Một vài mở rộng của định lý Liouville

Định lý Liouville được phát biểu rằng mỗi hàm nguyên bị chặn là một hàm hằng, đây là một trong những định lý cơ bản của ngành Giải tích phức, ứng dụng nó người ta chứng minh được định lý cơ bản của Đại số. Bài viết này cũng mở rộng tương tự như định lý Picard Nhỏ, nhưng thay vì xét ảnh của hàm nguyên ta xét ảnh của hàm nguyên này trên một lân cận của vô cùng.

ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 19, NO 11, 2021 57 MỘT VÀI MỞ RỘNG CỦA ĐỊNH LÝ LIOUVILLE SEVERAL EXTENSIONS OF LIOUVILLE’S THEOREM Lê Hồng Trí1, Dương Quang Việt Hà2* Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng Lớp 18 ST, Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng Tác giả liên hệ: duongvietha5@gmail.com (Nhận bài: 09/8/2021; Chấp nhận đăng: 21/10/2021) * Tóm tắt - Định lý Liouville phát biểu hàm nguyên bị chặn hàm hằng, định lý ngành Giải tích phức, ứng dụng người ta chứng minh định lý Đại số Có nhiều mở rộng cho định lý Liouville Trong báo này, nhóm tác giả mở rộng định lý Liouville theo hướng xét ảnh hàm nguyên lân cận vô Mỗi hàm bị chặn có ảnh nằm hình trịn, phần bù có vơ số phần tử Trong [1], chứng minh rằng, thay giả thiết bị chặn hàm nguyên giả thiết phần bù ảnh hàm ngun có chứa hai điểm phân biệt kết luận định lý Liouville (định lý Picard Nhỏ) Do đó, định lý Picard Nhỏ mở rộng định lý Liouville Bài báo mở rộng tương tự định lý Picard Nhỏ, thay xét ảnh hàm nguyên ta xét ảnh hàm nguyên lân cận vô Abstract - Liouville’s theorem states that every bounded entire function is a constant function This is among the most fundamental theorems in Complex Analysis; it is applied to prove the fundamental theorem of Algebra There have been multiple directions of extension for Liouville’s theorem In this paper, the authors take the direction of observing this entire function’s image restricted on a neighborhood of infinity Since every bounded function’s image lies inside a circle, the image’s complement is infinite In [1], it is showed that, if we replace the bounded assumption by assuming the entire function image’s complement contains at least distinct elements, Liouville’s theorem still holds (Little Picard’s theorem) Therefore, Little Picard’s theorem is an extension of Liouville’s theorem This paper’s extension is similar to Little Picard’s theorem but instead of examining the image of the entire function, we examine this entire function’s image on a neighborhood of infinity Từ khóa - Hàm Giải tích; Hàm ngun; Lân cận; Lân cận vô cùng; Các điểm bất thường Key words - Analytic function; Entire function; Neighborhood; Neighborhood of infinity; Singular points Đặt vấn đề Định lý Đại số phát biểu rằng, đa thức hệ số phức có bậc 𝑛 ≥ có nghiệm phức Định lý có dạng khác đa thức hệ số phức bậc 𝑛 ≥ có 𝑛 nghiệm phức (kể nghiệm bội) (xem [2], trang 545) Người ta chứng minh định lý cách dùng Đại số chứng minh Giải tích nhờ định lý Liouville Định lý Liouville phát biểu rằng, hàm nguyên, bị chặn hàm (xem [1], trang 122) (cũng xem [6] [7]) Ở hàm nguyên hàm giải tích từ mặt phẳng phức vào Có vài mở rộng cho định lý Liouville (xem [1], [3], [4], [5]) Trong [1] (trang 306-308), người ta chứng minh định lý Picard Nhỏ phát biểu sau Định lý (Định lý Picard Nhỏ) Cho 𝑓: ℂ → ℂ hàm ngun mà có điểm phân biệt nằm ngồi 𝑓(ℂ) 𝑓 hàm Đây thực mở rộng định lý Liouville Định lý mở rộng theo hướng xét 𝑓(ℂ) ảnh toàn mặt phẳng phức qua hàm nguyên 𝑓, báo ta xét ảnh hàm nguyên hạn chế lân cận vô Với 𝑀 > 0, { 𝑧 ∈ ℂ/ |𝑧| > 𝑀} gọi lân cận vơ Ta có nhận xét rằng, 𝑓 hàm đa thức với bậc lớn hay (mỗi hàm đa thức hàm ngun) lim 𝑓(𝑧) = ∞, tồn lân cận vô 𝑧→∞ có ảnh qua 𝑓 khơng chứa vơ số điểm nên khơng thể thay giả thiết “có điểm phân biệt nằm 𝑓(ℂ)” định lý Picard Nhỏ giả thiết “có hai điểm phân biệt nằm ảnh 𝑓 hạn chế lân cận vô cùng” Nội dung báo chứng minh định lý Picard Nhỏ theo cách khác [1] chứng minh định lý sau mở rộng định lý Liouville Cơ sở lý thuyết Trong mục này, ta nêu định nghĩa điểm bất thường (cơ lập) nêu tính chất cần dùng báo (xem [7]) Định nghĩa 2.1 Một phần tử 𝑎 ∈ ℂ gọi điểm bất thường (cô lập) hàm biến phức 𝑓 𝑓 giải tích lân cận thủng 𝑎 Các điểm bất thường phân làm ba loại sau: • Điểm bất thường bỏ (khử được) Cho a điểm bất thường hàm biến phức 𝑓, a gọi điểm bất thường bỏ 𝑓 bổ sung 𝑓(𝑎) ∈ ℂ để thành hàm giải tích lân cận a The University of Danang - University of Science and Education (Le Hoang Tri) Student of Mathematics, The University of Danang – University of Science and Education (Duong Quang Viet Ha) Lê Hồng Trí, Dương Quang Việt Hà 58 • Cực điểm Cho a điểm bất thường hàm biến phức 𝑓, a gọi cực điểm 𝑓 lim 𝑓(𝑧) = ∞ 𝑧→𝑎 • Điểm bất thường cốt yếu Cho a điểm bất thường hàm biến phức 𝑓, a gọi điểm bất thường cốt yếu 𝑓 không tồn giới hạn hàm 𝑓(𝑧) 𝑧 → 𝑎 kể giá trị vô Nếu a điểm bất thường (cơ lập) hàm 𝑓 𝑓 giải tích lân cận thủng U * a , từ ta có khai triển Laurent : 𝑓(𝑧) = ∑∞ 𝑛=1 𝑎𝑛 𝑧𝑛 𝑛 ∗ + ∑∞ 𝑛=0 𝑏𝑛 𝑧 , z ∈ 𝑈 Ta có mệnh đề sau đây: Mệnh đề 1: Cho a điểm bất thường (bỏ được) hàm biến phức 𝑓 Khi đó, điều kiện sau tương đương: (a) a điểm bất thường bỏ 𝑓; (b)  lim f ( z )  ℂ; z →a (c) 𝑓 bị chặn lân cận thủng a ; (d) an = 0, n  * Mệnh đề 2: Cho a điểm bất thường (bỏ được) hàm biến phức 𝑓 Khi đó, điều kiện sau tương đương: (a) a cực điểm 𝑓; (b) n  * : an  , m  * : p  m, a p = Mệnh đề 3: Cho a điểm bất thường (bỏ được) hàm biến phức 𝑓 Khi đó, điều kiện sau tương đương: (a) a điểm bất thường cốt yếu 𝑓; (b) m  * , p  m : a p  Ta sử dụng định lý sau: Định lý 2.2 (Định lý Picard lớn): Trong lân cận bé tùy ý điểm bất thường cốt yếu hàm 𝑓(𝑧) nhận vô số lần giá trị hữu hạn ngoại trừ nhiều giá trị (gọi giá trị ngoại lệ Picard) Khi a =  kết Giải vấn đề Định lý 3.1 (Định lý Picard Nhỏ) Cho 𝒇: ℂ → ℂ hàm ngun mà có điểm phân biệt nằm ngồi 𝒇(ℂ) 𝒇 hàm Chứng minh: Trong phần ta chứng minh định lý 3.1 cách sử dụng tính chất điểm bất thường cốt yếu cực điểm sau Cho 𝑓 hàm nguyên ∞ điểm bất thường cô lập 𝑓 + Nếu ∞ điểm bất thường cốt yếu nên theo định lý Picard Lớn phát biểu rằng: “Trong lân bé tùy ý điểm bất thường cốt yếu hàm 𝑓(𝑧) nhận vô số lần giá trị hữu hạn ngoại trừ nhiều giá trị (gọi giá trị ngoại lệ Picard)”, xem [7], lân cận U ∞, 𝑓(U) có phần bù chứa khơng q điểm, nên 𝑓(ℂ) thế, mà 𝑓(ℂ) có phần bù chứa điểm phân biệt nên vô lý + Nếu ∞ cực điểm 𝑓, cách khai triển Laurent hàm 𝑓 lân cận vô ∃𝑚 ∈ ℕ∗ , ∃𝑀 > 0: ∞ 𝑓(𝑧) = ∑ 𝑎𝑛 𝑛=1 + 𝑏0 + 𝑏1 𝑧 + ⋯ + 𝑏𝑚 𝑧 𝑚 , |𝑧| > 𝑀 𝑧𝑛 với 𝑎𝑛 ∈ ℂ; ∀𝑛 ∈ ℕ∗ , 𝑚 ∈ ℕ∗ , 𝑏0 , 𝑏1 , … , 𝑏𝑚 ∈ ℂ Đặt 𝑔(𝑧) = 𝑓(𝑧) − 𝑏1 𝑧 − ⋯ − 𝑏𝑚 𝑧 𝑚 ; ∀𝑧 ∈ ℂ 𝑔 hàm ngun Ta có lim 𝑔(𝑧) = 𝑏0  ∃𝑀′ > 𝑀 cho 𝑔 bị chặn 𝑧→∞ tập { 𝑧 ∈ ℂ/ |𝑧| ≥ 𝑀′} Do 𝑔 giải tích nên 𝑔 liên tục; Do đó, 𝑔 bị chặn tập { 𝑧 ∈ ℂ/ |𝑧| ≤ 𝑀′} compact Từ 𝑔 bị chặn Áp dụng định lý Liouville, 𝑔 hàm 𝑏0 ; từ đó: 𝑓(𝑧) = 𝑏0 + 𝑏1 𝑧 + ⋯ + 𝑏𝑚 𝑧 𝑚 ; ∀𝑧 ∈ ℂ Với 𝑤 ∈ ℂ, định lý Đại số phương trình 𝑓(𝑧) = 𝑤 có nghiệm nên 𝑓(𝑈) = ℂ mà 𝑓(𝑈) có phần bù chứa điểm phân biệt nên vô lý Từ lập luận ∞ điểm bất thường bỏ 𝑓, nên ∃ lim 𝑓(𝑧) ∈ ℂ nên 𝑓 hàm bị chặn, sử dụng định 𝑧→∞ lý Liouville, suy 𝑓 hàm ■ Định lý 3.2: Cho 𝑓: ℂ → ℂ hàm nguyên tồn lân cận vô U ℂ mà 𝑓(U) nằm nửa mặt phẳng 𝑓 hàm Chứng minh: Cho 𝑓 hàm nguyên mà tồn lân cận U ∞ cho 𝑓(𝑈) nằm nửa mặt phẳng 𝐷 ℂ, cho ℎ: ℂ → ℂ phép quay mà Re ℎ(𝐷) bị chặn trên, ℎ phép quay nên hàm giải tích tồn hàm ngược giải tích, ta thấy ℎ ∘ 𝑓 hàm nguyên, 𝑅𝑒 ℎ ∘ 𝑓(𝑈) bị chặn trên, ta chứng minh ℎ ∘ 𝑓 hàm 𝑓 = ℎ−1 ∘ ℎ ∘ 𝑓 Bởi vậy, cách xét hợp ℎ với 𝑓, khơng giảm tổng qt ta thay giả thiết 𝑓(𝑈) nằm nửa mặt phẳng 𝐷 mặt phẳng phức giả thiết Re𝑓(U) bị chặn Do Re𝑓(U) bị chặn nên ∃𝑀 > 0: ∀𝑧 ∈ 𝑈, 𝑅𝑒𝑓(z) ≤ 𝑀 (1) + Nếu ∞ điểm bất thường cốt yếu 𝑓 Theo định lý Picard Lớn phần bù 𝑓(U) chứa không điểm nên điều ∀𝑧 ∈ 𝑈, 𝑅𝑒𝑓(z) ≤ 𝑀 xảy + Nếu ∞ cực điểm 𝑓 Bằng cách khai triển Laurent lân cận vơ ta tìm lân cận vô 𝑉 = {𝑧 ∈ ℂ / |𝑧| > 𝛼} (𝛼 > 0), mà 𝑉 ⊂ 𝑈 𝑚 𝑓(𝑧) = ∑∞ 𝑛=1 𝑏𝑛 𝑧 𝑛 + 𝑎0 + 𝑎1 𝑧 + ⋯ + 𝑎𝑚 𝑧 , z ∈ V; ∗ ∗ 𝑏𝑛 ∈ ℂ với 𝑛 ∈ ℕ , 𝑚 ∈ ℕ , 𝑎0 , 𝑎1 , … , 𝑎𝑚 ∈ ℂ ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 19, NO 11, 2021 𝑚 Ta có lim (𝑓(𝑧) − 𝑎1 𝑧 − ⋯ − 𝑎𝑚 𝑧 ) = 𝑎0 𝑧→∞ (2) Do (2), ∃𝛽 > 𝛼: 𝐾ℎ𝑖 |𝑧| > 𝛽 |𝑓(𝑧) − 𝑎1 𝑧 − ⋯ − 𝑎𝑚 𝑧 𝑚 − 𝑎0 | < Ta đặt 𝑉 ′ = {𝑧 ∈ ℂ/|𝑧| > 𝛽} 𝑉′ ⊂ 𝑉 ⊂ 𝑈 ∀𝑧 ∈ 𝑉′, | 𝑓(𝑧) − 𝑎1 𝑧 − ⋯ − 𝑎𝑚 𝑧 𝑚 − 𝑎0 | < nên |𝑅𝑒𝑓(𝑧) − 𝑅𝑒(𝑎0 + 𝑎1 𝑧 + ⋯ + 𝑎𝑚 𝑧 𝑚 )| ≤ | 𝑓(𝑧) − 𝑎0 − 𝑎1 𝑧 − ⋯ − 𝑎𝑚 𝑧 𝑚 | < Từ 𝑅𝑒(𝑎0 + 𝑎1 𝑧 + ⋯ + 𝑎𝑚 𝑧 𝑚 ) − 𝑅𝑒𝑓(𝑧) < Hay: 𝑅𝑒(𝑎0 + 𝑎1 𝑧 + ⋯ + 𝑎𝑚 𝑧 𝑚 ) < + 𝑅𝑒𝑓(𝑧) ≤ + 𝑀 (3) Chọn: 𝑤 = |𝑎0 | + |𝑎1 |𝛽 + ⋯ + |𝑎𝑚 |𝛽 𝑚 + 𝑀 + > (4) Do đa thức hệ số phức có bậc lớn khơng có nghiệm nên ∃𝑡 ∈ ℂ cho 𝑎0 + 𝑎1 𝑡 + ⋯ + 𝑎𝑚 𝑡 𝑚 = 𝑤 Ta thấy 𝑡 ≠ (vì 𝑡 = 𝑎0 = 𝑤 nên |𝑎0 | = |𝑤| = 𝑤, (4) |𝑎1 |𝛽 + ⋯ + |𝑎𝑚 |𝛽 𝑚 + 𝑀 + = điều vô lý) Giả sử |𝑡| ≤ 𝛽 ⇰ |𝑤| = |𝑎0 + 𝑎1 𝑡 + ⋯ + 𝑎𝑚 𝑡 𝑚 | ≤ |𝑎0 | + |𝑎1 ||𝑡| + ⋯ + |𝑎𝑚 ||𝑡|𝑚 ≤ |𝑎0 | + |𝑎1 |𝛽 + ⋯ + |𝑎𝑚 |𝛽 𝑚 < |𝑎1 |𝛽 + ⋯ + |𝑎𝑚 |𝛽 𝑚 + 𝑀 + = 𝑤 nên vơ lý, |𝑡| > 𝛽 𝑛ê𝑛 𝑡 ∈ 𝑉′ Từ (3) suy Re (𝑎0 + 𝑎1 𝑡 + ⋯ + 𝑎𝑚 𝑡 𝑚 ) ≤ + 𝑀 Do Rew ≤ + 𝑀 Mà 𝑅𝑒𝑤 = 𝑤 = |𝑎0 | + |𝑎1 |𝛽 + ⋯ + |𝑎𝑚 |𝛽 𝑚 + 𝑀 + nên vơ lý Do đó, ∞ khơng thể cực điểm 𝑓 Do lập luận ∞ điểm bất thường bỏ 𝑓, nên ∃ lim 𝑓(𝑧) ∈ ℂ nên 𝑓 hàm bị chặn, sử dụng 𝑧→∞ định lý Liouville, ta thấy 𝑓 hàm ■ Định lý 3.3 Cho 𝑓: ℂ → ℂ hàm nguyên tồn lân cận vô U ℂ mà 𝑓(U) không giao với đường thẳng mặt phẳng phức 𝑓 hàm Chứng minh: Ta đặt U = {𝑧 ∈ ℂ / |𝑧| > 𝛼} với 𝛼 > 0, cho d đường thẳng mặt phẳng phức không giao với 𝑓(U) Ta thấy U tập liên thông, 𝑓 hàm giải tích nên liên tục, từ 𝑓(𝑈) tập liên thông mặt phẳng phức nằm ℂ\𝑑, cho 𝐷1, 𝐷2 hai nửa mặt phẳng mở mặt phẳng phức chia d, 𝑓(𝑈) ∩ 𝐷1 ≠ ∅ 𝑓(𝑈) ∩ 𝐷2 ≠ ∅ tập tập khác rỗng, mở không gian topo 𝑓(𝑈) (đối với topo cảm sinh từ ℂ), lại có hợp 𝑓(𝑈); điều mâu thuẫn với tính liên thơng 𝑓(𝑈) Do đó, 𝑓(𝑈) nằm trong hai nửa mặt phẳng 𝐷1 𝐷2 ; sử dụng định lý 3.2, định lý 3.3 chứng minh xong ■ Định lý 3.4 Cho 𝑓: ℂ → ℂ hàm nguyên tồn lân cận vô U ℂ mà 𝑓(U) không giao với nửa đường thẳng mặt phẳng phức 𝑓 hàm 59 Chứng minh: Cho a nửa đường thẳng định lý 3.4, cho ℎ: ℂ → ℂ ánh xạ hợp phép quay phép tịnh tiến cho ảnh a qua ánh xạ ℎ tập 𝑎′ = {𝑧 ∈ ℂ: 𝐼𝑚𝑧 = 0, 𝑅𝑒𝑧 ≤ 0} Do phép quay phép tịnh tiến hàm giải tích, hàm ngược giải tích nên ℎ Bằng cách thay hàm 𝑓 hàm hợp 𝑓 ℎ, giả thiết 𝑓(𝑈) khơng giao với a thay 𝑓(𝑈) không giao với a’ Bây cho 𝜑: ℂ\𝑎′ → 𝐷 với 𝐷 = {𝑤 ∈ ℂ: 𝑅𝑒𝑤 > 0} 𝑎𝑟𝑔𝑧 𝑎𝑟𝑔𝑧 xác định 𝜑(𝑧) = √|𝑧|(𝑐𝑜𝑠 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 ), với 2 𝑧 ∈ ℂ\𝑎′; Khi 𝜑: ℂ\𝑎′ → 𝐷 hàm giải tích song ánh có hàm ngược 𝜙: 𝐷 → ℂ\𝑎′ xác định 𝜙(𝑤) = 𝑤 , với 𝑤 ∈ 𝐷, hàm giải tích Hàm 𝜑 ℎ hàm giải tích có ảnh nằm nửa mặt phẳng mặt phẳng phức ℂ, nên theo định lý 3.2, 𝜑 ℎ hàm hằng, ℎ = 𝜙 𝜑 ℎ hàm Định lý 3.5 Cho 𝑓: ℂ → ℂ hàm nguyên tồn lân cận vô U tồn dãy {𝑧𝑛 } → ∞ mà 𝑧𝑛 ∈ ℂ\𝑓(U) với 𝑛 ∈ 𝑁 ∗ 𝑓 hàm Chứng minh: Cho 𝑓 hàm nguyên mà tồn lân cận U ∞ tồn dãy {𝑧𝑛 } → ∞ mà 𝑧𝑛 ∈ ℂ\ 𝑓(U) với 𝑛 ∈ 𝑁 ∗ + Nếu ∞ điểm bất thường cốt yếu 𝑓, theo định lý Picard Lớn phần bù 𝑓(U) chứa không điểm nên tồn dãy {𝑧𝑛 } → ∞ mà 𝑧𝑛 ∈ ℂ\ 𝑓(U) với 𝑛 ∈ 𝑁 ∗ điều xảy + Nếu ∞ cực điểm 𝑓, cách khai triển Laurent hàm 𝑓 lân cận vơ ∃𝑚 ∈ ℕ∗ , ∃𝑀 > 0: ∞ 𝑓(𝑧) = ∑ 𝑎𝑛 𝑛=1 + 𝑏0 + 𝑏1 𝑧 + ⋯ + 𝑏𝑚 𝑧 𝑚 , |𝑧| > 𝑀 𝑧𝑛 với 𝑎𝑛 ∈ℂ; ∀𝑛 ∈ ℕ∗ , 𝑚 ∈ ℕ∗ , 𝑏0 , 𝑏1 , … , 𝑏𝑚 ∈ ℂ Đặt 𝑔(𝑧) = 𝑓(𝑧) − 𝑏1 𝑧 − ⋯ − 𝑏𝑚 𝑧 𝑚 ; ∀𝑧 ∈ ℂ 𝑔 hàm nguyên Ta có lim 𝑔(𝑧) = 𝑏0  ∃𝑀′ > 𝑀: 𝑔 bị chặn tập 𝑧→∞ { 𝑧 ∈ ℂ/ |𝑧| ≥ 𝑀′} Do 𝑔 giải tích nên 𝑔 liên tục; 𝑔 bị chặn tập { 𝑧 ∈ ℂ/ |𝑧| ≤ 𝑀′} compact Từ 𝑔 bị chặn Áp dụng định lý Liouville, 𝑔 hàm 𝑏0 ; 𝑡ừ 𝑓(𝑧) = 𝑏0 + 𝑏1 𝑧 + ⋯ + 𝑏𝑚 𝑧 𝑚 ; ∀𝑧 ∈ ℂ Ta đặt U = {𝑧 ∈ ℂ / |𝑧| > 𝛼} (𝛼 > 0), {𝑧𝑛 } → ∞ nên ta chọn n  N * cho |𝑧𝑛 | > |𝑏0 | + |𝑏1 |𝛼 + ⋯ + |𝑏𝑚 |𝛼 𝑚 Sử dụng định lý Đại số tồn 𝑢 ∈ ℂ cho 𝑓(𝑢) = 𝑧𝑛 , |𝑢| ≤ 𝛼 |𝑧𝑛 | = |𝑓(𝑢)| ≤ |𝑏0 | + |𝑏1 |𝛼 + ⋯ + |𝑏𝑚 |𝛼 𝑚 < |𝑧𝑛 | nên vơ lý, |𝑢| > 𝛼 𝑢 ∈ 𝑈, điều mâu thuẫn, từ định lý chứng minh xong ■ 60 Chú ý điều kiện định lý từ định lý 3.2 đến định lý 3.5 yếu dần, nhiên thêm điều kiện 𝑓 hàm nguyên chúng tương đương với (do tương đương với hàm 𝑓 bị chặn), ta khơng thể tìm ví dụ hàm nguyên mà thỏa mãn điều kiện định lý không thỏa mãn điều kiện định lý khác Kết luận Như báo này, nhóm tác giả mở rộng định lý Liouville theo hướng xét ảnh hàm nguyên hạn chế lân cận vơ cùng, định lý 3.2, định lý 3.3, định lý 3.4 định lý 3.5 Có mở rộng theo hướng khác người đọc xem [3], [4] [5] Lê Hồng Trí, Dương Quang Việt Hà TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lars V Ahlfors, “Complex analysis”, Mc Graw-Hill, Inc., 1979 [2] David S Dummit and Richard M Foote, “Abstract algebra”, Wiley (3 rd edition), 2003 [3] Wolfhard Hansen, “Liouville’s Theorem and the restricted mean value property in the plane”, J Math Pures Appl, 76, 1998, p 943-947 [4] Wolfhard Hansen, “A Strong Version of Liouville’s Theorem”, The American Mathematical Monthly, 115:7, 2008, p 583-595 [5] Zhenhua Jiao and Qiang Li, “The Liouville’s Theorem of Harmonic Functions on Alexandrov Spaces with Nonnegative Ricci Curvature”, Indian J Pure Appl Math, 46(1), 2015, p 51-58 [6] B.V.Sabat (Nguyễn Thủy Thanh Hà Huy Khoái dịch) Nhập mơn Giải tích phức Nhà xuất Đại học Trung học Chuyên nghiệp, 1979 [7] Nguyễn Thủy Thanh Cơ sở lý thuyết hàm biến phức Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội, 2006  ... kiện định lý không thỏa mãn điều kiện định lý khác Kết luận Như báo này, nhóm tác giả mở rộng định lý Liouville theo hướng xét ảnh hàm nguyên hạn chế lân cận vơ cùng, định lý 3.2, định lý 3.3, định. .. Khi a =  kết Giải vấn đề Định lý 3.1 (Định lý Picard Nhỏ) Cho