), y(t)) ≤ d(x(t), z(t)) +d(z(t), y(t)) Vậy (C[a, b], d) là không gian metric.
Ví dụ 1.2 Nếu x,y,u,v là bốn điểm tùy ý của không gian metric (X,d), thì ta có:
Các vế phải của (1) và (2) bằng nhau, từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. Định lý 1.1 (Xem [1] ) Cho (X, d) là không gian metric, A ⊂ X, A ̸= ∅ với mọi x, y ∈ X, ta có: |d(x, A)−d(y, A)| ≤d(x, y).
Lấy z tùy thuộc A, ta có: d(x, z) ≤ d(x, y) +d(y, z).
⇒d(x, A) ≤d(x, y) +d(y, z) với mọi z ∈ A, vậy d(x, A) ≤d(x, y) +d(y, A)Thay đổi vai trò của x và y, ta được kết quả cần chứng minh.
Tập mở và tập đóng
Định nghĩa 1.2 (Xem [1]) Dãy {u n } trong không gian metric (X, d) gọi là hội tụ đến điểm a ∈ X nếu với mọi ε > 0, tồn tại n 0 ∈ N sao cho với mọi n≥ n0 :d(un, a) < ε.
Ví dụ 1.3 Trong R ta có: Dãy {u n } gọi là có giới hạn là a khi n → ∞ nếu
⇒ Với mọi ε > 0 tồn tại n 0 ∈ N với mọi n ≥n 0 ta có |u n −a| < ε. Định lý 1.2 Nếu x n →a và y n →b thì lim n→∞d(x n , y n ) = d(a, b).
Theo bất đẳng thức tứ giác ta có |d(x n , yn)−d(a, b)| ≤ d(xn, a) +d(yn, b) và khi n → ∞ thì vế phải dần đến 0.
Trong không gian metric (X, d), với A ⊂ X, ta có các định nghĩa quan trọng: Định nghĩa 1.3 xác định hình cầu mở B(x0, r) là tập hợp các điểm x ∈ X sao cho khoảng cách d(x, x0) nhỏ hơn r Định nghĩa 1.4 mô tả hình cầu đóng B′(x0, r) là tập hợp các điểm x ∈ X với khoảng cách d(x, x0) nhỏ hơn hoặc bằng r Cuối cùng, Định nghĩa 1.5 chỉ ra rằng B(x0, r) được gọi là một r-lân cận của điểm x0.
Mọi tập con của X đều bao hàm một lân cận nào đó của điểm x₀, được gọi là lân cận của x₀ Theo định nghĩa, điểm x được xem là điểm trong tập hợp A ⊂ X nếu tồn tại một lân cận của x nằm hoàn toàn trong A Ngược lại, điểm x được gọi là điểm biên của A ⊂ X nếu mọi lân cận của x đều chứa cả những điểm thuộc A và những điểm không thuộc A.
Tập hợp A ⊂ X được gọi là tập hợp mở nếu mọi điểm thuộc A đều là điểm trong của A Ngược lại, A được gọi là tập hợp đóng nếu mọi điểm không thuộc A đều là điểm trong của phần bù của A.
Ví dụ 1.4 Ta có (a, b) là tập mở và [a, b] là tập đóng. Định lý 1.3 Hình cầu mở B(a, r) là một tập mở.
Ta hãy lấy r ′ sao cho 0 < r ′ < r−d(a, x) Khi đó B(x, r ′ ) ⊂ B(a, r) bởi vì nếu y ∈ B(x, r ′ ) thì d(x, y) < r ′ do đó ta có d(a, y) ≤ d(a, x) +d(x, y) < r ⇒ y ∈ B(a, r).
Thành thử mọi điểm x của hình cầu B(a, r) đều là điểm trong của hình cầu ấy và B(a, r) là mở. Định lý 1.4 Trong không gian metric X
(1) Hình cầu đóng B ′ (a, r) là một tập hợp đóng;
(2) Tập hợp một điểm {a} là đóng.
Giả sử x ∈ G Vì x /∈ B(a, r) nên d(a, x) > r Ta hãy chọn r ′ sao cho
0< r ′ < d(a, x)−r và chứng tỏ rằng B(x ′ , r ′ ) ⊂ G (từ đó suy ra rằng G là mở và B ′ (a, r) là đóng) Thật vậy, giả sử y ∈ B(x, r ′ ) tức là d(x, y) < r ′ Vì d(a, x) ≤ d(a, y) +d(x, y) < d(a, y) +r ′ < d(a, y) +d(a, x)−r.
Trong không gian metric X, một tập hợp F ⊂ X được coi là đóng nếu và chỉ nếu mọi dãy (x_n) trong F hội tụ đến một điểm a thì điểm a cũng thuộc F Điều này được thể hiện qua việc các hình cầu B′(a, 1/n) và B′(a, n/1) đều là các tập hợp đóng, từ đó suy ra rằng tập {a} cũng là một tập đóng.
Chứng minh. Đặt G = X\F Điều kiện cần: Giả sử F đóng và a = lim x→∞x n , với x n ∈ F(n= 1,2, ). Lấy b /∈ F, tức là b ∈ G
Mà G là một tập mở, do đó tồn tại một hình cầu B(b, r) nằm trong G Vì x_n không thuộc G, nên x_n cũng không thuộc B(b, r), dẫn đến d(b, x_n) ≥ r (với n = 1, 2, ) Điều này chứng tỏ rằng mọi điểm b không thuộc F đều không thể là giới hạn của dãy (x_n) Vì a là giới hạn của dãy (x_n), nên a thuộc F Điều kiện đủ cho thấy nếu tập hợp F thỏa mãn tính chất đã nêu trong định lý, thì tập hợp G cũng là một tập mở.
Giả sử G không mở, sẽ có một điểm a ∈ G không phải là điểm trong của G, dẫn đến việc bất kỳ hình cầu B(a, n 1 )(n = 1,2, ) đều không nằm trọn trong G Điều này có nghĩa là tồn tại một điểm xn ∈ B(a, n 1 ) với x n ∈ F (n = 1,2, ) Vì d(a, x n ) < n 1, nên x n tiến gần đến a, và do x n ∈ F, điều này cho thấy a không thuộc G, tạo ra mâu thuẫn Từ đó, ta chứng minh rằng G là một tập mở và F là một tập đóng Định lý 1.6 khẳng định rằng nếu F là một tập hợp đóng trong không gian metric X, thì x ∈ F tương đương với d(x, F) = 0.
Nếu d(x, F) = 0, thì theo định nghĩa d(x, F) = inf y∈Fd(x, y), với mọi số nguyên dương n, tồn tại một điểm yn ∈ F sao cho d(x, yn) < n Do đó, ta có một dãy (yn) các điểm thuộc F hội tụ đến x Vì F là tập đóng, theo định lý 1.6, x sẽ thuộc về F.
Không gian metric đầy đủ
Dãy {x n } trong không gian metric X được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0, tồn tại n 0 ∈ N sao cho với mọi n, m ≥ n 0, ta có d(xn, xm) < ε Một không gian metric (X, d) được xem là đầy đủ khi mọi dãy Cauchy trong không gian đó đều hội tụ tới một phần tử của X.
Không gian (C[a, b], d) là không gian đầy đủ Dãy (x n) là dãy cơ bản trong C[a, b], với d(xn, xm) = max t∈[a,b]|x n (t)−xm(t)| → 0 khi m, n → ∞ Điều này cho thấy |x n (t)−xm(t)| ≤ d(xn, xm), dẫn đến (xn(t)) là dãy số thực cơ bản trong R và hội tụ Đặt x(t) = lim n→∞x n (t) với mọi t ∈ [a, b] Để chứng minh x(t) thuộc C[a, b] và x n → x trong C[a, b], với ε > 0 tồn tại n0 sao cho |x n (t)−x m (t)| < ε với mọi m, n ≥ n0 và mọi t ∈ [a, b] Do đó, x n(t) hội tụ đều đến x(t) trên [a, b], chứng tỏ x(t) liên tục trên [a, b] và x(t) ∈ C[a, b] Vì vậy, C[a, b] là không gian đầy đủ Định lý 1.7 khẳng định rằng nếu X là không gian metric đầy đủ và Y ⊂ X, Y không rỗng, thì Y là không gian đầy đủ nếu và chỉ nếu Y đóng trong X.
Để chứng minh, giả sử không gian con Y là đầy đủ và x 0 thuộc Y Khi đó, tồn tại một dãy (x n) trong Y hội tụ đến x 0, và dãy (x n) này là một dãy Cauchy trong không gian đó.
Y, mà Y là đầy đủ, nên có giới hạn thuộcY Giới hạn phải làx0, vậy x0 ∈ Y.
Y là một tập hợp đóng vì nó chứa tất cả các điểm dính của nó Để chứng minh Y là đầy đủ, giả sử (x_n) là một dãy Cauchy trong Y Do (x_n) cũng là dãy Cauchy trong X, mà X là không gian đầy đủ, nên tồn tại giới hạn x_0 của dãy (x_n) Vì mọi phần tử x_n thuộc Y, nên giới hạn x_0 cũng thuộc Y Do đó, mọi dãy Cauchy trong Y đều có giới hạn thuộc Y, chứng tỏ rằng Y là đầy đủ.
Không gian compact
Định nghĩa 1.12 (Xem [1]) Một tập hợp M trong một không gian metric (X, d) được gọi là compact nếu mọi dãy {x n } ⊂ M đều chứa một dãy con {x n k } hội tụ tới một điểm trong M.
Một không gian metric (X, d) được xem là compact nếu nó là một tập hợp compact Theo Định lý 1.8, nếu K là một tập hợp compact trong không gian metric, thì có những tính chất đặc biệt liên quan đến nó.
(1) K là đóng và hoàn toàn bị chặn.
(2) Với tính chất là một không gian con của X, thì K là một không gian metric đầy đủ.
Giả sử \( x_0 \in K \), tồn tại một dãy \( \{x_n\} \) trong K hội tụ đến \( x_0 \) Dãy \( \{x_n\} \) là dãy Cauchy với \( x_0 \) là điểm cụm duy nhất Vì K là tập hợp compact, suy ra \( x_0 \in K \) Do đó, K là tập hợp đóng.
Giả sử K không bị chặn hoàn toàn, thì tồn tại một bán kính r > 0 sao cho không thể sử dụng một số hữu hạn hình cầu có bán kính r để bao phủ K Chọn x1 thuộc K.
Vì K | (B(x 1 , r)∪B(x 2 , r)) ̸= ∅ nên tồn tại x 3 ∈ K | (B(x 1 , r)∪B(x 2 , r)). Tiếp tục quá trình ấy, ta dựng được một dãy {x n } trong K sao cho: x n ∈/ n−1
Do đó d(xn, xm) ≥ r khi n ̸= m.
Dãy{x n }cũng như bất cứ dãy con nào của nó, không thể là một dãy Cauchy. Điều này mâu thuẫn với giả thiết K compact ⇒ K là hoàn toàn bị chặn.
Giả sử {x n} là một dãy Cauchy trong không gian K Do K là compact, tồn tại một dãy con {x n k} của {x n} với giới hạn lim n→∞ {x n k} = x 0 ∈ K Điều này cho thấy x 0 cũng là giới hạn của dãy {x n} Từ đó, ta kết luận rằng K là một không gian metric đầy đủ.
Ánh xạ liên tục
Định lý 1.9 Cho (X, d x ),(Y, d y ) là các không gian metric Ánh xạ f : X →
Hàm số f được coi là liên tục tại điểm x0 thuộc tập X nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x thuộc X, nếu khoảng cách dx(x, x0) nhỏ hơn δ thì khoảng cách dy(f(x), f(x0)) nhỏ hơn ε Định lý 1.10 khẳng định rằng điều kiện cần và đủ để ánh xạ f: X → Y liên tục tại điểm x0 là với mọi lân cận W của f(x0) thuộc Y, tồn tại một lân cận V của x0 sao cho f(V) nằm trong W.
Để chứng minh tính liên tục của hàm số f tại điểm x0, ta giả sử f liên tục và W là lân cận của f(x0) Cần chứng tỏ tồn tại hình cầu B(x0, n1) ⊂ X sao cho f(B(x0, n1)) ⊂ W Giả thiết ngược lại dẫn đến việc tồn tại điểm xn trong B(x0, 1/n) sao cho f(xn) không thuộc W, điều này mâu thuẫn với giả thiết về tính liên tục của f Đối với điều kiện đủ, nếu ánh xạ f thỏa mãn định lý và (xn) là dãy hội tụ đến x0, với r > 0, tồn tại lân cận V ⊂ X của x0 sao cho f(V) ⊂ B(f(x0), r) Khi n đủ lớn, xn thuộc V, dẫn đến f(xn) nằm trong B(f(x0), r) và do đó f(xn) hội tụ đến f(x0).
Không gian định chuẩn
X là không gian vectow trên trường K Ánh xạ P : X → R gọi là một chuẩn trên X nếu
2 Với mọi x ∈ X, với mọi α ∈ R sao cho P(αx) =|α|P(x).
Và (X, P) gọi là không gian định chuẩn Kí hiệu: P(x) = ∥x∥ Trong không gian định chuẩn (X, P) Ta kí hiệu như sau d(x, y) = ∥x−y∥.
Khi đó d là một metric trên X
Định lý 1.11 khẳng định rằng nếu A: X → Y là một ánh xạ tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y, thì các mệnh đề liên quan đến khoảng cách d(x, y) = ∥x−y∥ được thể hiện qua bất đẳng thức tam giác: d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
(2) A liên tục tại một điểm x 0 ∈ X.
(4) Tồn tại một số M, sao cho với mọi x ∈ X, ta đều có: ∥Ax∥ ≤ M∥x∥. Chứng minh
(2) ⇒ (3): Cho A liên tục tại x 0 Phải chứng minh A liên tục tại 0.
Với mọi{x n } ⊂ X mà lim n→∞x n = 0 Phải chứng minh lim n→∞A(x n ) =A(0) = 0.
Ta có lim n→∞(x n + x 0 ) =x 0 Do A liên tục tại x 0
Với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 với mọi x ∈ Xmà ∥x∥ < δ thì ∥Ax∥ < ε
Chọn ε = 1 ⇒ tồn tại δ 0 > 0 với mọi x ∈ X mà ∥x∥< δ 0 ⇒ ∥Ax∥ < 1 (*) Với mọi x ∈ X \ {0} ⇒ ∥ δ 0 x∥= | δ 0
(4) ⇒ (1): Với mọi x ∗ ∈ X Chứng minh rằng A liên tục tại x ∗
Với mọi {x n } ⊂ X mà lim n→∞xn = x ∗
Phải chứng minh lim n→∞A(xn) =A(x ∗ ) với mọi n ∈ N.
CHƯƠNG2 ĐỊNH LÝ BANACH VỀ ÁNH XẠ CO, CÁC MỞ
Định lý Banach
Định nghĩa 2.1 (Xem [2])Cho X là không gian metric và F là ánh xạ từ
Một điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động của ánh xạ F nếu thỏa mãn điều kiện x = F(x) Tập hợp tất cả các điểm bất động của F được ký hiệu là Fix(F) Trong hai không gian metric (X, d) và (Y, d), ánh xạ F : X → Y được xem là ánh xạ co nếu tồn tại một hằng số α ∈ R với 0 ≤ α < 1, sao cho với mọi cặp điểm x, x' ∈ X, ta có d(F(x), F(x')) ≤ αd(x, x').
Cho (X, d) và (Y, d) là không gian metric, nếu F : X → Y là ánh xạ co và (Y, d) là một không gian metric đầy đủ, thì theo định lý Banach, F : Y → Y cũng là ánh xạ co với hằng số co α Định lý này khẳng định rằng F có duy nhất một điểm bất động u, và với mọi y ∈ Y, d(F^n(y), u) sẽ hội tụ về u Hơn nữa, ta có bất đẳng thức d(F^n(y), u) ≤ α^n(1−α)⁻¹ d(F(y), y) (với n ≥ 1) và d(F^n(y), u) ≤ α(1−α)⁻¹ d(F^n(y), F^(n−1)(y)) (với n ≥ 1).
Để chứng minh rằng ánh xạ F có duy nhất một điểm bất động u và F n(y) → u với mọi y ∈ Y, trước tiên cần chứng minh rằng dãy {F n y} hội tụ đến u Sau đó, áp dụng tính đầy đủ của không gian metric Y để hoàn tất chứng minh.
Do F là một ánh xạ co với hằng số co α nên ta có d(F y, F 2 y) ≤ αd(y, F y) d(F 2 )y, F 3 y) ≤αd(F y, F 2 y) ≤ α 2 d(y, F y)
Từ đây ta có thể chứng minh được: d(F n y, F n+1 ) ≤ α n d(y, F y) với mọi n ∈ N. Giả sử F có hai điểm bất động u 1 và u 2 , ta có d(u 1 , u 2 ) = d(F u 1 , F u 2 ) ≤ αd(u 1 , u 2 ).
Vì 0 < α < 1 do đó d(u 1 , u 2 ) = 0, nghĩa là u 1 = u 2 Điều này chứng tỏ rằng
F chỉ có một điểm bất động duy nhất u.
Bây giờ, để chứng minh F n y hội tụ đến u, ta sử dụng tính đầy đủ của không gian metric Y.
Bằng quy nạp ta có d(F n y, F n+1 ) ≤ α n d(y, F y) với mọi n ∈ N Do đó với mọi n ∈ N với mọi p∈ N ta có d(F n y, F n+p y) ≤ n+p−1
Vì Y là một không gian metric đầy đủ, dãy Cauchy {F n y} phải hội tụ đến một điểm v trong Y Gọi {F n y} hội tụ đến u, ta có lim n→∞F n y = u.
Do đó, ta đã chứng minh được F n (y) → u với mọi y ∈ Y.
Tiếp theo, để chứng minh các bất đẳng thức: d(F n y, u) ≤ α n (1−α) −1 d(F y, y). d(F n y, u) ≤ α(1−α) −1 d(F n y, F n−1 y)
Chúng ta sử dụng quy nạp:
Bước cơ sở: Khi n = 1, bất đẳng thức đã cho được xác nhận đúng dựa trên giả thiết Bước quy nạp: Giả sử bất đẳng thức đúng cho một số nguyên n = k, tức là d(F k y, u) ≤ α k (1−α) −1 d(F y, y) và d(F k y, u) ≤ α(1−α) −1 d(F k y, F k−1, y).
Bây giờ ta sẽ chứng minh bất đẳng thức cũng đúng cho n= k+ 1
Vậy bất đẳng thức được chứng minh cho n = k + 1.
Từ đó theo nguyên lý quy nạp, bất đẳng thức đã chứng minh là đúng cho mọi số nguyên n ≥1.
Hệ quả 2.1 Cho (Y, d) là một không gian metric đầy đủ và
B = B(y 0 , r) = {y ∈ Y /d(y, y 0 ) < r} Cho F : B → Y là ánh xạ co với hằng số 0< α < 1 Nếu d(F(y0), y0) < (1−α)r thì F có điểm bất động.
⇒F là ánh xạ co từ M vào M vào M mà M đóng trong không gian đầy đủ
⇒ Tồn tại u ∈ M : F(u) = u sự duy nhất của điểm bất động là hiển nhiên.
Các mở rộng của định lý Banach
Định lý 2.2 (Xem [2])Cho (X, d) là không gian metric đầy đủ và F : X →
X là ánh xạ không yêu cầu giả thiết liên tục Đối với mọi ε > 0, tồn tại δ(ε) > 0 sao cho nếu d(x, F(x)) < δ thì F[B(x, ε)] nằm trong B(x, ε) Nếu d(F^n u, F^(n+1) u) tiến tới 0 với u ∈ X, thì dãy {F^n u} hội tụ đến điểm bất động của F.
Ta đặt u n = F n u, đầu tiên ta chỉ ra dãy {u n } là một dãy Cauchy
Với mọi ε > 0, Chọn N : d(un, un+1) < δ với mọi n ≥N
⇒ F u n = u n+1 ∈ B(u n , ε) theo quy nạp F k u n = u n+k ∈ B(u n , ε) với mọi k ≥ 0
Với mọi s, k ≥ N, ta có d(u_k, u_s) < 2ε, cho thấy dãy {u_n} là dãy Cauchy và hội tụ đến một điểm z ∈ X Để chứng minh rằng z là một điểm bất động của F, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp phản chứng.
3 điều này không thể được vì d(F z, u n ) ≥ d(F z, z)−d(u n , z) ≥ a− a
3 Mâu thuẫn này chỉ ra d(z, F(z)) = 0.
Định lý 2.3 nêu rõ rằng trong một không gian metric đầy đủ X, nếu φ : R + → R + là một hàm đơn điệu không giảm và F : X → X là một ánh xạ thỏa mãn điều kiện d(F x, F y) ≤ φ(d(x, y)), đồng thời φ n (t) → 0 với mọi t > 0, thì F sẽ có duy nhất một điểm bất động u Hơn nữa, với mọi x ∈ X, chuỗi F n x sẽ hội tụ về u.
Chứng minh. Đầu tiên, chúng ta sẽ chứng minh rằng ánh xạ F có ít nhất một điểm bất động.
Xét dãy {X n } được định nghĩa bằng cách đặt X n = F n (X), với n số tự nhiên Ta sẽ chứng minh rằng dãy {X n } là dãy Cauchy.
Với mọi m, n là số tự nhiên và m > n, ta có: d(x m , x n ) =d(F m (x), F n (x)) ≤ 18φ(d(x, x)) = 18φ(0) = 0.
Do đó, dãy {X n } là dãy Cauchy.
Vì X là không gian metric đầy đủ, dãy {X n }sẽ hội tụ đến một điểm u trong
X, tức là tồn tại u sao cho x n → u khi n → ∞
Tiếp theo chúng ta cần chứng minh rằng điểm u này là điểm bất động của
Giả sử u không phải là điểm bất động của F, tức là F(u) ̸= u Xét δ d(F(u), u) > 0.
Vì φ(t) → 0 khi t → 0, có thể chọn một số tự nhiên N sao cho với mọi n ≥ N, ta có φd(F n (u), u) < δ Theo giả thiết, d(F n (u), u) d(xn, u) → 0, điều này xung khắc với φ(d(F n (u), u)) < δ Do đó, giả sử u thực sự là một điểm bất động của F.
Cuối cùng, ta cần chứng minh tính duy nhất nghiệm của điểm bất động u. Giả sử có hai điểm bất động u 1 và u 2 Khi đó: d(u 1 , u 2 ) =d(F(u 1 ), F(u 2 )) ≤ 18φ(d(u 1 , u 2 )).
Vì φ(t) → 0 khi t→ 0, nên d(u 1 , u 2 ) = 0, nghĩa là u 1 = u 2
Chúng ta đã chứng minh rằng F có duy nhất một điểm bất động, và dãy {F^n(x)} hội tụ đến điểm bất động này với mọi điểm x thuộc X Định lý 2.4 cho biết rằng trong không gian metric đầy đủ (X, d), nếu d(F(x), F(y)) ≤ α(x, y)d(x, y) với α: X × X → R+ thỏa mãn điều kiện |{0} sup {α(x, y)/a ≤ d(x, y) ≤ b} = λ(a, b) < 1 cho mỗi đoạn [a, b] ⊂ R+, thì F có duy nhất một điểm bất động u và F^n(x) → u với mọi x ∈ X.
Với mọi x ∈ X,{d(F n x, F n+1 x)} giảm bị chặn dưới bởi 0
⇒ tồn tại a = lim n→∞d(F n x, F n+1 x) với a ≥ 0 Giả sử a > 0 ta có d(F n x, F n+1 x) ∈ [a, a+ 1] khi n đủ lớn.
Ta đặt c = λ(a, a+ 1) chọn n ∈ N sao cho d(F n x, F n+1 x) ∈ [a, a+ 1]; d(F n+1 , F n+2 x) ≤λ(a, a+ 1)d(F n x, F n+1 x) ≤ c.d(F n x, F n+1 x)
Do c < 1 nên mâu thuẫn vì c k k −−−→ →∞ 0
Bây giờ với mọi ε > 0, đặt λ = λ ε
Cho d(x, F x) < δ và z ∈ B(x, ε); thì d(F z, x) = d(F z, F x) +d(F x, x) và ta xét hai trường hợp sau:
Do đó, F[B(x, ε)] ⊂ B(x, ε) và theo định lý 2.2, F có điểm bất động Từ đó, ta có thể khẳng định rằng tất cả các điều cần chứng minh đã được hoàn tất Một hướng khác để mở rộng định lý Banach là không so sánh d(x, y) và d(F x, F y), mà thay vào đó xem xét hàm d(x, F x) Định lý 2.5 nêu rõ rằng, cho (X, d) là một không gian metric đầy đủ, φ : X → R + là hàm không âm bất kỳ, mà không yêu cầu tính liên tục.
Giả sử (**) inf {φ(x) +φ(y) | d(x, y) ≥ a} = à(a) > 0 với mọi a > 0 Thỡ mỗi dãy {x n } ⊂ X mà φ(xn) → 0 hội tụ đến một và cùng một điểm u ∈ X.
Với mọi n∈ N choA n = {x ∈ X |φ(x) ≤φ(x n )} ̸= ∅ và có tính tương giao hữu hạn Ta chỉ ra rằng δ(A n ) → 0 với mọi ε > 0 tồn tại N ∈ N sao cho với mọi n ≥ N thì φ(x n ) < 1
2à(ε) Khi đú với mọin ∈ N với mọi x, y ∈ A n ta cú φ(x) +φ(y) < à(ε) sử dụng (**) ta được d(x, y) < ε ⇒ δ(A n ) ≤ ε.
Do đó δ(A n ) → 0 Bởi vì δ(A n ) = δ(A n ) → 0 Theo định lý Cantor tồn tại u ∈
An, từ xn ∈ An với mọi n∈ N ⇒xn →u.
Cho {y n } thỏa mãn δ(y n ) →0 ta được φ(x) +φ(y) →0.
Với mọiε > 0tồn tạiN ∈ Nsao cho với mọin > N thỡφ(x n )+φ(y n ) < à(ε).
(**)⇒d(x n , y n ) < ε ⇒ lim n→∞d(x n , y n ) = 0 ⇒ lim n→∞d(y n , u) = 0. Định lý 2.6 Cho (X, d) là một không gian metric đầy đủ F : X →
X là một ánh xạ liên tục Giả sử φ(x) = d(x, F x) thỏa mãn (**) và inf d(x, F x) = 0 Thì F có duy nhất điểm bất động.
Cho x n ∈ X mà φ(x n ) →0 theo định lý 2.5 ⇒ x n → x
⇒d(x, F(x)) = 0 ⇒F(x) =x, các kết luận khác là hiển nhiên.
Ta thấy định lý Banach là hệ quả của định lý 2.6 vì nếud(F x, F y) ≤ αd(x, y) với α 0, tồn tại δ = ε, d(x, x 0 ) < δ
⇒ d(F(x), F(x 0 )) < d(x, x 0 ) < δ = ε Vậy F : X → X là ánh xạ liên tục. Đặt G : X →R xác định bởi G(x) = d(x, F(x)) ⇒G là hàm liên tục.
Do X compact nên theo định lý Weierstrass với mọi x 0 ∈ X : G(x 0 ) = min x∈X G(x).
Vậy F có điểm bất động duy nhất.
Chứng minh định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân thường
của phương trình vi phân thường Định lý 2.8 Cho Phương trình vi phân
(1) dx dt = f(t, x) với điều kiện đầu
Trong đó f(t, x) là hàm liên tục trong một tập mở G ∈ R 2 ,(t0, x0) ∈ G và f thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x, nghĩa là có một số dương k sao cho
Khi đó trên một đoạn |t−t 0 | ≤ r nào đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện đầu (2).
Phương trình (1) với điều kiện (2) tương đương với phương trình tích phân sau đây: x(t) =x 0 +
Do G là tập mở chứa (t 0 , x 0 ) nên có hình tròn (hình cầu) tâm (t 0 , x 0 ) chứa trong G Gọi D = {(t, x) ∈ G :|t−t 0 | ≤ a,|x−x 0 | ≤b}.
Là một hình chữ nhật đóng bất kỳ nội tiếp trong hình cầu đó Vì f(t, x) liên tục trên D nên |f(t, x) ≤ L| với mọi (t, x) ∈ D với L là số dương nào đó. Lấy 0< r < min
Không gian con C′ của C[t0−r, t0+r] bao gồm các hàm số thỏa mãn điều kiện |x(t)−x0| ≤ b với mọi t ∈ I Nếu (xn) thuộc C′ và x n hội tụ về x, thì do |x n (t)−x 0 | ≤ b cho mọi n ∈ N và t ∈ I, ta suy ra |x(t)−x 0 | ≤ b cũng đúng với mọi t ∈ I Điều này chứng tỏ rằng C′ là không gian đóng trong C[t0−r, t0+r], do đó C′ cũng là không gian đầy đủ.
0f(τ, x(τ))dτ +x 0 với |t−t 0 | ≤ r. Ánh xạ P đặt như trên là hợp lý vì nếu x(t) ∈ C ′ thì P(x(t)) liên tục, đồng thời |P(x(t))−x 0 |
Hay P x ∈ C ′ Mặt khác, nếu x, y ∈ C ′ thì
0d(x, y)dτ (giả sử t≥ t 0 , trường hợp t < t 0 lý luận tương tự) Như thế d(P x, P y) = max t∈I |P x(t)−P y(t)| ≤K |t−t0|d(x, y) ≤Krd(x, y).
Vì Kr < 1, nên ánh xạ P là co Theo định lý Banach, tồn tại duy nhất một hàm số x(t) ∈ C′ sao cho P x(t) = x(t), nghĩa là trên khoảng I, bài toán (1),(2) có nghiệm duy nhất Định lý 2.9 (Xem [2]) cho biết rằng K: [0, T]× [0, T]×R → R là một hàm liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipschitz.
|K(t, s, x)−K(t, s, y)| ≤ L|x−y| với mọi s, t ∈ [0, T] với mọi x, y ∈ R Khi đó với mỗi v ∈ C [0,T ] , phương trìnhu(t) = v(t) + R 0 t K(t, s, u(s))ds thì dãy {u n } hội tụ đều trên [0, T] đến nghiệm u.
Cho E là không gian C [0,T ] với chuẩn |g| = max t∈[0,T ] e −Lt |g(t)| chuẩn này tương đương với sup ∥.∥, từ e −LT ∥g∥ ≤ |g| ≤ ∥g∥.
Do ∥.∥ đầy đủ nên |.| cũng đầy đủ.
Do (1 − e −LT ) < 1 nên F là ánh xạ co suy ra tồn tại u ∈ C [0,T ] sao cho u(t) = v(t) +
Và điều đó còn phải chứng minh được từ kết luận của định lý Banach.
Phương pháp lặp đơn để giải phương trình đại số và siêu việt 25
Nội dung phương pháp
Giả sử (a, b) là khoảng chứa nghiệm của phương trình f(x) = 0 Giải phương trình f(x) = 0 bằng phương pháp lặp gồm các bước sau.
1 Đưa phương trình f(x) = 0 về phương trình tương đương x = g(x).
2 Chọn x 0 ∈ (a, b) làm nghiệm gần đúng đầu tiên.
3 Thay x = x 0 vào vế phải của phương trình x = g(x) ta được nghiệm phương trình x = g(x) ta được nghiệm gần đúng thứ hai x2 = g(x1). Lặp lại quá trình trên, ta nhận được dãy các nghiệm gần đúng x1 = g(x0), x2 = g(x1), x3 = g(x2), x4 = g(x3), , xn = g(xn−1),
Nếu dãy nghiệm gần đúng {x n}, với n = 1, 2, hội tụ, nghĩa là tồn tại giới hạn n→∞lim x n = x ∗ (với giả thiết g(x) liên tục trên [a, b]), thì x ∗ = lim n→∞x n = lim n→∞g(x n−1) = g(lim n→∞x n) = g(x ∗) Điều này chứng tỏ rằng x ∗ là nghiệm đúng của phương trình x = g(x) (điểm bất động của ánh xạ g) hay x ∗ là nghiệm đúng của phương trình f(x) = 0.
Tính hội tụ
Định lý 2.10 Giả sử g(x) thỏa
• g(x) có đạo hàm trên [a, b] và |g ′ (x)| ≤ q < 1 với mọi x ∈ [a, b]
Khi đó phương trình x = g(x) có duy nhất nghiệm x ∗ trên [a, b] Và với mọi x0 ∈ [a, b] thì dãy {xn} cho bởi công thức xn = g(x n−1 ) hội tụ đến x ∗ Đồng thời
Đánh giá sai số
Để đánh giá sai số của nghiệm gần đúng x n (nhận được bằng phương pháp lặp) và nghiệm chính xác x ∗ của phương trình f(x) = 0 tại bước thứ n ta xét hiệu |x n −x ∗ |
Từ định lí trên ta có:
1−q|x n−1 −x n | Mặt khác, áp dụng công thức gia số hữu hạn (công thức Lagrange) ta có: x 1 −x n−1 = g(x n−1 )−g(x n−2 ) =g ′ (c n )(x n−1 −x n−2 )
Từ bất dẳng thức trên, cho n= 2,3,4, ta được:
Thay vào bất đẳng thức:
1−q|x 1 −x0| Công thức trên cho thấy phương pháp lặp hội tụ càng nhanh khi q càng bé.
Để đạt được độ xấp xỉ ϵ, tức là nghiệm gần đúng với sai khác không quá ϵ (|x n − x ∗ | < ϵ), cần thực hiện N(ϵ) bước.
Theo công thức |x n −x n−1 | ≤ q n−1 |x 1 −x 0 |, chúng ta có thể kết luận rằng nếu dãy {x n} hội tụ, thì trong quá trình tính toán, chúng ta thường dừng lại khi các kết quả liên tiếp x n−1, x n, x n+1, đạt độ chính xác cần thiết (trùng nhau đến chữ số thập phân mong muốn).
Thuật toán
• Bước 1: Ấn định sai số cho phép ϵ, xác định khoảng cách li nghiệm [a, b]
• Bước 2: Đưa phương trình f(x) = 0 về phương trình tương đương dạng x = g(x) trong đó g(x) có tính chất:
• Bước 3: Chọn xấp xỉ đầu x 0 ∈ [a, b] Tính dãy lặp : x n = g(x n−1 ) với n = 1,2,3, Điều kiện dừng là |x n −x n−1 | < ϵ
Kết quả x ∗ ≃x n với sai số |x n −x ∗ | ≤ q
Một số ví dụ
Ví dụ 2.1 Tìm nghiệm gần đúng của phương trình:x 3 +x−1111 = 0 với sai số 10 −8
Vậy khoảng chứa nghiệm của phương trình là [10,11] Ta chuyển phương trình đã cho về dạng x = g(x)
Có ít nhất 3 cách chuyển:
Ta lần lượt xét từng trường hợp:
Dễ dàng kiểm tra g(x) ∈ [10,11] với mọi x ∈ [10,11] x 0 = a+b
Chọn x 0 = 10,5, xây dựng dãy lặp theo công thức x n = √ 3
1111−x n−1 , với mọi n = 1,2,3, Sai số của phép lặp:|x n −x ∗ | ≤ q
1−q |x n −x n−1 | Ta có bảng: n x n sai số
Ví dụ 2.2 Tìm nghiệm gần đúng của phương trình: x 3 + 3x 2 −3 = 0 với sai số 10 −5
Dễ thấy f(−2,75).f(−2,5) < 0 nên khoảng chứa nghiệm của phương trình là [−2,75;−2,5].
Ta chuyển phương trình về dạng x = g(x)
Có ít nhất 1 cách chuyển:
Ta lần lượt xét từng trường hợp:
1 g ′ 1 (x) =− 6 x 3 ; max x∈[−2,75;−2,5]|g 1 ′ (x)| ≈0,384 < 1 (Thỏa mãn điều kiện) Chọn x0 = −2,625, xây dựng dãy lặp theo công thức x n = 3 x 2 n−1 −3 với mọi n = 1,2,3,
Sai số của phép lặp:
Ta có bảng: n x n Sai số
Ví dụ 2.3 Xét phương trình:
5 = 0 trên [0, 1] Giả sử chọn giá trị ban đầu x 0 = 1 2 Tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình với sai số 10 −9
Ta chuyển phương trình về dạng x = cosx+ 1 5
5 ∈ [0,1] nên phương pháp lặp hội tụ Ta xây dựng dãy lặp: x0 = 0,5 x n = cosx n−1 + 1 5
5 Sai số của phép lặp được tính theo công thức:
Ta có bảng các giá trị nghiệm của phương trình trên là: n xn sai số
Ví dụ 2.4 Xét phương trình: x+ lnx = 0 trên [0.4,0.8] Giả sử chọn giá trị ban đầu x 0 = 1 2 Tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình với sai số 10 −6
Ta chuyển phương trình về dạng x = e −x g ′ (x) =−e −x x∈[0,4;0,8]max |g ′ (x)| = 0.3678794412 = q < 1
Mặt khác g(x) = e −x ∈ [0.4,0.8] nên phương pháp lặp hội tụ Ta xây dựng dãy lặp: x 0 = 0,5 xn = e −x n−1 Sai số của phép lặp được tính theo công thức:
Ta có bảng các giá trị nghiệm của phương trình trên là: n x n sai số n x n sai số
Khóa luận đã khám phá các khái niệm cơ bản của giải tích số, bao gồm không gian metric, tập mở, tập đóng, không gian đầy đủ, không gian compact, ánh xạ liên tục và không gian định chuẩn Những kiến thức này giúp hiểu rõ hơn về các định lý và phương pháp giải toán trong chương 2 Trong chương 2, tác giả đã trình bày định lý Banach và các mở rộng của nó, đồng thời chỉ ra ứng dụng của nguyên lý Banach trong việc chứng minh tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường và thiết lập phương pháp lặp đơn để giải phương trình phi tuyến.