Một số mở rộng của khái niệm khả tích đều

Mở đầu Trong xác suất, luật số lớn đóng vai trò quan trọng Gần đây, nhiều tác giả quan tâm đến việc mở rộng luật số lớn cho dÃy mảng đại l-ợng ngẫu nhiên khả tích Wang Rao đà mở rộng luật yếu số lớn Rohatgi cổ điển cho tổng có trọng l-ợng biến ngẫu nhiên tr-ờng hợp biến ngẫu nhiên khả tích Chandra thu đ-ợc vài mở rộng luật yếu số lớn Khinchin nhờ tính khả tích theo nghĩa Cesaro Gut thu đ-ợc luật yếu số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên X nj ,1 j k n , n 1  víi    p X nj  ,0 p 2   lµ khả tích theo nghĩa Cesaro OrdonezCabrera nghiên cứu héi tơ cđa tỉng cã träng l-ỵng S   a X mảng X nj anj - khả tích n nj nj j Theo h-ớng nghiên cứu đề tài Một số mở rộng khái niệm khả tích Mục đích đề tài hệ thống hoá mối liên hệ khái niệm khả tích đều; nghiên cứu đặc tr-ng giải tích khái niệm Ngoài ra, khoá luận nghiên cứu luật giới hạn cho tổng ngẫu nhiên có trọng l-ợng mảng phần tử ngẫu nhiên Khoá luận gồm ch-ơng Ch-ơng I Kiến thức chuẩn bị Trong ch-ơng nhắc lại khái niệm khả tích dÃy biến ngẫu nhiên, mệnh đề, tính chất có liên quan Đồng thời, nhắc lại số khái niệm tính chất kì vọng có điều kiện, martingale, hội tụ phần tử ngẫu nhiên Ch-ơng II Một số mở rộng khái niệm khả tích Đây phần nội dung khoá luận, bao gồm tiết 2.1 Các khái niệm 2.2 Đặc tr-ng giải tích 2.3 Luật giới hạn có điều kiện cho tổng ngẫu nhiên có trọng l-ợng mảng phần tử ngẫu nhiên Khoá luận đ-ợc thực d-ới h-ớng dẫn trực tiếp PGS.TS Nguyễn Văn Quảng Tác giả xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy quan tâm nhiệt tình h-ớng dẫn mà thầy đà dành cho tác giả suốt trình hoàn thành khoá luận Nhân dịp tác giả xin trân trọng cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán, thầy cô giáo khoa Toán tr-ờng đại học Vinh, gia đình bạn bè đà tạo điều kiện thuận lợi để tác giả đ-ợc học tập hoàn thành khoá luận Trong trình hoàn thành khoá luận, cố gắng, song tác giả tránh khỏi hạn chế Tác giả mong ý kiến đóng góp từ thầy cô giáo, bạn sinh viên nh- tất bạn đọc khác Vinh, tháng năm 2008 Tác giả CHƯƠNG1 KIếN THứC CHUẩN Bị 1.1 Khả tích Tập biến ngẫu nhiên khả tích ( ,F , P) kí hiệu L1 1.1.1 Mệnh đề X  L1 nÕu vµ chØ nÕu víi mäi   tån t¹i   cho  X dP   , E X víi mäi A  F 1  A Chøng minh Gi¶ sư X  L1 Đặt X n X I Xn  X ; E Xn  E X ; E E   ,  2n0 E X LÊy     X dP  A  X X I I X  n0  n  Khi , nên tìm đ-ợc n cho   2   Lúc đó, P A   X I X  n0   dP A Bất đẳng thức E X X X n X I X  n0 dP  A  , P  A    n0 n0 cách chọn Điều ng-ợc lại hiển nhiên 1.1.2 Định nghĩa Giả sử H L1 L1 (( ,F, P) Họ H đ-ợc gọi khả tích ®Òu nÕu Sup X H   X dP  c   X c 1.1.3 MÖnh ®Ị a NÕu X  Y (h.c.c) ®èi víi mäi X H Y L1 H khả tích b Mỗi họ hữu hạn biến ngẫu nhiên khả tích khả tích Chứng minh a Ta cÇn chøng minh Sup E X I  X H X  c  c   X  Y ,  X H ThËt vËy, theo gi¶ thiÕt ta cã:  Suy víi c R ta cã : Tõ ®ã ta cã : E X I  X  c X  c    Y  c  ,  X H  E X I Y  c   EY I  Y  c  , X H Mặt khác: Y L1 nên với tồn  cho víi: P ( A)  P( Y  c)   th× E Y I A   hay E Y I  Do ®ã E X I  X c Tøc lµ Sup E X I  X H   X c Y c   c   ,  X  H , c    0 c b Xét họ hữu hạn biến ngẫu nhiên khả tích H = X i , i 1, n Ta cần chứng minh H khả tích đều, tức chứng minh: Sup E X i I  X i 1, n c i   c   ThËt vËy: Do X i  L1 , i 1, n nªn víi mäi tồn i cho E X i I A   víi mäi A F , P( A )   i , i 1, n Do H hữu hạn nên tồn t¹i i0  1, n  cho : Sup E X i I  i 1, n Xi  c  E X i0 I  Xi0  c Ta lại có X i L1 nên với tồn cho víi   P X i0  c   c   th× E X i0 I Điều có nghĩa Sup E X i I  X i  1, n i  c Xi0  c    c 1.1.4 Mệnh đề Giả sử H L1 H khả tích hai điều kiện sau đ-ợc thoả mÃn: (i) Bị chặn L1, tøc lµ Sup E X   ; X H (ii) Liên tục tuyệt đối đều, tức với tồn cho A  F , P( A)   th×: Sup X H  X dP   A Chứng minh * Điều kiện cần Giả sử H khả tích Đặt X ( ) X c ( )   0 nÕu X ( )  c nÕu X ( )  c Vµ X c  X  X c Ta cã  X dP  A  X dP   A X  c X c dP  c P  A   E X c (1) A LÊy A   (1) ta cã: E X  c  E X c  , X  H hay Sup E X   X H   2c NÕu chän c  c ®đ lín ®Ĩ Sup E X c  , lÊy    H th× Sup H  X dP   A * Điều kiện đủ Giả sử họ H L1 thoả mÃn (i) (ii) Cho giả sử ( ) thoả mÃn (ii) Đặt sup E X c nên P X  c  E X c X H     víi mäi X  H Tõ ®ã theo ii)   X c X dP   víi mäi X  H  MƯnh đề đ-ợc chứng minh 1.1.5 Định lí (Mở rộng định lí Lebesgue ) Giả sử X n dÃy biến ngẫu nhiên khả tích, hội tụ hầu chắn tới biến ngẫu nhiên X Khi đó, để X khả tích E X n X cần đủ X n khả tích Nếu X n không âm hội tụ hầu chắn tới X E X n  E X   vµ chØ  X n khả tích Chứng minh a) Giả sư X  L1 vµ E X n  X  Khi ®ã  X n dP  A  A Chän n0 ®đ lín ®Ĩ E X n  X  P  A     ®Ĩ  ( ) X dP  E X n  X X dP  A  vµ   víi n  n0 , chän A  F cho A  víi i 1, , n0 Khi ®ã A sup  X n dP  n  X i dP Mặt khác,  E X n  X , n 1, bị chặn nên (2) thay A ta cã sup E X n  E X  sup E X n  X    n n Vậy X n khả tích Ng-ợc lại, giả sử X n khả tích ®Ịu Khi ®ã sup E X n   vµ tõ bỉ ®Ị n Fatou E lim X n  lim E X n  sup E X n   n n  E X  Suy : Tacã : n E X n  X  E X nc  X c  E X nc  E X c Cho   , chän c ®đ lín ®Ĩ E X c  sup E X nc  n 2 (3) (4) MỈt kh¸c X nc  X c  h c c  vµ X nc  X c  2c nên theo định lí Lebesgue, tồn n0 cho E X nc  X c   víi n  n0 (5) Tõ (3), (4),(5) ta cã E X n  X   víi n  n0 b) Ta cÇn chøng minh nÕu  X n không âm E X n E X th× E X n  X  (Do ®ã  X n  kh¶ tÝch ®Ịu ) Ta cã X  Xn  X  Xn  X  Xn, 0 X  X n  X , X X n X Theo định lí Lebesgue, E  X  X n   E X Mặt khác, từ giả thiết: E X  X n   E X Tõ ®ã E  X  X n   E X E Xn X E Xn  X   E Xn  X Định lí đ-ợc chứng minh 1.1.6 Định lí Walle-Poussen Giả sử H L1 Khi điều kiện sau t-ơng đ-ơng: a) H khả tích b) Tồn hàm G t xác định , , lồi d-ới, tăng không âm cho Gt  , t  t lim vµ sup E  G  X X H   Chøng minh b) a) Đặt M sup E G  X X H Cho   , ®Ỉt a  M  Chän c ®đ lín ®Ó     Gt   a víi t  c Khi ®ã t  G X X  c   X     a  Vµ nh- vËy   X c X dP   a  G X dP  X c M   , víi mäi X  H a a)  b) Tõ sù kh¶ tích H suy tồn dÃy số nguyên d-ơng cn tăng thực cn    cho sup X H   X dP   n , n 1, 2, X cn Đặt g k max n : cn  k , k 1, , Rõ ràng g k Đặt g  t   g k nÕu t  k , k 1  t Khi ®ã g t Hàm G t cần tìm g u d u Thật vậy, hiển nhiên hàm G t xác định 0, , lồi d-ới, tăng không âm t Gt lim lim t  t t  E G  X  g  u  du  lim g  t     t  t      G  X dP    G  X dP   E  G  X k  k  X  k 1  k 0  I  k  X  k 1  Ta l¹i cã t k 1 i  t k 1 t k i 0 i k i 0 k i 0 G  t   g u du    g u du   g u du   g i   g u du   g i víi mäi t k , k 1 Suy E G  X    E   I    k 0        g   E g I   i k  X  k 1  i   k  X  k 1   i 0  i   k    k   g P i 0   i  cn i  cn i  X i     P  X  i i  cn n  P  X  i    i P i  X  i  1   X dP Mµ X  cn Do vËy Sup E G  X X    Sup   n X dP  X  cn  X 2 n 1 n VËy Sup E  G  X X H    NhËn xÐt NÕu lÊy G t   t  , t  0,    ,  1 th× tõ ®iỊu kiƯn Sup E X X H Sup E X n    suy H kh¶ tÝch Đặc biệt, X n X ( h.c.c) với X khả tích E n n víi mäi     (Suy từ định lí Walle Poussen định lí 1.1.4 ) 1.2 Kì vọng điều kiện Xn X 1.2.1 Định nghĩa Giả sử ( ,F, P) không gian xác suất G - đại số F , X biến ngẫu nhiên khả tích Kì vọng điều kiện biến ngẫu nhiên X với G đà cho biến ngẫu nhiên M thoả mÃn điều kiện sau: a) M G - đo đ-ợc b) M thoả mÃn ®¼ng thøc  M   P d    X   P d  A , A G A M đ-ợc kí hiệu E X | G  hc E G X 1.2.2 Các tính chất kì vọng điều kiện Ta giả thiết ( ,F, P) không gian xác suất cố định biến ngẫu nhiên có kì vọng ( khả tích nửa khả tích ) G F - đại số a) Nếu c số E c | G   c ( h.c.c ) b) NÕu X  Y ( h.c.c ) th× E  X | G   E  Y | G  ( h.c.c ) c) E  X | G   E  X | G  ( h.c.c ) d) a , b lµ h»ng sè vµ aEX  bEY xác định E aX bY | G   aE  X | G   bE Y | G  ( h.c.c ) e) E ( X | { ,  }) = E X ( h.c.c ) g) E( X | F ) = X ( h.c.c ) h) E E  X | G   EX ( h.c.c ) i) E  E  X | G2 | G1   E  X | G1   E  E  X | G1 | G2  ( h.c.c ), nÕu G1  G2 k) NÕu X ®éc lËp víi G ( nghÜa lµ   X  vµ G ®éc lËp ) th× E  X | G   EX ( h.c.c ) l) NÕu Y G - đo đ-ợc, E Y , E XY   th× E  XY | G   YE  X | G  ( h.c.c ) 1.3 Sự hội tụ dÃy biến ngẫu nhiên 1.3.1 Sù héi tơ theo x¸c st D·y c¸c biÕn ngẫu nhiên X n , n đ-ợc gọi hội tụ theo xác suất tới biến ngẫu nhiên X với ta ®Òu cã lim P  X n  X     n  P KÝ hiÖu X n X 1.3.2 Sự hội tụ hầu chắn DÃy biến ngẫu nhiên X n , n đ-ợc gọi hội tụ hầu chắn ®Õn biÕn ngÉu nhiªn X nÕu P  : X n     X   , n    c.c KÝ hiÖu X n h  X 1.3.3 Sù héi tơ theo trung b×nh D·y biến ngẫu nhiên X n , n đ-ợc gọi hội tụ theo trung bình bậc p   p   ®Õn biÕn ngÉu nhiªn X , kÝ L hiƯu X n  X , nÕu P E Xn  X p 0 , n Nhận xét: Từ định nghĩa ta thấy hôi tụ h.c.c ( hội tơ theo trung b×nh bËc p ) suy héi tụ theo xác suất Tuy nhiên điều ng-ợc lại nói chung không 1.3.4 Định lí a)Nếu dÃy biến ngẫu nhiên X L p Xn p khả tích với p > vµ P Xn   X LP X n  X L P X th× X  L p , X n X b) Ng-ợc lại,  X n  L p , X n  P X p n khả tích Chứng minh P X tồn dÃy X n hội tụ hầu chắn a) Nếu X n  k ®Õn X Theo bỉ ®Ị Fatou 10 Bây giả sử 0, Bnj , un j vn, n mảng tập hợp thoả mÃn Sup Anj P Bn ( Bnj )  n 1 j  u n  2a   (h.c.c) Khi ®ã víi mäi n 1 ta cã  j  un Anj E Bn V nj   Anj E Bn j un  A I Bnj  V I V nj j  un a nj nj  E Bn Vnj  I B   V  a   I B  V nj nj  nj nj   a Anj P Bn ( Bnj )  a   j un    a 2a (h.c.c) Ng-ợc lại, với a > n  Anj P Bn j un V nj aI     Vn j I  a Vnj  a Anj E Bn I  j un   Vnj Vnj  a  a  j un Anj E Bn Vnj  M (h.c.c) a (h c c) Do đó, với , với a a0 = 2M/  vµ víi mäi n  ta cã A nj j u n P Bn  V nj a   M a  Do ®ã, mảng tập hợp B V nj nj    (h.c.c)   a , với a a0 thử lại điều kiện b) ta cã sup  n 1 j  u n Anj E Bn V nj I Vn j  a      h.c c  Điều có nghĩa Vnj , un j  , n  1 lµ Anj - khả tích có điều kiện Bn 2.2.2 HƯ qu¶ Gi¶ sư Anj , u n j , n mảng biến ngẫu nhiên V nj , un j , n mảng phần tử ngẫu nhiên không gian Banach khả li X, xác định không gian xác suất ( ,A, P), víi sup  Anj  C n 1 j  u n V nj  h c.c với C số xác định Khi , un  j  , n  1lµ Anj - khả tích 21 a) Sup n 1  Anj E Vnj j u n = M <  (h c c) b) Với , tồn  ( )  cho Bnj , un  j  vn, n  1 lµ mảng tập hợp thoả mÃn Sup Anj P ( Bnj )   (h c c) th× n 1 j  u n Sup  n 1 j  u n Anj E V nj  I Bnj    h.c.c  Chøng minh ¸p dụng định lí 2.2.1 dÃy Bn n N tho¶ m·n Bn = {  ,  } với n ta đ-ợc hệ Chó ý r»ng, nÕu ta thay Anj  anj víi mäi u n  j  , n 1 , từ hệ cho ta đặc tr-ng mảng biến ngẫu nhiên X nj , u n  j  , n  1 lµ a - khả tích nj 2.2.3 Mệnh đề Giả sử X n n N dÃy biến ngẫu nhiên a nk - khả tích Khi ®ã d·y  S n     ank  X k  E X k   khả tích k Chứng minh a) Với mäi n  N , ta cã E Sn  a nk E X k  E X k  2 ank E X k  2M   k k ( Do  X n n N lµ a nk - khả tích nên sup ank E X k  M   ) n k b) Ta l¹i cã  X n n N a nk - khả tích nên với , tồn *  cho nÕu sup  a nk P Ak n  *    * th× n k  sup  a nk E X k I Ak  k    vµ cho A lµ biÕn cè víi P  A    , Cho      C 2M  Khi ®ã ta cã E S n I A   ank E X k  E X k I A   a nk E X k I A  P A   a nk E X k  k víi mäi n  N ,  k a nk P A   C   * k 22 k    2M M    Do ®ã  S n     ank  X k E X k khả tích k Định lí sau đặc tr-ng gi¶i tÝch cđa tÝnh a nk  - kh¶ tÝch t-ơng tự nh- đặc tr-ng giải tích cổ điển tính khả tích Walle-Poussen Kết th-ờng đ-ợc dùng với hàm G t t p với p >1 2.2.4 Định lí Cho ank n , k N mảng số thùc tho¶ m·n  a k 1 nk  C , víi mäi n N , C lµ h»ng sè d-ơng xác định DÃy biến ngẫu nhiên X n n N ank - khả tích khi, tồn hàm đo đ-ợc G: G: (0, )  (0, ) ; G(0)  cho  G (t )   t   vµ sup  ank EG  X k t n k Hơn nữa, chọn hàm G lồi thoả mÃn G (t ) hàm tăng t Chứng minh a) Giả sử tồn hàm G M đ-ợc xác ®Þnh bëi M  sup n 1  ank E G X k k Với tồn a thoả mÃn M 1 G (t ) víi t  a  t  Khi ®ã, ta cã a nk E X k I X k  a   M 1 k a nk EG  X k  I X k  a k  M  M 1 víi n N b) Giả sử dÃy biến ngẫu nhiên X k kN a nk - khả tích Giả sử g n nN dÃy số thực không âm với gn Xét hµm sè g: (0, )  (0, ) víi g ( x)  g n nÕu x  n 1, n, n  N vµ t G (t )   g ( x) dx ; Râ rµng G lµ hµm låi vµ G (t )  t 23 t  ; G (0)  Ta cần chứng minh tồn dÃy g n nN thoả mÃn điều kiện thoả m·n sup  a nk EG ( X k )   n 1 k 1 Ta chän d·y nguyªn d-¬ng n j jN cho sup  a nk E X k I  n 1 nj Xk j với j N n j   t   k Gi¶ sö g n  card j  N : n j  n víi mäi n N HiĨn nhiªn g n   vµ g n   Ta viÕt G(t )  n 1 g i 0  (t  n  1) g n i víi mäi t   n 1 , n  n Từ ta có G(t ) g i , ( g  ) víi mäi t   n 1 , n  n N Do với i k N , ta cã EG Xk   E   I    n 1 n n 1 X k  n  g i 1 i       E  g i   I n 1 X k   i 1  n 1  n        g i P  X k  i 1  i 1 Do ®ã, víi mäi n N   ank E G  X k k 1    k 1    a nk    j 1       a nk   P X  i  k  k 1 i n j       a nk E X k I  X  k j 1  k 1    nj     2 j    E X k I X k   j 1  nj      j 1 KÕt có đ-ợc sử dụng bất đẳng thức:  P( k n X  k)  E X I  X  n víi mäi n  N Vậy định lý đ-ợc chứng minh 2.2.4 Định lý Giả sö Anj , u n  j  , n mảng biến ngẫu nhiên cho Sup  Anj  C (h c c), víi C số xác định, Vnj , un j  , n  1 lµ n j u n mảng phần tử ngẫu nhiên không gian Banach khả li X xác định 24 không gian xác suất ( ,A,, P) Bn , n dÃy - đại số A, Khi Vnj , un  j  , n  1 Anj - compact khả tích có điều kiện ®èi víi Bn  nÕu vµ chØ nÕu Vnj , un  j  , n  1 lµ Anj - khả tích có điều kiện Bn  vµ Vnj , un  j  , n Anj - tight có điều kiện Bn Chứng minh Giả sử Vnj , un  j  , n  1 Anj - khả tích có điều kiện Bn Với , tồn t¹i    (  )  cho Bnj , un  j  vn, n mảng tập hợp thoả mÃn Sup  Anj P Bn ( Bnj )   (h c c) th× n 1 j  u n A Sup nj n 1 j  u n E Bn V nj I Bn j    (h c c) Tõ gi¶ thiÕt Anj - tight cã ®iỊu kiƯn ®èi víi Bn , tån t¹i mét tËp compact K cña X cho  Sup   Anj P Bn Vnj  K   n 1 j  u n (h.c.c) Do ®ã A Sup n 1 j  u n nj E Bn V nj  I  Vn j  K    (h c c) VËy Vnj , un  j  , n  1 lµ Anj - compact khả tích có điều kiện Bn Ng-ợc lại, giả sử Vnj , u n  j  , n  1 lµ Anj - compact khả tích có điều kiện Bn Với , với i 1 , tån t¹i tËp compact K i  X cho Sup n A j  un nj E Bn V nj  I  Vnj  K i   i  i 2i (h c c) i KÝ hiÖu B ( , ) hình cầu X , tâm bán kính Khi ®ã  E Bn ( Vnj I  Vnj  Ki  )  E Bn ( Vnj I V  K c  Bc ( , )  )  E Bn I   c c nj i i i  Vnj  K i  B ( , i )    25  Bn   P  Vnj  K ic  B c ( , )  i i   (h.c.c) Víi gi¶ thiÕt r»ng vn   sup  Anj P Bn  Vnj  K ic  B c ( , )   Sup i  Anj E Bn i  n 1 j  u n 1  j  un n  V nj  I  Vnj  K    2i (h.c.c) i KÝ hiÖu K   ( K i  B (0, ) ) Bao ®ãng cđa K X , K lµ tËp compac i 1 Khi ®ã      c   P Bn Vnj  K  P Bn Vnj  K c = P Bn  Vnj  ( K ic  B c ( , ) ) (h.c.c) i i Do đó, với n   j  un   =  Anj P Bn Vnj  K  j  un    Anj (  P Bn  Vnj  ( K ic  B c ( , ) ) ) i   i 1   Anj P Bn Vnj  K ic  B c (0 ; ) <   i   i  j  un   2 i 1 i   ( h c c) VËy Vnj , un  j  , n  1 lµ Anj - tight có điều kiện Bn Mặt khác, với   , tån t¹i tËp compact K  X cho Sup A n 1 j  u n nj E Bn ( Vnj I  Vn j  K  )   (h c c) Do tËp compact K kÐo theo sù tån t¹i r > cho K  B (0, r ) Vnj r Vnj  K  víi mäi n  1, u n  j  Do ®ã Sup  n 1 j  u n Anj E Bn ( Vnj I  Vnj )  Sup r A n 1 j  u n nj E Bn ( Vnj I  Vnj  K  )   (h c c) VËy Vnj , un  j  , n Anj - khả tích ®Ịu cã ®iỊu kiƯn ®èi víi Bn  2.3 Lt giới hạn có điều kiện cho tổng ngẫu nhiên có trọng l-ợng 2.3.1 Định lý Giả sử Anj , u n  j  , n  1 lµ mảng biến ngẫu nhiên, V nj , un j , n mảng phần tử ngẫu nhiên không gian Banach khả li X xác định không gian xác suất ( ,A, P) vµ  j  un 26 Anj  (h.c.c) Gi¶ sư Bn , n  dÃy - đại số cđa A vµ Anj , un  j  Bn - đo đ-ợc với n Gi¶ sư Vnj , un  j  , n Anj - khả tích cã ®iỊu kiƯn ®èi víi Bn  Khi ®ã E B  n Anj Vnj  (h.c.c) n   j  un Tõ ®ã ta cã E Bn A nj j  un Vnj  (h.c.c) Chøng minh : Víi   , tån t¹i a > cho Sup E Bn  Vnj I  V nj  A nj n 1 j  u n  a      (h c c) (Do Vnj , un  j  , n Anj - khả tích có điều kiện Bn ) Với a > ta kÝ hiÖu: Vnj'  Vnj I   a Vn j "  ; Vnj  Vnj I  Vnj a  Khi ®ã  E Bn   Anj Vnj  j u n  a   Hay  j  un Anj        E Bn    E Bn    j  un      j  un   j  un  Anj Vnj''       Anj E Bn Vnj''      (h c c)  j  un   Anj Vnj'   E Bn     (h.c.c) n   Anj Vnj Ta l¹i cã: E Bn  Anj Vnj j  un Suy E Bn A j  un nj   E Bn   Anj Vnj  j  un     Vnj  (h.c.c) n   2.3.2 Định lý Giả sử Anj , u n j , n mảng biÕn ngÉu nhiªn , V nj , un  j , n mảng phần tử ngẫu nhiên không gian Banach khả ly X xác định không gian xác xuất ( ,A, P), vµ 27 lim n  E Anj  j u n Gi¶ sư Bn , n  dÃy - đại số A vµ Anj , u n  j  , n Bn đo đ-ợc, với n Giả sử V nj , un  j  , n  1 lµ Anj - khả tích có điều kiện Bn  Khi ®ã  Anj Vnj j  un  L1, n   Vµ A nj j  un Vnj  L1, n Chứng minh T-ơng tự nh- định lÝ 2.3.1 ta cã :  E Bn    j  un Suy   a   Anj  E     Vnj   a    j  un  j  un   Vnj   E  E Bn     Anj    Anj   E Anj   E   j  un   vn  j  un  j  un Anj E Bn Vnj''  j  un Anj  h.c.c   Vnj    Anj E Bn Vnj''   Do lim  E Anj  nªn a n j  un E j  un Anj  n   MỈt kh¸c,  Vnj , u n  j  , n A - khả tích ®Ịu cã ®iỊu kiƯn ®èi víi nj  Bn  nªn  E    j  un  Anj E Bn Vnj''   n    VËy  E    0    Anj Anj Vnj  L1 n   j  un Vnj n   Hay:  j un 28 Trong mục này, thuật ngữ toán tử đ-ợc hiểu toán tử tuyến tính liên tục Nhớ lại không gian Banach khả ki X có tính chất xấp xỉ bị chặn (B.A.P ) toán tử đồng I X giới hạn điểm dÃy toán tử hạng hữu hạn tôpô toán tử mạnh, nghĩa tồn dÃy Tn , n có hạng hữu hạn X cho n x   Tk x   , lim n víi x  X k 1 øng dơng nguyªn lÝ Banach – Steinhaus suy r»ng tån t¹i h»ng sè M   cho n T k 1 k  M , víi mäi n  Un  Ta kÝ hiÖu: n T k k Ta có bổ đề 2.3.3 Bổ đề Giả sử X không gian Banach khả li có tính chất xấp xỉ bị chặn Giả sử K tập compact X Khi với , tån t¹i n0  n0     cho x  U x    víi mäi x  K , n  n0 Chứng minh Với , ta xét hội tụ K tập hợp cầu mở       , y  K   B  y ,  M  1     Do K lµ tËp compact nên tồn y1 , y , y m  K cho m     K   B  y i , 2M  1  i 1  Do ®ã, víi mäi x  K tån t¹i j  1, , p  cho x  yi   M Hơn x nlim U n x theo điểm, nên tồn n0 N cho  yi  U n  yi    , i  1, , , m  , n  n0 Bëi vËy, víi mäi x  K vµ n  n0 ta cã: 29  x U n x   x  yi  yi  U n  yi   U n  yi   U n  x  x  yi  yi  U n  yi    M    x  yi  U n nj , u n  j    M     A , u  j v , n mảng biến ngẫu nhiên , n mảng phần tử ngẫu nhiên không gian 2.3.4 Định lí Gi¶ sư V  nj n n Banach kh¶ li (X , ), xác định không gian xác suÊt (  , A, P) víi Sup n 1  j  un A nj  C (h c c) C số xác định Giả Bn , n dÃy - đại số A, Anj , u n j Bn - đo đ-ợc với n Giả sử Vnj , u n  j  , n Anj - compact khả tích cã ®iỊu kiƯn ®èi víi  Bn  Khi ®ã E A Bn j  un t1  cho E Bn A j  un nj Chøng minh Gi¶ sư E B n nj V  n   (h c c ) tồn nj U t Vnj   (h c c ) víi t  t1 n   A j  un nj U t ( V nj )  (h c c ) Với t t1 ,  , tån t¹i tËp compact K  X cho Sup  n  j u n A nj E Bn V nj  I Vnj  K     ( M  (h c c ) Với n , u n  j  , kÝ hiÖu: Wnj  Vnj I Vnj  K  ; Ynj  Vnj I Vnj  K  Theo bæ ®Ị 4.3, tõ K lµ tËp compact kÐo theo tån t¹i t  cho víi mäi t  t , mäi n  , u n  j  Wnj  U t Wnj    4C kÐo theo E Bn Wnj  U t Wnj Hơn nữa, với n  30  4C (h c c ) A nj E Bn Ynj  U t Ynj    M 1   j  un A nj E Bn Ynj    j  un (h c c ) Do ®ã, víi mäi t  t Sup E Bn n 1 Vnj  U t Vnj   Sup  A nj j  un n 1 n 1  j  un A nj E Bn Ynj  U t Ynj   C   Sup A nj E Bn Wnj  U t Wnj   j  un  4C     LÊy t  max t , t1 Từ giải thiết tồn n cho víi mäi n  n0 A E Bn nj j  un U t Vnj    (h c c ) Do ®ã, víi mäi n  n0 E A Bn nj j  un  E Bn j  un Anj  A V j  un Vnj  U t Vnj  E Vnj Bn   E Bn A n j  un nj nj A nj j un Ng-ợc lại, giả sử E B nj  U t Vnj  U t Vnj    U t Vnj       (h c c ) U t Vnj   (h c c ) n   Khi ®ã, víi mäi t  nj U t Vnj A j  un E Bn Suy  j  un   U t   Anj Vnj  j  un  Anj U t Vnj   M E Bn   M   AV j  un nj nj A j  un nj Vnj (h c c ) V× vËy E Bn A j  un nj U t Vnj   (h c c ) n Định lí đ-ợc chứng minh Nhận xét: định lí ta cã ®iỊu kiƯn Anj, u n  j  Bn - đo đ-ợc Một tr-ờng hợp riêng mà điều kiện thoả mÃn Bn - đại số sinh { Anj, u n j } với n 31 32 Kết luận Các kết Khoá luận nghiên cứu số khái niệm khả tích 1.1 Giới thiệu khái niệm khả tích Các khái niệm khả tích theo nghĩa Cesaro, khả tích theo nghĩa Cesaro với số mũ r (r > 0) ; Các khái niệm khả tích liên quan đến mảng; tính compact khả tích ®Ịu cÊp p cã ®iỊu kiƯn 1.2 §-a mèi liên hệ khái niệm khái niệm khả tích đều; thiết lập đ-ợc đặc tr-ng giải tích khái niệm 1.3 Nghiên cứu luật giới hạn có điều kiện tổng ngẫu nhiên có trọng l-ợng phần tử ngẫu nhiên H-ớng phát triển khoá luận - Tìm hiểu xem tính chất với tính khả tích có với khái niệm khả tích hay không, không cần điều kiện bổ sung thay đổi để thoả mÃn - Tìm điều kiện cần bổ sung để từ định nghià khả tích theo nghĩa Cesaro, khả tích liên quan tới mảng suy đ-ợc định nghĩa khả tích 33 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2001), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục [2] Thái Anh Tuấn (2004), Luận văn Thạc sỹ Toán học, Đại học Vinh [3] Allan Gut (1992), The weak law of large numbers for arrays, Statistics & Probability letters 14 (1992) 49 – 52, North – Holland [4] M Ordonez Cabrera and A Volodin (2006), Convergence of randomly weighted sum of Banach- space-valued random element under some conditions of uniform intergrability, Journal of Mathematical sciences, Vol 138, No 1, 2006 [5] Soo Hak Sung, supranee Lisawadi and Andrei Volodin (2008), weak laws of large numbers for arrays under a condition of uniform integrability, J Korean Math Soc 45 (2008), No 1, pp 289 – 300 34 Môc lục Mục lục Trang Mở đầu Ch-ơng I: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khả tích 1.2 Kú väng ®iỊu kiƯn 1.3 Sù héi tụ dÃy biến ngẫu nhiên 10 1.4 Martingale 12 1.5 Phần tử ngẫu nhiên 13 Ch-¬ngII: Mét sè më rộng khái niệm khả tích 14 2.1 C¸c kh¸i niƯm 14 2.2 Các đặc tr-ng gi¶i tÝch 20 2.3 Luật giới hạn có điều kiện cho tổng ngẫu nhiên có trọng l-ợng mảng phần tử ngẫu nhiên 27 KÕt luËn 33 Tài liệu tham khảo 34 35 ... đ-ợc, X phần tử ngẫu nhiên 13 Ch-ơng II Một số mở rộng khái niệm khả tích 2.1 Các khái niệm 2.1.1 Định nghĩa DÃy biến ngẫu nhiên khả tích X n , n đ-ợc gọi khả tích theo nghĩa Cesaro lim Sup a ... khái niệm khả tích Các khái niệm khả tích theo nghĩa Cesaro, khả tích theo nghĩa Cesaro víi sè mị r (r > 0) ; C¸c khái niệm khả tích liên quan đến mảng; tính compact khả tích cấp p có điều kiện... đ-ợc Một tr-ờng hợp riêng mà điều kiện thoả mÃn Bn - đại số sinh { Anj, u n j } với n  31 32 KÕt luËn C¸c kết Khoá luận nghiên cứu số khái niệm khả tích 1.1 Giới thiệu khái niệm khả tích