Một số mở rộng của luật số lớn k l chung cho không gian banach

1 MỤC LỤC Mở đầu Chương Xác suất không gian Banach 1.1 1.2 1.3 Không gian xác suất 1.1.1 Định nghĩa không gian tôpô 1.1.2 Định nghĩa không gian mêtric 1.1.3 Định nghĩa không gian Banach (thực) 1.1.4 Định nghĩa đại số 1.1.5 Định nghĩa σ−đại số 1.1.6 Định nghĩa độ đo xác suất 1.1.7 Định lý 1.1.8 Không gian xác suất, không gian xác suất đầy đủ 1.1.9 Định nghĩa tập Borel không gian tôpô Phần tử ngẫu nhiên 1.2.1 Định nghĩa ánh xạ đo 1.2.2 Định nghĩa phần tử ngẫu nhiên 1.2.3 Định lý 1.2.4 Định lý 10 1.2.5 Định nghĩa họ phần tử ngẫu nhiên độc lập 10 1.2.6 Định lý 10 Sự hội tụ dãy phần tử ngẫu nhiên 10 1.3.1 Định nghĩa hội tụ 10 1.3.2 Định nghĩa dạng hội tụ 11 1.3.3 1.4 Định nghĩa dãy phần tử ngẫu nhiên 11 Kỳ vọng có điều kiện Martingale 11 1.4.1 Định nghĩa kỳ vọng 11 1.4.2 Định lý 12 1.4.3 Định nghĩa kỳ vọng có điều kiện 12 1.4.4 Định lý 13 1.4.5 Định nghĩa martingale 1.4.6 Định lý 14 13 Chương Một số mở rộng luật số lớn K.L Chung cho không gian Banach 15 2.1 Các bổ đề 15 2.2 Luật số lớn cho dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập không gian Rademacher loại p 20 2.3 2.4 2.2.1 Định lý 20 2.2.2 Ví dụ 23 2.2.3 Định lý 24 Luật số lớn cho dãy phù hợp 27 2.3.1 Định nghĩa 27 2.3.2 Định lý 28 2.3.3 Định lý 31 Luật số lớn cho mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập theo hàng 32 2.4.1 Định lý 32 2.4.2 Định lý 35 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 MỞ ĐẦU Trong lý thuyết xác suất thống kê toán học, luật số lớn nói chung luật mạnh số lớn (LMSL) nói riêng đóng vai trị quan trọng Năm 1930, Kolmogorov chứng minh LMSL cổ điển Kolmogorov: Nếu dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} độc lập, phân phối với E|X1 | < ∞, n Xk → EX1 h.c.c (n → ∞) n k=1 Từ đây, người ta cố gắng mở rộng luật số lớn quan trọng theo hướng khác Năm 1947, K.L Chung chứng minh định lý mà ngày ta gọi LMSL Chung: Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên độc lập < an ↑ ∞, ϕ hàm dương, chẵn liên tục cho ϕ(t) ↓ |t| ∞ n=1 |t| ↑ Eϕ(Xn ) ε) = P( max n≤j≤m a i i=n (theo bổ đề 2.1.7) ≤ E εr m Yi i=n r j Yi > ε) i=n 26 (theo bổ đề 2.1.4) ≤ r E ε = (theo bổ đề 2.1.6) ≤ (tính chất Rademacher) ≤ E εr K (E εr K (C εr m Yi∗ r i=n m γi Yi∗ r i=n m r γi Yi∗ p Yi∗ p )p i=n m E r )p i=n m r K E = r (C) p ( ε i=n r K (theo bổ đề 2.1.6) ≤ r (C) p (K ε p r )p m γi Yi∗ (E r p r )r )p i=n r r K = r (C) p (K ) p ε = γi Yi∗ m Yi∗ (E r r p p )r i=n m r r K p (K ) p ( (C) E εr i=n r r K (theo bổ đề 2.1.3) ≤ r (C) p (K ) p M ε Yi∗ p r )p m Yi∗ E r i=n r (M = max{1, p −1 }) r r K = r (C) p (K ) p M ε ≤ = ≤ ≤ m i=n m r r r K p (K ) p M (C) εr r r K p (K ) p M 2r (C) εr Yi E Yi Yi − E[ ] ai i=n m r r r r K p (K ) p M 22r (C) εr r E i=n m r r K p (K ) p M 2 (C) εr r Yi − Yi E E i=n m E i=n Yi Yi r βi r 27 r r K ≤ r (C) p (K ) p M 22r ε m Ai i=n Eϕi ( Yi ) ϕi (ai ) Do j lim lim P( max n→∞ m→∞ Nên n≤j≤m i=n j Yi Yi − E[ ] ≤ ε) = a i i=n ∞ ∞ n=1 Yn Yn − E[ ] hội tụ h.c.c an a n n=1 Vì EXn = với n, nên ta có ∞ ∞ n=1 ∞ = ( n=1 ∞ = n=1 ∞ = n=1 Zn Yn + )−E an an ( n=1 Zn Yn + ) an an Xn Xn − E[ ] an a n n=1 Xn an ∞ n=1 2.3.1 n=1 ∞ ∞ Yn Yn − E[ ] an a n n=1 ∞ Suy 2.3 ∞ Zn Zn − E[ ]+ an a n n=1 Xn an hội tụ h.c.c Luật số lớn cho dãy phù hợp Định nghĩa Dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , Fn , n ≥ 0} xác định không gian xác suất (Ω, F, P) gọi dãy phù hợp F0 = {∅, Ω}, {Fn , n ≥ 1} dãy tăng σ−đại số F (tức Fn ⊂ Fn+1 , ∀n ∈ N) Xn đo Fn 28 2.3.2 Định lý Giả sử E không gian Banach p−trơn (1 < p ≤ 2), {Xn , Fn , n ≥ 0} dãy phù hợp nhận giá trị E {cn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên không âm cho cn đo Fn−1 Giả sử ϕn : R+ → R+ hàm Borel với αn ≥ 1, βn ≤ p, n ≥ tồn số Cn > 0, Dn > thỏa mãn ϕn (u) uαn uβn u ≥ v > ⇒ Cn α ≤ ≤ Dn β v n ϕn (v) v n Đặt ∞ B = {ω : An E[ n=1 An = max{ ϕn ( Xn ) | Fn−1 ] < ∞}, ϕn (|cn |) (2.9) , Dn } Cn Khi ∞ n=1 Xn − E[Xn | Fn−1 ] cn Chứng minh Với n ≥ 0, đặt Yn = Xn I( đặt Xn ≤|cn |) ∞ Bk = {ω : An n=1 hội tụ hầu chắn B E(ϕn ( Xn ) | Fn−1 ) ≤ k}, ϕn (|cn |) n+1 τk = min{n : Giả sử k số nguyên dương, Ai i=1 E(ϕi ( Xi ) | Fi−1 ) > k}, ϕi (|ci |) τk = ∞ vế phải (2.11) rỗng Khi đó, ta có τk ∧n i=1 ϕi ( X i ) = Ai ϕi (| ci |) n Ai i=1 ϕi ( X i ) I(τ ≥i) , ϕi (| ci |) k với I(τk ≥i) đo Fi−1 Hơn τk ∧n E[ i=1 n ϕi ( X i ) ϕi ( Xi ) Ai ] = E[ Ai I(τk ≥i) ] ϕi (| ci |) ϕ (| c |) i i i=1 (2.10) (2.11) 29 n = E[ Ai E[ i=1 n = E[ ϕi ( Xi ) I(τ ≥i) | Fi−1 ]] ϕi (| ci |) k Ai I(τk ≥i) E[ i=1 τk ∧n = E[ Ai E[ i=1 ϕi ( Xi ) | Fi−1 ]] ϕi (| ci |) ϕi ( Xi ) | Fi−1 ]] ≤ k ϕi (| ci |) (2.12) Khi Bk = {τk = ∞}, từ (2.12), với n n ϕi ( X i ) dP = ϕi (| ci |) Ai i=1 Bk n = E[IBk i=1 Ai E[ i=1 ϕi ( X i ) IB ] ϕi (| ci |) k ϕi ( X i ) ] = E[I(τk =∞) Ai ϕi (| ci |) τk ∧n = E[I(τk =∞) Ai i=1 Do n ϕi ( Xi ) ]≤ ϕi (| ci |) ∞ Ai i=1 τk ∧n Ai i=1 ϕi ( Xi ) ] ϕi (| ci |) ϕi ( X i ) ≤ k ϕi (| ci |) ϕn ( X n ) dP ≤ k ϕn (| cn |) An n=1 n Bk Suy ∞ ∞ P[Bk (Xn = Yn )] = n=1 dP n=1 Bk ( Xn >|cn |) ∞ Xn dP |cn | ≤ n=1 Bk ( Xn >|cn |) ∞ Xn αn dP | cn |αn ≤ n=1 Bk ( Xn >|cn |) ∞ ≤ An n=1 Bk ( Xn >|cn |) ∞ ≤ ϕn ( Xn ) dP ≤ k ϕn (| cn |) An n=1 ϕn ( Xn ) dP ϕn (| cn |) Bk (2.13) 30 ⇒ P{lim sup Bk (Xn = Yn )} = (2.14) Từ (2.14) áp dụng bổ đề Borel-Cantelli, ta có ∞ n=1 Xn − Yn hội tụ hầu chắn Bk cn ∞ Mà B = Bk nên suy k=1 ∞ n=1 Xn − Y n hội tụ hầu chắn B cn Ta lại có E[Xn | Fn−1 ] − E[Yn | Fn−1 ] cn (2.15) Xn − Y n | Fn−1 ] cn Xn − Yn ≤ E( | Fn−1 ) cn Xn − Yn = E( | Fn−1 ) | cn | Xn = E( I( Xn >|cn |) | Fn−1 ) | cn | ϕn ( Xn ) I( Xn >|cn |) | Fn−1 ] ≤ An E[ ϕn (| cn |) ϕn ( Xn ) ≤ An E[ | Fn−1 ], h.c.c ϕn (| cn |) (2.16) = E[ Từ (2.16) (2.9) suy ∞ n=1 E[Xn | Fn−1 ] − E[Yn | Fn−1 ] cn hội tụ hầu chắn B (2.17) Đặt Z0 = Zn = Yn − E[Yn | Fn−1 ] , n ≥ Khi đó, {Zn , Fn , n ≥ 0} cn hiệu martingale Theo điều kiện hàm ϕn giả thiết, | x |≥ |cn |, ta có |x| 0< ≤ với < p ≤ 2, βn ≤ p |cn | |x|p |x|βn ϕn (|x|) ≤ ≤ A n |cn |p ϕn (|cn |) |cn |βn 31 Khi ∞ ∞ p E( Zn | Fn−1 ) = n=1 E( n=1 ∞ = Xn I( E( Xn ≤|cn |) n=1 ∞ p ≤2 E( n=1 ∞ ≤ 2p Xn p I( |cn |p − E[Xn I( |cn |p Xn ≤|cn |) Xn ≤|cn |) | Fn−1 ] ϕn ( Xn ) I( ϕn (|cn |) An E[ ϕn ( Xn ) | Fn−1 ] < ∞, h.c.c ϕn (|cn |) n=1 p | Fn−1 ) p | Fn−1 ) | Fn−1 ) E(An n=1 ∞ ≤ 2p Yn − E[Yn | Fn−1 ] cn Xn ≤|cn |) | Fn−1 ) (2.18) Nên theo (2.18) bổ đề 2.1.11 ta có ∞ ∞ Zn = n=1 n=1 Yn − E[Yn | Fn−1 ] cn hội tụ h.c.c B (2.19) Kết hợp (2.15), (2.17) (2.19) ta có điều phải chứng minh 2.3.3 Định lý Giả sử {Xn , Fn , n ≥ 1} cho định lý 2.3.2, {an , n ≥ 1} dãy số dương, {ϕn , n ≥ 1} dãy hàm Borel dương thỏa mãn với αn ≥ 0, βn ≤ 1, n ≥ tồn số Cn > 0, Dn > cho uαn uβn ϕn (u) u ≥ v > ⇒ Cn α ≤ ≤ Dn β v n ϕn (v) v n Đặt ∞ B = {ω : An E[ n=1 An = max{ Khi ∞ n=1 ϕn ( Xn ) | Fn−1 ] < ∞}, ϕn (an ) , Dn } Cn Xn an hội tụ hầu chắn B 32 Chứng minh Với n ≥ 0, đặt Yn = Xn I( định lý 2.3.2 Xn ≤an ) Giả sử Bk , τk xác định ∞ Sử dụng lập luận tương tự chứng minh định lý 2.3.2, ta có ∞ hội tụ hầu chắn B = Xn − Yn an n=1 Bk k=1 Theo điều kiện giả thiết, |x| ≥ an , ta có < < p ≤ 2, βn ≤ |x| ≤ với an |x|p |x|βn ϕn (|x|) ≤ ≤ A n an p an β n ϕn (an ) Khi ∞ ( Bk n=1 Yn )dP = an ∞ n=1 B Yn dP an k ∞ Xn dP an = n=1 Bk ( Xn ≤an ) ∞ ≤ An n=1 Bk ( Xn ≤an ) ∞ ≤ ϕn ( Xn ) dP ≤ k ϕn (an ) An n=1 ϕn ( Xn ) dP ϕn (an ) Bk ∞ Do Yn hội tụ hầu chắn Bk , nên hội tụ hầu chắn n=1 an ∞ B = Bk k=1 Từ ta có 2.4 2.4.1 ∞ Xn hội tụ hầu chắn B a n n=1 Luật số lớn cho mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập theo hàng Định lý Giả sử E không gian Rademacher loại p (1 ≤ p ≤ 2), {Xni , ≤ i ≤ kn , n ≥ 1} mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập theo 33 hàng nhận giá trị E có EXni = Giả sử {ϕn , n ≥ 1} dãy hàm Borel dương có Cn > 0, Dn > 0, αn ≥ 1, βn ≤ p, với n cho u ≥ v ⇒ Cn ϕn (u) uβn uαn ≤ ≤ D n β v αn ϕn (v) v n Khi đó, với mảng số dương {ani , ≤ i ≤ kn , n ≥ 1} thỏa mãn ∞ kn An n=1 i=1 Eϕn ( Xni ) < ∞, ϕn (ani ) kn i=1 An = max{ Xni → h.c.c kn → ∞ ani Chứng minh Với n i, đặt: Yni = Xni I( Với ε > 0, ∞ ∞ kn Zni Zni P( ( ( − E[ ]) > ε)) ≤ P( a a ni ni n=m n=m i=1 ( ∞ ≤ E ε n=m ∞ ≤ ε n=m ∞ ≤ ε n=m ∞ ≤ ε n=m ∞ ≤ An Vì n=1 i=1 Zni = Xni I( Xni ≤ani ) kn ∞ kn , Cn Dn }, Cn ε n=m Zni Zni − E[ ]) > ε) ani ani i=1 kn ( i=1 kn Zni Zni − E[ ]) ani ani E Zni Zni − E[ ] ani ani E Zni ani E Zni ani i=1 kn i=1 kn i=1 kn An i=1 αn Eϕn ( Xni ) ϕn (ani ) Eϕn ( Xni ) < ∞, nên ϕn (ani ) ∞ lim P( m→∞ n=m kn ( ( i=1 Xni >ani ) Zni Zni − E[ ]) > ε)) = ani ani 34 Do k kn i=1 Kéo theo kn n Zni Zni − E[ ] → h.c.c ani a ni i=1 k n Zni Zni − E[ ] → h.c.c ani a ni i=1 i=1 Tương tự, với ε > 0, ∞ ∞ kn Yni Yni ( ( P( P( − E[ ]) > ε)) ≤ a a ni ni n=m n=m i=1 kn ( i=1 ∞ kn E ≤ p ε n=m ∞ ≤ C εp n=m 2p C ≤ p ε 2p C ≤ p ε 2p C ≤ p ε Yni Yni − E[ ]) > ε) ani ani Yni Yni − E[ ]) ani ani ( i=1 kn Yni Yni − E[ ] ani ani E i=1 ∞ kn E Yni ani E Yni ani n=m i=1 ∞ kn n=m i=1 ∞ kn An n=m i=1 lim P( m→∞ Nên kn ( ( n=m kn i=1 i=1 Yni Yni − E[ ]) > ε)) = ani ani k n Yni Yni − E[ ] → h.c.c ani a ni i=1 Kéo theo kn i=1 k p p βn Eϕn ( Xni ) ϕn (ani ) Suy ∞ p n Yni Yni − E[ ] → h.c.c (kn → ∞) ani a ni i=1 35 Vì EXni = với n i, nên k kn k k n n n Yni Zni Zni Yni − E[ ]+( − E[ ]) ani a a a ni ni ni i=1 i=1 i=1 i=1 kn k n Yni Zni Yni Zni = ( + ) − E[ ( + )] a a a a ni ni ni ni i=1 i=1 kn k n Xni Xni − E[ ] ani a ni i=1 = i=1 kn Xni ani = i=1 kn Vậy 2.4.2 Xni hội tụ h.c.c kn → ∞ i=1 ani Định lý Giả sử E không gian Rademacher loại p (1 ≤ p ≤ 2), {Xni , ≤ i ≤ kn , n ≥ 1} mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập theo hàng nhận giá trị E với EXni = E Xni r < ∞, ≤ r < ∞ Giả sử {ϕn , n ≥ 1} dãy hàm Borel dương có Cn , Dn > 0, αn ≥ 1, βn ≤ r, với n cho u ≥ v ⇒ Cn uαn uβn ϕn (u) ≤ D ≤ n β v αn ϕn (v) v n Khi với mảng số dương theo hàng {ani , ≤ i ≤ kn , n ≥ 1} thỏa mãn ∞ kn An n=1 i=1 Eϕn ( Xni ) < ∞, ϕn (ani ) kn i=1 An = max{ , Cn Dn }, Cn Xni → h.c.c kn → ∞ ani Chứng minh Với n i, đặt Yni = Xni I( Xni ≤ani ) Zni = Xni I( Xni >ani ) , Yni Yni Zni Zni − E[ ] Zni = − E[ ] Khi EYni = 0, EZni = 0, Yni = ani ani ani ani với n i 36 Giả sử {Yni∗ , ≤ i ≤ kn , n ≥ 1} mảng phần tử đối xứng {Yni , ≤ i ≤ kn , n ≥ 1} ∞ kn Eϕn ( Xni ) Với ε > 0, An < ∞, sử dụng cách lập luận ϕn (ani ) n=1 i=1 tương tự chứng minh định lý 2.1.2 định lý 3.2.1, ta có ∞ kn lim P( m→∞ lim P( m→∞ ( n=m i=1 ∞ kn ( n=m i=1 ( Zni Zni − E[ ]) > ε)) = ani ani ( Yni Yni − E[ ]) > ε)) = ani ani Do đó, kn Zni Zni − E[ ]) ( a a ni ni i=1 kn ( i=1 Yni Yni − E[ ]) hội tụ h.c.c ani ani Vì EXni = với n i, nên ta có kn i=1 Xni → h.c.c kn → ∞ ani 37 KẾT LUẬN Sau trình làm việc hướng dẫn tận tình thầy giáo hướng dẫn, tác giả đạt kết sau: 1.1 Nắm số khái niệm sở không gian xác suất, hệ thống lại cách đầy đủ chi tiết định nghĩa, định lý xác suất không gian Banach 1.2 Tiếp cận với phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach khả ly, tác giả tìm hiểu số hướng nghiên cứu lĩnh vực này, phát biểu chứng minh số bổ đề cần thiết mở rộng cho khơng gian Banach khả ly 1.3 Từ trình bày số mở rộng luật số lớn K.L Chung cho dãy phù hợp, dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập theo hàng cho không gian Banach * Hướng mở rộng luận văn nghiên cứu mở rộng LMSL K.L Chung cho mảng hiệu martingale theo hàng, mảng phù hợp theo hàng 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Quảng, Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2008 [2] Nguyễn Văn Quảng, Phân phối xác suất không gian Banach, Đại học Vinh, 2007 [3] Nguyễn Duy Tiến - Vũ Viết Yên, Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục, 2006 [4] Bong Dae Choi, Soo Hak Sung, On Chung’s Strong Law of Large Numbers in General Banach Spaces, Bull Austral Math Vol 37 (1988) [93-100] [5] Y.S Chow and H Teicher, Probability Theory: Independence, Interchangeability, martingales, Springer-Verlag, Berlin and New York, 1988 [6] K.L Chung, A Course in Probability Theory, Academic Press, New York, 1974 [7] P.Hall, C.C Heyde, Martingale Limit Theory and Its Application, Academic Press, New York, 1980 39 [8] Jyy-I Hong, On the strong law of large numbers for sums of random elements in Banach space, Department of Applied Mathematics, National Sun Yat-sen University, Kaohsiung, Taiwan, 804, 2003 [9] Jyy-I Hong, Jhishen Tsay*, A strong law of large numbers for random elements in Banach spaces, Department of Applied Mathematics, National Sun Yat-sen University, Kaohsiung, Taiwan, 80421, Southeast Asian Bulletin of Mathematics (2010) 31: 257 - 264 [10] Lin Zheng-yan, Shen Xin-mei, A note on strong law of large numbers of random variables, Department of Mathematics Zhejiang University, Hangzhou 310027 China, 2006 7(6) 1088 - 1091 [11] Jerzy Szulga, Three series theorem for martingales in Banach spaces, K.URBANIK on June 3, 1976 [12] Zhong-zhi Wang, On Almost Sure Convergence for Dependent Stochastic Sequence, Int Journal of Math Analysis, Vol 1, 2007, no 28, 1353 - 1360 [13] Weiguo Yang, Strong limit theorems for arbitrary stochastic sequences, J.Math Anal Appl 326 (2007) 1445 -1451 ... 13 Chương Một số mở rộng luật số lớn K.L Chung cho không gian Banach 15 2.1 Các bổ đề 15 2.2 Luật số lớn cho dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập không gian Rademacher... 15 Chương MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA LUẬT SỐ LỚN CỦA K.L CHUNG CHO KHÔNG GIAN BANACH 2.1 Các bổ đề 2.1.1 Bổ đề Giả sử X, Y phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị không gian Banach khả ly E cho E X p... suất không gian Banach Chương 2: Một số mở rộng luật số lớn K.L Chung cho không gian Banach Đây phần luận văn Trong chương này, trước hết phát biểu chứng minh bổ đề cần thiết, sau chứng minh số mở