Một số mở rộng định lý sylow

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐẶNG THỊ THU HIỀN MỘT SỐ MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ SYLOW LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Vinh - 2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐẶNG THỊ THU HIỀN MỘT SỐ MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ SYLOW CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ - LÝ THUYẾT SỐ MÃ SỐ: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.LÊ QUỐC HÁN Vinh - 2009 MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU Chƣơng Các định lý nhóm hữu hạn 1.1 Định lý Kelly định lý Poincare’ 1.2 Các định lý p – nhóm 1.3 Định lý Sylow 11 Chƣơng Một số mở rộng định lý Sylow 19 2.1 Các  - nhóm 19 2.2 Định lý Hall nhóm giải hữu hạn 21 2.3 Nhóm với ước chuẩn Hall 25 KẾT LUẬN 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 LỜI NÓI ĐẦU Trong lý thuyết nhóm, người ta thường quan tâm nghiên cứu đến hai lớp nhóm: lớp nhóm Aben lớp nhóm hữu hạn Theo định lý Lagrange, G nhóm hữu hạn H nhóm G cấp H ước cấp G Xét toán ngược lại: G nhóm hữu hạn, k ước cấp G G tồn hay khơng nhóm H cho cấp H k? Năm 1872, L.Sylow giải toán với định lý mang tên ơng Định lý L.Sylow có nhiều ứng dụng ngành khác tốn học Sau L.Sylow có nhiều tác giả nghiên cứu vấn đề tồn p – nhóm cho lớp nhóm đặc biệt nhận kết sâu sắc định lý Hall nhóm giải hữu hạn, định lý Huppert nhóm siêu giải hữu hạn Trong lý thuyết nhóm hữu hạn, định lý phần bù bất biến nhóm với tính chất cho trước đóng vai trị quan trọng Định lý M.Suzuki cho điều kiện cần đủ tồn phần bù bất biến nhóm Hall Tuy nhiên tính phổ dụng nó, định lý khó áp dụng nên cần tìm dấu hiệu khác dễ áp dụng Trong trường hợp  gồm phần tử, vấn đề giải Thompson trường hợp  tập hợp tùy ý giải R.W Carter Qua luận văn này, cố gắng tìm hướng mở rộng định lý Sylow Các kết mà đưa khác với kết R.W Carter Nó kết hợp việc nghiên cứu mối quan hệ K – nhóm (là nhóm lũy linh, trùng với chuẩn hóa nó) với nhóm giải Luận văn chia làm hai chương, với phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo Chƣơng Các định lý nhóm hữu hạn Trong chương này, chúng tơi nhắc lại nhóm hữu hạn nhóm với số hữu hạn (Định lý 1.1.2, Định lý 1.1.3) Trình bày định lý p – nhóm: mệnh đề 1.2.2, mệnh đề 1.2.5 (Matsuyama), định lý 1.2.12 Chúng chứng minh cách chi tiết định lý Sylow, định lý có nhiều ứng dụng toán học Kiến thức chương làm sở để trình bày chương Chƣơng Một số mở rộng định lý Sylow Chương gồm ba tiết nội dung luận văn, trình bày cụ thể sau: 2.1 Các  - nhóm Trong tiết chúng tơi trình bày khái niệm  nhóm,  - thành phần Sau chứng minh số mệnh đề  - nhóm, kết tiết mệnh đề 2.1.2, định lý 2.1.4 2.2 Định lý Hall nhóm giải đƣợc hữu hạn Định lý Sylow nhóm hữu hạn nhà tốn học người Nauy L.Sylow cơng bố vào năm 1872 có nhiều ứng dụng toán học Hơn nửa kỷ sau, 1937 nhà toán học P.Hall thu kết tương tự cho nhóm giải hữu hạn Kết đáng quan tâm tiết định lý 2.2.4 2.3 Nhóm với ƣớc chuẩn Hall Trong tiết này, nhắc lại định nghĩa: p – chuẩn tắc, nhóm khơng chuẩn, nhóm siêu điểm, p – phần bù Sylow (Định nghĩa 2.3.1) Kết thu tiết Định lý 2.3.2, Bổ đề 2.3.4 Định lý 2.3.5 Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn tận tình, chu đáo thầy giáo PGS.TS Lê Quốc Hán Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Tác giả xin trân trọng cảm ơn tới tất thầy cô giáo khoa Toán, khoa Sau đại học trường Đại học Vinh, Ban giám hiệu trường Đại học Vinh, phòng ban liên quan tạo điều kiện thuận lợi thời gian tác giả học tập nghiên cứu trường Mặc dù có nhiều cố gắng song chắn luận văn cịn thiếu sót, mong nhận góp ý thầy cô giáo bạn học viên Vinh, tháng 12 năm 2009 Tác giả CHƢƠNG CÁC ĐỊNH LÝ VỀ NHÓM HỮU HẠN 1.1 Định lý Kelly định lý Poincare’ 1.1.1 Định nghĩa Giả sử S n tập n số nguyên dương 1, , n Khi đó, nhóm S n tất phép n (với phép nhân ánh xạ) gọi nhóm đối xứng cấp n Theo lý thuyết tập hợp ta có: S n  n! 1.1.2 Định lý Kelly Mọi nhóm hữu hạn cấp n đẳng cấu với nhóm nhóm đối xứng S n Chứng minh Giả sử G  x1 , , xn  nhóm hữu hạn cấp n; P(X) nhóm song ánh từ G lên G Với a  G , ta có ánh xạ  a : G  G song ánh x  ax Thật vậy, x1 , x2  G ta có  a ( x1 )   a ( x2 )  ax1  ax2  x1  x2 (vì G nhóm nên có luật giản ước)   a đơn ánh Với g  G, x  a 1 g  G cho  a ( x)  ax  a(a 1 g )  (aa 1 ) g  eg  g   a toàn ánh Vậy  a song ánh   a  P(X ) Khi ánh xạ  : G  P( X ) đồng cấu a  a Thật vậy, a, b  G, x  G ta có: (  a  b )( x)   a (  b ( x))   a (bx)  a(bx)  ab( x)   ab ( x)   a  b   ab Do đó,  (ab)   ab   a  b   (a). (b), a, b  G   đồng cấu Mặt khác, a, b  G, (a)   (b)   a   b   a (e)   b (e) (e đơn vị nhóm G)  ae  be  a  b   đơn ánh Vậy  đơn cấu  G   (G) ,  (G) nhóm nhóm phép bậc n Từ G đẳng cấu với nhóm nhóm phép bậc n Mệnh đề chứng minh □ 1.1.3 Định lý Poincare’ Mọi nhóm có số hữu hạn m chứa ước chuẩn có số hữu hạn chia hết cho m chia hết m! Chứng minh Giả sử H nhóm G với số hữu hạn m N   H x Khi N chuẩn tắc G chứa H nên xG G : N  G : H H : N  G : N  m H : N Vậy G : N chia hết cho m Mặt khác, ta có G N đẳng cấu với nhóm nhóm phép T tập G H gồm m phần tử Khi T  m! Theo định lý Lagrăng, G N ước m! hay G : N ước m! Mệnh đề chứng minh.□ 1.2 Các định lý p – nhóm Trong tiết này, p số nguyên tố cho trước 1.2.1 Định nghĩa Một nhóm hữu hạn gọi p- nhóm cấp luỹ thừa số nguyên tố p 1.2.2 Mệnh đề Giả sử G p- nhóm Khi đó: nhóm tuỳ ý G p- nhóm, số luỹ thừa p Nếu H nhóm chuẩn tắc nhóm thương G H p- nhóm Chứng minh Suy trực tiếp từ định nghĩa 1.2.1 định lý Nếu H nhóm G G  H G : H 1.2.3 Mệnh đề Giả sử G p – nhóm giả sử X tập G - tập khác rỗng Nếu X  (modp), X chứa điểm G bất biến, nghĩa có điểm cố định tác động G X Chứng minh Tập X phân hoạch thành tập hợp rời quỹ đạo X  01    m Đối với i, độ dài quỹ đạo i số ổn định SG ( xi ) xi  i Theo giả thiết, G p - nhóm, nên theo mệnh đề 1.2.2, G : S G ( xi ) luỹ thừa p Vì X  (modp) theo giả thiết, nên: G:S G ( xi )  (modp) có số i để G : S G ( xi ) không chia hết cho p Một luỹ thừa p n p không chia hết cho p n = 0; 0i  p  Như vậy, quỹ đạo i chứa điểm G - bất biến đơn.□ Hệ Giả thiết p- nhóm Q tác động tập p-nhóm G khác Nếu G  e, tồn phần tử Q - bất biến G khác đơn vị Chứng minh Giả sử X  G  e Theo giả thiết, X Q-tập khác rỗng cho X  (modp) Do đó, theo mệnh đề 1.3, tồn phần tử Q bất biến X.□ Chúng ta đưa số tính chất p - nhóm từ mệnh đề hệ 1.2.4 Định lý Giả sử G p-nhóm giả sử H nhóm chuẩn tắc G Nếu H  e, H  Z (G)  e Đặc biệt, G  e, tâm p-nhóm G chứa phần tử khác đơn vị; nghĩa G  e kéo theo Z (G)  e Chứng minh Theo bổ đề 1.2.2, H p-nhóm.Vì HG , p-nhóm G tác động p-nhóm H  e liên hợp Theo mệnh đề 1.2.3, H chứa phần tử G-bất biến z khác e Theo định nghĩa tác động, ta có z  z g  g 1 zg, g  G Như vậy, z chứa tâm G: z  H  Z G   e Điều chứng minh phần đầu định lý 1.2.4, khẳng định sau nhận cách đặt G = H.□ 1.2.5 Mệnh đề (Matsuyama) Giả sử H nhóm p-nhóm G Thế HG , nhóm liên hợp H x khác H chứa N G (H ) Chứng minh Giả thiết H không chuẩn tắc, giả sử X tập tất liên hợp H x khác H Thế X khác rỗng mà H tác động phép liên hợp Vì số liên hợp H G : N G ( H ) , nên theo giả thiết mệnh đề 1.2.2 ta có: X  G : N G ( H )   (modp) Do đó, từ mệnh đề 1.2.3, X chứa phần tử bất biến, chẳng hạn H y Vì H y H- bất biến nên H  N G ( H y ) Đặt x  y 1 , ta nhận H  H x  N G (H ) □ 1.2.6 Định lý Nếu H nhóm thực p-nhóm G, N G ( H )  H Như chuẩn hố nhóm thực H thực chứa H Chứng minh Nếu HG N G ( H )  G  H Nếu H khơng chuẩn tắc theo định lý 1.2.5, N G (H ) chứa liên hợp H x H khác H Như NG (H )  H □ Hệ Nhóm tối đại tuỳ ý M p - nhóm G chuẩn tắc nhóm thương G M nhóm xyclic cấp p Nói riêng, G : M  p Chứng minh Cái chuẩn hoá M theo định lý 1.2.6 thực chứa M nên MG Theo định lý đồng cấu, nhóm thương G M khơng chứa nhóm tầm thường, nên G M nhóm xyclic cấp nguyên tố Như vậy, G : M  p theo mệnh đề 1.2.2.□ Các định lý 1.2.4 1.2.6 tính chất pnhóm, mở đường cho tính chất quan trọng khác Nếu p-nhóm G khác e, tâm Z G   e Như vậy, G  Z (G) nhóm thương G Z (G) p-nhóm khác đơn vị Theo định lý 1.2.4, tâm G Z (G ) khác đơn vị Giả sử Z (G) nhóm G tương ứng với Z (G Z (G)) , nghĩa là: Z (G) Z (G)  Z (G Z (G) ) Thế Z (G)  Z (G) Nếu Z (G)  Z (G) tâm G Z (G) khác đơn vị Điều dẫn đến định nghĩa sau: 1.2.7 Định nghĩa Đối với nhóm G tuỳ ý, định nghĩa nhóm Z i (G) i = 0,1,2,…như sau (chúng ta viết tắt Z i (G)  Z i ) Định nghĩa Z  e với i  1, Z i nhóm G tương ứng với Z (G đồng cấu: Zi Z i 1  Z (G Z i 1 ) Z i 1 ) định lý 18 Ngoài ra, nhận công thức nhân: a m b n a m b n  a mm b nn Ngược lại, dễ kiểm tra q  (mod p), r p  (mod q), r  (mod q), cơng thức nhân xác định nhóm khơng Aben cấp pq Cuối cùng, nghiệm phương trình đồng dư r p  (mod q) tạo thành nhóm xyclic cấp p, từ nghiệm xác định nhóm, thay phần tử sinh a phần tử sinh a  dẫn tới việc thay r r j Như vậy, nhờ định lý Sylow mô tả tất dạng lớp nhóm hữu hạn cấp pq Chúng ta có hai lớp nhóm Aben khơng Aben, thêm vào lớp nhóm thứ hai tồn thỏa mãn điều kiện q  (mod p) 1.3.7 Các ví dụ p- nhóm tối đại Ví dụ Xét nhóm cộng Z (n) , với n  p1 p2 pk ( i  0) Thế p1 k nhóm tối đại Z(n) nhóm xyclic cấp pi i Ví dụ p- nhóm tối đại nhóm nhân C  nhóm tựa xyclic C( p  ) Ví dụ Giả sử p số nguyên tố, m, n  Z , m  1, n  1, p  q m Khi p- nhóm tối đại nhóm ma trận GL(n,q) nhóm Unhita UT(n,q) 19 CHƢƠNG MỘT SỐ MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ SYLOW 2.1 Các  - nhóm Khái niệm  - nhóm Giả sử  tập hợp cho trước số nguyên tố (  tập hợp tất số nguyên tố tập tập hợp số nguyên tố) Tập hợp số nguyên tố không thuộc  ký hiệu   Nếu   p ta sử dụng ký hiệu p p  để    tương ứng Một số tự nhiên n gọi  - số tất nhân tử n thuộc  Theo định nghĩa,  - số với  tuỳ ý Một số tự nhiên biểu diễn thành tích  - số n   - số n  Trong trường hợp gọi n  thành phần n Định nghĩa 2.1.1 Giả sử G nhóm (khơng thiết hữu hạn) Giả sử g phần tử có cấp hữu hạn Khi g gọi  - phần tử cấp g  - số Một nhóm G gọi  - nhóm tất phần tử  - phần tử Khi G nhóm hữu hạn, giả sử  (G) tập hợp tất số nguyên tố chia hết G :  (G)  p / G  0(mod p) Mệnh đề 2.1.2 Giả sử G nhóm hữu hạn Khi điều kiện sau tương đương: i) Nhóm G  - nhóm ii) Cấp G  - số iii)  (G)   20 Chứng minh (i)  (iii) Nếu G  -số số nguyên tố p   chia hết G Theo hệ cuả định lí Sylow, G chứa phần tử cấp p Như G khơng phải  -nhóm (ii)  (iii) Hiển nhiên (iii)  (i) Theo hệ định lí 3.3 chương 1,cấp phần tử tuỳ ý ước G Do đó, phần tử G  - phần tử,  (G)   , theo định nghĩa G  - nhóm.□ Mệnh đề 2.1.3 Giả sử G nhóm (hữu hạn hay vơ hạn) Nếu G  -nhóm tất nhóm nhóm thương G  -nhóm Chứng minh Suy trực tiếp từ định nghĩa 2.10 Định lí 2.1.4 Giả sử g cấp phần tử có cấp hữu hạn Khi ta phân tích g = xy = yx cho x  -phần tử y   -phần tử Sự phân tích Hơn nữa, nhân tử luỹ thừa g, cấp x  - thành phần cấp g Tương tự cấp y   - thành phần cấp g Chúng ta gọi x y tương ứng  - thành phần   - thành phần Chứng minh Giả sử  - thành phần cấp g n,   - thành phần g m Vì m n nguyên tố nhau, nên tồn số nguyên a b cho: am  bn  Giả sử x0  g am y0  g bn Theo định nghĩa ta có: g  g ambn  g am g bn  x0 y0  g bn g am  y0 x0 Vì cấp g m.n, nên xon  g amn  , tương tự, ta có y0m  Như vậy, phân tích định lý 2.1.4 Bây giờ, ta chứng minh tính phân tích Giả thiết rằng: gg  xy  yx cho cấp u x  - phần tử cấp v y   phần tử Khi (u,v) = nên tồn số nguyên c d cho cu + dv =1 Thế thì: g cu  ( xy ) cu  x cu y cu  y cu  y1dv  y 21 Tương tự, x luỹ thừa g Thế xo , yo , x y thoả mãn xo yo  g  xy hay x xo 1 1  yy o Trong dạng cuối mệnh đề 2.22 chương (Giáo trình lý thuyết nửa nhóm lý thuyết nhóm) chứng tỏ vế trái  - phần tử vế phải   - phần tử Vì    bù nhau, nên x 1 x0 y y01  e nghĩa x  x0 y  y Điều chứng minh tính phân tích.□ Hệ Mọi phần tử có cấp hữu hạn nhóm tổng qt (hữu hạn hay vơ hạn) viết thành tích phần giao hốn lẫn với cấp luỹ thừa nguyên tố 2.2 Định lý Hall nhóm giải đƣợc hữu hạn Nhóm giải nhóm thu từ việc mở rộng liên tiếp nhóm Aben Sau định nghĩa tương đương nhóm giải 2.2.1 Định lý Đối với nhóm G tùy ý, điều kiện sau tương đương: i) Nhóm G có dãy chuẩn với thương Aben ii) Nhóm G có dãy chuẩn tắc với thương Aben iii) Dãy hoán tập G  G   G ( n)  G sau số hữu hạn bước ngắt đoạn đơn vị iv) Nhóm G thỏa mãn đồng thức:  n ( x1 , x2 , , x2 )  1, n  0, n , n  ( x)  x,  n1 ( x1 , , x2 )   n ( x1 , , x2 ),  n ( x2 1 , , x2 ) n2 n n n Chứng minh iii )  ii )  i) : hiển nhiên i)  iii ) Giả sử nhóm G có dãy chuẩn với thương Aben:  H  H1   H s  G Vì G H s 1 Aben nên G  H s 1 22 Giả sử ta chứng minh bao hàm thức: G ( k )  H s k ,1  k  s  Do tính giao hốn thương H s k H , hoán tập G k   G ( k 1) chứa s  k 1 H s ( k 1) , từ G ( s )  Do ta chứng minh ba mệnh đề tương đương iii )  iv ) Giả thiết hoán tập thứ s: G (s ) nhóm đơn vị Vì hốn tập thứ (s - 1) nhóm G G ( k 1) đơn vị nên theo giả thiết quy nạp, xem  s 1 ( g1 , , g )  G ( s ) ,  s 1 ( g1 , , g ) giá trị từ  s 1 s 1 s 1 phần tử g i Từ tính giao hốn nhóm G (s ) , nhận  s ( g1 , , g )  g i  G s iv )  ii ) Giả sử ngược lại nhóm G đồng thức sau  s  Rõ ràng nhóm sinh giá trị từ  s 1 , chuẩn tắc giao hoán Trong nhóm thương G H , đồng thức  s 1  thực hiện, xem rằng: G ( s 1)  H , từ G ( s )  e Định lý chứng minh.□ 2.2.2 Định nghĩa Nhóm G gọi giải được, nó, điều kiện định lý 2.2.1 thỏa mãn Dãy i), ii) hay iii) gọi dãy giải Nếu G nhóm giải số dương n thỏa mãn điều kiện G ( n)  e gọi bậc giải nhóm G 2.2.3 Nhóm giải đƣợc hữu hạn Định lý Sylow nhóm hữu hạn nhà tốn học người Nauy L.Sylow công bố vào năm 1872 có nhiều ứng dụng tốn học Hơn nửa kỷ sau, 1937 nhà toán học P.Hall thu kết tương tự cho nhóm giải hữu hạn 23 Giả sử G nhóm giải hữu hạn có cấp n Ta gọi số nguyên n dương k “ước Hall ” n k\n  , k   Từ sau, ta xét k  đến “ước Hall ” (mà không nhắc lại từ “Hall”) 2.2.4 Định lý P.Hall Giả sử G nhóm hữu hạn cấp n k ước n Khi đó: i) Trong nhóm G tồn nhóm cấp k ii) Hai nhóm cấp k liên hợp với iii) Nhóm cấp k  \ k chứa nhóm cấp k nnào Chứng minh Chúng ta chứng minh quy nạp theo n Giả sử tất khẳng định định lý nhóm giải hữu hạn cấp bé n Chúng ta ký hiệu A nhóm chuẩn tắc cực tiểu G Khi A phân tích thành tổng trực tiếp nhóm xyclic cấp nguyên tố p, A  p m Nếu p\ k , giả thiết quy nạp, nhóm thương G A tồn nhóm B k cấp m Khi nhóm B cấp k Hơn nữa, B1 , B2 hai nhóm A p cấp k chứa A, theo giả thiết quy nạp, nhóm B1 A , B2 A liên hợp G A Do đó, nhóm B1 , B2 liên hợp G Giả sử p không chia hết cho k Ký hiệu D nhóm chuẩn tắc lớn G, cấp nguyên tố với k Ký hiệu H D ước chuẩn tối tiểu G D , cấp H D có dạng q s , q s \ k Nếu chuẩn hóa N(Q) q- nhóm tối đại Q H trùng với G, Q nhóm chuẩn tắc G chứng minh i) ii) quy trường hợp p\ k xét 24 Giả sử N (Q)  G Từ đẳng thức G = N(Q)H = N(Q)D ta suy cấp N(Q) chia hết cho k Từ giả thiết quy nạp suy tồn N(G), có nghĩa G, nhóm cấp k Chúng ta lấy hai nhóm B1 , B2 cấp k Các giao B1  H , B2  H q nhóm tối đại H, liên hợp suy B1  H  B2  H  Q Nhóm Q, rõ ràng chuẩn hóa  B1 , B2  Từ sở quy nạp suy B1 Q , B2 Q liên hợp  B1 , B2  /Q Từ suy B1 , B2 liên hợp Như vậy, khẳng định i) ii) chứng minh Ta chứng minh iii) Giả sử B  nhóm cấp k  Khi p\ k, nhóm AB rõ ràng có cấp chia hết cho k Do giả thiết quy nạp, nhóm AB A chứa nhóm cấp k Khi đó, AB chứa nhóm cấp k pm Bây giả sử p không chia hết cho k Theo giả thiết quy nạp, nhóm AB A chứa nhóm C A cấp k Có thể xem C = G Theo chứng minh i), G tồn nhóm B cấp k Rõ ràng, tích AB trùng với G ABB  G Từ hệ thức: G  AB  B , G  p m k , AB   p m k , B  k , nhận cấp D  AB  B AB   B k  Theo chứng minh ii), nhóm B, D liên hợp AB : B  D g Từ suy B  chứa nhóm D g cấp k Định lý chứng minh.□ 25 2.3 Nhóm với ƣớc chuẩn Hall Trong lý thuyết nhóm hữu hạn, định lý tồn phần bù bất biến nhóm với tính chất cho trước đóng vai trị quan trọng Định lý M.Suzuki cho điều kiện cần đủ tồn phần bù bất biến nhóm Hall Tuy nhiên, tính phổ dụng nó, định lý khó áp dụng nên cần tìm dấu hiệu khác dễ áp dụng Trong trường hợp  gồm phần tử,   p, vấn đề giải Thompson, trường hợp  tập hợp tùy ý giải R.W.Carter Các điều kiện mà đưa khác với kết R.W.Carter Nó kết hợp việc nghiên cứu mối quan hệ K- nhóm (là nhóm lũy linh, trùng với chuẩn hóa nó) với nhóm giải Trước hết chúng tơi nhắc lại định nghĩa ký hiệu cần dùng phần 2.3.1 Định nghĩa ký hiệu Giả sử G nhóm hữu hạn  tập hợp số nguyên tố   phần bù  tập hợp số nguyên tố Nếu   p   lý hiệu đơn giản p   (m) tập hợp tất ước nguyên tố khác m; m  G (cấp nhóm G)  (G)   (m)  - ước m ước h m cho  (h)    - nhóm (hay  - nhóm con) nhóm (hay nhóm con) mà cấp h thỏa mãn điều kiện  (h)   26 *) S  - nhóm nhóm cấp G  G *) Nhóm H nhóm G gọi nhóm Hall, H G : H nguyên tố Nhóm G gọi  - đóng G có S  - nhóm bất biến *) Nhóm G gọi p- phân tích được, G đồng thời p - đóng vừa p  - đóng Nhóm G gọi  - phân tích được, G p- phân tích p   *) Nhóm G gọi nguyên sơ, cấp G lũy thừa số nguyên tố Nhóm G gọi song nguyên sơ, T(G) = 2, T(G) số phần tử tập hợp  (G) Nhóm G gọi có dạng S G khơng lũy linh tất nhóm thực lũy linh Nhóm G gọi  - giải G có dãy chuẩn tắc mà thương (độc lập với thương cịn lại)  - nhóm Abel   nhóm Abel i) p- nhóm hữu hạn P gọi quy với phần tử a, b  P ta có (ab) p  a p b p s p , s  a, b ii) Nhóm G gọi p- chuẩn tắc tâm Z p- nhóm Sylow P nhóm trung tâm p- nhóm Q chứa iii) Nhóm H gọi nhóm khơng chuẩn (ab normal subgroup) nhóm G, a  [ H , a 1 Ha] với a  G 27 iv) Nhóm G gọi nhóm meta Abel, hốn tập nằm tâm G v) Giả sử S  S nhóm G, S i 1 nhóm sinh hốn tử c  [s; g ] với s  S , g  G Nếu i đó, S i  E nhóm S gọi nhóm siêu điểm vi) S p p- phần bù Sylow nhóm hữu hạn G 2.3.2 Định lý Giả sử nhóm tối đại M nhóm G nhóm p- phân tích khơng nguyên sơ Khi G chứa nhóm bất biến khác E có dạng: i) tâm p- nhóm Slow M ii) phần bù p- nhóm Sylow M G Chứng minh Giả sử p  lũy thừa cao p, chia hết M Nếu G chia hết G : M , chuẩn hóa N p- nhóm Sylow M p từ M G chứa M nhóm thực sự, tồn nhóm cấp p  1 không chứa M mà M p ước chuẩn Vì M nhóm tối đại G nên N = G, nghĩa M p nhóm chuẩn tắc G, tâm M p bất biến nhóm G Bây giả sử G : M không chia hết cho p Hai khả xảy ra: G p- chuẩn G khơng phải nhóm p - chuẩn tắc Khả Giả sử G nhóm p- chuẩn tắc Khi theo định lý Hall-Krull p - nhóm thương lớn G đẳng cấu với p - nhóm thương lớn chuẩn hóa N tâm Z p - nhóm Slow M p G Vì N  M M tối đại G nên N = G N = M Nếu N = M p- nhóm 28 thương lớn N đẳng cấu với M p Do theo định lý Hall-Krull, nhóm G có phần bù p - nhóm Sylow bất biến Nếu N = G Z ước chuẩn G Khả Giả sử G p - chuẩn tắc Khi tâm Z nhóm M p chứa hai p - nhóm Sylow khác G, chúng giả sử M p p - nhóm Sylow khác M p a , a  G Vì chuẩn hóa N tâm Z nhóm Sylow M p chứa M nên N = G N = M Trong trường hợp thứ Z ước chuẩn G Nếu N = M N chứa H p H p a , H p H p a phần bù p - nhóm Slow M M a tương ứng Vì theo điều kiện định lý 2.3.2, M khác M p , nên H p H p a khác E Nhưng M nhóm p - phân tích được, H p Hp a chứa M nên H p  H pa Khi chuẩn hóa K nhóm H p G chứa M nhóm thực sự, chứa M p a Bởi vậy: K = G, H p ước chuẩn Trong tất trường hợp G chứa nhóm bất biến có dạng mà định lý 2.3.2 Định lý 2.3.2 chứng minh.□ 2.3.3 Bổ đề Giả sử M nhóm khơng bất biến p- phân tích tối đại G Nếu tâm Z p- nhóm Sylow P M bất biến G Z chứa tâm G Chứng minh Giả sử C tâm hóa Z G Khi C chứa P chứa p- nhóm Sylow M M p - phân tích được, C chứa M Nhóm C tâm hóa nhóm bất biến G bất biến G Vì M nhóm khơng bất biến G tối đại G C  M nên C = G Do Z chứa tâm G 29 2.3.4 Bổ đề Giả sử H nhóm Hall nhóm G Nếu tâm Z p- nhóm Sylow P H chứa tâm G G Z có phần bù bất biến với H Z G có phần bù bất biến với H Chứng minh Giả sử L Z pghần bù bất biến với H Z G Z Khi H Z nhóm Hall G Z Bởi cấp L Z không chia hết cho p, nghĩa Z p- nhóm Sylow bất biến L Khi theo định lý Schur, L có phần bù p - nhóm Sylow N Nhóm Z giao hoán với phần tử Z, Z chứa tâm G Vì L = ZN nên N bất biến L Nhưng N nhóm Hall L, N nhóm đặc trưng L Do L bất biến G: NH = NZH = LH = G N H  N LH  N Z  E Điều có nghĩa là: N phần bù bất biến H G Bổ đề 2.3.4 chứng minh.□ Định lý 2.3.2 thừa nhận cải tiến sau đây: 2.3.5 Định lý Giả sử nhóm tối đại M nhóm G nhóm pphân tích khơng nguyên sơ Khi G có nhóm bất biến với dạng: i) p- nhóm Sylow M ii) phần bù p- nhóm Sylow M G Chứng minh Giả thiết tồn nhóm mà chúng, kết luận định lý 2.3.5 không Chọn chúng nhóm có cấp nhỏ 30 Từ định lý 2.3.2 suy G có ước chuẩn Z tâm p - nhóm Sylow M Nhóm M khơng bất biến G, G khẳng định định lý không Khi theo bổ đề 2.3.3, Z chứa tâm G Vì Z khơng thể p - nhóm Sylow M, nên G Z có nhóm tối đại M Z , mà nhóm p - phân tích khơng ngun sơ Vì G Z  G nên G Z , kết luận định lý 2.3.5 Nếu P Z p- nhóm Sylow M Z bất biến G Z P p - nhóm Sylow M bất biến G, nhận mâu thuẫn Bởi vậy, G Z có nhóm bất biến H Z , mà phần bù p nhóm Sylow M Z , G Z Vì Z chứa tâm G, nên H  K  Z , K S p - nhóm H Do G có nhóm bất biến K, mà phần bù p- nhóm Sylow M G Nhận mâu thuẫn Định lý 2.3.5 chứng minh.□ Trong phần bổ sung định lý 2.3.5 nhận thấy rằng, M ngun sơ, nhóm G nhóm đơn Chẳng hạn, nhóm đơn L(2;p) với p  k  k  14 2- nhóm Sylow tối đại 31 KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề sau đây: Các định lý nhóm hữu hạn: Định lý Kelly (1.1.2), Định lý Poincare’ (1.1.3), Định lý p – nhóm (1.2.2), Mệnh đề Matsuyama (1.2.5), trình bày chứng minh chi tiết định lý Sylow (1.3.2) Hệ thống hóa khái niệm  - nhóm,  - thành phần, trình bày chứng minh số mệnh đề  - nhóm (mệnh đề 2.1.2, định lý 2.1.4) chứng minh định lý tồn phần bù bất biến nhóm (2.3.2, 2.3.5) 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO A Tiếng Việt [1] Lê Quốc Hán (2007), Lý thuyết ngôn ngữ nhóm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Lê Quốc Hán (2008), Giáo trình lý thuyết nửa nhóm lý thuyết nhóm, Đại học Vinh [3] S.T.Hu (1968), Mordern Algebra.Holden – day Bản dịch Tiếng Việt “Đại số đại”, 1974 [4] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1998), Đại số đại cương, NXB Giáo dục, Hà Nội [5] S.Lang (1965), Algebra.Addison – Wesleypulishing company, Massachusetts Bản dịch Tiếng Việt Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, 1974 B Tiếng Anh [6] M.Hall Jr (1959), The theory of groups, Macmilan, New York [7] C.F.MillerIII (2002), Subrgroups of a direct product with a free group, Quatery Journal of Math 53, 503 – 506 [8] C.F.MillerIII (2004), Combinatorial Group Theory, University of Melbourne [9] M.Suzuki (1982), Group Theory, Springer –Verlag Berlin Heidelberg New York ... Chƣơng Các định lý nhóm hữu hạn 1.1 Định lý Kelly định lý Poincare’ 1.2 Các định lý p – nhóm 1.3 Định lý Sylow 11 Chƣơng Một số mở rộng định lý Sylow 19... (Matsuyama), định lý 1.2.12 Chúng chứng minh cách chi tiết định lý Sylow, định lý có nhiều ứng dụng toán học Kiến thức chương làm sở để trình bày chương Chƣơng Một số mở rộng định lý Sylow Chương...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐẶNG THỊ THU HIỀN MỘT SỐ MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ SYLOW CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ - LÝ THUYẾT SỐ MÃ SỐ: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: