Một vài mở rộng của định lý liouville

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN - - KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP NĂM HỌC: 2021-2022 ĐỀ TÀI MỘT VÀI MỞ RỘNG CỦA ĐỊNH LÝ LIOUVILLE Giảng viên hướng dẫn : TS Lê Hồng Trí Sinh viên thực : Dương Quang Việt Hà Lớp : 18 ST Khoa : Toán Đà Nẵng, ngày 11 tháng 11 năm 2021 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo TS Lê Hồng Trí tận tình hướng dẫn động viên em suốt trình thực đề tài, nhờ em hồn thành nghiên cứu Trong trình nghiên cứu đề tài, em gặp khơng khó khăn tìm tịi dịch tài liệu hạn chế mặt kiến thức Tuy vậy, nhờ giúp đỡ tận tình từ q thầy giáo, quan tâm gia đình bạn bè giúp chúng em có động lực phấn đấu hồn thành nghiên cứu khoa học Đây kỷ niệm đáng nhớ em thời gian học tập Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng Em xin chân thành cảm ơn! Dương Quang Việt Hà MỤC LỤC I MỞ ĐẦU .1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc đề tài II CHƯƠNG 1: NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH PHỨC Số phức Đạo hàm Hàm giải tích 11 Tích phân hàm phức 12 Định lý Liouville 16 III CHƯƠNG 2: MỘT VÀI MỞ RỘNG CỦA ĐỊNH LÝ LIOUVILLE 18 Điểm bất thường 18 Một số mở rộng định lý Liouville 19 IV KẾT LUẬN 24 V TÀI LIỆU THAM KHẢO 29 I MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giải tích phức, hay cịn gọi lý thuyết hàm biến phức, nhánh toán học nghiên cứu hệ hàm số hay nhiều biến biến số số phức Giải tích phức ngành cổ điển toán học, bắt nguồn từ khoảng thể kỷ 19 Một số nhà toán học tiếng nghiên cứu lĩnh vực Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass nhiều nhà toán học khác kỷ 20 Ngày giải tích phức nghiên cứu nhiều với ứng dụng khí, động lực phức, có nhiều ứng dụng nhiều ngành khác toán học, có lý thuyết số tốn ứng dụng Định lý Liouville phát biểu hàm nguyên bị chặn hàm hằng, định lý ngành Giải tích phức, ứng dụng người ta chứng minh định lý Đại số Có nhiều mở rộng cho định lý Liouville Trong luận văn này, nghiên cứu mở rộng định lý Liouville theo hướng xét ảnh hàm nguyên lân cận vô Chúng lựa chọn đề tài nghiên cứu là: “Một vài mở rộng định lý Liouville” Mục đích nghiên cứu Trong đề tài này, chúng tơi nghiên cứu số tính chất điểm bất thường, định lý Liouville, đưa số kết mở rộng định lý Liouville theo hướng xét ảnh hàm nguyên lân cận vô Đối tượng nghiên cứu Hàm Giải tích, hàm ngun, lân cận vơ cùng, điểm bất thường mở rộng định lý Liouville theo hướng xét ảnh hàm nguyên lân cận vô Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu mở rộng định lý Liouville theo hướng xét ảnh hàm nguyên lân cận vô Phương pháp nghiên cứu  Tham khảo tài liệu, hệ thống lại số kiến thức giải tích phức  Thu thập sách, báo khoa học tác giả trước liên quan đến định lý mở rộng định lý Liouville  Đọc kỹ chứng minh chi tiết kết tìm kiếm  Phân tích, đánh giá, tổng hợp trao đổi với thầy hướng dẫn kết nghiên cứu để hoàn chỉnh đề tài Cấu trúc đề tài Nội dung đề tài trình bày hai chương Ngồi ra, đề tài có Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận Tài liệu tham khảo Chương 1, trình bày số kiến thức hàm biến phức nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu Chương Chương 2, trình bày số mở rộng định lý Liouville bao gồm mục: Mục 2.1, trình bày định nghĩa, tính chất điểm bất thường; Mục 2.2, trình bày định lý mở rộng định lý Liouville chứng minh II CHƯƠNG 1: NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH PHỨC Trong chương này, chúng tơi trình bày số nội dung kiến thức số phức, đạo hàm, hàm giải tích, tích phân định lý Liouville Các khái niệm tính chất chương trình bày nhằm phục vụ cho việc chứng minh kết chương sau Số phức 1.1 Các định nghĩa  Số phức số có dạng z  x  iy , x, y  gọi đơn vị ảo Số i thỏa i  1 Trong đó: x gọi phần thực số phức z , ký hiệu Re z y gọi phần ảo số phức z , ký hiệu Im z Đặc biệt: z  x  i0 số thực, z  iy  y   số ảo  Hai số phức có phần thực phần ảo tương ứng  Cho số phức z  a  bi Số phức liên hợp số phức z z  a  bi  Tập hợp tất số phức ký hiệu  z  x  iy | x, y   Khi x   y   , ta kí hiệu z  x  iy   Tập    gọi tập số phức mở rộng 1.2 Các phép toán số phức Cho hai số phức z1  x1  iy1 z2  x2  iy2 ta định nghĩa phép toán sau: a) Phép cộng trừ số phức  x1  iy1    x2  iy2    x1  x2   i  y1  y2   x1  iy1    x2  iy2    x1  x2   i  y1  y2  Chú ý: Phép cộng số phức có tính giao hốn kết hợp b) Phép nhân số phức ( x1  iy1 )( x2  iy2 )  ( x1 x2  y1 y2 )  i( x1 y2  x2 y1 ) c) Phép chia số phức Giả sử z2  , ta có: z1 : z2  z1 z z ( x  iy1 )( x2  iy2 )   z2 z2 z2 x22  y22 1.3 Ví dụ Thực phép tính  (2  i)  (1  5i)  (2 1)  (i  5i)   4i  3i  (1  5i)  3i   5i   8i  (1  i)(2  3i)  2  3i  2i  3i   5i   i (1  i )(2  i)  3i     i  i (2  i)(2  i) 5 d) Lũy thừa bậc n số phức Quy ước: z  1với z  z n  z.z z (n số z ) 1.4 Ví dụ Thực phép tính i3  i i  i ; i  (i )2  3  (1  i )   3i  3i  i  2  2i  i  1 ; Cho z  x  iy, z1  x1  iy1 , z2  x2  iy2 , ta có: 1.5 Định lý 1) z  z; z1  z2  z1  z2 ; z1 z2  z1 z2 2) z  z  Re z  x; z  z  2i Im z  2iy 3) zz  ( x  iy)( x  iy)  x  y   z1  z1 (z2  0) 4)    z z  2 1.6 Dạng lượng giác số phức 1.6.1 Mặt phẳng phức  Về mặt hình học, số phức z  x  iy biểu diễn điểm 𝑀(𝑥; 𝑦) mặt phẳng tọa độ Descartes vuông góc Oxy Khi đó, mặt phẳng Oxy gọi mặt phẳngphức  Trong mặt phẳng phức, ta có: Im z   z  Ox Re z   z  Oy Do đó:  Trục hoành Ox gọi trục thực  Trục tung Oy gọi trục ảo 1.6.2 Modul argument số phức  Trong mặt phẳng phức, khoảng cách r từ gốc tọa độ O đến điểm M gọi modul z , ký hiệu z Modul z xác định bởi: z  r  OM  x  y  Khi z  góc định hướng   (Ox, OM ) có tia đầu Ox tia cuối OM , gọi argument z  Argument  z thỏa mãn      gọi argument chính, ký hiệu arg z  Nếu z số thực dương arg z  Nếu z số thực âm arg z   Nếu z  argument z khơng định nghĩa  Ký hiệu tập hợp tất argument z Arg z Vậy Arg z  arg z  k 2 , k  Cách xác định argument z  x  iy  Bước 1: Xác định điểm M biểu diễn z mặt phẳng Oxy x y  Bước 2: arg z   thỏa mãn cos   ,sin   ,      phụ r r thuộc vào vị trí M 1.7 Dạng lượng giác số phức  Cho số phức z  x  iy có z  r arg z   y x  i   r  cos   i sin   r r  Ta có: z  r   Vậy dạng lượng giác có số phức z là: z  r (cos  i sin  ) 1.8 Nhận xét:  Nếu z  r (cos   i sin  ) thì: z  r (cos   i sin  )  r cos     i sin    Nếu z  , z  x  i0 z  x  02  x 1.9 Ví dụ Tìm dạng lượng giác số phức z   i   r  13  Ta có:  Vì điểm M (1, 3) nằm phần tư thứ mặt phẳng Oxy  cos        nên ta có   Vậy số phức cho có dạng lượng giác z   cos  i sin  3  1.10 Công thức Moivre 1.10.1 Công thức Moivre Cho số phức z  r  cos   i sin   Theo cơng thức, ta có: z  z.z  r  cos 2  i sin 2  z  z z  r  cos3  i sin3  Bằng quy nạp ta z n  r n (cos n  i sin n ), n  , n  Khi r  ta công thức Moivre sau  cos  i sin   n  cos n  i sin n Cơng thức cịn   n  1.10.2 Ví dụ Tính 1  i  Để áp dụng công thức Moivre ta phải tìm dạng lượng giác số phức z   i   r  1  Ta có:  Vì điểm M (1; 1) nằm góc vng thứ mặt phẳng x  cos     r 7 7   7 2 Oxy nên ta lấy   Vậy z   cos   i sin  , theo cơng thức Moivre, ta  có: 7 7   (1  i)    cos  i sin 4   8     16  cos14  i sin14   16  1.11 Căn số phức Với n  * , z  n , ta định nghĩa w  n z z  w Khi bậc n số phức z  có n giá trị phân biệt n   2k   2k  z  n r  cos  i sin n n  r  z ,   Arg z   , k  0,1, , n   (*) 1.12 Ví dụ Tìm bậc ba số phức z  2  2i Trước hết ta biểu diễn số phức cho dạng lượng giác ta có 3 3   2  2i   cos  i sin  4   Theo công thức (*) số phức z  2  2i có giá trị bậc sau : Vk  3 3   k 2  k 2  4  cos  i sin 3     3  8k 3  8k    i sin    cos  , k  0,1, 14 14     1.13 Dạng mũ số phức ta đặt e z  e x  cos y  i sin y  Với z  x  iy  i Để đơn giản cách viết số phức ta đặt: cos   i sin  : e Do số phức có dạng lượng giác z  r  cos   i sin   viết dạng z  rei r  z ,   Arg z 1.14 Nhận xét i 1) Nếu z  re z  rei 2) Với z1  x1  iy1 , z2  x2  iy2 , ta gọi z1  z2  ( x1  x2 )2  ( y1  y2 )2 khoảng cách z1 z2 i Khi z  a  r hay z  a  re    0;2  phương trình đường trịn tâm a , bán kính r i Đặc biệt z  hay z  e phương trình đường trịn đơn vị 1.15 Các công thức cần nhớ i1  r1 (cos 1  i sin 1 ), z2  r2ei2  r2 (cos 2  i sin 2 ) ta Với z  rei , z1  re có: i (  ) 1) z1 z2  r1r2e  r1r2 cos 1  2   i sin 1  2  2) z1 r1 i (  ) r1  e  cos 1  2   i sin 1  2   z2 r2 r2 n n in 3) z  r e , n  4) n z  wk  re n i   k 2 n  n  2, k  0, n 1 1.16 Đường miền mặt phẳng phức 1.16.1 Đường mặt phẳng phức Ảnh ánh xạ w : a, b  , w  t   u  t   iv  t  , t  a, b x  t  y  t  hàm thực liên tục gọi đường cong Nếu hàm f  z  giải tích miền liên D (kể biên), - giới hạn đường cong C0 đường cong C1 ta có:  f  z  dz   f  z  dz C0 (4.2.2) C1 đường cong C0 , C1 lấy theo chiều dương Nếu hàm f  z  giải tích miền đa liên D (kể biên), giới hạn đường - cong C0 đường cong C1 , C2 , , Cn ta có cơng thức:  f  z  dz   f  z  dz   f  z  dz    f  z  dz C0 C1 C2 Cn đường cong C0 , C1 , C2 , , Cn lấy theo chiều dương 4.2.1 Ví dụ Hàm f  z   nên z giải tích D : z  liên tục biên D z 4 zdz  z 1 z   4.3 Công thức Newton - Leibnitz Nếu f  z  hàm giải tích miền đơn liên D , có nguyên hàm F  z  z0 , z1 hai điểm thuộc miền D Khi tích phân theo đường cong nằm D nối z0 z1 (tức không phụ thuộc đường đi) ta có: z1  f  z  dz  F  z   F  z  z0 4.3.1 Ví dụ I  i  3z dz  z i 1 3i    i    i  3i   28  7i 3 1 3i 4.4 Cơng thức tích phân Cauchy - Cho hàm f  z  giải tích miền D C đường cong kín D cho miền C hữu hạn giới hạn C nằm D Khi với z0  C ta có  Cơng thức tích phân Cauchy: f  z f  z0   dz 2 i C z  z0  Cơng thức tích phân Cauchy đạo hàm: f  z n! f ( n )  z0   dz , n  0,1,2, n 1  2 i C  z  z0  15 - Nếu hàm f  z  giải tích C , liên tục C với z0  C ta có : f  z  z  z dz  2 if  z  C f  z  z  z  C n 1 dz  4.4.1 Ví dụ Tính I1  2 i ( n ) f  z0  n! z  3iz z  2iz dz , I  dz 2   C: z 1 i  z   2i C: z  i   z   i  z  3iz dz  a) I1   C: z 1 i  z   2i tròn C)   C z  3iz dz (điểm z   2i nằm đường z  1  2i   I1  2 if  z0   2 i 1  2i   3i 1  2i   2   9i  z  2iz z  2iz   z   i  dz   z   i    b) I  11 C : z  i  ( điểm z   i nằm đường C tròn C) I2  I2  2 i f '   i   2 i   i   2i    40  48i  1!   Định lý Liouville Cho z0 số phức cố định Nếu hàm f giải tích đường trịn có phương trình z  z0  R , đường trịn định hướng dương kí hiệu CR Theo cơng thức tích phân Cauchy đạo hàm : f ( n )  z0   f  z n! dz n 1 2 i C  z  z0  Kí hiệu M R giá trị lớn f  z  đường tròn CR , f  z   M R với z thỏa z  z0  R Từ ta tính f  n   z0   f  z n! dz n 1 2 i C  z  z0  R Ta có phương trình tham số đường trịn CR : z  z  t   z0  Reit với  t  2 f  n   z0    n ! 2 f  z  n ! 2 f  z  it i Re dt  z  z0  dt n 1 n 1  2 i 0  z  z0  2 0  z  z0  f  z n ! 2 n !  f  z  z  z0 z  z dt  dt   n 1 n 1 2 0  z  z0  2 0 z  z0 Vậy ta có bất đẳng thức Cauchy 16 f  n   z0   n!M R Rn Trường hợp n  : f '  z0   MR R Từ nhận xét ta có định lý sau 5.1 Định lý Liouville Nếu hàm f giải tích bị chặn trên Chứng minh: Vì hàm f bị chặn z  f  z  hàm nên tồn M  cho f  z   M với Lấy z0 tùy ý, theo bất đẳng thức Cauchy với n  ta có: MR M với R   R R Qua giới hạn R   Từ suy f '  z0   f '  z0   Vậy f '  z   với z  , theo định lý 3.4 suy f hàm 17 III CHƯƠNG 2: MỘT VÀI MỞ RỘNG CỦA ĐỊNH LÝ LIOUVILLE Trong chương này, chúng tơi trình bày loại điểm bất thường, phát biểu định lý mở rộng định lý Liouville chứng minh định lý Điểm bất thường 1.1 Định nghĩa Một phần tử a  gọi điểm bất thường (cô lập) hàm biến phức f f giải tích lân cận thủng a 1.2 Phân loại điểm bất thường Các điểm bất thường phân làm ba loại sau:  Điểm bất thường bỏ (khử được) Cho a điểm bất thường hàm biến phức f , a gọi điểm bất thường bỏ f bổ sung f  a   để thành hàm giải tích lân cận a  Cực điểm Cho a điểm bất thường hàm biến phức f , a gọi cực điểm f lim f  z    z a  Điểm bất thường cốt yếu Cho a điểm bất thường hàm biến phức f , a gọi điểm bất thường cốt yếu f không tồn giới hạn hàm f  z  z  a kể giá trị vô * Nếu a điểm bất thường lập hàm f f giải tích lân cận thủng U * a, từ ta có khai triển Laurent  f  z   n 1  an  z  a n   an  z  a  , z U * n n 0 1.3 Các mệnh đề tương đương Mệnh đề 1.3.1: Cho a điểm bất thường (bỏ được) hàm biến phức f ; Khi điều kiện sau tương đương (a) a điểm bất thường bỏ f (b) lim f  z   z a (c) f bị chặn lân cận thủng a (d) an  0, n  * 18 Mệnh đề 1.3.2: Cho a điểm bất thường (bỏ được) hàm biến phức f ; Khi điều kiện sau tương đương (a) a cực điểm f (b) n  * : an  m  * : p  m, a p  Mệnh đề 1.3.3: Cho a điểm bất thường (bỏ được) hàm biến phức f ; Khi điều kiện sau tương đương (a) a điểm bất thường cốt yếu f (b) m  * , p  m : a p  1.4 Định lý (Định lý Picard Lớn) Trong lân cận bé tùy ý điểm bất thường cốt yếu hàm f  z  nhận vô số lần giá trị hữu hạn ngoại trừ nhiều giá trị (gọi giá trị ngoại lệ Picard) Khi a   kết Một số mở rộng định lý Liouville 2.1 Định lý (Picard Nhỏ) Cho f : điểm phân biệt nằm f     hàm nguyên mà có hai f hàm Chứng minh: Ta chứng minh định lý Picard Nhỏ cách sử dụng tính chất điểm bất thường Cho f hàm nguyên  điểm bất thường cô lập f + Nếu  điểm bất thường cốt yếu nên theo định lý Picard Lớn, xem [7], lân cận U  , f U  có phần bù chứa khơng điểm, nên f   thế, mà f   có phần bù chứa điểm phân biệt nên vô lý + Nếu  cực điểm f , cách khai triển Laurent hàm f lân cận vơ m  * , M  :   b0  b1 z   bm z m , z  M n z n 1 với an  ; n, m  * , b0 , b1 , , bm  f  z    an Đặt g  z   f  z   b1 z   bm z , z  m g hàm nguyên Ta có lim g  z   b0  M '  M cho g bị chặn tập  z  : z  M ' z  Do g giải tích nên g liên tục, g bị chặn tập  z  : z  M ' compact Từ g bị chặn Áp dụng định lý Liouville, g hàm b0 ; từ f  z   b0  b1 z   bm z m ; z  19 Với w , định lý Đại số phương trình f  z   w có nghiệm nên f U   mà f U  có phần bù chứa hai điểm phân biệt nên vô lý Từ lập luận  điểm bất thường bỏ f nên lim f  z   z  nên f hàm bị chặn, sử dụng định lý Liouville, suy f hàm 2.2 Định lý Cho f :   hàm nguyên tồn lân cận vô U mà 𝑓(U) nằm nửa mặt phẳng f hàm Chứng minh: Cho f hàm nguyên mà tồn lân cận U  cho f U  nằm nửa mặt phẳng D phép quay mà Re h  D  bị chặn trên, h phép   Cho h : quay nên hàm giải tích tồn hàm ngược giải tích, ta thấy h f hàm nguyên, Re h f U  bị chặn trên, ta chứng minh h f hàm f  h1 h f Bởi vậy, cách xét hợp h với f , không giảm tổng quát ta thay giả thiết f U  nằm nửa mặt phẳng D mặt phẳng phức giả thiết Re f U  bị chặn Do Re f U  bị chặn nên M  : z U , Re f  z   M (1) + Nếu  điểm bất thường cốt yếu f Theo định lý Picard Lớn phần bù f U  chứa không điểm nên điều z U , Re f  z   M xảy + Nếu ∞ cực điểm 𝑓 Bằng cách khai triển Laurent lân cận vô ta tìm lân cận vơ V  z  : z    (  0), mà V  U  f  z    bn n 1 Ở bn   a0  a1 z   am z m , z V n z với n  * ,m * , a0 , a1 , , am  Ta có lim  f  z   a1 z   am zm   a0 (2) z  Do (2),    : Khi z   f  z   a1 z   am z m  a0  Ta đặt V '   z  : z    V '  V  U z V ', f  z   a1 z   am z m  a0  nên Re f  z   Re  a0  a1 z   am z m   f  z   a0  a1 z   am z m  Từ Re  a0  a1 z   am z m   Re f  z   Hay Re  a0  a1 z   am z m    Re f  z    M 20 (3) Chọn: w  a0  a1    am  m  M   (4) Do đa thức hệ số phức có bậc lớn khơng có nghiệm nên t  cho a0  a1t   amt m  w Ta thấy t  (vì t  a0  w nên a0  w  w , (4) a1    am  m  M   điều vô lý) Giả sử t    w  a0  a1t   amt m  a0  a1 t   am t m  a0  a1    am  m  a0  a1    am  m  M   w nên vơ lý, t   nên t V ' Từ (3) suy Re  a0  a1t   amt m    M mà Re w  w  a0  a1    am  m  M  nên vô lý Do đó,  khơng thể cực điểm f Từ lập luận  điểm bất thường bỏ f nên lim f  z   z  nên f hàm bị chặn, sử dụng định lý Liouville, suy f hàm 2.3 Định lý Cho f :   hàm nguyên tồn lân cận vô U mà f U  không giao với đường thẳng mặt phẳng phức f hàm Chứng minh : Ta đặt U   z  : z    với   , cho d đường thẳng mặt phẳng phức không giao với f U  Ta thấy U tập liên thông, f hàm giải tích nên liên tục, từ f U  tập liên thông mặt phẳng phức nằm \ d , cho D1 , D2 hai nửa mặt phẳng mở mặt phẳng phức chia d, f U   D1   f U   D2   tập tập khác rỗng, mở không gian topo f U  (đối với topo cảm sinh từ ), lại có hợp f U  , điều mâu thuẫn với tính liên thơng f U  Do f U  nằm trong hai nửa mặt phẳng 𝐷1 𝐷2 ; sử dụng định lý 1.2, định lý 1.3 chứng minh xong 2.4 Định lý Cho f :   hàm nguyên tồn lân cận vô U mà f U  không giao với nửa đường thẳng mặt phẳng phức f hàm 21 Chứng minh:  ánh xạ hợp Cho a nửa đường thẳng định lý 3.4, cho h :  phép quay phép tịnh tiến cho ảnh a qua ánh xạ h tập a '  z  : Im z  0,Re z  0 Do phép quay phép tịnh tiến hàm giải tích, hàm ngược giải tích nên ℎ Bằng cách thay hàm f hàm hợp f h, giả thiết f U  khơng giao với a thay f U  không giao với a ' \ a '   D với D  w  Bây cho  : : Re w  0 xác định arg z arg z   z  cos  i sin  D  , với z  \ a ' Khi  : \ a '  2   hàm giải tích song ánh có hàm ngược  : D   \ a ' xác định   z    w  w2 , với w  D , hàm giải tích Hàm  f hàm giải tích có ảnh nằm nửa mặt phẳng mặt phẳng phức , nên theo định lý 3.2,  f hàm hằng, f    f hàm 2.5 Định lý Cho f :   hàm nguyên tồn lân cận vô U tồn dãy  zn    mà zn  \ f U  với n  * f hàm Chứng minh: Cho f hàm nguyên mà tồn lân cận U  tồn dãy  zn    mà zn  \ f U  với n  * + Nếu  điểm bất thường cốt yếu f , theo định lý Picard Lớn phần bù f U  chứa không điểm nên tồn dãy  zn    mà zn  \ f U  với n  * điều xảy + Nếu  cực điểm f , cách khai triển Laurent hàm f lân cận vơ m  * , M  :   b0  b1 z   bm z m , z  M n z n 1 với an  ; n, m  * , b0 , b1 , , bm  f  z    an m Đặt g  z   f  z   b1 z   bm z , z  g hàm nguyên Ta có lim g  z   b0  M '  M cho g bị chặn tập  z  : z  M ' z  Do g giải tích nên g liên tục, g bị chặn tập  z  : z  M ' compact Từ g bị chặn Áp dụng định lý Liouville, g hàm b0 ; từ 22 f  z   b0  b1 z   bm z m ; z  Ta đặt U   z  : z       ,  zn    nên ta chọn n  * cho zn  b0  b1    bm  m Sử dụng định lý Đại số tồn u  cho f  u   zn , u   zn  f  u   b0  b1u   bmu m  b0  b1 u   bm u m  b0  b1    bm  m  zn nên vô lý, u   suy u U , điều mâu thuẫn (vì  U ) Từ lập luận  điểm bất thường bỏ f nên lim f  z   z  f hàm bị chặn, sử dụng định lý Liouville, suy f hàm 23 nên IV KẾT LUẬN Qua trình nghiên cứu, đề tài thu kết sau Hệ thống lại kiến thức Hàm biến phức Trình bày tính chất, mệnh đề điểm bất thường Phát biểu chứng minh định lý mở rộng định lý Liouville Các kết luận văn đăng tạp trí khoa học cơng nghệ đại học Đà Nẵng 24 ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 19, NO 11, 2021 MỘT VÀI MỞ RỘNG CỦA ĐỊNH LÝ LIOUVILLE SEVERAL EXTENSIONS OF LIOUVILLE’S THEOREM Lê Hồng Trí1, Dương Quang Việt Hà2* Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng Lớp 18 ST, Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng Tác giả liên hệ: duongvietha5@gmail.com (Nhận bài: 09/8/2021; Chấp nhận đăng: 21/10/2021) * Tóm tắt - Định lý Liouville phát biểu hàm nguyên bị chặn hàm hằng, định lý ngành Giải tích phức, ứng dụng người ta chứng minh định lý Đại số Có nhiều mở rộng cho định lý Liouville Trong báo này, nhóm tác giả mở rộng định lý Liouville theo hướng xét ảnh hàm nguyên lân cận vơ Mỗi hàm bị chặn có ảnh nằm hình trịn, phần bù có vơ số phần tử Trong [1], chứng minh rằng, thay giả thiết bị chặn hàm nguyên giả thiết phần bù ảnh hàm ngun có chứa hai điểm phân biệt kết luận định lý Liouville (định lý Picard Nhỏ) Do đó, định lý Picard Nhỏ mở rộng định lý Liouville Bài báo mở rộng tương tự định lý Picard Nhỏ, thay xét ảnh hàm nguyên ta xét ảnh hàm nguyên lân cận vô Abstract - Liouville’s theorem states that every bounded entire function is a constant function This is among the most fundamental theorems in Complex Analysis; it is applied to prove the fundamental theorem of Algebra There have been multiple directions of extension for Liouville’s theorem In this paper, the authors take the direction of observing this entire function’s image restricted on a neighborhood of infinity Since every bounded function’s image lies inside a circle, the image’s complement is infinite In [1], it is showed that, if we replace the bounded assumption by assuming the entire function image’s complement contains at least distinct elements, Liouville’s theorem still holds (Little Picard’s theorem) Therefore, Little Picard’s theorem is an extension of Liouville’s theorem This paper’s extension is similar to Little Picard’s theorem but instead of examining the image of the entire function, we examine this entire function’s image on a neighborhood of infinity Từ khóa - Hàm Giải tích; Hàm ngun; Lân cận; Lân cận vô cùng; Các điểm bất thường Key words - Analytic function; Entire function; Neighborhood; Neighborhood of infinity; Singular points The University of Danang - University of Science and Education (Le Hoang Tri) Student of Mathematics, The University of Danang – University of Science and Education (Duong Quang Viet Ha) 25 ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 19, NO 11, 2021 Đặt vấn đề Nếu a điểm bất thường (cô lập) hàm 𝑓 𝑓 giải Định lý Đại số phát biểu rằng, đa thức hệ số phức có bậc 𝑛 ≥ có nghiệm phức Định lý có dạng khác đa thức hệ số phức bậc 𝑛 ≥ có 𝑛 nghiệm phức (kể nghiệm bội) (xem [2], trang 545) Người ta chứng minh định lý cách dùng Đại số chứng minh Giải tích nhờ định lý Liouville tích lân cận thủng U * a , từ ta có khai triển Laurent Định lý Liouville phát biểu rằng, hàm nguyên, bị chặn hàm (xem [1], trang 122) (cũng xem [6] [7]) Mệnh đề 1: Cho a điểm bất thường (bỏ được) hàm biến phức 𝑓; Khi điều kiện sau tương đương Ở hàm nguyên hàm giải tích từ mặt phẳng phức vào (a) a điểm bất thường bỏ 𝑓 𝑎 𝑛 ∞ 𝑛 ∗ 𝑓(𝑧) = ∑∞ 𝑛=1 (𝑧−𝑎)𝑛 + ∑𝑛=0 𝑎𝑛 (𝑧 − 𝑎) , z ∈ 𝑈 Ta có mệnh đề sau (b)  lim f  z   ℂ z a Có vài mở rộng cho định lý Liouville (xem [1], [3], [4], [5]) Trong [1] (trang 306-308), người ta chứng minh định lý Picard Nhỏ phát biểu sau (c) 𝑓 bị chặn lân cận thủng a (d) an  0, n  Định lý (Định lý Picard Nhỏ) Cho 𝑓: ℂ → ℂ hàm ngun mà có điểm phân biệt nằm ngồi 𝑓(ℂ) 𝑓 hàm Mệnh đề : Cho a điểm bất thường (bỏ được) hàm biến phức 𝑓; Khi điều kiện sau tương đương Đây thực mở rộng định lý Liouville Định lý mở rộng theo hướng xét 𝑓(ℂ) ảnh toàn mặt phẳng phức qua hàm nguyên 𝑓, báo ta xét ảnh hàm nguyên hạn chế lân cận vô (a) a cực điểm 𝑓 (b) n  Với 𝑀 > 0, { 𝑧 ∈ ℂ/ |𝑧| > 𝑀} gọi lân cận vô : an  , m  * * : p  m, a p  Mệnh đề : Cho a điểm bất thường (bỏ được) hàm biến phức 𝑓; Khi điều kiện sau tương đương Ta có nhận xét rằng, 𝑓 hàm đa thức với bậc lớn hay (mỗi hàm đa thức hàm ngun) lim 𝑓(𝑧) = ∞, tồn lân cận vơ có ảnh (a) a điểm bất thường cốt yếu 𝑓 𝑧→∞ qua 𝑓 không chứa vô số điểm nên khơng thể thay giả thiết “có điểm phân biệt nằm 𝑓(ℂ)” định lý Picard Nhỏ giả thiết “có hai điểm phân biệt nằm ảnh 𝑓 hạn chế lân cận vô cùng” (b) m  * , p  m : a p  Ta sử dụng định lý sau : Định lý 2.2 (Định lý Picard lớn) Nội dung báo chứng minh định lý 1.1 theo cách khác [1] chứng minh định lý sau mở rộng định lý Liouville Trong lân cận bé tùy ý điểm bất thường cốt yếu hàm 𝑓(𝑧) nhận vô số lần giá trị hữu hạn ngoại trừ nhiều giá trị (gọi giá trị ngoại lệ Picard) Cơ sở lý thuyết Khi a   kết Trong mục này, ta nêu định nghĩa điểm bất thường (cơ lập) nêu tính chất cần dùng báo (xem [7]) Giải vấn đề Định lý 3.1 (Định lý Picard Nhỏ) Cho 𝑓: ℂ → ℂ hàm ngun mà có điểm phân biệt nằm ngồi 𝑓(ℂ) 𝑓 hàm Định nghĩa 2.1 Một phần tử 𝑎 ∈ ℂ gọi điểm bất thường (cô lập) hàm biến phức 𝑓 𝑓 giải tích lân cận thủng 𝑎 Chứng minh: Trong phần ta chứng minh định lý 1.1 cách sử dụng tính chất điểm bất thường cốt yếu cực điểm sau Các điểm bất thường phân làm ba loại sau :  * Điểm bất thường bỏ (khử được) : Cho 𝑓 hàm nguyên ∞ điểm bất thường cô lập 𝑓 Cho a điểm bất thường hàm biến phức 𝑓, a gọi điểm bất thường bỏ 𝑓 bổ sung 𝑓(𝑎) ∈ ℂ để thành hàm giải tích lân cận a + Nếu ∞ điểm bất thường cốt yếu nên theo định lý Picard Lớn phát biểu rằng: “Trong lân bé tùy ý điểm bất thường cốt yếu hàm 𝑓(𝑧) nhận vô số lần giá trị hữu hạn ngoại trừ nhiều giá trị (gọi giá trị ngoại lệ Picard)”, xem [7], lân cận U ∞, 𝑓(U) có phần bù chứa không điểm, nên 𝑓(ℂ) thế, mà 𝑓(ℂ) có phần bù chứa điểm phân biệt nên vô lý  Cực điểm: Cho a điểm bất thường hàm biến phức 𝑓, a gọi cực điểm 𝑓 lim 𝑓(𝑧) = ∞ 𝑧→𝑎  Điểm bất thường cốt yếu: Cho a điểm bất thường hàm biến phức 𝑓, a gọi điểm bất thường cốt yếu 𝑓 không tồn giới hạn hàm 𝑓(𝑧) 𝑧 → 𝑎 kể giá trị vô + Nếu ∞ cực điểm 𝑓, cách khai triển Laurent hàm 𝑓 lân cận vơ ∃𝑚 ∈ ℕ∗ , ∃𝑀 > 0: 26 ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 19, NO 11, 2021 ∞ 𝑓(𝑧) = ∑ 𝑎𝑛 𝑛=1 Hay: + 𝑏0 + 𝑏1 𝑧 + ⋯ + 𝑏𝑚 𝑧 𝑚 , |𝑧| > 𝑀 𝑧𝑛 𝑅𝑒(𝑎0 + 𝑎1 𝑧 + ⋯ + 𝑎𝑚 𝑧 𝑚 ) < + 𝑅𝑒𝑓(𝑧) ≤ + 𝑀 (3) với 𝑎𝑛 ∈ ℂ; ∀𝑛 ∈ ℕ∗ , 𝑚 ∈ ℕ∗ , 𝑏0 , 𝑏1 , … , 𝑏𝑚 ∈ ℂ Chọn: Đặt 𝑔(𝑧) = 𝑓(𝑧) − 𝑏1 𝑧 − ⋯ − 𝑏𝑚 𝑧 𝑚 ; ∀𝑧 ∈ ℂ 𝑔 hàm nguyên 𝑤 = |𝑎0 | + |𝑎1 |𝛽 + ⋯ + |𝑎𝑚 |𝛽𝑚 + 𝑀 + > Do đa thức hệ số phức có bậc lớn khơng có nghiệm nên ∃𝑡 ∈ ℂ cho Ta có lim 𝑔(𝑧) = 𝑏0  ∃𝑀′ > 𝑀 cho 𝑔 bị chặn 𝑧→∞ tập { 𝑧 ∈ ℂ/ |𝑧| ≥ 𝑀′} Do 𝑔 giải tích nên 𝑔 liên tục; Do đó, 𝑔 bị chặn tập { 𝑧 ∈ ℂ/ |𝑧| ≤ 𝑀′} compact Từ 𝑔 bị chặn 𝑎0 + 𝑎1 𝑡 + ⋯ + 𝑎𝑚 𝑡 𝑚 = 𝑤 Ta thấy 𝑡 ≠ (vì 𝑡 = 𝑎0 = 𝑤 nên |𝑎0 | = |𝑤| = 𝑤, (4) |𝑎1 |𝛽 + ⋯ + |𝑎𝑚 |𝛽𝑚 + 𝑀 + = điều vô lý) Áp dụng định lý Liouville, 𝑔 hàm 𝑏0 ; từ đó: 𝑓(𝑧) = 𝑏0 + 𝑏1 𝑧 + ⋯ + 𝑏𝑚 𝑧𝑚 ; Giả sử |𝑡| ≤ 𝛽 ⇰ |𝑤| = |𝑎0 + 𝑎1 𝑡 + ⋯ + 𝑎𝑚 𝑡 𝑚 | ∀𝑧 ∈ ℂ ≤ |𝑎0 | + |𝑎1 ||𝑡| + ⋯ + |𝑎𝑚 ||𝑡|𝑚 Với 𝑤 ∈ ℂ, định lý Đại số phương trình 𝑓(𝑧) = 𝑤 có nghiệm nên 𝑓(𝑈) = ℂ mà 𝑓(𝑈) có phần bù chứa điểm phân biệt nên vô lý ≤ |𝑎0 | + |𝑎1 |𝛽 + ⋯ + |𝑎𝑚 |𝛽𝑚 < |𝑎1 |𝛽 + ⋯ + |𝑎𝑚 |𝛽𝑚 + 𝑀 + = 𝑤 Từ lập luận ∞ điểm bất thường bỏ 𝑓, nên ∃ lim 𝑓(𝑧) ∈ ℂ nên 𝑓 hàm bị chặn, sử dụng định lý nên vơ lý, |𝑡| > 𝛽 𝑛ê𝑛 𝑡 ∈ 𝑉′ Từ (3) suy Re (𝑎0 + 𝑎1 𝑡 + ⋯ + 𝑎𝑚 𝑡 𝑚 ) ≤ + 𝑀 𝑧→∞ Liouville, suy 𝑓 hàm ■ Do Định lý 3.2 Cho 𝑓: ℂ → ℂ hàm nguyên tồn lân cận vô U ℂ mà 𝑓(U) nằm nửa mặt phẳng 𝑓 hàm Do lập luận ∞ điểm bất thường bỏ 𝑓, nên ∃ lim 𝑓(𝑧) ∈ ℂ nên 𝑓 hàm bị chặn, sử dụng định Cho 𝑓 hàm nguyên mà tồn lân cận U ∞ cho 𝑓(𝑈) nằm nửa mặt phẳng 𝐷 ℂ, cho ℎ: ℂ → ℂ phép quay mà Re ℎ(𝐷) bị chặn trên, ℎ phép quay nên hàm giải tích tồn hàm ngược giải tích, ta thấy ℎ ∘ 𝑓 hàm nguyên, 𝑅𝑒 ℎ ∘ 𝑓(𝑈) bị chặn trên, ta chứng minh ℎ ∘ 𝑓 hàm 𝑓 = ℎ−1 ∘ ℎ ∘ 𝑓 Bởi vậy, cách xét hợp ℎ với 𝑓, không giảm tổng quát ta thay giả thiết 𝑓(𝑈) nằm nửa mặt phẳng 𝐷 mặt phẳng phức giả thiết Re𝑓(U) bị chặn 𝑧→∞ lý Liouville, ta thấy 𝑓 hàm ■ Định lý 3.3 Cho 𝑓: ℂ → ℂ hàm nguyên tồn lân cận vô U ℂ mà 𝑓(U) không giao với đường thẳng mặt phẳng phức 𝑓 hàm Chứng minh: Ta đặt U = {𝑧 ∈ ℂ / |𝑧| > 𝛼} với 𝛼 > 0, cho d đường thẳng mặt phẳng phức không giao với 𝑓(U) Ta thấy U tập liên thông, 𝑓 hàm giải tích nên liên tục, từ 𝑓(𝑈) tập liên thông mặt phẳng phức nằm ℂ\𝑑, cho 𝐷1, 𝐷2 hai nửa mặt phẳng mở mặt phẳng phức chia d, 𝑓(𝑈) ∩ 𝐷1 ≠ ∅ 𝑓(𝑈) ∩ 𝐷2 ≠ ∅ tập tập khác rỗng, mở không gian topo 𝑓(𝑈) (đối với topo cảm sinh từ ℂ), lại có hợp 𝑓(𝑈); điều mâu thuẫn với tính liên thơng 𝑓(𝑈) Do đó, 𝑓(𝑈) nằm trong hai nửa mặt phẳng 𝐷1 𝐷2 ; sử dụng định lý 3.2, định lý 3.3 chứng minh xong ■ Do Re𝑓(U) bị chặn nên (1) + Nếu ∞ điểm bất thường cốt yếu 𝑓 Theo định lý Picard Lớn phần bù 𝑓(U) chứa không điểm nên điều ∀𝑧 ∈ 𝑈, 𝑅𝑒𝑓(z) ≤ 𝑀 xảy + Nếu ∞ cực điểm 𝑓 Bằng cách khai triển Laurent lân cận vô ta tìm lân cận vơ Định lý 3.4 Cho 𝑓: ℂ → ℂ hàm nguyên tồn lân cận vô U ℂ mà 𝑓(U) không giao với nửa đường thẳng mặt phẳng phức 𝑓 hàm 𝑉 = {𝑧 ∈ ℂ / |𝑧| > 𝛼} (𝛼 > 0), mà 𝑉 ⊂ 𝑈 𝑚 𝑓(𝑧) = ∑∞ z ∈ V; 𝑛=1 𝑏𝑛 𝑧 𝑛 + 𝑎0 + 𝑎1 𝑧 + ⋯ + 𝑎𝑚 𝑧 , ∗ ∗ 𝑏𝑛 ∈ ℂ với 𝑛 ∈ ℕ , 𝑚 ∈ ℕ , 𝑎0 , 𝑎1 , … , 𝑎𝑚 ∈ ℂ Ta có lim (𝑓(𝑧) − 𝑎1 𝑧 − ⋯ − 𝑎𝑚 𝑧→∞ 𝑧𝑚 ) = 𝑎0 Chứng minh: Cho a nửa đường thẳng định lý 3.4, cho ℎ: ℂ → ℂ ánh xạ hợp phép quay phép tịnh tiến cho ảnh a qua ánh xạ ℎ tập (2) Do (2), ∃𝛽 > 𝛼: 𝐾ℎ𝑖 |𝑧| > 𝛽 |𝑓(𝑧) − 𝑎1 𝑧 − ⋯ − 𝑎𝑚 𝑧 𝑚 − 𝑎0 | < Ta đặt 𝑉′ Rew ≤ + 𝑀 Mà 𝑅𝑒𝑤 = 𝑤 = |𝑎0 | + |𝑎1 |𝛽 + ⋯ + |𝑎𝑚 |𝛽𝑚 + 𝑀 + nên vơ lý Do đó, ∞ khơng thể cực điểm 𝑓 Chứng minh: ∃𝑀 > 0: ∀𝑧 ∈ 𝑈, 𝑅𝑒𝑓(z) ≤ 𝑀 (4) 𝑎′ = {𝑧 ∈ ℂ: 𝐼𝑚𝑧 = 0, 𝑅𝑒𝑧 ≤ 0} = {𝑧 ∈ ℂ/|𝑧| > 𝛽} 𝑉′ ⊂ 𝑉 ⊂ 𝑈 Do phép quay phép tịnh tiến hàm giải tích, hàm ngược giải tích nên ℎ Bằng cách thay hàm 𝑓 hàm hợp 𝑓 ℎ, giả thiết 𝑓(𝑈) khơng giao với a thay 𝑓(𝑈) khơng giao với a’ ∀𝑧 ∈ 𝑉′, | 𝑓(𝑧) − 𝑎1 𝑧 − ⋯ − 𝑎𝑚 𝑧 𝑚 − 𝑎0 | < nên |𝑅𝑒𝑓(𝑧) − 𝑅𝑒(𝑎0 + 𝑎1 𝑧 + ⋯ + 𝑎𝑚 𝑧 𝑚 )| ≤ | 𝑓(𝑧) − 𝑎0 − 𝑎1 𝑧 − ⋯ − 𝑎𝑚 𝑧 𝑚 | < Bây cho 𝜑: ℂ\𝑎′ → 𝐷 với 𝐷 = {𝑤 ∈ ℂ: 𝑅𝑒𝑤 > 0} 𝑎𝑟𝑔𝑧 𝑎𝑟𝑔𝑧 xác định 𝜑(𝑧) = √|𝑧|(𝑐𝑜𝑠 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 ), với 2 ′ 𝑧 ∈ ℂ\𝑎′; Khi 𝜑: ℂ\𝑎 → 𝐷 hàm giải tích song Từ 𝑅𝑒(𝑎0 + 𝑎1 𝑧 + ⋯ + 𝑎𝑚 𝑧 𝑚 ) − 𝑅𝑒𝑓(𝑧) < 27 ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 19, NO 11, 2021 ánh có hàm ngược 𝜙: 𝐷 → ℂ\𝑎′ xác định 𝜙(𝑤) = 𝑤 , với 𝑤 ∈ 𝐷, hàm giải tích TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lars V Ahlfors, “Complex analysis”, Mc Graw-Hill, Inc., 1979 [2] David S Dummit and Richard M Foote, “Abstract algebra”, Wiley (3 rd edition), 2003 [3] Wolfhard Hansen, “Liouville’s Theorem and the restricted mean value property in the plane”, J Math Pures Appl, 76, 1998, p 943-947 [4] Wolfhard Hansen, “A Strong Version of Liouville’s Theorem”, The American Mathematical Monthly, 115:7, 2008, p 583-595 [5] Zhenhua Jiao and Qiang Li, “The Liouville’s Theorem of Harmonic Functions on Alexandrov Spaces with Nonnegative Ricci Curvature”, Indian J Pure Appl Math, 46(1), 2015, p 51-58 [6] B.V.Sabat (Nguyễn Thủy Thanh Hà Huy Khối dịch) Nhập mơn Giải tích phức Nhà xuất Đại học Trung học Chuyên nghiệp, 1979 [7] Nguyễn Thủy Thanh Cơ sở lý thuyết hàm biến phức Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội, 2006 Hàm 𝜑 ℎ hàm giải tích có ảnh nằm nửa mặt phẳng mặt phẳng phức ℂ, nên theo định lý 3.2, 𝜑 ℎ hàm hằng, ℎ = 𝜙 𝜑 ℎ hàm Định lý 3.5 Cho 𝑓: ℂ → ℂ hàm nguyên tồn lân cận vô U tồn dãy {𝑧𝑛 } → ∞ mà 𝑧𝑛 ∈ ℂ\𝑓(U) với 𝑛 ∈ 𝑁 ∗ 𝑓 hàm Chứng minh: Cho 𝑓 hàm nguyên mà tồn lân cận U ∞ tồn dãy {𝑧𝑛 } → ∞ mà 𝑧𝑛 ∈ ℂ\ 𝑓(U) với 𝑛 ∈ 𝑁 ∗ + Nếu ∞ điểm bất thường cốt yếu 𝑓, theo định lý Picard Lớn phần bù 𝑓(U) chứa không điểm nên tồn dãy {𝑧𝑛 } → ∞ mà 𝑧𝑛 ∈ ℂ\ 𝑓(U) với 𝑛 ∈ 𝑁 ∗ điều xảy + Nếu ∞ cực điểm 𝑓, cách khai triển Laurent hàm 𝑓 lân cận vơ ∃𝑚 ∈ ℕ∗ , ∃𝑀 > 0: ∞ 𝑓(𝑧) = ∑ 𝑎𝑛 𝑛=1 + 𝑏0 + 𝑏1 𝑧 + ⋯ + 𝑏𝑚 𝑧 𝑚 , |𝑧| > 𝑀 𝑧𝑛 với 𝑎𝑛 ∈ℂ; ∀𝑛 ∈ ℕ∗ , 𝑚 ∈ ℕ∗ , 𝑏0 , 𝑏1 , … , 𝑏𝑚 ∈ ℂ Đặt 𝑔(𝑧) = 𝑓(𝑧) − 𝑏1 𝑧 − ⋯ − 𝑏𝑚 𝑧 𝑚 ; ∀𝑧 ∈ ℂ 𝑔 hàm nguyên Ta có lim 𝑔(𝑧) = 𝑏0 𝑧→∞  ∃𝑀′ > 𝑀: 𝑔 bị chặn tập { 𝑧 ∈ ℂ/ |𝑧| ≥ 𝑀′} Do 𝑔 giải tích nên 𝑔 liên tục; 𝑔 bị chặn tập { 𝑧 ∈ ℂ/ |𝑧| ≤ 𝑀′} compact Từ 𝑔 bị chặn Áp dụng định lý Liouville, 𝑔 hàm 𝑏0 ; 𝑡ừ 𝑓(𝑧) = 𝑏0 + 𝑏1 𝑧 + ⋯ + 𝑏𝑚 𝑧 𝑚 ; ∀𝑧 ∈ ℂ Ta đặt U = {𝑧 ∈ ℂ / |𝑧| > 𝛼} (𝛼 > 0), {𝑧𝑛 } → ∞ nên ta chọn n  N * cho |𝑧𝑛 | > |𝑏0 | + |𝑏1 |𝛼 + ⋯ + |𝑏𝑚 |𝛼 𝑚 Sử dụng định lý Đại số tồn 𝑢 ∈ ℂ cho 𝑓(𝑢) = 𝑧𝑛 , |𝑢| ≤ 𝛼 |𝑧𝑛 | = |𝑓(𝑢)| ≤ |𝑏0 | + |𝑏1 |𝛼 + ⋯ + |𝑏𝑚 |𝛼 𝑚 < |𝑧𝑛 | nên vô lý, |𝑢| > 𝛼 𝑢 ∈ 𝑈, điều mâu thuẫn, từ định lý chứng minh xong ■ Chú ý điều kiện định lý từ định lý 3.2 đến định lý 3.5 yếu dần, nhiên thêm điều kiện 𝑓 hàm nguyên chúng tương đương với (do tương đương với hàm 𝑓 bị chặn), ta khơng thể tìm ví dụ hàm nguyên mà thỏa mãn điều kiện định lý không thỏa mãn điều kiện định lý khác Kết luận Như báo này, nhóm tác giả mở rộng định lý Liouville theo hướng xét ảnh hàm nguyên hạn chế lân cận vơ cùng, định lý 3.2, định lý 3.3, định lý 3.4 định lý 3.5 Có mở rộng theo hướng khác người đọc xem [3], [4] [5] 28 V TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] B.V.Sabat (Nguyễn Thủy Thanh Hà Huy Khối dịch) Nhập mơn Giải tích phức Nhà xuất Đại học Trung học Chuyên nghiệp, 1979 [2] Nguyễn Thủy Thanh Cơ sở lý thuyết hàm biến phức Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội, 2006 Tiếng Anh [3] Lars V Ahlfors, “Complex analysis”, Mc Graw-Hill, Inc., 1979 [4] David S Dummit and Richard M Foote, “Abstract algebra”, Wiley (3 rd edition), 2003 [5] Wolfhard Hansen, “Liouville’s Theorem and the restricted mean value property in the plane”, J Math Pures Appl, 76, 1998, p 943-947 [6] Wolfhard Hansen, “A Strong Version of Liouville’s Theorem”, The American Mathematical Monthly, 115:7, 2008, p 583-595 [7] Zhenhua Jiao and Qiang Li, “The Liouville’s Theorem of Harmonic Functions on Alexandrov Spaces with Nonnegative Ricci Curvature”, Indian J Pure Appl Math, 46(1), 2015, p 51-58 [8] Lê Hồng Trí Dương Quang Việt Hà, “Một vài mở rộng định lý Liouville”, Tạp chí Khoa học Công nghệ - Đại học Đà Nẵng, Vol 19, No 11, 2021 29 ... theo định lý 3.4 suy f hàm 17 III CHƯƠNG 2: MỘT VÀI MỞ RỘNG CỦA ĐỊNH LÝ LIOUVILLE Trong chương này, trình bày loại điểm bất thường, phát biểu định lý mở rộng định lý Liouville chứng minh định lý. .. phân hàm phức 12 Định lý Liouville 16 III CHƯƠNG 2: MỘT VÀI MỞ RỘNG CỦA ĐỊNH LÝ LIOUVILLE 18 Điểm bất thường 18 Một số mở rộng định lý Liouville 19 IV... có chứa hai điểm phân biệt kết luận định lý Liouville (định lý Picard Nhỏ) Do đó, định lý Picard Nhỏ mở rộng định lý Liouville Bài báo mở rộng tương tự định lý Picard Nhỏ, thay xét ảnh hàm nguyên